多种思维方法解题

1、比的应用知识链接：两个数相除又叫做两个数的比，还可以用分数表示。比与分数，除法其实是一回事，但各有用处，所以比与分数能够互相转化。按比例分配的关键是根据题中所给的比转化成求一个数的几分之几来做。例1、要配制混凝土1160吨，其中水泥和沙子的比是5:8，沙子和石子的比是1:2，问需要水泥、沙子、石子各多少吨？分析：已知水泥和沙子的比是5:8，沙子和石子的比是1:2，可得水泥、沙子和石子重量的比是5:8:16。把三部分的比转化成部分占整体的几分之几用分数解答；或把水泥看做5份，沙子看做8份，石子看做16份，那么共有29份与1160吨对应，从而求出1份，再求5份、8份、16份。方法一：水泥的重量：1

2、160=200（吨）沙子的重量：1160=320（吨）石子的重量：1160=640（吨）方法二：1160（5+8+16）=40（吨）405=200（吨）408=320（吨）4016=640（吨）答：需要水泥、沙子、石子各200吨、320吨、640吨。练一练：1、甲、乙、丙三包糖共重360克，甲乙两包的重量比是1:2，乙丙两包的重量比是2:3，甲乙丙三包各重多少克？2、光明小学五年级共有学生140人，分成三个小组进行植树活动，已知第一小组人数与第二小组人数的比是2:3，第三小组人数和第二小组人数的比是5: 4，这三个小组各有多少人？3、小学六年级的学生共参加了三类兴趣活动，其中科技组和美术组的人

3、数比是5:4，美术组和数学组的人数比是3:2，已知科技组人数比美术组和数学组的总人数少15人，六年级共有多少人参加兴趣活动？4、植树节开展植树活动，第一天与第二天植树棵数的比是5:6，第二天与第三天植树棵数的比是3:2，这3天平均每天植树50棵，三天每天各植树多少棵？5、图书室取出一批书，按照一年级得1/2，二年级得1/3，三年级得1/7分配，正好是41本，各年级得多少本？例2、淘气和笑笑原有邮票的比是7:5，如果淘气给笑笑26张，淘气和笑笑的邮票张数的比就是3:4，原来各有多少张？分析：这类题关键是找到不变化的量，虽然淘气和笑笑的邮票都在变化，可是淘气和笑笑的邮票总数不变。有淘气和笑笑原有邮

4、票的比是7:5，可知原来淘气的邮票数占两人邮票总数的，由于淘气给了笑笑26张，这是淘气的邮票占两人邮票总数的，淘气给笑笑的26张相当于两人邮票总数的（-）。两人共有邮票数：26（-）=168（张）淘气原有邮票数：168=98（张）笑笑原有邮票数：168-98=70（张）答：原来淘气有98张，笑笑有70张。练一练：1、小明读一本书，已读的和未读的页数比是1:5。如果再读30页，这已读和未读的页数比为3:5。这本书共有多少页？2、甲乙两包糖的重量比是4:1。从甲包取出130克放入乙包，甲乙两包糖的重量比为7:5.原来甲包有多少克糖？3、有一种合金，铜与锌的比是2:5，加入52克铜后，新合金中铜锌的

5、比是2:3，原来的合金中铜、锌各多少克？4、六二班原有女生人数与男生人数的比是2:3，新学期又转来2个女生，这时女生和男生的人数比变为4:5，六年级现在共有多少人？比例知识链接：表示两个比相等的式子叫做比例，比例反映了量与量之间的比例关系。使我们能以新的方法解决实际问题，同时有利于沟通、综合各类知识。解答正反比例的关键是找出相关联的量，判断成什么比例，建立比例式。例1、一间教室，如果用边长0.3米的方砖铺地，需要800块，如果改用边长为0.4米方砖，需要多少块？分析：用比例解决实际问题，关键是根据题目中的数量关系判断相关联的两个量是积一定，还是商一定，即判断他们成什么比例。教室的面积一定，方砖

