函数概念及表示

1、高中数学必修15686c21c0f5791d81f916a7ad03b4360.pdf3.1 函数的单调性 顺德一中 罗科明 宋艳艳 1.3.1函数的单调性与最大（小）值【教学目的】一、知识与技能1、理解函数的单调性，能写出函数的单调区间；2、会证明函数的单调性；3、会求函数在定义域上的最大（小）值；4、会求函数在给定区间上的最大（小）值；5、理解最大（小）值的几何意义二、过程与方法1、让学生感受到函数单调性的初步应用；2、表明用函数的单调性定义证明函数在某个区间上单调性的基本步骤；3、启发学生先对函数具有某种性质做出猜想，然后通过逻辑推理，证明猜想三、情感、态度与价值观1、建立增（减）函数的

2、概念；2、让学生通过自主探究活动，体验数学概念的形成过程，培养学生的数学思维能力【教学重点】1、 函数的单调性及其几何意义2、 函数的最大（小）值及其几何意义【教学难点】1、 利用函数的单调性定义判断、证明函数的单调性2、 利用函数的单调性求函数的最大（小）值 【教学过程】一、 新课引入1、 观察下列各个函数的图象，并说说它们分别反映了相应函数的哪些变化规律：yx1-11-1yx1-11-1yx1-11-1 随x的增大，y的值有什么变化？ 能否看出函数的最大、最小值？yx1-11-1 函数图象是否具有某种对称性？1 画出下列函数的图象，观察其变化规律：1f(x) = x 从左至右图象上升还是下

3、降 _? 在区间 _ 上，随着x的增大，f(x)的值随着 _ yx1-11-12f(x) = -2x+1 从左至右图象上升还是下降 _? 在区间 _ 上，随着x的增大，f(x)的值随着 _ yx1-11-13f(x) = x2在区间 _ 上，f(x)的值随着x的增大而 _ 在区间 _ 上，f(x)的值随着x的增大而 _ 二、 新课讲解（一）函数单调性定义1增函数一般地，设函数y=f(x)的定义域为I，如果对于定义域I内的某个区间D内的任意两个自变量x1，x2，当x1x2时，都有f(x1)f(x2)，那么就说f(x)在区间D上是增函数（increasing function）思考：仿照增函数的定

4、义说出减函数的定义（学生活动）注意： 函数的单调性是在定义域内的某个区间上的性质，是函数的局部性质； 必须是对于区间D内的任意两个自变量x1，x2；当x1x2时，总有f(x1)f(x2) 2函数的单调性定义如果函数y=f(x)在某个区间上是增函数或是减函数，那么就说函数y=f(x)在这一区间具有（严格的）单调性，区间D叫做y=f(x)的单调区间：3判断函数单调性的方法步骤利用定义证明函数f(x)在给定的区间D上的单调性的一般步骤： 任取x1，x2D，且x1x2； 作差f(x1)f(x2)； 变形（通常是因式分解和配方）； 定号（即判断差f(x1)f(x2)的正负）； 下结论（即指出函数f(x)

5、在给定的区间D上的单调性）（二）典型例题例1（教材P34例1）根据函数图象说明函数的单调性解：（略）巩固练习：课本P38练习第1、2题例2（教材P34例2）根据函数单调性定义证明函数的单调性解：（略）巩固练习： 课本P38练习第3题； 证明函数在（1，+）上为增函数例3借助计算机作出函数y =x2 +2 | x | + 3的图象并指出它的的单调区间解：（略）思考：画出反比例函数的图象 这个函数的定义域是什么？ 它在定义域I上的单调性怎样？证明你的结论说明：本例可利用几何画板、函数图象生成软件等作出函数图象三、 课堂小结函数的单调性一般是先根据图象判断，再利用定义证明画函数图象通常借助计算机，求

6、函数的单调区间时必须要注意函数的定义域，单调性的证明一般分五步：取 值 作 差 变 形 定 号 下结论四、 课后作业一） 书面作业：课本P45 习题13（A组） 第1- 5题二） 补充练习1函数y=x2+x+2单调减区间是( ) A、 B、（-1，+） C、 D、（-，+）2下面说法正确的选项（）A函数的单调区间可以是函数的定义域B函数的多个单调增区间的并集也是其单调增区间C具有奇偶性的函数的定义域定关于原点对称D关于原点对称的图象一定是奇函数的图象3函数f(x)=2x2mx+3,当x时,增函数,当x时,是减函数, 则f（1）等于（） A3 B13 C7 D由m而定的其它常数4已知函数f(x)

