第8章 刚体基本运动

1、理论力学电子教程理论力学电子教程第八章第八章 刚体的基本运动刚体的基本运动例例7-6理论力学电子教程理论力学电子教程第八章第八章 刚体的基本运动刚体的基本运动 本章研究刚体的两种基本运动，即本章研究刚体的两种基本运动，即刚体的平行移动刚体的平行移动和和绕绕固定轴转动固定轴转动，它们是研究刚体复杂运动的基础。，它们是研究刚体复杂运动的基础。 一、刚体的平行移动一、刚体的平行移动 在运动过程中，若刚体上任一直线与其初始位置始终保在运动过程中，若刚体上任一直线与其初始位置始终保持平行，这种运动称为持平行，这种运动称为刚体的平行移动刚体的平行移动，简称，简称平移平移或或移动移动。例如，电梯的升降运动，

2、在直线轨道上行驶的列车车厢的运例如，电梯的升降运动，在直线轨道上行驶的列车车厢的运动，振动筛筛子运动，汽缸活塞的运动等都是平行移动。动，振动筛筛子运动，汽缸活塞的运动等都是平行移动。 1.刚体平移的定义刚体平移的定义理论力学电子教程理论力学电子教程第八章第八章 刚体的基本运动刚体的基本运动理论力学电子教程理论力学电子教程第八章第八章 刚体的基本运动刚体的基本运动理论力学电子教程理论力学电子教程第八章第八章 刚体的基本运动刚体的基本运动2.刚体平移的特点刚体平移的特点)0dd( dd)(ddddttttABAAABABBrvrrrrvABABrrrAAABABBtttarrrra222222dd

3、)(dddd :同理如图所示，由刚体平移的定义，rAB为常矢量。平移刚体在任一瞬时速度、加速度都一样，各点的运动轨迹平移刚体在任一瞬时速度、加速度都一样，各点的运动轨迹形状相同。形状相同。即即平移刚体的运动可以简化为一个点的运动平移刚体的运动可以简化为一个点的运动。理论力学电子教程理论力学电子教程第八章第八章 刚体的基本运动刚体的基本运动例例8 8-1-1 荡木用两条等长的钢索平行吊起，如图所示。钢索长荡木用两条等长的钢索平行吊起，如图所示。钢索长为长为长l，长度单位为长度单位为m。当荡木摆动时钢索的摆动规律当荡木摆动时钢索的摆动规律为为 ，其中，其中 t 为时间，单位为为时间，单位为s；转角

4、转角0的单位为的单位为rad，试求当试求当t=0和和t=2 s时，荡木的中点时，荡木的中点M的速度和加速度。的速度和加速度。t4sin0M理论力学电子教程理论力学电子教程第八章第八章 刚体的基本运动刚体的基本运动 为求中点为求中点M 的速度和加的速度和加速度，只需求出速度，只需求出 A点（或点（或B点）的速度和加速度即可。点）的速度和加速度即可。点点A在圆弧上运动，圆弧的在圆弧上运动，圆弧的半径为半径为 l。如以最低点如以最低点O为为起点，规定弧坐标起点，规定弧坐标s向右为正，则向右为正，则A点的运动方程为点的运动方程为tls4 sin0tltsv4 cos4dd0理论力学电子教程理论力学电子

5、教程第八章第八章 刚体的基本运动刚体的基本运动再求一次导，得再求一次导，得A点的切向加速度点的切向加速度tltva4 sin16dd02tA点的法向加速度点的法向加速度tllva4cos16 22022n2 04l016l20216理论力学电子教程理论力学电子教程第八章第八章 刚体的基本运动刚体的基本运动二、刚体的定轴转动二、刚体的定轴转动 当刚体运动时，其体内或其扩展部分有一直线始终保持当刚体运动时，其体内或其扩展部分有一直线始终保持不动，这种运动称为不动，这种运动称为刚体的定轴转动刚体的定轴转动。这条不动的直线称为。这条不动的直线称为转轴转轴。如电动机的转子、机器上的传动齿轮等的运动均为定

6、。如电动机的转子、机器上的传动齿轮等的运动均为定轴转动。轴转动。理论力学电子教程理论力学电子教程第八章第八章 刚体的基本运动刚体的基本运动1刚体位置的确定刚体位置的确定A:过过Z轴的固定平面，轴的固定平面，B:随刚体一起随刚体一起转动的动平面。刚体任一瞬时的位置转动的动平面。刚体任一瞬时的位置由两平面间的夹角唯一确定。由两平面间的夹角唯一确定。 刚体转动时，刚体转动时， 随时间而改变，随时间而改变，它是时间的单值函数，用数学式可它是时间的单值函数，用数学式可表示为表示为 = f (t) 上述方程称为上述方程称为刚体定轴转动的运动方程刚体定轴转动的运动方程。 的单位为弧的单位为弧度，其正负号按右