6、的面积和块数成反比例。解：设需要X块。0.40.4X= 0.30.38000.16X=72 X=720.16 X=450答：需要450块。练一练：1、某专业户收一批梨，每筐装30千克，要70筐，如果每筐装35千克，需要装多少筐？2、桃源小学组织队员到操场上做操，如果每行站15人，正好站16行，如果每行站24人，可以站多少行？3、一段公路，每天修300米，15天可以修完，如果每天多修50米，几天可以修完？4、莉莉要买一些圣诞卡，由于圣诞卡减价20%，用同样多的钱她可以多买6张，莉莉原来可以买多少张？例2、一辆汽车上午行了4小时，共行300千米，下午又以同样的速度行了3小时，这一天共行多少千米？分

7、析：汽车行驶的速度不变，行驶的路程和时间成正比例。解：设一天共行X千米。300：4=X：（4+3）4X=300（4+3）4X=2100 X=21004X=525答：这一天共行了525千米。练一练：1、生产一批零件，前6天生产了1800个。照这样的速度，余下的3天就能完成，这批零件共有多少个？2、100千克大豆能榨豆油40千克，325千克大豆能榨豆油多少千克？3、在游乐场要用同样的地砖铺一块休息区，铺9平方米，要用314块地砖，如果铺36平方米，需要多少块地砖？4、20克糖能配500克糖水，配制同样浓度的糖水，30克糖需要水多少克？5、一个晒盐场用100克海水可以晒出3克盐，如果一块盐田一次放入

8、60000吨海水，可以晒出多少吨盐？常用解题方法图解法知识链接：图解法是解答较复杂的应用题常见的方法，它的主要作用在于使问题的内容具体化、形象化，帮助我们理解题意，明确数量关系。它常常与其他方法结合起来使用，从而达到正确解题的目的。例1 A、B、C、D、E五人参加象棋比赛，每两个人之间都要赛一场。已知A赛了4场，B赛了3场、C赛了2场，D赛了1场，那么E赛了几场？分别和谁赛的？分析： 由“A、B、C、D、E五人参加象棋比赛，每两个人之间都要赛一场。”知：一共要赛432110场，但具体怎么赛的并不清楚，所以我们可以画图帮助理解。如下图： 解答 ：由图知，E赛了2场，分别是和A、B赛的。例2某旅游

9、团参观A、B、C、D四个城市。他们第一天参观A市，以后每一天到另一个城市，最后一天回到A城市，他们有几种不同的参观方法？分析： 这是一道枚举题。我们可以先把所有情况一一列举出来。如下：，我们还可以画如下图帮助思考： 解答：一共有六种不同的参观方法。练一练：1、A,B两辆汽车同时从甲、乙两站相对开出，第一次相遇距甲站32千米，相遇后两车仍以原速度继续前进，并且到达对方站后立即返回，两车又在相距甲站64千米处相遇。甲、乙两站相距多少千米？2、有两条纸带，一条长21厘米，一条长13厘米，把两条纸带都剪下同样长的一段后，发现长纸带剩下的是短纸带剩下的长度的2倍，问剪下的一段有多长？3、工厂派车准时从工

10、厂到总工程师家接总工程师来厂上班。一天总工程师提前1小时步行去厂，结果在去工厂的路上，遇到工厂派来的车，因此比平时提早10分钟到厂，求车子速度是总工程师步行的多少倍？常用解题方法假设法 知识链接： 假设法是在解题过程中一个条件先假设成有关的另一个条件，或用一种量转换成另一种量，并进行适当的调整，从而求出答案。假设法最常见的是用在“鸡兔同笼”的问题上，如下：例1、鸡兔同笼，共有头158只，足468只。求鸡兔各有多少只？分析 ： 假设笼里全是鸡，则有足2158=316（只），和实际足数相比，少了468-316=152（只），将一只兔子换成一只鸡，就会少算（4-2）只足，因为152（4-2）=76（

11、只）所以笼里共有兔子76只，那么鸡的只数也就可以求了。解答 ： （468-2158）（4-2）=76（只）158-76=82（只），答：兔子有76只，鸡有82只。例2、学校买来3元、4元和5元的电影票共400张，用去1560元，其中4元和5元的张数一样多。每种票各买了多少张？分析 ： 由于4元和5元的张数一样多，我们可以将它们合并为一种票。假设这400张票全是3元的，则一共用了3400=1200（元），与1560元相差1560-1200=360（元）,原因是把4元和5元都看成3元，要补足这360元，就要拿1张4元和1张5元的票换2张3元的票，这样张数没变，而票价加了4533=3(元)。所以4元

