圆与椭圆解答题(附答案与解析)

1、圆和椭圆解答题一解答题（共30小题）1（2016春西宁校级期末）在直角坐标系xOy中，圆C的方程为（x+6）2+y2=25（）以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求C的极坐标方程；（）直线l的参数方程是（t为参数），l与C交与A，B两点，|AB|=，求l的斜率2（2016长沙模拟）已知圆C：x2+y2+2x3=0（1）求圆的圆心C的坐标和半径长；（2）直线l经过坐标原点且不与y轴重合，l与圆C相交于A（x1，y1）、B（x2，y2）两点，求证：为定值；（3）斜率为1的直线m与圆C相交于D、E两点，求直线m的方程，使CDE的面积最大3（2016湖南校级模拟）已知点C（1，0），点A，

2、B是O：x2+y2=9上任意两个不同的点，且满足=0，设M为弦AB的中点（1）求点M的轨迹T的方程；（2）若以点M为圆心，|为半径的圆与直线x=1相切，求|4（2016梅州二模）在直角坐标系xoy中，动点P与定点F（1，0）的距离和它到定直线x=2的距离之比是（）求动点P的轨迹的方程；（）设曲线上的三点A（x1，y1），B（1，），C（x2，y2）与点F的距离成等差数列，线段AC的垂直平分线与x轴的交点为T，求直线BT的斜率k5（2016松江区一模）在平面直角坐标系xOy中，O为坐标原点，C、D两点的坐标为C（1，0），D（1，0），曲线E上的动点P满足又曲线E上的点A、B满足OAOB（1）求

3、曲线E的方程； （2）若点A在第一象限，且，求点A的坐标；（3）求证：原点到直线AB的距离为定值6（2016杭州一模）设点A，B分别是x，y轴上的两个动点，AB=1若=（0）（）求点C的轨迹；（）过点D作轨迹的两条切线，切点分别为P，Q，过点D作直线m交轨迹于不同的两点E，F，交PQ于点K，问是否存在实数t，使得+=恒成立，并说明理由7（2016普陀区三模）在直角坐标系xOy中，已知定点F1（0，），F2（0，），动点P满足|=2，设点P的曲线为C，直线l：y=kx+m与C交于A、B两点：（1）写出曲线C的方程，并求出曲线C的轨迹；（2）当m=1，求实数k的取值范围；（3）证明：存在直线l，满

4、足|+|=|，并求出实数k、m的取值范围8（2016广东模拟）已知点Q（2，0）和点P（2cos，2sin+2），0，2）线段PQ的中点为M（）求点M的轨迹的参数方程；（）设点P的轨迹与点M的轨迹交于A，B两点，求QAB的面积9（2016南京模拟）在平面直角坐标系xOy中，曲线C上的点S（x，y）到点M（1，0）的距离与它到直线x=4的距离之比为（1）求曲线C的方程；（2）若点A（x1，y1）与点P（x2，y2）在曲线C上，x12+x22=4且点A在第一象限，点P在第二象限，点B与点A关于原点对称，求三角形PAB的面积10（2016成都模拟）已知一动圆经过点M（2，0），且在y轴上截得的弦长为

5、4，设动圆圆心的轨迹为曲线C（1）求曲线C的方程；（2）过点N（1，0）任意作相互垂直的两条直线l1，l2，分别交曲线C于不同的两点A，B和不同的两点D，E设线段AB，DE的中点分别为P，Q求证：直线PQ过定点R，并求出定点R的坐标；求|PQ|的最小值11（2014岳麓区校级模拟）如图，已知常数a0，在矩形ABCD中，AB=4，BC=4a，O为AB的中点，点E、F、G分别在BC、CD、DA上移动，且，P为GE与OF的交点，建立如图坐标系，求P点的轨迹方程12（2014岳麓区校级模拟）已知某椭圆C，它的中心在坐标原点，左焦点为F（，0），且过点D（2，0）（1）求椭圆C的标准方程；（2）若已知点

6、A（1，），当点P在椭圆C上变动时，求出线段PA中点M的轨迹方程13（2014芙蓉区校级模拟）设F（1，0），点M在x轴上，点P在y轴上，且=2，（1）当点P在y轴上运动时，求点N的轨迹C的方程；（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），D（x3，y3）是曲线C上的点，且|，|，|成等差数列，当AD的垂直平分线与x轴交于点E（3，0）时，求B点坐标14（2014海淀区校级模拟）已知点P（2，0）及圆C：x2+y26x+4y+4=0（）若直线l过点P且与圆心C的距离为1，求直线l的方程；（）设过P直线l1与圆C交于M、N两点，当|MN|=4时，求以MN为直径的圆的方程；（）设直线axy+1=0

