第七节 方向导数及梯度

1、1方向导数概念与计算公式方向导数概念与计算公式梯度概念与计算梯度概念与计算小结小结 思考题思考题 作业作业directional derivative and gradient第七节第七节 方向导数与梯度方向导数与梯度数量场与向量场的概念数量场与向量场的概念2 x y 1. 方向导数的定义方向导数的定义 设有二元函数设有二元函数),(yxfz l P 沿任何方向的变化率沿任何方向的变化率 考虑函数在某点考虑函数在某点射线是指有方向的半直线射线是指有方向的半直线, lP发发出出的的一一条条射射线线由由点点方方向向上上取取附附近近于于在在点点lyxP),(),(yyxxP 一一点点.| PP记记即

2、即,)()(22yx 一、方向导数概念与计算公式一、方向导数概念与计算公式方向导数与梯度方向导数与梯度 xyOP3定义定义 如果极限如果极限 )()(limPfPfPP ),(),(lim0yxfyyxxf 存在存在,则将这个极限值称为函数则将这个极限值称为函数在点在点,的方向导数的方向导数沿方向沿方向lP记为记为,lf 即即 ),(),(lim0yxfyyxxflf 注注方向导数是函数沿半直线方向的变化率方向导数是函数沿半直线方向的变化率.方向导数与梯度方向导数与梯度 y l P x xyOP4xyzO2. 方向导数的几何意义方向导数的几何意义),(yxfz 设设的几何意义为曲面的几何意义为

3、曲面,当限制当限制自变量沿方向自变量沿方向l变化时变化时,对应的空间点对应的空间点),(zyx形成过形成过l的铅垂平面与曲面的交线的铅垂平面与曲面的交线,这条交线在点这条交线在点M有一条有一条记此半切线与方向记此半切线与方向l的夹角为的夹角为, 则由方向导数的则由方向导数的.tan lf半切线半切线,定义得定义得MlP 方向导数与梯度方向导数与梯度5 ),(),(lim0yxfyyxxflf 一定为正一定为正!xyxfyxxfxfx ),(),(lim0是函数在某点沿是函数在某点沿任何方向任何方向的变化率的变化率.方向导数方向导数偏导数偏导数yyxfyyxfyfy ),(),(lim0 分别是

4、函数在某点沿分别是函数在某点沿平行于坐标轴平行于坐标轴的直线的直线x、y可正可负！可正可负！的变化率的变化率.注注方向导数与梯度方向导数与梯度6事实上事实上,xyxfyxxfifx ),(),(lim0 ),(yxfx 的方向导数存在的方向导数存在,事实上事实上,yyxfyyxfjfy ),(),(lim0 ),(yxfy ),(yxf当函数当函数( , )( , )f x yP x yx函数在点沿 轴正向)0 , 1( 1e.xf且且值值为为同理同理,轴正向轴正向沿沿在点在点函数函数yyxPyxf),(),(2e)1 , 0( 的方向导数存在的方向导数存在,.yf且且值值为为yxffyxP,

5、),(的偏导数的偏导数在点在点方向导数与梯度方向导数与梯度存在时存在时,7 if jfxyxfyxxfx ),(),(lim0yyxfyyxfy ),(),(lim0),(yxfx )1, 0( ).,(yxfy 轴负向轴负向沿沿在点在点函数函数xyxPyxf),(),()0 , 1( 轴负向轴负向沿沿在点在点函数函数yyxPyxf),(),(方向导数与梯度方向导数与梯度问:反之反之,ifif 或或当当存在时存在时,xf 是否是否一定存在一定存在 jfjf或或 yf8方向导数与梯度方向导数与梯度例如例如, 函数函数处处在点在点)0, 0(22yxz 沿方向沿方向il 的方向导数的方向导数 ),

6、(),(lim0yxfyyxxflf iflf, 1lim0 xxx 但但 xf,|lim0 xxx 不存在不存在.即即z在在(0, 0)点的偏导数不存在点的偏导数不存在.|00)(lim220|xxx xxx 00)(lim220 xyxfyxxfxfx ),(),(lim0 xzxx 0lim9证证 由于函数由于函数可微可微, ),(),(yxfyyxxf得到得到3. 关于方向导数的存在及计算公式关于方向导数的存在及计算公式 充分条件充分条件定理定理.coscos yfxflf 处处在在点点设设),(),(yxPyxfz ,导数都存在导数都存在的方向的方向在该点沿任意指定方向在该点沿任意指