12、、5元的票各有3603=120（张），3元的票有400120120=160（张）。练一练：1、小青有2分和5分硬币共20个，共70分，那么其中5分硬币有几个?2、某厂做盒子，原计划做1200个，由于实际每小时做的是计划的1.2倍，提前4小时完成了任务。原计划几小时完成任务？3、 蜘蛛有8条腿，蜻蜓有六条腿两对翅膀，蝉有六条腿，一对翅膀，现在有这三种动物47只，共有腿324条，翅膀37对，问这三种动物各有几只？常用解题方法倒推法知识链接： 解题时从最后结果出发，运用加与减、乘与除之间的互逆关系从后到前一步一步推算的方法叫做倒推法。当顺着思考比较困难是，我们用倒推法反而易于解决问题。例1、食堂有煤

13、若干吨。第一次用了存煤的一半，第二次用了吨，第三次又用了剩下煤的一半又吨，结果还剩下吨。食堂原有煤多少吨？分析：一般思路我们这样理解，设食堂原有煤吨，根据条件列出方程：-(-)-=，然后解出方程就可以了。但显然这个方程比较繁琐。这道题我们可以从后往前思考，剩下的吨是第二次剩下用去一半又吨后的量，所以求出第二次用后剩下（）（吨），（吨），这吨煤是第一次用后剩下的量，正好是全部煤的一半，所以总共有煤（吨）。解答（600+50）2+4502=3500（吨），答：（略）。例2、 修一条路，第一天修了这条路的12还多2千米，第二天修了余下的13少1千米，第三天修了余下的14还多1千米，这样还剩下20千米

14、没有修完，求这条路的长度。分析： 因为“第三天修了余下的14还多1千米”，所以（20+1）正好是第二天余下的（1-14），即21（1-14）=28(千米)；因为“第二天修了余下的13少1千米”，那么剩下（28-1）（1-13）=40.5（千米）；又因为“第一天修了这条路的12还多2千米”，那么（40.5+2）正好是全长的一半，由此可以求出全长了。解答（20+1）（1-14）-1（1-13）+212=85(千米)，答：（略）。练一练：1、甲乙丙分一些苹果。甲分到全部的13又8个，乙分到甲分完后剩下的13又8个，丙分到甲乙两人分后剩下的13又8个，正好分完，原来一共有多少苹果？2、三个人吃一些桃子

15、。甲先吃了13，乙吃了剩下的13，丙吃了甲乙吃剩下的14，最后还剩下6只桃子。那么原来一共有多少只桃子？3、工地运来两车水泥，第一次用去一半又半吨，第二次用去余下的一半又半吨，第三次用去最后剩下的一半又半吨。正好用完。这两车水泥一共有多少吨？4、一个篮子里有一些鸡蛋，小明从中拿出一半又放进去一个，第二次又从中拿出一半又放进去一个，第三次又从中拿出一半又放进去一个，此时还剩下2个鸡蛋，原来这个篮子中有多少个鸡蛋？5、一个篮子里有一些苹果，张大爷从中拿出一半又半个，第二次又拿出余下的一半又半个，第三次又拿出第二次余下的一半又半个，第四次又拿出第三次余下的一半又半个。这时苹果都拿完了。原来这个篮子中

16、有多少个苹果？常用解题方法-对应法知识链接： 对应的思想方法是解题时经常用到的一种思考方法，所谓“对应”就是在两类事物之间建立某种联系，以实现未知向已知的转化。如：在分数、百分数应用题中的“量”和“率”要对应。例1甲、乙两车速度比是3：4，两车分别从两地相向而行，在离中点6千米处相遇，求两地相距多少千米？思路点拨：由“甲、乙两车速度比是3：4”可知相同时间内所行路程的比是3：4，所以相遇时甲乙所行路程比也是3：4，甲行了全程的334，乙行了全程的434，两者相差434334，正好对应着6612（千米）。找到分率与具体数量之间的对应关系，就可求出两地的距离了。解答 （66）（434334）84（