7、与圆C交于A，B两点，是否存在实数a，使得过点P（2，0）的直线l2垂直平分弦AB？若存在，求出实数a的值；若不存在，请说明理由15（2014河南模拟）如图，AB是O的直径，AC是弦，BAC的平分线AD交O于点D，DEAC，交AC的延长线于点E，OE交AD于点F（1）求证：DE是O的切线 （2）若，求的值16（2014房山区二模）已知点A（x，y）和点B（4，y），以AB为直径的圆经过坐标原点O（1）求点A的轨迹C的方程；（2）过点P（4，0）的直线l交轨迹C于D，E两点，判断DOE的形状，并证明你的结论17（2014咸阳校级模拟）已知圆C：x2+y2=4（1）直线l过点P（1，2），且与圆C

8、交于A、B两点，若，求直线l的方程；（2）过圆C上一动点M作平行于y轴的直线m，设m与x轴的交点为N，若向量，求动点Q的轨迹方程（3）若点R（1，0），在（2）的条件下，求的最小值18（2014吉林二模）已知：以点为圆心的圆与x轴交于点O，A，与y轴交于点O、B，其中O为原点，（1）求证：OAB的面积为定值；（2）设直线y=2x+4与圆C交于点M，N，若OM=ON，求圆C的方程19（2014南通三模）在平面直角坐标系xOy中，直线l经过点P（0，1），曲线C的方程为x2+y22x=0，若直线l与曲线C相交于A，B两点，求PAPB的值20（2014天津模拟）已知圆C：x2+y2+4y21=0（1

9、）将圆C的方程化为标准方程，并指出圆心坐标和半径；（2）求直线l：2xy+3=0被圆C所截得的弦长21（2016北京）已知椭圆C：+=1过点A（2，0），B（0，1）两点（1）求椭圆C的方程及离心率；（2）设P为第三象限内一点且在椭圆C上，直线PA与y轴交于点M，直线PB与x轴交于点N，求证：四边形ABNM的面积为定值22（2016天津）设椭圆+=1（a）的右焦点为F，右顶点为A，已知+=，其中O为原点，e为椭圆的离心率（1）求椭圆的方程；（2）设过点A的直线l与椭圆交于B（B不在x轴上），垂直于l的直线与l交于点M，与y轴交于点H，若BFHF，且MOA=MAO，求直线l的斜率23（2016天

10、津）设椭圆+=1（a）的右焦点为F，右顶点为A已知+=，其中O为原点，e为椭圆的离心率（1）求椭圆的方程；（2）设过点A的直线l与椭圆交于点B（B不在x轴上），垂直于l的直线与l交于点M，与y轴于点H，若BFHF，且MOAMAO，求直线l的斜率的取值范围24（2016衡阳三模）已知椭圆的左、右焦点分别为F1、F2，短轴两个端点为A、B，且四边形F1AF2B是边长为2的正方形（1）求椭圆的方程；（2）若C、D分别是椭圆长的左、右端点，动点M满足MDCD，连接CM，交椭圆于点P证明：为定值（3）在（2）的条件下，试问x轴上是否存异于点C的定点Q，使得以MP为直径的圆恒过直线DP、MQ的交点，若存在

11、，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由25（2016河东区一模）已知中心在原点，焦点在x轴上的椭圆C的离心率为，且经过点，过点P（2，1）的直线l与椭圆C相交于不同的两点A，B（）求椭圆C的方程；（）是否存直线l，满足？若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由26（2016南昌校级二模）已知直线l：y=kx+1（k0）与椭圆3x2+y2=a相交于A、B两个不同的点，记l与y轴的交点为C（）若k=1，且|AB|=，求实数a的值；（）若=2，求AOB面积的最大值，及此时椭圆的方程27（2016重庆校级模拟）椭圆C：+=1（ab0），作直线l交椭圆于P，Q两点M为线段PQ的中点，O为坐标原点，

12、设直线1的斜率为k1，直线OM的斜率为k2，k1k2=（I）求椭圆C的离心率；（）设直线l与x轴交于点D（5，0），且满足=2，当0PQ的面积最大时，求椭圆C的方程28（2016临沂一模）已知椭圆C1：=1（ab0）的离心率为，其短轴的下端点在抛物线x2=4y的准线上（）求椭圆C1的方程；（）设O为坐标原点，M是直线l：x=2上的动点，F为椭圆的右焦点，过点F作OM的垂线与以为OM直径的圆C2相交于P，Q两点，与椭圆C1相交于A，B两点，如图所示若PQ=，求圆C2的方程；设C2与四边形OAMB的面积分别为S1，S2，若S1=S2，求的取值范围29（2016泰州一模）如图，在平面直角坐标系xOy

13、中，已知圆O：x2+y2=4，椭圆C：，A为椭圆右顶点过原点O且异于坐标轴的直线与椭圆C交于B，C两点，直线AB与圆O的另一交点为P，直线PD与圆O的另一交点为Q，其中设直线AB，AC的斜率分别为k1，k2（1）求k1k2的值；（2）记直线PQ，BC的斜率分别为kPQ，kBC，是否存在常数，使得kPQ=kBC？若存在，求值；若不存在，说明理由；（3）求证：直线AC必过点Q30（2016沈阳三模）设P为椭圆=1（ab0）上任一点，F1，F2为椭圆的焦点，|PF1|+|PF2|=4，离心率为（）求椭圆的标准方程；（）直线l：y=kx+m（m0）与椭圆交于P、Q两点，试问参数k和m满足什么条件时，直