7、定方向 l可微可微,则函数则函数且且.的的夹夹角角轴轴正正向向轴轴、与与分分别别为为方方向向、其其中中yxl 则增量可表示为则增量可表示为)( oyyfxxf 两边同除以两边同除以, 方向导数与梯度方向导数与梯度10 cos cos ),(),(yxfyyxxf故有方向导数故有方向导数 ),(),(lim0yxfyyxxf .coscos yfxf lf ),(),(yxfyyxxf)( oyyfxxf )(oyyfxxf 方向导数与梯度方向导数与梯度 y l P x xyOP11注注 coscosyfxflf ,cos,cos方向的方向余弦方向的方向余弦为为其中其中l ,的的单单位位向向量量

8、l即为即为(1)(2)计算方向导数只需知道计算方向导数只需知道l 的方向及函数的的方向及函数的偏导数偏导数.方向导数与梯度方向导数与梯度在定点在定点),(000yxP的方向导数为的方向导数为(3).coscos000 PPPyfxflf (4) 关系关系方向导数存在方向导数存在偏导数存在偏导数存在可微可微.0的方向角的方向角是是，、lp p 12例例 考虑函数考虑函数 定点定点P0(3,1), P1(2,3).求求函数在函数在 P0沿沿 方向的方向导数方向的方向导数. 解解 54203 Pyx,23yxz 10PP 0Pxz,273022 Pyx 0Pyz5|10 PP,51cos 52cos

9、 0Plz5815254)51(27 coscos000PPPyfxflf ),2 , 1( 10PP方向导数与梯度方向导数与梯度13解解 )1 , 1(lf由方向导数的计算公式知由方向导数的计算公式知 sin)2(cos)2()1 , 1()1 , 1(xyyx (1) 最大值最大值;(2) 最小值最小值; (3) 等于零等于零?并问在怎样的方向上此方向导数有并问在怎样的方向上此方向导数有沿沿与与在在点点求求函函数数)1 , 1(),(22yxyxyxf 例例.的方向导数的方向导数的方向射线的方向射线轴方向夹角为轴方向夹角为与与lx sin)1 , 1(cos)1 , 1(yxff sinc

10、os )4sin(2p p 方向导数与梯度方向导数与梯度 coscos000PPPyfxflf cos)1 , 1(cos)1 , 1(yxff 14故故 sincos )4sin(2p p )1 , 1(lf)1(方向导数达到最大值方向导数达到最大值;2)2(方向导数达到最小值方向导数达到最小值;2 43p p 当当,47时时p p 方向导数等于方向导数等于. 0,4时时当当p p ,45时时当当p p )3(和和(1) 最大值最大值; (2) 最小值最小值; (3) 等于零等于零?问在怎样的方向上此方向导数有问在怎样的方向上此方向导数有方向导数与梯度方向导数与梯度15方向导数与梯度方向导数

11、与梯度求求函数函数 在点在点P( 2, 3 )沿曲线沿曲线223yyxz 12 xy朝朝x增大方向的方向导数增大方向的方向导数. .用参数方程表示为用参数方程表示为2)2,1( xx )3,2(Plz它在点它在点P 的的切向量为切向量为 )3,2(6Pxy)3, 2(2)23(Pyx )4,1( 174cos 1 解解xx 12 xy171 174 coscos000PPPyfxflf 2)3 , 2(P 3将已知曲线将已知曲线xyO,171cos 1760 16lf 推广可得三元函数方向导数的定义推广可得三元函数方向导数的定义对于三元函数对于三元函数),(zyxfu 它在空间一点它在空间一点

12、),(zyxPl沿着方向沿着方向的方向导数的方向导数, 可定义为可定义为 ),(),(lim0zyxfzzyyxxf )()()(222zyx 其其中中方向导数与梯度方向导数与梯度,cos x,cos y,cos z ,的的方方向向角角为为设设方方向向l同理同理,当函数在此点当函数在此点可微可微时时,那末函数在该点那末函数在该点沿任意方向沿任意方向l的方向导数都存在的方向导数都存在,且有且有 coscoscoszfyfxflf )cos,cos,(cos 其其中中是是l的方向向量的方向向量.17解解 令令632),(222 zyxzyxF, 44 PPxxF, 66 PPyyF22 PPzzF

13、故故),(zyxFFFn ),2, 6, 4( ,142264222 n其方向余弦为其方向余弦为1991年研究生考题年研究生考题, 计算计算,5分分zyxu2286 求求函函数数例例.的的方方向向导导数数点点处处沿沿方方向向在在nP方向导数与梯度方向导数与梯度,142cos ,143cos .141cos )1 , 1 , 1(632222Pzyxn在点在点是曲面是曲面设设 ,处指向外侧的法向量处指向外侧的法向量18,142cos ,143cos .141cos PPyxzxxu22866 ;146 PPyxzyyu22868 ;148 PPzyxzu22286 .14 PPzuyuxunu)