17、千米）答 ： 两地相距84千米。例2 有两只桶装油44千克，若第一桶里倒出15，第二桶里倒进2.8千克，则两桶内的油相等。原来每只桶里装油多少千克？思路点拨 把第一桶油看作单位“1”，若第一桶油倒出15，第二桶里倒进2.8千克，则两桶内的油相等。也就是第二桶里倒进2.8千克后，那么第二桶油相当于第一桶的（115），那么（442.8）对应着1（115）。这样用除法就可以求出第一桶内装有多少千克油了。解答 （442.8）【1（115）】26（千克），442618（千克），答：第一桶原有油26千克，第二桶原有油18千克.例3 小明看一本书，第一天看的页数比总页数的18多16页，第二天看的页数比总页数

18、的16少2页，还余下88页。这本书共有多少页？思路点拨 18，16都是对“总页数”来讲的，所求的数量是“总页数”被看作“1”，而（11816）的对应数量是（88216）页。解答 （88216）（11816）144（页）答：这本书共有144页。练一练：1、 一个两层的书架上，上层放的书是下层的3倍，如果把上层的书搬60本到下层，则两层的书相等。原来上下层的书各有多少本? 2、一本书，已经看了130页，剩下的准备8天内看完，如果每天看的页数相等，3天看的页数恰好是全书的522 .这本书共有多少页?3、 小红看一本书，看了3天，剩下66页。如果用这样的速度看4天，就剩下全书的25.这本书有多少页？4

19、 、班长清点手榴弹发现，如果每人分5颗还剩下18颗，如果有两人各分4颗，其余各分6颗，就恰好分完。这个班有多少名战士？5、学校分配学生宿舍，若每个房间住6人，则有34人没有床位，若每个房间住8人，则空4个房间。问学生宿舍有多少间？6 、四位同学去种小树，第一位同学种的树是其他同学种树总数的一半，第二位同学种的树是其他同学种树总数的13，第三位同学种的树是其他同学种树总数的14，则第四位同学刚好种了13棵，问四位同学共种了多少棵树？常用解题方法综合分析法知识链接：综合法是从问题的条件出发，推导出结果；分析法是从问题到条件的分析方法。解题时，应寻找条件与问题之间的内在联系，找到简洁的方法，解题时要

20、根据题目的具体情况，灵活地运用多种方法思考。例1某商场2007年底统计显示，电脑每月销售量平均增长20%，12月份销售了120台。按此速度下去，预计2008年3月份比1月份多销售多少台？分析：由“2007年12月的销售量120台”和“每月销售量平均增长20%”，可以求出2008年1月份的销售量，由2008年1月份的销售量和“每月销售量平均增长20%”可以求出2月份的销售量，同样可以求出3月份的销售量，最后用2008年3月份的销售量减去1月份的销售量即可求解。解答 2008年1月份的销售量：120(120%)=144(台)，2008年2月份销售量：144(120%)=1728（台）；08年3月份

21、的销售量；1728(120%)=20736(台)，207.36-144=63.36（台）。答：预计2008年3月份比1月份多销售63.36台。例2一辆火车的速度为121千米每小时，现有一块每4小时慢2分钟的表。若用这块表计时，这辆火车的速度是多少？分析： 思路分析：要求“这辆火车的速度是多少”，必须用火车标准时间每小时121千米除以标准时间1小时相当于该表的小时数；而要求标准时间1小时相当于该表的小时数，必须先求出该表每小时比标准时间要慢的小时数。解答 121（1+264）=120（千米），答:如用这块表计时，这辆火车的速度是120千米每时 。例3一位少年短跑选手，顺风跑90米用了10秒钟.在

22、同样的风速下，逆风跑70米，也用了10秒钟.问：在无风的时候，他跑100米要用多少秒？分析：顺风跑的速度等于无风时速度与风速之和，逆风跑时的速度等于他们的差。由“顺风跑90米用了10秒钟”，可求出顺风时的速度，根据“逆风跑70米，也用了10秒钟.”可求出逆风跑的速度，再根据和差原理求出无风时的速度。解答： 90109（米） 70107（米） （ 97）28（米），100812.5（秒）答：无风时，他跑100米要用12.5秒。练一练：1. 分析法实质上是根据问题找条件，说说要求出下面的问题必须知道哪些条件？（1） 一共用了多少元？（2） 这五个人平均身高是多少米？2. 一位少年短跑选手，顺风跑9

