高考数学一轮复习 第三章 导数及其应用 3.2 导数与函数的单调性、极值、最值优质课件 文 北师大版

1、13 3. .2 2导数与函数的单调性、导数与函数的单调性、极值、最值极值、最值 2知识梳理双基自测231自测点评41.导函数的符号和函数的单调性的关系如果在某个区间内,函数y=f(x)的导数f(x)0,则在这个区间上,函数y=f(x)是增加的;如果在某个区间内,函数y=f(x)的导数f(x)0. ()(2)函数在某区间上或定义域内极大值是唯一的. ()(3)导数为零的点不一定是极值点. ()(4)函数的极大值不一定比极小值大. ()(5)函数的最大值不一定是极大值,函数的最小值也不一定是极小值. () 答案 答案关闭(1)(2)(3)(4)(5) 8知识梳理双基自测自测点评234152.函数

2、y=f(x)的导函数f(x)的图像如图所示,则下面判断正确的是()A.在区间(-2,1)上f(x)是增加的B.在区间(1,3)上f(x)是减少的C.在区间(4,5)上f(x)是增加的D.在区间(2,3)上f(x)不是单调函数 答案解析解析关闭因为导数大于0的区间是函数的递增区间,导数小于0的区间是函数的递减区间,所以由图像可知在区间(4,5)上f(x)0,故f(x)在区间(4,5)上是增加的. 答案解析关闭C9知识梳理双基自测自测点评234153.(2016四川,文6)已知a为函数f(x)=x3-12x的极小值点,则a=()A.-4B.-2C.4D.2 答案解析解析关闭f(x)=3x2-12=

3、3(x+2)(x-2),令f(x)=0,得x=-2或x=2.易得f(x)在(-2,2)上是减少的,在(-,-2),(2,+)上是增加的,故f(x)极小值为f(2),由已知得a=2,故选D. 答案解析关闭D10知识梳理双基自测自测点评234154.(2016山西朔州模拟)已知函数f(x)=x3+ax2+3x在定义域上是增函数,则实数a的取值范围为. 答案解析解析关闭函数f(x)=x3+ax2+3x在定义域上是增函数,f(x)=3x2+2ax+30在R上恒成立,=4a2-360,解得-3a3. 答案解析关闭-3,311知识梳理双基自测自测点评234155.如图是f(x)的导函数f(x)的图像,则f

4、(x)的极小值点的个数为. 答案解析解析关闭由题意知,只在x=-1处f(-1)=0,且其左右两侧导数符号为左负右正. 答案解析关闭1 12知识梳理双基自测自测点评1.若函数f(x)在区间(a,b)上是增加的,则f(x)0;“f(x)0在(a,b)上恒成立”是“f(x)在(a,b)上是增加的”的充分不必要条件.2.对于可导函数f(x),“f(x0)=0”是“函数f(x)在x=x0处有极值”的必要不充分条件.如函数y=x3在x=0处导数为零,但x=0不是函数y=x3的极值点.3.求最值时,应注意极值点和所给区间的关系,关系不确定时,需要分类讨论,不可想当然认为极值就是最值.4.函数最值是“整体”概

5、念,而函数极值是“局部”概念,极大值与极小值之间没有必然的大小关系.13考点1考点2考点3考向一讨论函数的单调性或求单调区间(1)确定a的值;(2)若g(x)=f(x)ex,讨论g(x)的单调性.思考如何利用导数的方法讨论函数的单调性或求单调区间?14考点1考点2考点315考点1考点2考点3令g(x)=0,解得x=0,x=-1或x=-4.当x-4时,g(x)0,故g(x)是减少的;当-4x0,故g(x)是增加的;当-1x0时,g(x)0时,g(x)0,故g(x)是增加的.综上知g(x)在(-,-4)和(-1,0)内是减少的,在(-4,-1)和(0,+)内是增加的.16考点1考点2考点3解题心得

6、1.导数法求函数单调区间的一般流程:求定义域求导数f(x)求f(x)=0在定义域内的根用求得的根划分定义区间确定f(x)在各个开区间内的符号得相应开区间上的单调性.2.利用导数研究函数单调性的关键在于准确判定导数的符号,当f(x)不含参数时,解不等式f(x)0(或f(x)0知,f(x)与1-x+ex-1同号.令g(x)=1-x+ex-1,则g(x)=-1+ex-1.所以,当x(-,1)时,g(x)0,g(x)在区间(1,+)上是增加的.故g(1)=1是g(x)在区间(-,+)上的最小值,从而g(x)0,x(-,+).综上可知,f(x)0,x(-,+).故f(x)的递增区间为(-,+).19考点

