第二章 分子动理论平衡态理论

1、 2.1 2.1 分子动理论与统计物理学分子动理论与统计物理学 2.2 2.2 概率论的基本知识概率论的基本知识 2.3 2.3 麦克斯韦速率分布麦克斯韦速率分布 2.4 2.4 麦克斯韦速度分布麦克斯韦速度分布 2.5 2.5 气体分子碰壁数及其应用气体分子碰壁数及其应用 2.6 2.6 外力场中自由粒子的分布外力场中自由粒子的分布 玻尔兹曼分布玻尔兹曼分布 2.7 2.7 能量均分定理能量均分定理热物理学的微观理论是在分子动（理学）理论（简称分子动理热物理学的微观理论是在分子动（理学）理论（简称分子动理论）基础上发展起来的。论）基础上发展起来的。分子动理论方法的分子动理论方法的主要特点主要

2、特点是：是：它考虑到分子间、分子与器壁间频繁的碰撞，它考虑到分子间、分子与器壁间频繁的碰撞，考虑到分子间有相互作用力，考虑到分子间有相互作用力，利用力学定律和概率论来讨论分子运动、分子碰撞的详情利用力学定律和概率论来讨论分子运动、分子碰撞的详情其最终及最高目标是其最终及最高目标是描述气体由非平衡态转入平衡态的过程描述气体由非平衡态转入平衡态的过程。从广义上来说：从广义上来说：统计物理学是从物质微观结构和相互作用的认识出发，采用概统计物理学是从物质微观结构和相互作用的认识出发，采用概率统计的方法来说明或预言由大量粒子组成的宏观物体的物理率统计的方法来说明或预言由大量粒子组成的宏观物体的物理性质。

3、性质。按这种观点，分子动理论也应归于统计物理学的范畴。按这种观点，分子动理论也应归于统计物理学的范畴。 对于初学者，重点应掌握基本物理概念对于初学者，重点应掌握基本物理概念处理问题的物理思想及基本物理方法，处理问题的物理思想及基本物理方法，熟悉物理理论的重要基础熟悉物理理论的重要基础基本实验事实。基本实验事实。在某些问题（特别是一些非平衡态问题）中可暂不去追究理在某些问题（特别是一些非平衡态问题）中可暂不去追究理论的十分严密与结果的十分精确。论的十分严密与结果的十分精确。因为相当简单的例子中常常包含基本物理方法中的精华，因为相当简单的例子中常常包含基本物理方法中的精华，它常常能解决概念上的困难

4、并能指出新的计算步骤及近似方它常常能解决概念上的困难并能指出新的计算步骤及近似方法法在在1.6中讨论气体分子碰壁数及气体压强公式时中讨论气体分子碰壁数及气体压强公式时,曾简单地认曾简单地认为每一分子均以平均速率运动，并以此来替代相应物理量的统为每一分子均以平均速率运动，并以此来替代相应物理量的统计平均，这里的近似很粗糙计平均，这里的近似很粗糙实际的情况是粒子几乎有所有可能的速度，只是不同速度的粒实际的情况是粒子几乎有所有可能的速度，只是不同速度的粒子所占比例不一样而已，因而解决上述问题的关键是要找到分子所占比例不一样而已，因而解决上述问题的关键是要找到分子按速率的概率分布律。子按速率的概率分布

5、律。本节将介绍有关概率及概率分布函数的基本知识。本节将介绍有关概率及概率分布函数的基本知识。 有关概率统计的最直观的演示有关概率统计的最直观的演示是伽尔顿板实验，如图（是伽尔顿板实验，如图（a）所所示。示。无法使小球落入漏斗内的初始无法使小球落入漏斗内的初始状态完全相同。状态完全相同。因而小球落入那一小槽完全是因而小球落入那一小槽完全是随机的。随机的。只要小球总数足够多（只要小球总数足够多（N ），），则每一小槽内都有小球落入，且第则每一小槽内都有小球落入，且第i个槽内小球数个槽内小球数Ni 与小球总数与小球总数N（N=Ni）之比有一定的分布。之比有一定的分布。若板中各钉子是等距离配置的，则若

6、板中各钉子是等距离配置的，则其分布曲线如图其分布曲线如图2.1（b）所示。其所示。其分布曲线对称于漏斗形入口的竖直分布曲线对称于漏斗形入口的竖直中心轴。中心轴。若重复做实验若重复做实验甚至用同一小球投甚至用同一小球投入漏斗入漏斗N次（次（N ），其分布曲其分布曲线都相同。线都相同。由此可见，虽然各小球在与任一钉由此可见，虽然各小球在与任一钉子碰撞后向左还是向右运动都是随子碰撞后向左还是向右运动都是随机的，由很多偶然因素决定，但最机的，由很多偶然因素决定，但最终大量小球的总体在各槽内的分布终大量小球的总体在各槽内的分布却有一定的分布规律，这种规律由却有一定的分布规律，这种规律由统计相关性所决定统

7、计相关性所决定 （一）概率的定义（一）概率的定义在一定条件下，如果某一现象或某一事件可能发生也可能在一定条件下，如果某一现象或某一事件可能发生也可能不发生，我们就称这样的事件为不发生，我们就称这样的事件为随机事件随机事件。与之相对应的。与之相对应的是是确定事件确定事件。随机事件：随机事件： 掷骰子哪一面朝上完全是随机的，受到许多不能确定的掷骰子哪一面朝上完全是随机的，受到许多不能确定的 偶然因素的影响，偶然因素的影响， 如生男生女、如如生男生女、如“天有不测风云、人有旦夕祸福天有不测风云、人有旦夕祸福”。确定事件：确定事件： 标况下，水在标况下，水在100摄氏度会必然会沸腾。摄氏度会必然会沸腾