23、0米用了9秒钟.在同样的风速下，逆风跑80米，用了10秒钟.问：在无风的时候，他跑135米要用多少秒？3.一辆车以100千米每小时的速度，从甲地开往乙地，又用60千米每小时从乙地开往甲地，求这辆汽车往返的平均速度。4、祖父、儿子、孙子三人的年龄加在一起正好是100岁，祖父的年数正好是孙子的月数，儿子过的星期数正好等于孙子过的天数，问：祖父、儿子、孙子各多少岁？5. 龟兔赛跑，全程5.2千米。兔子每小时跑20千米，乌龟每小时跑3千米。乌龟不停地跑，但兔子边跑边玩，他先跑1分钟后玩15分钟，再跑2分钟后玩15分钟，再跑3分钟后玩15分钟那么先到达终点的比后到达终点的快多少分钟？根据容斥原理解决稍复

24、杂的百分数应用题例 五年级同学订阅中国少年报和作文辅导报这两种报纸。订阅报纸的人数占年级总人数的40%。订阅中国少年报的人数占订阅人数的40%，订阅作文辅导报的人数占订阅人数的，两种报纸都 订阅的有15人。五年级共有多少人？ 分析 把订阅报纸的人数看作单位 “1”，订阅中国少年报的人数占订阅人数的40%，订阅作文辅导报的人数占订阅人数的（即75%），订阅两种报纸的人数和所占的百分率为40%+=115%，超过“l”，是因为有15人被统计了两次。即15人相当于订阅人数（单位“1”）的40%+ l，先求出订阅报纸的人数，再求五年级的总人数。 解答 15（40%+l） =1515% =l00(人) 1

25、0040%=250(人) 答：五年级共有250人。方法提示客斥原理：如果被计数的事物有A、B两类，那么A类、B类元素个数的总和=属于A类元素的个数+属于B类元素的个数即是A类又是B类元素的个数。总结应用客斥原理解题，就是先把各种情况都包含进来，加在一起，再“排除”重复的部分，即减去重复的数。巧用路程比解决行程问题 例 甲、乙、丙三人进行200米赛跑（他们的速度保持不变），甲到终点时，乙还差20米，丙离终点还有25米，问乙到终点时，丙还差几米。分析 在时间一定的情况下，路程比等于速度比。乙、丙速度不变，那么速度比不变，路程比也不变。设乙跑20米的时间，丙跑X米，根据“路程比等于速度比”可列出比例

26、(200-20)：（200-25）=20：X，求出X的结果，然后用丙距离终点的路程25米减去X米就可求出丙距终点还差几米。解答 解：设乙跑20米的时间，丙跑X米。(200 - 20 )：(200 - 25) =20：X (200 - 20)X =(200 - 25)20 180X=3500 X=19 25-19=5（米）答：乙到终点时，丙还差5米。提示 在时间一定的情况下，路程比等于速度比。重点提示直接求丙还差的距离难度较高，可先求出乙跑完20米后丙跑的距离，使问题简化。用等积变形法解决稍复杂的体积问题 例 将一个底面半径为20厘米、高为27厘米的圆锥形铝材和一个底面半径为30厘米、高为20厘

27、米的圆柱形铝材熔铸成一个底面半径为15厘米的圆柱形铝材，求这个圆柱形铝材的高。分析 把两个物体熔铸成一个物体，虽然形状发生了改变，但总体积不变，所以可先求出两个物体的体积和，再除以新圆柱的底面积，就求出这个新圆柱形铝材的高。 方法提示 在计算时，如果最后可以约掉，可暂时不参与运算，中间的结果用含有的式子表示。 解答 V=h= 20 27=3600（） V=h=3020= 18000（） (3600+18000)(15) =96(厘米) 答：这个圆柱形铝材的高为96厘米。 提示 这是一道“等积变形”题，变化前的圆锥和圆柱的体积和等于变化后的圆柱的体积，掌握这一等量关系才能正确解答问题。用等量代换