14、线OP，PQ，OQ的斜率依次成等比数列；（）求OPQ面积的取值范围圆和椭圆解答题（中高档题）参考答案与试题解析一解答题（共30小题）1（2016春西宁校级期末）在直角坐标系xOy中，圆C的方程为（x+6）2+y2=25（）以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求C的极坐标方程；（）直线l的参数方程是（t为参数），l与C交与A，B两点，|AB|=，求l的斜率【考点】圆的标准方程；直线与圆相交的性质菁优网版权所有【专题】计算题；转化思想；综合法；直线与圆【分析】（）把圆C的标准方程化为一般方程，由此利用2=x2+y2，x=cos，y=sin，能求出圆C的极坐标方程（）由直线l的参数方程求

15、出直线l的一般方程，再求出圆心到直线距离，由此能求出直线l的斜率【解答】解：（）圆C的方程为（x+6）2+y2=25，x2+y2+12x+11=0，2=x2+y2，x=cos，y=sin，C的极坐标方程为2+12cos+11=0（）直线l的参数方程是（t为参数），直线l的一般方程y=tanx，l与C交与A，B两点，|AB|=，圆C的圆心C（6，0），半径r=5，圆心C（6，0）到直线距离d=，解得tan2=，tan=l的斜率k=【点评】本题考查圆的极坐标方程的求法，考查直线的斜率的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意点到直线公式、圆的性质的合理运用2（2016长沙模拟）已知圆C：x2+y2+

16、2x3=0（1）求圆的圆心C的坐标和半径长；（2）直线l经过坐标原点且不与y轴重合，l与圆C相交于A（x1，y1）、B（x2，y2）两点，求证：为定值；（3）斜率为1的直线m与圆C相交于D、E两点，求直线m的方程，使CDE的面积最大【考点】直线与圆的位置关系菁优网版权所有【专题】综合题；转化思想；综合法；直线与圆【分析】（1）把圆C的方程化为标准方程，写出圆心和半径；（2）设出直线l的方程，与圆C的方程组成方程组，消去y得关于x的一元二次方程，由根与系数的关系求出的值；（3）解法一：设出直线m的方程，由圆心C到直线m的距离，写出CDE的面积，利用基本不等式求出最大值，从而求出对应直线方程；解法

17、二：利用几何法得出CDCE时CDE的面积最大，再利用点到直线的距离求出对应直线m的方程【解答】解：（1）圆C：x2+y2+2x3=0，配方得（x+1）2+y2=4，则圆心C的坐标为（1，0），圆的半径长为2；（2）设直线l的方程为y=kx，联立方程组，消去y得（1+k2）x2+2x3=0，则有：；所以为定值；（3）解法一：设直线m的方程为y=kx+b，则圆心C到直线m的距离，所以，当且仅当，即时，CDE的面积最大，从而，解之得b=3或b=1，故所求直线方程为xy+3=0或xy1=0解法二：由（1）知|CD|=|CE|=R=2，所以2，当且仅当CDCE时，CDE的面积最大，此时；设直线m的方程为

18、y=x+b，则圆心C到直线m的距离，由，得，由，得b=3或b=1，故所求直线方程为xy+3=0或xy1=0【点评】本题考查了直线与圆的方程的应用问题，也考查了点到直线的距离以及方程组的应用问题，考查了转化思想以及根与系数的应用问题，是综合性题目3（2016湖南校级模拟）已知点C（1，0），点A，B是O：x2+y2=9上任意两个不同的点，且满足=0，设M为弦AB的中点（1）求点M的轨迹T的方程；（2）若以点M为圆心，|为半径的圆与直线x=1相切，求|【考点】轨迹方程菁优网版权所有【专题】转化思想；定义法；圆锥曲线的定义、性质与方程【分析】（1）根据条件结合=0，进行求解即可求点M的轨迹T的方程；

19、（2）求出圆的方程，得到M的轨迹方程，利用直线和圆锥曲线的位置关系进行求解即可【解答】解：（1）连接OM，OA，由=0得ACBC，|CM|=|AM|=|BM|=|AB|，由垂径定理知|OM|2+|AM|2=|OA|2，即|OM|2+|AM|2=9，设M（x，y），则x2+y2+（x1）2+y2=9，即x2x+y2=4，则点M的轨迹T的方程是x2x+y2=4（2）以点M为圆心，|为半径的圆与直线x=1相切，点M到直线x=1的距离与到点C（1，0）的距离相等，根据抛物线的定义知点M在抛物线y2=2px上，其中，则p=2，故抛物线方程为y2=4x，由得x2+3x4=0，得x=1或x=4，由于x0，x