8、。 太阳必然会东升西落太阳必然会东升西落 鸡蛋孵出来的必然不是鸭子鸡蛋孵出来的必然不是鸭子 等等等等（一）概率的定义（一）概率的定义但是偶然中却有必然：但是偶然中却有必然：如多次投掷硬币出现正反面的概率为如多次投掷硬币出现正反面的概率为50%男女婴儿出生比为男女婴儿出生比为22：21（世界各地均如此）（世界各地均如此）大数定律：大数定律：当试验次数很大时，随机事件出现的频率会稳当试验次数很大时，随机事件出现的频率会稳定在某个数值定在某个数值P附近摆动，这个稳定的数值附近摆动，这个稳定的数值P称为称为随机事件随机事件的概率的概率。概率：概率：若在相同条件下重复进行同一个试验（如掷骰子）若在相同条

9、件下重复进行同一个试验（如掷骰子），在总次数，在总次数 N 足够多的情况下（即足够多的情况下（即 N ），），计算所出计算所出现某一事件（如哪一面向上）的次数现某一事件（如哪一面向上）的次数 NL ，则其百分比即则其百分比即该事件出现的概率该事件出现的概率 :)(limNNPLNL（二）等概率性（二）等概率性在掷骰子时，一般认为出现每一面向上的概率是相等的。在掷骰子时，一般认为出现每一面向上的概率是相等的。若在某一面上钻个小孔，在小孔中塞进些铅，然后再封上，若在某一面上钻个小孔，在小孔中塞进些铅，然后再封上，或者通过一些其他磁铁等，则我们预料情况会不同或者通过一些其他磁铁等，则我们预料情况会不

10、同由此可总结出一条基本原理：由此可总结出一条基本原理：等概率性等概率性在没有理由说明哪一事件出现概率更大些（或在没有理由说明哪一事件出现概率更大些（或更小些）情况下，每一事件出现的概率都应相等。更小些）情况下，每一事件出现的概率都应相等。思考题一：思考题一：抽签的几率和抽签顺序是否有关。抽签的几率和抽签顺序是否有关。十个人中随机挑选一人获得某个机会，写十张纸条（其中只十个人中随机挑选一人获得某个机会，写十张纸条（其中只有一张有记号），每人拿走一张，问，先抽的人中的几率有一张有记号），每人拿走一张，问，先抽的人中的几率大还是后抽的人机会大？大还是后抽的人机会大？有人说是先抽的人，因为先抽的人纸条

11、都在，如果后抽，可有人说是先抽的人，因为先抽的人纸条都在，如果后抽，可能纸条就被先抽走了能纸条就被先抽走了也有人说是后抽的人，先抽的人的几率是也有人说是后抽的人，先抽的人的几率是10选选1，如果先抽的，如果先抽的人没抽着，后抽的人的几率就是人没抽着，后抽的人的几率就是9选选1，甚至更高，甚至更高也有人认为这和抽签顺序无关，因为假如大家抽完后都不看也有人认为这和抽签顺序无关，因为假如大家抽完后都不看结果，等所有的人都拿到以后再看，每个人的概率都是结果，等所有的人都拿到以后再看，每个人的概率都是10选选1到底如何？到底如何？思考题二：思考题二：班级同学中出现二个人生日在同一天（不管出生年份）的概班

12、级同学中出现二个人生日在同一天（不管出生年份）的概率有多大？率有多大？或者说，如果你的所有朋友在他们生日的时候都会邀请你的或者说，如果你的所有朋友在他们生日的时候都会邀请你的话，那么你在某一天接到两份生日宴会邀请的概率有多大话，那么你在某一天接到两份生日宴会邀请的概率有多大？0.4642（24），）， 0.09738（40）（三）概率的基本性质（三）概率的基本性质（1）概率相加法则：概率相加法则：n 个互相排斥事件发生的总概率是每个个互相排斥事件发生的总概率是每个事件发生概率之和，简称概率相加法则。事件发生概率之和，简称概率相加法则。所谓所谓n个互相排斥（简称互斥）的事件是指，出现事件个互相排

13、斥（简称互斥）的事件是指，出现事件1，就，就不可能同时出现事件不可能同时出现事件2，3n，同样对同样对2，3n事件也是如此事件也是如此。如投掷一枚硬币，要么出现正面要么出现反面如投掷一枚硬币，要么出现正面要么出现反面如投掷色子，六面出现的概率加一起为如投掷色子，六面出现的概率加一起为1如：明天要是不下雨的话很可能就会继续天晴，当然，理论如：明天要是不下雨的话很可能就会继续天晴，当然，理论上也不排除多云转阴天的可能上也不排除多云转阴天的可能 。概率相加规律适用于概率相加规律适用于: 或者或者,或者或者.(要么要么,要么要么.)如：投掷一次色子，出现如：投掷一次色子，出现1或者或者6的概率是多少？

14、的概率是多少？1/6+1/6(概率概率相加相加)（三）概率的基本性质（三）概率的基本性质（2）概率相乘法则：概率相乘法则：同时或依次发生的，互不相关（或相互同时或依次发生的，互不相关（或相互统计独立）的事件发生的概率等于各个事件概率之乘积，简统计独立）的事件发生的概率等于各个事件概率之乘积，简称概率相乘法则。称概率相乘法则。关键要两次事件完全独立。关键要两次事件完全独立。如：连续两次投掷硬币，连续出现相同一面朝上的概率是多如：连续两次投掷硬币，连续出现相同一面朝上的概率是多大？大？1/2 乘以乘以1/2概率相乘规律适用于概率相乘规律适用于: 即即,又又. 六连号的概率：六连号的概率：100个号