7、是R上的增函数,A(0,1)、B(3,1)是其图象上的两点,那么|f(x+1)| 1的解集的补集是（ ） A(1,2) B(1,4) C(,14,+ ) D(,12,+ )5在区间上为增函数的是（ ）AB CD6如果函数f(x)x22(a1)x2在区间上是减函数，那么实数a的取值范围是（）Aa3Ba3 Ca5Da37设为定义在R上的减函数，且，则下列函数：；其中为R上的增函数的序号是. 8讨论函数f(x) = 在(1,1)上的单调性.9 己知a,b,cR,且a0,6a+b0.设f(x)=ax2+bx+c,试比较f(3)、与f()的大小.10.判断函数=2-2+3在(-2,2)内的单调性.11函

8、数f(x)是定义在( 0 ,+ )上的增函数 ，且 f() = f(x) f(y)，（1）求f（1）的值.（2）若f（6） = 1,解不等式 f( x+3 ) f( ) 1的解集1310函数在区间上都有意义，且在此区间上为增函数，；为减函数，.判断在的单调性，并给出证明.1.3.1函数的最大（小）值【教学目的】一、知识与技能1、会求函数在定义域上的最大（小）值；2、会求函数在给定区间上的最大（小）值；3、理解最大（小）值的几何意义二、过程与方法学会运用函数图象理解和研究函数的性质三、情感、态度与价值观让学生通过自主探究活动，体验数学概念的形成过程，培养学生的数学思维能力【教学重点】函数的最大（

9、小）值及其几何意义【教学难点】利用函数的单调性求函数的最大（小）值 一、 新课引入画出下列函数的图象，并根据图象解答下列问题： 说出y=f(x)的单调区间，以及在各单调区间上的单调性； 指出图象的最高点或最低点，并说明它能体现函数的什么特征？（1）（2）（3）（4）二、 新课讲解（一）函数最大（小）值定义1最大值一般地，设函数y=f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足：（1）对于任意的xI，都有f(x)M；（2）存在x0I，使得f(x0) = M那么，称M是函数y=f(x)的最大值（Maximum Value）思考：仿照函数最大值的定义，给出函数y=f(x)的最小值（Minimum Valu

10、e）的定义（学生活动）注意： 函数最大（小）首先应该是某一个函数值，即存在x0I，使得f(x0) = M； 函数最大（小）应该是所有函数值中最大（小）的，即对于任意的xI，都有f(x)M（f(x)M）2利用函数单调性的判断函数的最大（小）值的方法 利用二次函数的性质（配方法）求函数的最大（小）值 利用图象求函数的最大（小）值 利用函数单调性的判断函数的最大（小）值如果函数y=f(x)在区间a，b上单调递增，在区间b，c上单调递减则函数y=f(x)在x=b处有最大值f(b)；如果函数y=f(x)在区间a，b上单调递减，在区间b，c上单调递增则函数y=f(x)在x=b处有最小值f(b)；（二）典型

11、例题例1（教材P36例3）利用二次函数的性质确定函数的最大（小）值解：（略）说明：对于具有实际背景的问题，首先要仔细审清题意，适当设出变量，建立适当的函数模型，然后利用二次函数的性质或利用图象确定函数的最大（小）值25巩固练习：如图，把截面半径为25cm的圆形木头锯成矩形木料，如果矩形一边长为x，面积为y试将y表示成x的函数，并画出函数的大致图象，并判断怎样锯才能使得截面面积最大？例2（新题讲解）旅 馆 定 价一个星级旅馆有150个标准房，经过一段时间的经营，经理得到一些定价和住房率的数据如下：房价（元）住房率（%）16055140651207510085欲使每天的的营业额最高，应如何定价？解

12、：根据已知数据，可假设该客房的最高价为160元，并假设在各价位之间，房价与住房率之间存在线性关系设为旅馆一天的客房总收入，为与房价160相比降低的房价，因此当房价为元时，住房率为，于是得=150由于1，可知090因此问题转化为：当090时，求的最大值的问题将的两边同除以一个常数0.75，得1=25017600由于二次函数1在=25时取得最大值，可知也在=25时取得最大值，此时房价定位应是16025=135（元），相应的住房率为67.5%，最大住房总收入为13668.75（元）所以该客房定价应为135元（当然为了便于管理，定价140元也是比较合理的）例3（教材P37例4）求函数在区间2，6上的最