20、=1，此时y=2，|CM|=，|AB|=2=22=4，即|=4【点评】本题主要考查点的轨迹的求解，根据抛物线的定义以及代入法求出点的轨迹是解决本题的关键综合考查学生的运算能力4（2016梅州二模）在直角坐标系xoy中，动点P与定点F（1，0）的距离和它到定直线x=2的距离之比是（）求动点P的轨迹的方程；（）设曲线上的三点A（x1，y1），B（1，），C（x2，y2）与点F的距离成等差数列，线段AC的垂直平分线与x轴的交点为T，求直线BT的斜率k【考点】轨迹方程；等差数列的通项公式菁优网版权所有【专题】综合题；圆锥曲线的定义、性质与方程【分析】（）由已知，得=，由此能求出动点P的轨迹C1的方程和

21、轨迹是什么图形（）由已知可得|AF|=（2x1），|BF|=（21），|CF|=（2x2）因为2|BF|=|AF|+|CF|，所以x1+x2=2，故线段AC的中点为（1，），其垂直平分线方程为y=（x1），由此能求出直线BT的斜率【解答】解：（）由已知，得=（2分）两边平方，化简得故轨迹的方程是 （4分）（）由已知可得|AF|=（2x1），|BF|=（21），|CF|=（2x2）（6分）因为2|BF|=|AF|+|CF|，所以（2x1）+（2x2）=2（21），即得x1+x2=2，（5分）故线段AC的中点为（1，），其垂直平分线方程为y=（x1），（6分）因为A，C在椭圆上，所以代入椭圆，两式

22、相减，把代入化简得：=y1+y2 （10分）把代入，令y=0得，x=0.5，点T的坐标为（0.5，0）（11分）直线BT的斜率k=（12分）【点评】本题考查直线与圆锥曲线的综合应用，考查运算求解能力，推理论证能力；考查化归与转化思想综合性强，难度大，有一定的探索性，对数学思维能力要求较高，是高考的重点解题时要认真审题，仔细解答5（2016松江区一模）在平面直角坐标系xOy中，O为坐标原点，C、D两点的坐标为C（1，0），D（1，0），曲线E上的动点P满足又曲线E上的点A、B满足OAOB（1）求曲线E的方程；（2）若点A在第一象限，且，求点A的坐标；（3）求证：原点到直线AB的距离为定值【考点】

23、轨迹方程菁优网版权所有【专题】综合题；转化思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程【分析】（1）由|CD|=2，知，曲线E是以C、D为焦点，长轴的椭圆，即可求曲线E的方程；（2）设直线OA的方程为y=kx（k0），则直线OB的方程为，与椭圆方程联立，由知4|OA|2=3|OB|2，即可求点A的坐标；（3）分类讨论，设直线AB的方程x=my+b，与椭圆方程联立，求出原点到直线AB的距离，即可证明原点到直线AB的距离为定值【解答】（1）解：由|CD|=2，知，曲线E是以C、D为焦点，长轴的椭圆，（1分）设其方程为，则有，曲线E的方程为（3分）（2）解：设直线OA的方程为y=kx（k0），则直线OB

24、的方程为由得2x2+3k2x2=6，解得（4分）同理，由则解得（5分）由知4|OA|2=3|OB|2，即（6分）解得k2=6，因点A在第一象限，故，（7分）此时点A的坐标为（8分）（3）证明：设A（x1，y1），B（x2，y2），当直线AB平行于坐标轴时，由OAOB知A、B两点之一为y=x与椭圆的交点，由解得此时原点到直线AB的距离为（10分）当直线AB不平行于坐标轴时，设直线AB的方程x=my+b，由得（2m2+3）y2+4bmy+2b26=0（12分）由x1x2+y1y2=0得（my1+b）（my2+b）+y1y2=0即因（14分）代入得即5b2=6（m2+1）（15分）原点到直线AB的距

25、离（16分）【点评】本题考查椭圆的定义与方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查韦达定理的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题6（2016杭州一模）设点A，B分别是x，y轴上的两个动点，AB=1若=（0）（）求点C的轨迹；（）过点D作轨迹的两条切线，切点分别为P，Q，过点D作直线m交轨迹于不同的两点E，F，交PQ于点K，问是否存在实数t，使得+=恒成立，并说明理由【考点】轨迹方程菁优网版权所有【专题】压轴题；方程思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程【分析】（）由题意可知，C在线段BA的延长线上，设出A（m，0），B（0，n），可得m2+n2=1，再设C（x，y），由向量等式把m，n用含

26、有x，y的代数式表示，代入m2+n2=1可得点C的轨迹；（）分别设出E，F，K的横坐标分别为：xE，xF，xK，点D（s，t），可得直线PQ的方程为：，再设直线m的方程：y=kx+b，得到t=ks+b，进一步求得xK，联立直线方程与椭圆m的方程，利用根与系数的关系得到xE+xF，xExF，求得为定值2得答案【解答】解：（）由题意可知，C在线段BA的延长线上，设A（m，0），B（0，n），则m2+n2=1，再设C（x，y），由=（0），得（xm，y）=（m，n），得，代入m2+n2=1，得；（）设E，F，K的横坐标分别为：xE，xF，xK，设点D（s，t），则直线PQ的方程为：，设直线m的方程：