15、码中随机抽取个号码中随机抽取6个号码，抽取的六个个号码，抽取的六个号码连在一起的概率是多少？号码连在一起的概率是多少？95/C6 100统计分布的最直接的应用是求平均值。统计分布的最直接的应用是求平均值。以求平均年龄为例，以求平均年龄为例，N 个人的年龄平均值就是个人的年龄平均值就是 N 个人的年龄个人的年龄之和除以总人数之和除以总人数 N。求年龄之和可以将人按年龄分组，设求年龄之和可以将人按年龄分组，设ui为随机变量（例如年为随机变量（例如年龄），其中出现（年龄）龄），其中出现（年龄）u1值的次（或人）数为值的次（或人）数为N1，u2值的值的次（或人）数为次（或人）数为N2，则该随机变量（年

16、龄）的平均值为则该随机变量（年龄）的平均值为 NuNNuNuNuiiiii2211两式均是求平均值公式，两式均是求平均值公式，第一式通过求和来求平均值的，第一式通过求和来求平均值的，第二式是利用概率分布来求平均值的。第二式是利用概率分布来求平均值的。第二式在科学研究中更常见。第二式在科学研究中更常见。对于更复杂的函数，对于更复杂的函数，设设f（u）是随机变量是随机变量 u 的函数，则的函数，则其平其平均值为：均值为： iiiuPuPuPu22111( )()niiif uf uP1122iiiiiN uN uN uuNN因为因为Ni / N 是出现是出现 ui 值的百分比，当值的百分比，当N

17、时该百分比就时该百分比就是出现是出现 ui 值的概率值的概率 Pi ，故故平均值的性质平均值的性质 (2) 若随机变量若随机变量 u 和随机变量和随机变量 v 相互相互统计独立统计独立，且，且 f ( u ) 是是u 的某一函数，的某一函数，g（v）是是 v 的另一函数，则：的另一函数，则： )()()()(ugufuguf)()(ufcucf)()()()(vgufvguf11iniP（1）若）若 C 为常数，则为常数，则 应该注意到，以上讨论的各种概率都是归一化的，即应该注意到，以上讨论的各种概率都是归一化的，即：uuuii 22222uuuuuu02u 2222uuuuu 22uu 随机

18、变量会偏离平均值随机变量会偏离平均值 ，即：，即：一般其偏离值的平均值为零，一般其偏离值的平均值为零， 但均方偏差不为零。但均方偏差不为零。121222r m suuuuuu0rmsu定义相对均方根偏差：方均根定义相对均方根偏差：方均根/平均值，为：平均值，为：当当ui 所有值都等于相同值时所有值都等于相同值时:可见相对均方根偏差表示了随机变量在平均值附近分散开的程可见相对均方根偏差表示了随机变量在平均值附近分散开的程度，也称为度，也称为涨落、散度或散差涨落、散度或散差。平均值表示综合国力，均方偏差更能反映贫富差距平均值表示综合国力，均方偏差更能反映贫富差距上面所讨论的随机变量只能取离散值。实

19、际变量很多是连续变上面所讨论的随机变量只能取离散值。实际变量很多是连续变化，如粒子的空间位置或粒子的速度。化，如粒子的空间位置或粒子的速度。在随机变量取连续值时，上述求平均值公式中在随机变量取连续值时，上述求平均值公式中 Pi 也是连续分也是连续分布的。布的。当然，测量仪器总有误差，测不出分子速率恰好为当然，测量仪器总有误差，测不出分子速率恰好为100m/s的分的分子数是多少，若仪器的误差范围为子数是多少，若仪器的误差范围为1m/s，则只能测出分子速率，则只能测出分子速率从从99.5m/s到到100.5m/s的分子数是多少。的分子数是多少。我们不能讲分子速率恰好处于我们不能讲分子速率恰好处于1

20、00m/s的概率，而只能讲分子速的概率，而只能讲分子速率介于某一范围（例如率介于某一范围（例如99m/s101m/s）内的概率。）内的概率。打靶试验的例子打靶试验的例子子弹沿靶板的分布实验子弹沿靶板的分布实验图是直角坐标示靶板上的分布图是直角坐标示靶板上的分布把靶平面划分出很多宽为把靶平面划分出很多宽为 x的窄条，的窄条， x的的宽度比黑点的大小要大得多。宽度比黑点的大小要大得多。数出在数出在x到到x+x范围窄条的黑点数范围窄条的黑点数N，它，它除以靶板上总的黑点数除以靶板上总的黑点数N，得到的百分比，得到的百分比N/N就是黑点处于就是黑点处于x 到到x+x范围内这一范围内这一窄条的概率。窄条

21、的概率。然后以然后以 N / (N x )为纵坐标，以为纵坐标，以 x 为横坐标，画出一根根柱状为横坐标，画出一根根柱状条形。条形。则每个柱形的高度为则每个柱形的高度为 N / (N x )，宽度为，宽度为 x，则竖条面积为，则竖条面积为N/N，就是子弹处在，就是子弹处在x 到到x+x内所占的百分比，即概率内所占的百分比，即概率这样的图就叫这样的图就叫直方图直方图若令若令 x0 ，就得到一条连续曲线，这时的纵坐标，就得到一条连续曲线，这时的纵坐标 f (x )称为称为黑点沿黑点沿 x 方向分布的概率密度函数，表示黑点沿方向分布的概率密度函数，表示黑点沿x方向的相对方向的相对密集程度。密集程度。

22、而黑点处在处于而黑点处在处于x到到x+dx范围内的概率为：范围内的概率为： f（x）dx由积分的面积意义知，黑点处于由积分的面积意义知，黑点处于x1到到x2范围内的概率为：范围内的概率为： dxxfxx)(211)(dxxf显然，黑点处在显然，黑点处在0到无穷大的到无穷大的概率为：概率为：此即归一化条件此即归一化条件类似地，如果是二维情况，可再把靶板沿类似地，如果是二维情况，可再把靶板沿y方向划分为若干宽方向划分为若干宽为为 y 的窄条的窄条,数出每一窄条中的黑点数，数出每一窄条中的黑点数，求出求出 f ( y )= N /（N y），并令），并令 y0 可得到黑点处于可得到黑点处于y到到y+