13、大值和最小值解：（略）注意：利用函数的单调性求函数的最大（小）值的方法与格式巩固练习：（教材P38练习4）三、 课堂小结利用单调性写函数的最值我们可以利用函数的草图，如果函数在区间上是图像连续的，且在 是单调递增的，在上是单调递减的，则该函数在区间上的最大值一定是在处取得；同理，若函数在区间上是图像连续的，且在 是单调递减的，在上是单调递增的，则该函数在区间上的最小值一定是在处取得四、 课后作业一）书面作业：课本P45 习题13（A组） 第6、7、8题二）补充练习1函数在实数集上是增函数，则（ ）A B CD2已知函数f(x)在区间a,b上单调且f(a)f(b)0,则方程f(x)=0在区间a,

14、b内（ ）A 至少有一实根 B 至多有一实根 C没有实根 D必有唯一的实根3已知f(x)=8+2xx2,如果g(x)=f( 2x2 ),那么g(x)（ ）A在区间(1,0)上是减函数 B在区间(0,1)上是减函数C在区间(2,0)上是增函数 D在区间(0,2)上是增函数4函数的最小值是 5已知x0,1,则函数y= 的最大值为_.最小值为_.6函数，单调递减区间为 ，最大值为 . 7已知函数 求:(1) 当时， 函数的最值；(2) 当时， 函数的最值8已知函数（1）当时，求函数的最小值；（2）若对任意恒成立，试求实数的取值范围9已知1，若函数在区间1，3上的最大值为，最小值为，令（1）求的函数表

15、达式；（2）判断函数在区间，1上的单调性，并求出的最小值 .10在经济学中，函数的边际函数为，定义为，某公司每月最多生产100台报警系统装置。生产台的收入函数为（单位元），其成本函数为（单位元），利润的等于收入与成本之差.求出利润函数及其边际利润函数；求出的利润函数及其边际利润函数是否具有相同的最大值；你认为本题中边际利润函数最大值的实际意义.分段函数一、知识网络分段函数二、学习要求1、了解分数函数的定义；2、学会求分段函数定义域、值域；3、学会运用函数图象来研究分段函数；三、自学评价1、分段函数的定义在函数定义域内，对于自变量x的不同取值范围，有着不同的对应法则，这样的函数叫做分段函数；2、

16、分段函数定义域，值域；分段函数定义域各段定义域的并集，其值域是各段值域的并集(填“并”或“交”)3、分段函数图象画分段函数的图象，应在各自定义域之下画出定义域所对应的解析式的图象；【精典范例】一、含有绝对值的解析式例1、已知函数y=|x1|+|x+2|(1)作出函数的图象； (2)写出函数的定义域和值域。【解】：(1)首先考虑去掉解析式中的绝对值符号，第一个绝对值的分段点x=1，第二个绝对值的分段点x=2，这样数轴被分为三部分：(，2，(2,1，(1，+)所以已知函数可写为分段函数形式：y=|x1|+|x+2|=在相应的x取值范围内，分别作出相应函数的图象，即为所求函数的图象。（图象略）(2)

17、根据函数的图象可知：函数的定义域为R，值域为3，+）二、实际生活中函数解析式问题例2、某同学从甲地以每小时6千米的速度步行2小时到达乙地，在乙地耽搁1小时后，又以每小时4千米的速度步行返回甲地。写出该同学在上述过程中，离甲地的距离S(千米)和时间t(小时)的函数关系式，并作出函数图象。【解】： 先考虑由甲地到乙地的过程：0t2时，y=6t再考虑在乙地耽搁的情况：2t3时，y=12最后考虑由乙地返回甲地的过程：3t6时，y=124(t3)所以S(t)=函数图象（略）点评：某些实际问题的函数解析式常用分段函数表示，须针对自变量的分段变化情况，列出各段不同的解析式，再依据自变量的不同取值范围，分段画

18、出函数的图象.三、二次函数在区间上的最值问题例3、已知函数f(x)=2x22ax+3在区间1，1上有最小值，记作g(a).(1)求g(a)的函数表达式； (2)求g(a)的最大值。【解】：对称轴x=得g(a)利用分段函数图象易得：g(a)max=3点评：二次函数在闭区间上的最值问题往往结合图象讨论。【课后练习】1、设f(x)=，则ff()=( )A. B.C. D.2、若f(x)=，则当x0时，f(x)=( )A. xB. x2C.xD.x23、已知，若f(x)=4、下列各组函数表示同一函数的是( )f(x)=|x|，g(x)=f(x)=，g(x)=x+2f(x)=，g(x)=x+2f(x)=g(x)=0 x1，1A.B.C.D.5、某产品的总成本y(万元)与产量x(台)之间的函数