27、y=kx+b，t=ks+b，得，将直线m代入椭圆方程得：，=2验经证当m的斜率不存在时成立，故存在实数t=2，使得+=恒成立【点评】本题考查轨迹方程的求法，考查了直线与圆锥曲线的位置关系，考查计算能力，是压轴题7（2016普陀区三模）在直角坐标系xOy中，已知定点F1（0，），F2（0，），动点P满足|=2，设点P的曲线为C，直线l：y=kx+m与C交于A、B两点：（1）写出曲线C的方程，并求出曲线C的轨迹；（2）当m=1，求实数k的取值范围；（2）证明：存在直线l，满足|+|=|，并求出实数k、m的取值范围【考点】轨迹方程菁优网版权所有【专题】综合题；转化思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与

28、方程【分析】（1）由双曲线的定义可知，P的轨迹是以F1，F2为焦点的双曲线的上支，且a=1，c=，求出b，求出曲线C的方程；（2）由题意建立方程组，消去y，得（2k21）x2+4kx=0，已知直线与双曲线上支交于两点A，B，则2k210，可得实数k的取值范围；（3）设A（x1，y1），B（x2，y2），y=kx+m，代入=1，消去y，得（2k21）x2+4kmx+2m22=0，若|+|=|，则OAOB，得x1x2+y1y2=0，即可证明结论【解答】（1）解：定点F1（0，），F2（0，），动点P满足|=2，P的轨迹是以F1，F2为焦点的双曲线的上支，且a=1，c=，b=，曲线C的方程是=1（y

29、1）；（2）解：由题意建立方程组消去y，得（2k21）x2+4kx=0又已知直线与双曲线上支交于两点A，B，则2k210，解得k；（3）证明：设A（x1，y1），B（x2，y2），若|+|=|，则OAOB，x1x2+y1y2=0，y=kx+m，代入=1，消去y，得（2k21）x2+4kmx+2m22=0，x1+x2=，x1x2=，y1y2=（kx1+m）（kx2+m）=k2x1x2+km（x1+x2）+m2=，y1+y2=+=0，m2=2k2+2，=16k2m24（2k21）（2m22）0，y1+y2=0，y1y2=0k，m，k，m时，存在直线l，满足|+|=|【点评】本题考查直线与双曲线的位

30、置关系的应用，双曲线方程的求法，范围问题的求解方法，考查转化思想以及计算能力8（2016广东模拟）已知点Q（2，0）和点P（2cos，2sin+2），0，2）线段PQ的中点为M（）求点M的轨迹的参数方程；（）设点P的轨迹与点M的轨迹交于A，B两点，求QAB的面积【考点】轨迹方程菁优网版权所有【专题】综合题；直线与圆【分析】（）利用中点坐标公式，求点M的轨迹的参数方程；（）求出P，Q的普通方程，可得公共弦的方程，|AB|，求出Q到直线AB的距离，即可求QAB的面积【解答】解：（）由题意，设M（x，y），则点Q（2，0）和点P（2cos，2sin+2），0，2），线段PQ的中点为M，x=1+cos

31、，y=1+sin，点M的轨迹的参数方程为，0，2）；（）由题意，P的轨迹方程为x2+（y2）2=4，Q的轨迹方程为（x1）2+（y1）2=1，联立可得公共弦的方程为2x2y1=0，|AB|=，Q到直线AB的距离d=，QAB的面积为=【点评】本题考查参数方程，考查圆与圆的位置关系，考查三角形面积的计算，属于中档题9（2016南京模拟）在平面直角坐标系xOy中，曲线C上的点S（x，y）到点M（1，0）的距离与它到直线x=4的距离之比为（1）求曲线C的方程；（2）若点A（x1，y1）与点P（x2，y2）在曲线C上，x12+x22=4且点A在第一象限，点P在第二象限，点B与点A关于原点对称，求三角形P

32、AB的面积【考点】轨迹方程菁优网版权所有【专题】综合题；转化思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程【分析】（1）利用直接法，建立方程，化简可得曲线C的方程；（2）求出直线AB的方程，运用点到直线的距离公式求得P到直线AB的距离，弦长AB，运用三角形的面积公式可得SPAB=d|AB|=|x1y2x2y1|，再由A，P满足椭圆方程，结合条件x12+x22=4，计算即可得到三角形PAB的面积为定值【解答】解：（1）曲线C上的点S（x，y）到点M（1，0）的距离与它到直线x=4的距离之比为，=，化简可得=1；（2）直线AB的方程为y=x，即为y1xx1y=0，可得P（x2，y2）到直线AB的距离为d

33、=，|AB|=2，则SPAB=d|AB|=|x1y2x2y1|，由x10，x20，y10，y20，y12=（4x12），y22=（4x22），可得y1=，y2=，则|x1y2x2y1|=|x1|y2+|x2|y1=（|x1|+|x2|）由x12+x22=4，可得x12=4x22，x22=4x12，即有|x1y2x2y1|=（x12+x22）=2故当x12+x22=4时，三角形PAB的面积为2【点评】本题考查椭圆的方程，考查直线方程和椭圆方程联立，运用韦达定理和弦长公式，考查三角形的面积为定值，注意运用点到直线的距离公式和点满足椭圆方程，考查化简整理的运算能力，属于中档题10（2016成都模拟）