23、dy范围内的概率为范围内的概率为f（y）dy。显然，黑点处于显然，黑点处于x到到x+dx，y到到y+dy范围内的概率就是图中打上范围内的概率就是图中打上斜线的范围内的黑点数与总黑点数之比。斜线的范围内的黑点数与总黑点数之比。f（x，y）称为黑点沿平面位置的概率密度分布函数，它表示在）称为黑点沿平面位置的概率密度分布函数，它表示在这一区域内黑点相对密集的程度。这一区域内黑点相对密集的程度。f (x，y)dxdy称为沿平面位置的概率分布函数称为沿平面位置的概率分布函数要求出处于要求出处于x1到到x2、y1 到到y2内的概率，内的概率，则对则对x、y积分积分:22221111( , )( )( )y

24、xyxyxyxf x y dxdyf y dyf x dx有了概率分布函数就可求平均值。有了概率分布函数就可求平均值。例如，黑点的例如，黑点的x方向坐标偏离靶心（方向坐标偏离靶心（x=0）的平均值为）的平均值为:x的某一函数的某一函数F（x）的平均值为）的平均值为:dxxxfx)(dxxfxFxF)()()( dxdyyxfyxgyxg),(),(),(对于处在确定平衡态系统的分子：平均速率恒定。对于处在确定平衡态系统的分子：平均速率恒定。但实际上：分子速率取各种大小的都有。但实际上：分子速率取各种大小的都有。且同一分子在不同时间速率也会变化。且同一分子在不同时间速率也会变化。不过，对于处在确

25、定平衡态的分子，虽然每个分子在某一瞬时不过，对于处在确定平衡态的分子，虽然每个分子在某一瞬时的速度大小、方向都在随机地变化着，但是大多数分子之间存的速度大小、方向都在随机地变化着，但是大多数分子之间存在一种统计相关性，在一种统计相关性，这种统计相关性表现为：这种统计相关性表现为：平均说来气体分子的速率（指速度的大小）介于平均说来气体分子的速率（指速度的大小）介于 v 到到v + dv 的的概率（即速率分布函数）是不会改变的概率（即速率分布函数）是不会改变的 早在早在1859年，英国物理学家麦克斯韦利用平衡态理想气体分子年，英国物理学家麦克斯韦利用平衡态理想气体分子在三个方向上作独立运动的假设导

26、出了麦克斯韦速率公布，其在三个方向上作独立运动的假设导出了麦克斯韦速率公布，其表达式如下：表达式如下：dvvekTmdvvfkTmv222/32)2(4)(其中其中k为玻尔兹曼为玻尔兹曼常量(Boltzmann constant)，m、T分别为分别为分子质量和温度子质量和温度.图右图右阴影面积表示：阴影面积表示：分子速率介于分子速率介于v1 到到 内分子数与总分子数之比，其数值应该内分子数与总分子数之比，其数值应该从下面的积分求出：从下面的积分求出： dvvkTmvkTmdvvf222/32exp)2(4)(dvvkTmvkTmdvvfvv222/32exp)2(4)(11图左图左斜条狭长区域

27、面积表示：斜条狭长区域面积表示：速率介于速率介于v到v + dv分子数与总分子数之比，此即麦克斯韦速率分子数与总分子数之比，此即麦克斯韦速率分布分布:计算积分时，可利用附录计算积分时，可利用附录2-1中的积分公式：中的积分公式：2/32204)exp(adxxax124)2(4)(2/32/30mkTkTmdvvfdvvkTmvkTmdvvf222/3002exp)2(4)(并令并令 = m/2kT ，则：则：说明麦克斯韦速率分布是归一化的。说明麦克斯韦速率分布是归一化的。一些定积分公式：一些定积分公式：2022200( )exp() ;(2)exp()exp()( )nnnI nxx dxI

28、 nxxdxxx dxI n1/221/2012101(0)exp() ;21(1)exp()2IydyIyydy关于麦克斯韦分布说明几点：关于麦克斯韦分布说明几点：（1）麦克斯韦分布适用于麦克斯韦分布适用于平衡态平衡态的气体。在平衡状态下气体分的气体。在平衡状态下气体分子密度子密度n及气体温度都有确定数值，故其速率分布也是确定的，及气体温度都有确定数值，故其速率分布也是确定的，它仅是分子质量及气体温度的函数，它仅是分子质量及气体温度的函数，其分布曲线随分子质量或温度的变化趋势示于图。其分布曲线随分子质量或温度的变化趋势示于图。（2）因为因为v2是一增函数，是一增函数，exp(-mv2/2kT

29、)是一减函数，增函数与是一减函数，增函数与减函数相乘得到的函数将在某一处取极值。此极大值所对应的减函数相乘得到的函数将在某一处取极值。此极大值所对应的速率为速率为最概然速率最概然速率（也称最可几速率），以（也称最可几速率），以vp表示。表示。(3) 麦克斯韦分布本身是统计平均的结果，会有涨落。但当粒子麦克斯韦分布本身是统计平均的结果，会有涨落。但当粒子数为大数时，其相对均方根偏差可以忽略。数为大数时，其相对均方根偏差可以忽略。(4) 记住麦克斯韦速率分布的函数形式为：记住麦克斯韦速率分布的函数形式为： 由归一化可求由归一化可求(5) 量纲分析记公式量纲分析记公式:首先，首先， e 指数上量纲应

30、为指数上量纲应为1，而，而 mv2 / 2 与与 kT 均是能量的量纲均是能量的量纲其次，当其次，当 v 时，时，f（v）应趋于零，应趋于零，e 指数上应为负，由此可见指数上应为负，由此可见其指数因子为：其指数因子为：再次，概率函数应为无量纲，再次，概率函数应为无量纲，v2dv为为v的三次方量纲，因此系数的三次方量纲，因此系数A呈呈v -3量纲。量纲。而而v2 量纲与量纲与 2kT /m 的量纲相同，所以的量纲相同，所以A中应有中应有(m/ 2kT )3/2 因子因子。2/3)2(4kTmA22exp2mvAvkTkTmv2exp2理想气体分子的理想气体分子的平均速率平均速率、均方根速率均方根