7、手规则确定，即从转轴度，其正负号按右手规则确定，即从转轴Oz的方向看，逆的方向看，逆钟向量得的钟向量得的 角为正值，反之为负值。角为正值，反之为负值。 理论力学电子教程理论力学电子教程第八章第八章 刚体的基本运动刚体的基本运动2 2角速度角速度 ( (刚体转动快慢和转向刚体转动快慢和转向) )( ddlim 0代数量ttt单位：rad/s(弧度/秒）。 为正，角位移角位移随时间增大；反之，随时间减小 工程中常用单位还有工程中常用单位还有 n 转转/分分(r / min)， n与与 的关系为：的关系为：30602nn3.3.角加速度（角速度变化快慢程度）角加速度（角速度变化快慢程度）如果如果 与

8、与 同号，则为加速转动同号，则为加速转动, 反之则为减速转动。反之则为减速转动。 220ddddlimtttt单位：单位： rad/s2。理论力学电子教程理论力学电子教程第八章第八章 刚体的基本运动刚体的基本运动4.4.匀速转动与匀变速转动匀速转动与匀变速转动当当 =常数常数,为匀变速转动时。有为匀变速转动时。有)(22102022000ttt这里这里 0和和 0是是t = 0 时转角和角速度。时转角和角速度。 当当 =常数常数,为匀速转动时。有为匀速转动时。有 = 0+ t 这里 0是 t = 0 时转角 的值。（1）匀速转动）匀速转动(2) 匀变速转动匀变速转动理论力学电子教程理论力学电子

9、教程第八章第八章 刚体的基本运动刚体的基本运动5.5.转动刚体内各点的速度与加速度转动刚体内各点的速度与加速度 当刚体作定轴转动时，刚体内每当刚体作定轴转动时，刚体内每一点都作圆周运动，圆心在转轴上，一点都作圆周运动，圆心在转轴上，圆心所在平面与转轴垂直，半径圆心所在平面与转轴垂直，半径R等等于该点到轴线的距离。用弧坐标法，于该点到轴线的距离。用弧坐标法， 在在 t时间内，走过的弧长为时间内，走过的弧长为RtRtStSvtt00limlimdd s= R速度速度Rv故故理论力学电子教程理论力学电子教程第八章第八章 刚体的基本运动刚体的基本运动,dd)(ddddtRRtRttva222)(RRR

10、van422t2nRaaa22nt tgRRaa切向加速度为切向加速度为法向加速度为法向加速度为全加速度大小为全加速度大小为方向为方向为理论力学电子教程理论力学电子教程第八章第八章 刚体的基本运动刚体的基本运动 结论结论: （1）在每一瞬时，转动刚体内所有各点的速度和加）在每一瞬时，转动刚体内所有各点的速度和加速度的大小，分别与这些点到转轴的距离成正比。（速度的大小，分别与这些点到转轴的距离成正比。（2）在每）在每一瞬时，转动刚体内所有各点的全加速度一瞬时，转动刚体内所有各点的全加速度 a 的方向与半径间的方向与半径间的夹角的夹角 都相同。都相同。 422t2nRaaa22nt tgRRaa理

11、论力学电子教程理论力学电子教程第八章第八章 刚体的基本运动刚体的基本运动例例8-2 8-2 滑轮的半径滑轮的半径r=0.2 m，可绕水平轴可绕水平轴O转动，轮缘上缠有转动，轮缘上缠有不可伸长的细绳，绳的一端挂有物体不可伸长的细绳，绳的一端挂有物体A，已知滑轮绕轴，已知滑轮绕轴O的的转动规律转动规律=0.15t3 ，其中其中t以以s计，计， 以以rad计，试求计，试求t=2 s时轮时轮缘上缘上M点和物体点和物体A的速度和加速度。的速度和加速度。 理论力学电子教程理论力学电子教程第八章第八章 刚体的基本运动刚体的基本运动首先根据滑轮的转动规律，求首先根据滑轮的转动规律，求 得它的角速度和角加速度得

12、它的角速度和角加速度245. 0tt 9 . 0 , srad 8 . 112srad 8 . 1轮缘上轮缘上M点上在点上在t t =2 s=2 s时的速度为时的速度为-1sm 36. 0rvMvMaMvAaA加速度的两个分量加速度的两个分量2tsm 36. 0ra22nsm 648. 0ra理论力学电子教程理论力学电子教程第八章第八章 刚体的基本运动刚体的基本运动总加速度总加速度 aM 的大小和方向的大小和方向 sm 741. 022n2taaaM,556. 0 tan229vMaMvAaA-2sm 36. 0MAvv2tsm 36. 0 aaA理论力学电子教程理论力学电子教程第八章第八章