34、已知一动圆经过点M（2，0），且在y轴上截得的弦长为4，设动圆圆心的轨迹为曲线C（1）求曲线C的方程；（2）过点N（1，0）任意作相互垂直的两条直线l1，l2，分别交曲线C于不同的两点A，B和不同的两点D，E设线段AB，DE的中点分别为P，Q求证：直线PQ过定点R，并求出定点R的坐标；求|PQ|的最小值【考点】轨迹方程菁优网版权所有【专题】综合题；转化思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程【分析】（1）利用一动圆经过点M（2，0），且在y轴上截得的弦长为4，建立方程，即可求曲线C的方程；（2）设A，B两点坐标分别为（x1，y1），（x2，y2），直线l1的方程为y=k（x1）（k0），与抛物

35、线方程联立，利用韦达定理可求点P，Q的坐标，进而可确定直线PQ的方程，即可得到结论由|PQ|2=（2k）2+（2k+）2=4（k2+）2+（k2+）2，换元利用基本不等式求|PQ|的最小值【解答】解：（1）设圆心C（x，y），则x2+4=（x2）2+y2，化简得y2=4x，动圆圆心的轨迹的方程为y2=4x（2）设A，B两点坐标分别为（x1，y1），（x2，y2），由题意可设直线l1的方程为y=k（x1）（k0），与y2=4x联立得k2x2（2k2+4）x+k2=0=（2k2+4）24k4=16k2+160，x1+x2=2+，y1+y2=k（x1+x22）=所以点P的坐标为（1+，）由题知，直线

36、l2的斜率为，同理可得点Q的坐标为（1+2k2，2k）当k1时，有1+1+2k2，此时直线PQ的斜率kPQ=所以，直线PQ的方程为y+2k=（x12k2），整理得yk2+（x3）ky=0，于是，直线PQ恒过定点E（3，0）；当k=1时，直线PQ的方程为x=3，也过点E（3，0）综上所述，直线PQ恒过定点E（3，0）由|PQ|2=（2k）2+（2k+）2=4（k2+）2+（k2+）2，记k2+=tk2+2，t2，|PQ|2=4（t+）2，t=2，即k=1时，|PQ|的最小值为4【点评】本题考查轨迹方程，考查圆锥曲线和直线的位置关系和综合应用，具有一定的难度，解题的关键是直线与抛物线的联立，确定直

37、线PQ的方程11（2014岳麓区校级模拟）如图，已知常数a0，在矩形ABCD中，AB=4，BC=4a，O为AB的中点，点E、F、G分别在BC、CD、DA上移动，且，P为GE与OF的交点，建立如图坐标系，求P点的轨迹方程【考点】轨迹方程菁优网版权所有【专题】计算题【分析】根据如图坐标系，按题意写出A，B，C，D四点的坐标，进而根据解出E，F，G三点的坐标 参数表示，求出OF与GE两条直线的方程，两者联立即可求出点P的坐标满足的参数方程，消去参数，得到点P的轨迹方程【解答】解：如图，按题意有A（2，0），B（2，0），C（2，4a），D（2，4a）设由此有E（2，4ak），F（24k，4a），G（

38、2，4a4ak）直线OF的方程为：2ax+（2k1）y=0，直线GE的方程为：a（2k1）x+y2a=0从，消去参数k，得点P（x，y）坐标满足方程2a2x2+y22ay=0，（矩形内部）【点评】考查解析法求点的轨迹方程，本题在做题时引入了参数k，故得到的轨迹方程为参数方程，需要消去参数得到轨迹方程，又当字母的取值范围对曲线的形状有影响时，要对其范围进行讨论以确定轨迹的具体性状12（2014岳麓区校级模拟）已知某椭圆C，它的中心在坐标原点，左焦点为F（，0），且过点D（2，0）（1）求椭圆C的标准方程；（2）若已知点A（1，），当点P在椭圆C上变动时，求出线段PA中点M的轨迹方程【考点】轨迹方

39、程；椭圆的标准方程菁优网版权所有【专题】综合题；圆锥曲线的定义、性质与方程【分析】（1）根据题意椭圆的焦点在x轴上，a=2且c=，从而b=1，得到椭圆的标准方程；（2）设点P（x0，y0），线段PA的中点为M（x，y），根据中点坐标公式将x0、y0表示成关于x、y的式子，将P（x0，y0）关于x、y的坐标形式代入已知椭圆的方程，化简整理即可得到线段PA的中点M的轨迹方程【解答】解：（1）由题意知椭圆的焦点在x轴上，椭圆经过点D（2，0），左焦点为F（，0），a=2，c=，可得b=1因此，椭圆的标准方程为（2）设点P的坐标是（x0，y0），线段PA的中点为M（x，y），由根据中点坐标公式，可得，