31、速率、最概然速率最概然速率平均速率：平均速率：(2) (2) 均方根速率：均方根速率：(3) (3) 最概然速率最概然速率V Vp p : :三个速率均有此特征：三个速率均有此特征： m 越小或越小或 T 越大，三速率越大。越大，三速率越大。3/22300( )4exp2288mmmvvvf v dvvdvkTkTkTRTmM 220333rmsmkTkTRTvv f v dvvmmM结果与从结果与从 得到的完全相同。得到的完全相同。2/32/2kTmv( )22()0ppmdf vkTkTg vvdvmM（4 4）三种速率之比：三种速率之比： 224. 1:128. 1:13:/8:2:2v

32、vvp它们三者之间相差不超过它们三者之间相差不超过23%，而以均方根速率为最大，而以均方根速率为最大在在1.6理想气体分子碰撞数及理理想气体分子碰撞数及理想气体压强公式证明中曾用到近似想气体压强公式证明中曾用到近似条件：条件：2vv 224. 1:128. 1:1:2vvvp1.224 1.1281.085rmsvv 其偏差仅其偏差仅8.5%，比较小，但处理简单，比较小，但处理简单有关例题：有关例题：例例1 试求氮分子及氢分子在标准状况下的平均速率。试求氮分子及氢分子在标准状况下的平均速率。解解：（1）氮分子平均速率）氮分子平均速率（2）氢分子平均速率）氢分子平均速率 11sm454sm028

33、. 014. 327331. 888mMRTv13sm1070.1v以上计算表明，除很轻的元素如氢、氦之外，其它气体以上计算表明，除很轻的元素如氢、氦之外，其它气体的平均速率一般为数百米的数量级的平均速率一般为数百米的数量级例例2 试说明下列各式的意义：试说明下列各式的意义：例例3 如图所示为麦克斯韦速率分布曲线，图中如图所示为麦克斯韦速率分布曲线，图中A、B两部分面两部分面积相等，问积相等，问V0的含义。的含义。V0是不是表示平均速率？是不是表示平均速率？211. ( ); 2.( ); 3.( )vvf v dvNf v dvNvf v dvV0AB此处，简单讲述本节第一部分的分子束速率分

34、布。德国物理学家此处，简单讲述本节第一部分的分子束速率分布。德国物理学家斯特恩（斯特恩（Sterm）最早于）最早于1920年做了分子射线束实验以测定分子年做了分子射线束实验以测定分子射线束中的分子速率分布曲线。射线束中的分子速率分布曲线。此处介绍朗缪尔（此处介绍朗缪尔（Langmuir）的实验）的实验Lv tvL显然，分子束中能穿过第一个凹槽的分子一般穿不过第二个凹槽显然，分子束中能穿过第一个凹槽的分子一般穿不过第二个凹槽，除非它的速率，除非它的速率v 满足如下关系：满足如下关系： 只要调节不同的旋转角速度只要调节不同的旋转角速度 ，就可以从分子束中选择出不同速，就可以从分子束中选择出不同速率

35、的分子来。率的分子来。更确切些说，因为凹槽有一定宽度，故所选择的不是恰好某一更确切些说，因为凹槽有一定宽度，故所选择的不是恰好某一速率大小，而是某一速率范围速率大小，而是某一速率范围v内的分子数。内的分子数。若在接收屏上安上能测出单位时间内透过的分子数若在接收屏上安上能测出单位时间内透过的分子数N的探测器的探测器，我们就可利用这种实验装置测出分子的速率从零到无穷大范，我们就可利用这种实验装置测出分子的速率从零到无穷大范围内的分布情况。围内的分布情况。与黑点在靶板上的分布相类似，我们以与黑点在靶板上的分布相类似，我们以N/Nv 为纵坐标（其中为纵坐标（其中N是单位时间内穿过第一个圆盘上的凹槽的总

36、分子数），是单位时间内穿过第一个圆盘上的凹槽的总分子数），以分子的速率以分子的速率v为横坐标作一图形，如图所示。为横坐标作一图形，如图所示。 图（图（a）中每一细长条的面积均表）中每一细长条的面积均表示单位时间内所射出的分子束中，示单位时间内所射出的分子束中，分子速率介于该速率区间的概率分子速率介于该速率区间的概率N/(N v) v 其中其中v = 10ms-1。在在v到到v+dv速率区间内的细长条的面积就表示分子速率介于速率区间内的细长条的面积就表示分子速率介于v 到到v+dv区间范围内的概率区间范围内的概率: 注意：分子束速率分布函数并不就是分子源中的麦克斯韦速率分注意：分子束速率分布函数

37、并不就是分子源中的麦克斯韦速率分布，为什么？见布，为什么？见P78NdvdNvF)( )F vdv当当v 0时，即得一条光滑的曲线，称为时，即得一条光滑的曲线，称为分子束速率分布曲线分子束速率分布曲线。其纵坐标为其纵坐标为 ，称为，称为分子束速率分布概率密度函数分子束速率分布概率密度函数。前面指出，麦克斯韦其实是先导出前面指出，麦克斯韦其实是先导出速度速度分布，然后再从速度分分布，然后再从速度分布得到布得到速率速率分布的。分布的。本节中介绍本节中介绍麦克斯韦速度分布，麦克斯韦速度分布，为了说明速度分布的含义，先为了说明速度分布的含义，先介绍介绍速度空间速度空间的概念。的概念。 （1）什么是）什