13、刚体的基本运动刚体的基本运动6.6.角速度和角加速度的矢量表示角速度和角加速度的矢量表示|:|dtd大小k方向如图kkdtddtd 按右手定则规定按右手定则规定 ， 的方向。的方向。 理论力学电子教程理论力学电子教程第八章第八章 刚体的基本运动刚体的基本运动理论力学电子教程理论力学电子教程第八章第八章 刚体的基本运动刚体的基本运动RrrrRvsin|sinvrdtrdrdtddtrddtvda)(vraRvvaRrraon290sin|sin|ravanrarvvan理论力学电子教程理论力学电子教程第八章第八章 刚体的基本运动刚体的基本运动 在实际工程中，不同机器的工作转速往往是不一样的，在实

14、际工程中，不同机器的工作转速往往是不一样的，故需要利用轮系的传动来提高或降低机器转速。常用的有故需要利用轮系的传动来提高或降低机器转速。常用的有带传动带传动和和齿轮传动齿轮传动。一般将主动轮转速与从动轮转速之比，。一般将主动轮转速与从动轮转速之比，用用i表示，即表示，即三、定轴轮系的传动比三、定轴轮系的传动比从主从主nni理论力学电子教程理论力学电子教程第八章第八章 刚体的基本运动刚体的基本运动1 1带传动带传动 当主动轮当主动轮转动时，利用胶带与带轮轮缘间的摩擦带动转动时，利用胶带与带轮轮缘间的摩擦带动从动轮从动轮转动。转动。 不考虑胶带由于拉力引起的变形及胶带的厚度，为此在不考虑胶带由于拉

15、力引起的变形及胶带的厚度，为此在同一瞬时胶带上各点速度大小应相等，即同一瞬时胶带上各点速度大小应相等，即v1 = v = v2。若胶带若胶带与带轮间没有滑动，则与带轮间没有滑动，则3011111nrrv3022222nrrvr11 = r22，r1n1 = r2n2传动比传动比: : 122121rrnni理论力学电子教程理论力学电子教程第八章第八章 刚体的基本运动刚体的基本运动 机床的主轴箱汽车的变速箱以及卷扬机等，都利用齿轮传机床的主轴箱汽车的变速箱以及卷扬机等，都利用齿轮传动。因齿轮传动具有传动比准确及传递的扭矩较大等优点，故动。因齿轮传动具有传动比准确及传递的扭矩较大等优点，故在机器中

16、用得较多。在机器中用得较多。2 2齿轮传动齿轮传动 已知其啮合齿轮的节圆半径分别为已知其啮合齿轮的节圆半径分别为r1和和r2，齿数分别为齿数分别为z1和和z2，角速度为角速度为 1和和 2。设设A为主动轮啮合点，为主动轮啮合点，B为从动轮啮合点为从动轮啮合点，因齿轮啮合没有相对滑动，故，因齿轮啮合没有相对滑动，故理论力学电子教程理论力学电子教程第八章第八章 刚体的基本运动刚体的基本运动vA = vBvA = r11，vB = r22而而r11 = r22故故即传动比即传动比122112rri 齿轮啮合时，齿轮啮合节圆上齿距相等，因此齿数与半齿轮啮合时，齿轮啮合节圆上齿距相等，因此齿数与半径成正

17、比，故径成正比，故12122112zzrri理论力学电子教程理论力学电子教程第八章第八章 刚体的基本运动刚体的基本运动例例8-3 8-3 如图所示，在连续印刷机的生产过程中，纸张需以匀如图所示，在连续印刷机的生产过程中，纸张需以匀速速 v 代入印刷机，设代入印刷机，设r表示纸筒在任一瞬时的半径，表示纸筒在任一瞬时的半径，b表示纸表示纸的厚度，试导出纸筒角加速度的表达式。的厚度，试导出纸筒角加速度的表达式。【解】【解】注意到纸的速度不变，因此注意到纸的速度不变，因此两边求导得两边求导得0dvdrdrdtdtdtrbvvr常数理论力学电子教程理论力学电子教程第八章第八章 刚体的基本运动刚体的基本运

18、动由于每转一周，半径减小由于每转一周，半径减小b，而当角速度改变时，半径而当角速度改变时，半径变化变化dbdr222bdtdbdtdr故故(2)将将(2)式代入式代入(1)式得式得322 rb2ddrv drdtr dtr dt 故角加速度故角加速度 (1)理论力学电子教程理论力学电子教程第八章第八章 刚体的基本运动刚体的基本运动1. 是非题是非题(2)平动刚体上任一点的运动轨迹不可能是空间曲线。( )(3)如果刚体上任一点的轨迹都是圆曲线,则刚体一定作定轴 转动。 （ ）【思考题思考题】 (1)某瞬时,刚体上有两点的轨迹相同,则刚体做平动。（ ）理论力学电子教程理论力学电子教程第八章第八章 刚体的基本运动刚体的基本运动 2.选择题选择题 （1）如图所示,半径为 R 的飞轮,绕垂直与图面的O轴转动。图示瞬时，轮缘上A点加速度 的大小、方向均为已知，则此时A点速度