7、1考点2考点3考向二已知函数单调性求参数的取值范围例2已知函数f(x)=x3-ax-1.(1)讨论f(x)的单调性;(2)若f(x)在R上为增函数,求实数a的取值范围.思考已知函数单调性求参数的一般思路是什么?20考点1考点2考点321考点1考点2考点3(2)因为f(x)在(-,+)上是增函数,所以f(x)=3x2-a0在(-,+)上恒成立,即a3x2对xR恒成立.因为3x20,所以只需a0,即实数a的取值范围为(-,0.解题心得已知函数单调性求参数的一般思路是转化为不等式的恒成立问题,即“若函数f(x)是增加的,则f(x)0;若函数f(x)是减少的,则f(x)0”来求解.22考点1考点2考点

8、3对点训练对点训练2已知函数f(x)= -2x2+ln x,其中a为常数.(1)若a=1,求函数f(x)的单调区间;(2)若函数f(x)在区间1,2上为单调函数,求a的取值范围.解 (1)若a=1,则f(x)=3x-2x2+ln x的定义域为(0,+), 当x(0,1)时,f(x)0,即函数f(x)=3x-2x2+ln x是增加的.当x(1,+)时,f(x)0时,函数f(x)在x=a处取得极小值a-aln a,无极大值.27考点1考点2考点3解题心得1.可导函数y=f(x)在点x0处取得极值的充要条件是f(x0)=0,且在x0左侧与右侧f(x)的符号不同.2.若函数y=f(x)在区间(a,b)

9、内有极值,则函数y=f(x)在(a,b)内不是单调函数,即若函数y=f(x)在某区间上是单调函数,则函数y=f(x)在此区间上一定没有极值.3.利用导数研究函数极值的一般流程:28考点1考点2考点3(1)求a的值;(2)求函数f(x)的单调区间与极值.29考点1考点2考点3令f(x)=0,解得x=-1或x=5.由x=-1不在f(x)的定义域(0,+)内,故舍去.当x(0,5)时,f(x)0,故f(x)在(5,+)内是增加的.由此可知函数f(x)在x=5时取得极小值f(5)=-ln 5;函数f(x)没有极大值.30考点1考点2考点3(1)讨论f(x)的单调区间;(2)设g(x)=f(x)+2al

10、n x,且g(x)有两个极值点为x1,x2,其中x10,e,求g(x1)-g(x2)的最小值.思考求函数的最值可划分为哪几步?31考点1考点2考点3令f(x)=0得x2-ax+1=0.当-2a2时,=a2-40,此时,f(x)0,且f(x)在(0,+)上的任意子区间内都不恒等于0,所以f(x)在定义域(0,+)内是增函数;当a0时,但x2-ax+1=0的两根x1,x2均为负数,此时,f(x)0在(0,+)上恒成立,所以f(x)在定义域(0,+)上是增函数;32考点1考点2考点3当a2时,=a2-40,解x2-ax+1=0得两根为 33考点1考点2考点334考点1考点2考点3解题心得求函数f(x

11、)在a,b上的最大值和最小值的步骤:(1)求函数在(a,b)内的极值.(2)求函数在区间端点处的函数值f(a),f(b).(3)将函数f(x)的极值与f(a),f(b)比较,其中最大的一个为最大值,最小的一个为最小值.35考点1考点2考点3对点训练对点训练4(2016河南焦作二模)设函数f(x)=ex-ax-2.(1)求f(x)的单调区间;(2)若a=1,k为整数,且当x0时,(x-k)f(x)+x+10,求k的最大值.解 (1)由题意知函数f(x)=ex-ax-2的定义域是R,f(x)=ex-a.若a0,则f(x)=ex-a0,故函数f(x)=ex-ax-2在(-,+)上递增;若a0,则当x

12、(-,ln a)时,f(x)=ex-a0;因此,f(x)在(-,ln a)内是减少的,在(ln a,+)内是增加的.36考点1考点2考点3(2)因为a=1,所以(x-k)f(x)+x+1=(x-k)(ex-1)+x+1. 由(1)知,当a=1时,函数f(x)=ex-x-2在(0,+)上是增加的,而f(1)0,所以f(x)=ex-x-2在(0,+)上存在唯一的零点,故g(x)在(0,+)上存在唯一的零点.设此零点为,则有(1,2).当x(0,)时,g(x)0;所以g(x)在(0,+)上的最小值为g().又由g()=0,可得e=+2,故g()=+1(2,3).由于式等价于kg(x0)成立,即f(x

13、)-g(x)0在x1,e时有解.43故(x)在1,e上是增加的,即min(x)=(1)=0,因此a0即可.故选D.44典例3设函数f(x)=ex(2x-1)-ax+a,其中a1,若存在唯一的整数x0使得f(x0)0,则a的取值范围是 ()答案D 解析设g(x)=ex(2x-1),h(x)=a(x-1),则不等式f(x)0,即为g(x)h(x).因为g(x)=ex(2x-1)+2ex=ex(2x+1),45而函数h(x)=a(x-1)表示经过点P(1,0),斜率为a的直线.如图,分别作出函数g(x)=ex(2x-1)与h(x)=a(x-1)的大致图像.显然,当a0时,满足不等式g(x)h(x)的整数解有无数多个.函数g(x)=ex(2x-1)的图像与y轴的交点为A(0,-