38、么是“速度空间速度空间”？以分子的速度沿以分子的速度沿x,y,z轴的投影分量轴的投影分量vx、vy、vz为坐标的坐标系称为坐标的坐标系称为直角坐标表示的为直角坐标表示的速度空间速度空间。注意：注意：速度空间是人们想像中的空间坐标，所描述的速度空间是人们想像中的空间坐标，所描述的不是不是分子分子的的空间位置空间位置，其中的矢量表示速度的大小与方向。，其中的矢量表示速度的大小与方向。（2) 什么叫速度空间中的什么叫速度空间中的“代表点代表点”？在速度空间中，在速度空间中，把分子的速度矢量表示出来，并且把所有分把分子的速度矢量表示出来，并且把所有分子速度矢量的起始点都平移到公共原点子速度矢量的起始点

39、都平移到公共原点O上。平移后，仅以上。平移后，仅以矢量箭头的端点表示这一矢量，而把矢量符号抹去。这样的矢量箭头的端点表示这一矢量，而把矢量符号抹去。这样的点称为代表点。如图中的点称为代表点。如图中的P点所示。点所示。 速度空间中代表点分布与靶板上靶点分布类似速度空间中代表点分布与靶板上靶点分布类似下中图，靶点位于下中图，靶点位于x 到到x+dx，y 到到y+dy范围内的概率为：范围内的概率为： f（x，y）dxdy其中其中dxdy为这一区域大小，为这一区域大小，f（x，y）是黑点分布的概率密度。是黑点分布的概率密度。在三维速度空间中，在在三维速度空间中，在vx 到到vx+dvx，vy 到到vy

40、+dvy，vz 到到vz+dvz区间内划出一个体积为区间内划出一个体积为dvxdvydvz的微分元，如图所示。的微分元，如图所示。数出在这微分元中的代表点的数目数出在这微分元中的代表点的数目dN（vx、vy、vz），），并把并把 zyxzyxzyxdvdvNdvvvvdNvvvf),(),(称为坐标为称为坐标为vx、vy、vz处的麦克斯韦速处的麦克斯韦速度分布概率密度，它表示在度分布概率密度，它表示在dvxdvydvz小小体积元中代表点的相对密集程度。体积元中代表点的相对密集程度。问问1：速度空间中处在厚为：速度空间中处在厚为dvx 无限大平板中的概率？无限大平板中的概率？ 即：即：N个分子中

41、速度个分子中速度x分量落在分量落在vx 到到vx+dvx范围内而范围内而vy ,vz 在任在任意范围内的分子数意范围内的分子数 dN（vx）是多少？是多少？在速度空间中划出一个垂直于在速度空间中划出一个垂直于vx轴的厚度为轴的厚度为dvx的无穷大平板的无穷大平板，如图所示。，如图所示。不管速度的不管速度的y、z分量如何，只要速度分量如何，只要速度x分量在分量在vx 到到vx+dvx范围范围内，则所有这些分子的代表点都落在此很薄的无穷大平板中内，则所有这些分子的代表点都落在此很薄的无穷大平板中设此无穷大平板中代表点的数目为设此无穷大平板中代表点的数目为dN（vx），），则则dN（vx）/N 表表

42、示速度处于示速度处于vx 到到vx+dvx而而vy、vz为任意值范围内的分子所占的概为任意值范围内的分子所占的概率。率。这一概率与板的厚度这一概率与板的厚度dvx成比例，令：成比例，令： dN（vx）/N = f(vx)dvx称分子称分子x方向速度分量方向速度分量 概率分布函数概率分布函数同样可分别求出垂直于同样可分别求出垂直于vy轴及轴及vz轴的无穷大薄平板中代表点数轴的无穷大薄平板中代表点数dN（vy）及及 dN（vZ）,则有：则有：dN（vy）/N = f(vy)dvy dN（vz）/N = f(vz)dvz分别表示分别表示y及及z方向速度分量的方向速度分量的 概率分布函数概率分布函数。

43、根据分子混沌性假设，分子速度没有择优取向，故：根据分子混沌性假设，分子速度没有择优取向，故： f（vx）、）、f（vy）、）、f（vz）应具有相同形式。应具有相同形式。问问2：速度空间中处在截面积为：速度空间中处在截面积为dvx dvy的无穷长方条中的概率的无穷长方条中的概率 即：分子速率介于即：分子速率介于vx 到到vx+dvx，vy 到到vy+dvy，而而vz在任意范围在任意范围内的分子数内的分子数 dN（vx，vy）是多少？是多少？显然这些分子的代表点都落在一根平行于显然这些分子的代表点都落在一根平行于vz轴、截面积为轴、截面积为dvx dvy的无穷长的方条中。的无穷长的方条中。 因为分

44、子落在垂直于因为分子落在垂直于dvx轴的平板内的概率是轴的平板内的概率是f（vx）dvx，分子分子落在垂直于落在垂直于vy轴的平板内的概率是轴的平板内的概率是f（vy）dvy由相互独立的同时事件概率相乘法则可知，分子落在方柱体内由相互独立的同时事件概率相乘法则可知，分子落在方柱体内的概率为方柱体内代表点数的概率为方柱体内代表点数dN（vx，vy）与总分子数与总分子数N的比值的比值： NvvdNdvvfdvvfyxyyxx),()()(即：分子速度分量处于即：分子速度分量处于vx 到到vx+dvx，vy 到到vy+dvy，vz 到到vz+dvz范范围内的概率是多少？围内的概率是多少？平板与柱体相

45、交截得一体积为平板与柱体相交截得一体积为dvxdvydvz的小立方体，计算出在的小立方体，计算出在小立方体中的代表点数小立方体中的代表点数dN（vx、vy、vz），而），而dN（vx、vy、vz）/N 就是所要求的概率就是所要求的概率因为因为vx ，vy，vz相互独立，故：相互独立，故： dN（vx、vy、vz）/N = f(vx)dvx f(vy)dvy f(vz)dvz 显然，速度分布概率密度显然，速度分布概率密度f（vx ，vy，vz）是分子分别按速度的是分子分别按速度的x、y、z方向分量分布的概率密度方向分量分布的概率密度f(vz)、f(vy)、f(vz)的乘积。的乘积。分子处于速度空