40、点P（x0，y0）在椭圆上，可得，化简整理得，线段PA中点M的轨迹方程是【点评】本题给出椭圆满足的条件，求椭圆方程并求与之有关的一个轨迹方程，着重考查了椭圆的标准方程、简单几何性质和轨迹方程的求法等知识点，属于中档题13（2014芙蓉区校级模拟）设F（1，0），点M在x轴上，点P在y轴上，且=2，（1）当点P在y轴上运动时，求点N的轨迹C的方程；（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），D（x3，y3）是曲线C上的点，且|，|，|成等差数列，当AD的垂直平分线与x轴交于点E（3，0）时，求B点坐标【考点】轨迹方程；等差数列的通项公式菁优网版权所有【专题】综合题；圆锥曲线的定义、性质与方程【分

41、析】（1）根据且=2，可得P为MN的中点，利用，可得=0，从而可得点N的轨迹C的方程；（2）先根据抛物线的定义可知|=x1+，|=x2+，|=x3+，利用|，|，|成等差数列，可得x1+x3=2x2，确定AD的中垂线方程，利用AD的中点在直线上，即可求得点B的坐标【解答】解：（1）设N（x，y），则由=2，得P为MN的中点，所以M（x，0），P（0，）又，=0y2=4x（x0）；（2）由（1）知F（1，0）为曲线C的焦点，由抛物线定义知抛物线上任一点P0（x0，y0）到F的距离等于其到准线的距离，即|P0F|=x0+故|=x1+，|=x2+，|=x3+，又|，|，|成等差数列x1+x3=2x2

42、，直线AD的斜率kAD=AD的中垂线方程为y=（x3）又AD的中点（，）在直线上，代入上式，得=1，x2=1故所求点B的坐标为（1，2）【点评】本题考查求轨迹方程，考查向量知识的运用，考查数列知识，解题的关键是用好向量，挖掘隐含，属于中档题14（2014海淀区校级模拟）已知点P（2，0）及圆C：x2+y26x+4y+4=0（）若直线l过点P且与圆心C的距离为1，求直线l的方程；（）设过P直线l1与圆C交于M、N两点，当|MN|=4时，求以MN为直径的圆的方程；（）设直线axy+1=0与圆C交于A，B两点，是否存在实数a，使得过点P（2，0）的直线l2垂直平分弦AB？若存在，求出实数a的值；若不

43、存在，请说明理由【考点】直线与圆的位置关系菁优网版权所有【专题】综合题【分析】（）分两种情况：当直线l的斜率存在时，设出直线l的斜率为k，由P的坐标和设出的k写出直线l的方程，利用点到直线的距离公式表示出P到直线l的距离d，让d等于1列出关于k的方程，求出方程的解即可得到k的值，利用求出的k和P写出直线l的方程即可；当直线l的斜率不存在时，得到在线l的方程，经过验证符合题意；（）由利用两点间的距离公式求出圆心C到P的距离，再根据弦长|MN|的一半及半径，利用勾股定理求出弦心距d，发现|CP|与d相等，所以得到P为MN的中点，所以以MN为直径的圆的圆心坐标即为P的坐标，半径为|MN|的一半，根据

44、圆心和半径写出圆的方程即可；（）把已知直线的方程代入到圆的方程中消去y得到关于x的一元二次方程，因为直线与圆有两个交点，所以得到0，列出关于a的不等式，求出不等式的解集即可得到a的取值范围，利用反证法证明：假设符合条件的a存在，由直线l2垂直平分弦AB得到圆心必在直线l2上，根据P与C的坐标即可求出l2的斜率，然后根据两直线垂直时斜率的乘积为1，即可求出直线axy+1=0的斜率，进而求出a的值，经过判断求出a的值不在求出的范围中，所以假设错误，故这样的a不存在【解答】解：（）设直线l的斜率为k（k存在）则方程为y0=k（x2）又圆C的圆心为（3，2），半径r=3，由，解得所以直线方程为，即3x

45、+4y6=0；当l的斜率不存在时，l的方程为x=2，经验证x=2也满足条件；（）由于，而弦心距，所以d=，所以P为MN的中点，所以所求圆的圆心坐标为（2，0），半径为|MN|=2，故以MN为直径的圆Q的方程为（x2）2+y2=4；（）把直线axy+1=0即y=ax+1代入圆C的方程，消去y，整理得（a2+1）x2+6（a1）x+9=0由于直线axy+1=0交圆C于A，B两点，故=36（a1）236（a2+1）0，即2a0，解得a0则实数a的取值范围是（，0）设符合条件的实数a存在，由于l2垂直平分弦AB，故圆心C（3，2）必在l2上所以l2的斜率kPC=2，而，所以由于，故不存在实数a，使得过