14、coscoscos( .711 故故zyxu2286 函数函数)1 , 1 , 1(P方向导数与梯度方向导数与梯度19练习练习求函数求函数 在点在点 处处沿沿222zyxxu 解解切线方向的方向向量切线方向的方向向量,91cos ,94cos ,98cos ,278 Mxu.24316 422,2,tztytx )2, 2 , 1( M)8, 4 , 1( ,272 Myu272 Mzu Mlu coscoscoszfyfxflf 在此在此点的切线方向上点的切线方向上方向导数与梯度方向导数与梯度曲线曲线的方向导数的方向导数.201996年研究生考题年研究生考题, 填空填空,3分分指指向向点点沿

15、沿点点函函数数)1 , 0 , 1()ln(22Azyxu ).()2 , 2, 3(方方向向的的方方向向导导数数为为 B21解解 此此方向的方向向量为方向的方向向量为).1 , 2, 2( ,32cos ,32cos ,31cos ,21 Axu, 0 Ayu,21 Azu Alu.coscoscos zfyfxflf 方向导数与梯度方向导数与梯度.2121310)32(2132 21问题问题方向导数与梯度方向导数与梯度二、梯度概念二、梯度概念与计算与计算已知方向导数公式已知方向导数公式 coscosyfxflf yfxfG,lf :G方向：方向：模：模： )1| (0 l),cos(|0l

16、GG 方向一致时方向一致时, ,Gl与与当当0方向导数取最大值方向导数取最大值0lG |G maxf 变化率最大的方向变化率最大的方向f的最大变化率之值的最大变化率之值函数函数沿什么方向的方向导数为最大沿什么方向的方向导数为最大),(yxfz (gradient)一个二元函数在给定的点处沿不同方向一个二元函数在给定的点处沿不同方向的方向导数是不一样的的方向导数是不一样的.)cos,(cos0 l22方向导数与梯度方向导数与梯度定义定义记作记作jyfixf 读作读作nable.).,(adrgyxf即即为函数为函数G称向量称向量 yfxfG,梯度梯度(gradient), ),(adrgyxf

17、yfxf,称为称为或或算子算子, ,或或向量微分算子向量微分算子. .f , jyix 引入算符引入算符哈米尔顿算子哈米尔顿算子, ,),(yxfz 设函数设函数),(yxP在在点点可偏导可偏导,),(yxfz 处处的的在在点点),(yxP利用梯度的概念利用梯度的概念, ,可将方向导数计算公式写成可将方向导数计算公式写成 coscosyfxflf )cos,(cos),(grad yxf23方向导数与梯度方向导数与梯度梯度的基本运算公式梯度的基本运算公式,0grad1. C0 CuCuC )()()()(vuvu ,gradgrad)(grad4.uvvuvu uufuf )()(,grad)

18、(grad2.uCuC ,gradgrad)(grad3.vuvu vuuvvu )(,grad)()(grad5.uufuf 24结论结论22| ),(grad| yfxfyxfxfyf tan,不为零时不为零时当当xf x轴到梯度的转角的正切为轴到梯度的转角的正切为函数在某点的函数在某点的梯度梯度是这样一个是这样一个向量向量,方向方向与取得与取得最大方向导数最大方向导数的方向一致的方向一致,它的它的而它的模而它的模为方向导数的最大值为方向导数的最大值.梯度的模为梯度的模为方向导数与梯度方向导数与梯度25),(yxfz 在几何上在几何上曲面被平面曲面被平面cz ,),( czyxfz所得曲线

19、在所得曲线在xOy面上投影是一条平面曲线面上投影是一条平面曲线等值线等值线),(gradyxf梯度为等值线上的法向量梯度为等值线上的法向量表示一个曲面表示一个曲面,所截得所截得方向导数与梯度方向导数与梯度如图如图:, Lcyxf ),(xyO1),(cyxf 2),(cyxf L P26 法线的斜率法线的斜率为为: xydd1 yxff1,xyff yfxf,为等值线上点为等值线上点P处的处的法向量法向量.所以所以梯度梯度事实上事实上,由于等值线由于等值线cyxf ),(上任一点上任一点处处的的),(yxP方向导数与梯度方向导数与梯度cyxf ),(等值线等值线xyO1),(cyxf 2),(