46、问任一微小范围分子处于速度空问任一微小范围dvxdvydvz内的概率是内的概率是f（vx ，vy，vz）与与dvxdvydvz的乘积。的乘积。 问问3：速度空间中处在体积为：速度空间中处在体积为dvx dvy dvz中的概率中的概率 麦克斯韦最早用概率统计的方法导出了理想气体分子的速度分麦克斯韦最早用概率统计的方法导出了理想气体分子的速度分布，这一分布可表示为：布，这一分布可表示为：3/2222()( ,)exp22xyzxyzxyzxyzm vvvmf v v v dv dv dvdv dv dvkTkTiiiidvkTmvkTmdvvf2exp2)(22/1因为因为f（vx ，vy，vz)

47、= f(vx)dvxf(vy)dvyf(vz)dvz ，故麦克故麦克斯韦速度分布在速度分量上的表达式为：斯韦速度分布在速度分量上的表达式为：其中其中i 可分别代表可分别代表x、y、z。若要求出分子速度在若要求出分子速度在vx 到到vx+dvx内，而内，而vy，vz任意的分子数任意的分子数dN(vx),则需要对则需要对vy、vz全空间积分：全空间积分： zzyyxxxdvvfdvvfdvvNfvdN)()()()(1/2()exp()22xxmvmNdvkTkT221/21/2()exp()exp2222yzyzmvmvmmdvdvkTkTkTkTxxxxxdvkTmvkTmNvdNdvvf2e

48、xp)2()()(22/1利用定积分公式可知上式中的两个积分都是利用定积分公式可知上式中的两个积分都是1，因此可得：，因此可得：这就是前面我们得到的结论。这就是前面我们得到的结论。速度分量速度分量x的分布曲线如图所示：的分布曲线如图所示：xxxxxdvkTmvkTmNvdNdvvf2exp)2()()(22/1曲线关于纵轴对称。图上斜线部分的面积即为分子速度沿曲线关于纵轴对称。图上斜线部分的面积即为分子速度沿x方向方向的分量在的分量在vx 到到vx+dvx，而，而vyvz任意的分子出现的概率：任意的分子出现的概率：注意：麦克斯韦速度分布律推导过程中注意：麦克斯韦速度分布律推导过程中没有考虑气体

49、分子间的没有考虑气体分子间的相互作用相互作用，故它仅适用于平衡态的理想气体。，故它仅适用于平衡态的理想气体。思考：思考：分子质量为分子质量为m温度为温度为T的气体处的气体处于热平衡，试求：于热平衡，试求：22, xxvvv詹姆斯詹姆斯克拉克克拉克麦克斯韦：麦克斯韦：（James Clerk Maxwell）台台譯馬譯馬克士威，克士威，1831年年6月月13日日1879年年11月月5日日），英国理论），英国理论物理学家和数学家。经典电动物理学家和数学家。经典电动力学的创始人，统计物理学的力学的创始人，统计物理学的奠基人之一。麦克斯韦被普遍奠基人之一。麦克斯韦被普遍认为是对二十世纪最有影响力认为是

50、对二十世纪最有影响力的十九世纪物理学家。他对基的十九世纪物理学家。他对基础自然科学的贡献仅次于艾萨础自然科学的贡献仅次于艾萨克克牛顿、艾尔伯特牛顿、艾尔伯特爱因斯坦。爱因斯坦。1931年，爱因斯坦在麦克斯韦年，爱因斯坦在麦克斯韦百年诞辰的纪念会上，评价其百年诞辰的纪念会上，评价其建树建树“是牛顿以来，物理学最深是牛顿以来，物理学最深刻和最富有成果的工作。刻和最富有成果的工作。”（一）相对于（一）相对于 vp的的速度速度分量分布分量分布令令ux= vx/ vp，vp=(2KT/m)1/2为最概然速率，则上式可以变换为：为最概然速率，则上式可以变换为：xxxxxdvkTmvkTmNvdNdvvf2

51、exp)2()()(22/1xxxxxduuNudNdvvf)exp(1)()(20200(0)()1()()exp()xxxvxxvuxxxxNvdN vNNf vdvudu三、相对于三、相对于vp 的的速度分量速度分量分布与分布与速率速率分布分布 误差函数误差函数 若要求出分子速度若要求出分子速度x分量小于某一数值的所有分子数所占的比分量小于某一数值的所有分子数所占的比率，则可对上式积分：率，则可对上式积分：在概率论和数理统计中，定义下式为误差函数在概率论和数理统计中，定义下式为误差函数erf(x)：它的数值可以查表：它的数值可以查表：xdxxxerf02)exp()2()(注意：注意：将

52、速度分量表示成相对于最概然速率的形式，可以得将速度分量表示成相对于最概然速率的形式，可以得到无量纲的误差函数。到无量纲的误差函数。误差函数有表可查，这样有利于在实际中处理数据误差函数有表可查，这样有利于在实际中处理数据解解 首先求出首先求出273 K时氮气分子（摩尔质量时氮气分子（摩尔质量Mm=0.028 kg）的）的最概然速率：最概然速率：14022smMRTvmp2402800pxxvvu2022)2()exp()1()0(erfduuNvNxxx例例2.2 试求在标准状态下氮气分子速度的试求在标准状态下氮气分子速度的x分量小于分量小于800ms-1的的分子数占全部分子数的百分比分子数占全