46、点P（2，0）的直线l2垂直平分弦AB【点评】此题考查学生掌握直线与圆的位置关系，灵活运用点到直线的距离公式及两点间的距离公式化简求值，考查了分类讨论的数学思想，以及会利用反证法进行证明，是一道综合题15（2014河南模拟）如图，AB是O的直径，AC是弦，BAC的平分线AD交O于点D，DEAC，交AC的延长线于点E，OE交AD于点F（1）求证：DE是O的切线（2）若，求的值【考点】圆的切线方程；与圆有关的比例线段菁优网版权所有【专题】证明题【分析】（I）连接OD，AOD是等腰三角形，结合，BAC的平分线AD，得到ODAE可得结论（II）过D作DHAB于H，设OD=5x，则AB=10x，OH=2

47、x，AH=7x，由AEDAHD和AEFDOF推出结果【解答】（I）证明：连接OD，可得ODA=OAD=DAC（2分）ODAE又AEDE（3分）DEOD，又OD为半径DE是的O切线（5分）（II）解：过D作DHAB于H，则有DOH=CAB（6分）设OD=5x，则AB=10x，OH=2x，AH=7x（7分）由AEDAHD可得AE=AH=7x（8分）又由AEFDOF可得【点评】本题考查平面几何中三角形的相似和全等，辅助线的做法，是解题关键，本题是难题16（2014房山区二模）已知点A（x，y）和点B（4，y），以AB为直径的圆经过坐标原点O（1）求点A的轨迹C的方程；（2）过点P（4，0）的直线l交

48、轨迹C于D，E两点，判断DOE的形状，并证明你的结论【考点】轨迹方程；直线与圆锥曲线的综合问题菁优网版权所有【专题】综合题；圆锥曲线的定义、性质与方程【分析】（1）以AB为直径的圆经过坐标原点O，则OAOB，由此可求点A的轨迹C的方程；（2）DOE是直角三角形设l：x=my+4，代入y2=4x，证明=0，即可得出结论【解答】解：（1）以AB为直径的圆经过坐标原点O，OAOB，（x，y）（4，y）=0，4x+y2=0，y2=4x；（2）DOE是直角三角形设l：x=my+4，代入y2=4x，可得y24my16=0，设D（x1，y1），E（x2，y2），则y1+y2=4my，y1y2=16，=x1x

49、2+y1y2=16=0，ODOE，DOE是直角三角形【点评】本题考查轨迹方程，考查直线与抛物线的位置关系，考查向量知识的运用，属于中档题17（2014咸阳校级模拟）已知圆C：x2+y2=4（1）直线l过点P（1，2），且与圆C交于A、B两点，若，求直线l的方程；（2）过圆C上一动点M作平行于y轴的直线m，设m与x轴的交点为N，若向量，求动点Q的轨迹方程（3）若点R（1，0），在（2）的条件下，求的最小值【考点】直线与圆的位置关系；二次函数的性质；点到直线的距离公式；轨迹方程菁优网版权所有【专题】计算题【分析】（1）分两种情况考虑：直线l垂直于x轴时，可得出直线l为x=1，此时直线l与圆C的两交

50、点距离为2，满足题意；当直线l不垂直x轴时，设直线l的斜率为k，由P及斜率k表示出直线l的方程，设圆心到直线的距离为d，由已知截取的弦长，根据垂径定理及勾股定理列出关于d的方程，求出方程的解得到d的值，再利用点到直线的距离公式表示出圆心到直线l的距离d，由d的值列出关于k的方程，求出方程的解得到k的值，确定出此时直线的方程，综上，得到所有满足题意的直线方程；（2）设出M及Q的坐标，根据题意表示出N的坐标，利用平面向量的数量积运算法则化简已知的等式，用x与y分别表示出x0及y0，将表示出的x0及y0代入圆C的方程，得到x与y的关系式，再根据由已知，直线my轴，得到x0，即可得出Q的轨迹方程；（3

51、）由Q及R的坐标，表示出，利用平面向量模的计算法则表示出|2，由圆C的方程表示出y2，将y2代入表示出的|2中，得到关于x的二次三项式，配方后根据二次函数的性质，可得出|2的最小值，开方即可得出|的最小值，以及此时x的值【解答】解：（1）分两种情况考虑：当直线l垂直于x轴时，此时直线方程为x=1，则l与圆的两个交点坐标为（1，）和（1，），其距离为，满足题意；（1分）若直线l不垂直于x轴，设其方程为y2=k（x1），即kxyk+2=0，（2分）设圆心到此直线的距离为d，则2=2，解得：d=1，1=，解得：k=，故所求直线方程为3x4y+5=0，综上所述，所求直线为3x4y+5=0或x=1；（5分）（2）设点M的坐标为（x0，y0），Q点坐标为（x，y），则N点坐标是（x0，0），=+，（x，y）=（2x0，y0），即x0=，y0=y，又x02+y02=4，+y2=4，（8分）由已知，直线my轴，得到x0，Q点的轨迹方程是+y2=4（x0）；（9分）（3）设Q坐标为（x，y），R（1，0），=（x1，y），|2=（x1）2+y2，（10分）又+y2=4（x0），|2=（x1）2+y2=（x1）2+4=，（12分）x4，0