20、cyxf L P),(gradyxf27.),(gradkzfjyfixfzyxf 类似于二元函数类似于二元函数,此梯度也是一个向量此梯度也是一个向量,其其方向与取得最大方向导数的方向一致方向与取得最大方向导数的方向一致, 其模为其模为方向导数的最大值方向导数的最大值.梯度的概念可以推广到三元函数梯度的概念可以推广到三元函数三元函数三元函数),(zyxfu 在空间区域在空间区域G内内则对于每一点则对于每一点,),(GzyxP 都可定义一个向量都可定义一个向量(梯度梯度)具有一阶连续偏导数具有一阶连续偏导数,方向导数与梯度方向导数与梯度28类似地类似地,设曲面设曲面czyxf ),(为函数为函数

21、,),(的的等等量量面面zyxfu 此函数在点此函数在点),(zyxP的梯度的方向与过点的梯度的方向与过点P的等量面的等量面czyxf ),(在这点的法线的一个方向相同在这点的法线的一个方向相同,的等量面指向数值较高的等量面的等量面指向数值较高的等量面,等于函数在这个法线方向的方向导数等于函数在这个法线方向的方向导数.且从数值较低且从数值较低而梯度的模而梯度的模方向导数与梯度方向导数与梯度29解解),(gradzyxuz6故故)12, 2 , 5()2 , 1 , 1(grad u. 0例例)2 , 1 , 1(2332222在在点点求求函函数数yxzyxu 并问在哪些点处梯度为零并问在哪些点

22、处梯度为零? zfyfxfzyxf,),(grad)( , 32 x, 24 y处处梯梯度度为为在在 0 ,21,230P=0=0=0方向导数与梯度方向导数与梯度处的梯度处的梯度,30方向导数与梯度方向导数与梯度设设 可导可导, ,其中其中)(rf222zyxr ),(zyxP处向径处向径.)()(radg0rrfrf xrf )()(rf yrf)()( gradrf)(1)(kzjyixrrf rrrf)( rzrfzrf)()( 0)(rrf jyrf )(kzrf )(的模的模, ,r)(rf rP,)(ryrf ixrf )(试证试证证证例例为点为点222zyxx rxxr xyzO

23、31方向导数与梯度方向导数与梯度例例 设函数设函数 (1) 求出求出.),(yxeyxfz 沿什么方向具有最大的增长率沿什么方向具有最大的增长率, 2 ,21)0 , 2(QPPf到到处处沿沿从从在在点点方向的变化率方向的变化率. (2) )0 , 2(Pf在点在点最大增长率为多少最大增长率为多少?解解 (1) ).2,23( ,53cos ,54cos PQ方向的方向向量为方向的方向向量为 Pfgrad )0,2(lf. 154,53)2 , 1( ).2 , 1(),( Pyyxee)cos,(cos)0 , 2(grad f32方向导数与梯度方向导数与梯度沿什么方向具有最大的增长率沿什么

24、方向具有最大的增长率,(2) )0 , 2(Pf在点在点最大增长率为多少最大增长率为多少?解解 ),(yxf处处沿沿在在点点)0 , 2(P)2 , 1()0 , 2(grad f方向具有最大的增长率方向具有最大的增长率,最大的增长率为最大的增长率为:. 5| )0 , 2(grad| f即为即为梯度方向梯度方向. PlfmaxPf |grad|331992年研究生考题年研究生考题, 填空填空,3分分处处在点在点函数函数)2, 2 , 1()ln(222 Mzyxu).(dgra Mu的的梯梯度度)2, 2 , 1(92 解解MMzuyuxuu ,dgraMzyxzzyxyzyxx 22222

25、22222,2,2).2, 2 , 1(92 方向导数与梯度方向导数与梯度34方向导数与梯度方向导数与梯度函数函数数量场数量场 ( (数性函数数性函数) )场场向量场向量场( (矢性函数矢性函数) )可微函数可微函数梯度场梯度场( (势势) )( ( 势场势场 ) )如如: : 温度场温度场, ,电位场电位场, ,密度场密度场等等如如: : 力场力场, ,速度场等速度场等三、数量场与向量场的概念三、数量场与向量场的概念)(Pu( (物理量的分布物理量的分布) )(gradPu35例例,),(222222czbyaxzyxu 已已知知数数量量场场.),(的梯度方向的方向导数的梯度方向的方向导数求沿求沿zyxu解解 zfyfxfu,grad 2222,2,2czbyax其方向余弦为其方向余弦为4242422cosczbyaxax 4242422cosczbyaxby 4242422cosczbyaxcz 方向导数与梯度方向导数与