53、部分子数的百分比.由表由表2.1查得查得erf（2）=0.995，故这种分子所占百分比为，故这种分子所占百分比为=49.8% 。 （二）相对于（二）相对于vp的麦克斯韦的麦克斯韦速率速率分布分布 若令若令 ，可将麦克斯韦速率分布表示为：，可将麦克斯韦速率分布表示为：duuuNdNu22)exp()4()exp()2()()0(2uuuerfNvNpvuv利用分步积分，可求得在利用分步积分，可求得在0 到到 v 范围内的分子数为范围内的分子数为 ：例：问速率在区间例：问速率在区间vp到到1.01vp内的分子数占总分子数的比率内的分子数占总分子数的比率？（一）、用极坐标表示射击点分布（一）、用极坐

54、标表示射击点分布由于由于速率是速度矢量的大小速率是速度矢量的大小，因此我们，因此我们用极坐标来表示射击点的分布。用极坐标来表示射击点的分布。若用相等的若用相等的r为间隔，在靶板上画出很为间隔，在靶板上画出很多个同心圆，数出每个圆环中的黑点数多个同心圆，数出每个圆环中的黑点数N。以以N/N r 为纵坐标，为纵坐标，r为横坐标画出为横坐标画出竖条，如右图所示。竖条，如右图所示。令令r 0，得到光滑曲线，它表示离靶，得到光滑曲线，它表示离靶心不同距离处存在黑点的概率心不同距离处存在黑点的概率（二）、气体分子的速率分布（二）、气体分子的速率分布所有分子速率介于所有分子速率介于v到到v+dv 范围内的分

55、子的代表点都落在以原范围内的分子的代表点都落在以原点为球心、点为球心、v 为半径、厚度为为半径、厚度为dv的一的一 薄层球壳中，如图所示。薄层球壳中，如图所示。根据分子混沌性假设，气体分子速度没有择优取向，在各个方根据分子混沌性假设，气体分子速度没有择优取向，在各个方向上应该是等概率的，说明代表点的数密度向上应该是等概率的，说明代表点的数密度D 是球对称的，是球对称的，D 仅是离开原点的距离仅是离开原点的距离v的函数。的函数。设代表点的数密度为设代表点的数密度为D（v），在球壳内的代表点数），在球壳内的代表点数dNv应是应是D（v）与球壳体积的乘积）与球壳体积的乘积 dvvvDdNv24)(在

56、麦克斯韦速度分布中已指出，在速度空间中，在速度分量在麦克斯韦速度分布中已指出，在速度空间中，在速度分量vx、vy、vz附近的代表点数密度是附近的代表点数密度是 N f（vx、vy、vz），即此处的），即此处的D（v），故有：），故有： 将上式代入将上式代入 ，可以得到，可以得到这就是书上的这就是书上的Eq.(2.13) 麦克斯韦速率分布麦克斯韦速率分布. )2exp()2()(22/3kTmvkTmNdvdvdvdNvDzyxvdvvvDdNv24)(dvvkTmvkTmNdNv222/3)2exp()2(4dvvkTmvkTmdvvfNdNv222/3)2exp()2(4)(按照分子混沌性假

57、设，处于平衡态的气体其分子数密度按照分子混沌性假设，处于平衡态的气体其分子数密度n应处处应处处相等，但这仅在相等，但这仅在 无外力场无外力场 条件下成立。条件下成立。如果分子受到重力场、电磁场等作用，气体分子数密度将会有如果分子受到重力场、电磁场等作用，气体分子数密度将会有一定的空间分布一定的空间分布真实大气的运动千变万化，因而大气压强的变化也十分复杂。真实大气的运动千变万化，因而大气压强的变化也十分复杂。为研究方便，现假设大气是为研究方便，现假设大气是等温的且处于平衡态等温的且处于平衡态，则大气压强，则大气压强如何随高度变化如何随高度变化？（一）等温大气压强公式（一）等温大气压强公式考虑在大

58、气垂直高度上考虑在大气垂直高度上z到到z + dz，面积为，面积为A 的一薄层气体，该气体受力平衡的条件是：的一薄层气体，该气体受力平衡的条件是：gdzpdppzdzz gAdzzAdppAp)()(gdzzdp)(利用理想气体状态方程利用理想气体状态方程PVm=RT和物体的密度公式可得和物体的密度公式可得=Mm /Vm=pMm/RT ，代入，代入dp = - (z)gdz=-(pMm/RT)gdz=-(pmNA/RT)gdz =-(pm/kT)gdz ,得：得：dp/p=-mg/(kT)dz，即：，即：此处假设大气温度处处相等，重力加速度此处假设大气温度处处相等，重力加速度g不随高度变。其中

59、不随高度变。其中p（0）及）及p（z）分别为高度）分别为高度 0 及及 z 处大气压强，记住处大气压强，记住m/k=Mm/R。由由p=nkT，可把上式改写为气体分子数密度随高度分布的公式：，可把上式改写为气体分子数密度随高度分布的公式：)exp()0()(RTgzMnznm()(0)0p zzpdpmgdzpkT )exp() 0()(RTgzMpzpmgdzzdp)(二二)等温大气标高等温大气标高此此H称为等温大气标高。称为等温大气标高。物理含义：物理含义： （1）在高度）在高度z = H 处的大气压强为处的大气压强为z = 0处大气压强的处大气压强的 1/e=0.37倍。倍。（2）如果把所

60、有大气分子都压缩为环绕地球表面且密度与海如果把所有大气分子都压缩为环绕地球表面且密度与海平面处平面处(z=0)密度相等的一层均匀大气层，则这一层大气的厚密度相等的一层均匀大气层，则这一层大气的厚度就是度就是H（为什么？）。（为什么？）。对于地球上的大气而言，常温下对于地球上的大气而言，常温下T=300K，估算一下，估算一下H= RT/Mmg的值大约是的值大约是8.8千米千米mRTk THMgm g因指数上量纲为因指数上量纲为1，故，故 中的中的RT/Mmg 具有高度的具有高度的量纲。量纲。定义物理量定义物理量H：)exp(RTgzMm注意：注意：1.前面的计算都基于不同高度处，大气温度处处相等