28、法解决体积问题 例 如下图所示，一个高为15厘米，容积为300毫升的圆柱形容器里装满了水。当把一个长5厘米、宽4厘米、高3厘米的长方体铅块放入水中时，容器中有一部分水溢出，当把铅块取出后，容器中的水有多高？分析 思路一 溢出的水的体积等于铅块的体积，求出溢出的水在容器中的高度，用容器中原有水的高度减去溢出的水在容器中的高度，就是取出铅块后容器中水的高度。思路二 把长方体铅块放入水中，溢出水后容器中水的体积与铅块的体积和正好是300，由此可列出等量关系式V+V=300。水的底面积可用30015求出，设容器中水的高度为x厘米，可列方程求解。解答 方法一 300毫升=300容器的底面积：30015=

29、20（）铅块的体积：543 =60（）溢出的水在容器中的高度：6020=3（厘米）取出铅块后容器中水的高度：15-3=12（厘米）方法二 解:设容器中的水有x厘米高。543+(30015) x =300 60+20x=300 x=12 答：容器中的水有12厘米高。提示解此类题的关键是确定体积相等的物体，从体积相等中推算出另一个物体的高或底面积，以及其他变化的量。用对应法解决行程问题例 下面是甲、乙两辆摩托车的行程图。(1)甲车半小时可以行驶多少千米？(2)照这样的速度，乙车5小时可以行驶多少千米？分析 先确定图象上的时间，然后找出与时间对应的路程；用路程除以对应的时间，求出速度；再根据要求分别

30、求出甲车半小时和乙车5小时行驶的路程。解答 (1)60=45（千米时）452=22.5（千米）(2) 60=36（千米时）365=180（千米） 答：甲车半小时可以行驶22.5千米，乙车5小时可以行驶180千米。提示 用图象中的路程除以对应的时间是解答此题的关键。用分类讨论法解决储蓄问题 例 陈阳有2000元，打算存人银行两年。现有两种储蓄方法：第一种是直接存两年，年利率是3.75%；第二种是先存一年，年利率是3. 00%，第一年到期时再把本金和利息合在一起，再存一年。选择哪种储蓄方法得到的利息多一些？ 分析 先把两种储蓄方法所得的利息算出来，再进行比较。根据“利息=本金利率存期”计算。存款利

31、率要和存款时间相对应。 解答 第一种储蓄方法：20003. 75%2=150（元） 第二种储蓄方法：20003. 00%1=60（元） (2000+60)3.00%1=61.8（元） 60+61. 8=121.8（元） 150121.8 答：选择第一种储蓄方法得到的利息多一些。 总结 在累计存期相同的情况下，一次性存款比其他存款方式所获得的利息要多一些。用分析法解决“塞空洞”问题 例2 将下面的物体作为塞子，既能塞住甲图中的空洞，又能塞住乙图中的空洞的是( )。分析 此题重点要考虑立体图形的截面能否与空洞形状相吻合，研究的是面与面之间的关系。因为B图从上往下看（俯视图）是圆，从正面看（主视图）

32、或从侧面看（左、右视图）是三角形，所以B图符合条件。 解答 B 提示 从不同的角度观察物体，所看到的物体的形状一般是不同的。用观察法解决有关圆锥的问题 下图是一个圆锥形学具，在透明的玻璃方桌上从哪个角度观察这个学具，可以得到下面的图、图和图？分析 从三个方向观察，列表如下： 解答 从底面观察，可以得到图；从侧面观察，可以得到图；从上面观察，可以得到图。 总结 从侧面、上面和底面观察圆锥，所看到的图形各不相同。用逆推法解决鸽巢问题 例 把25个玻璃球最多放进几个盒子里，才能保证至少有一个盒子里有5个玻璃球？ 分析 把盒子数看成鸽巢数，要使其中一个鸽巢里至少有5个玻璃球，则玻璃球的个数至少要比鸽巢

33、数的(5-1)倍多1个，而(25-1)(5-1)6，所以最多放进6个盒子里，才能保证至少有一个盒子里有5个玻璃球。 解答 最多放进6个盒子里，才能保证至少有一个盒子里有5个玻璃球。 总结 (分放的物体总数-1)(其中一个鸽巢里至少有的物体个数-1)ab(ba)，则a就是所求的鸽巢数。用设数法解决生活中的实际问题 例 “十一”黄金周期间，A，B两家旅行社推出“家庭游”优惠活动，两家旅行社原来的标价相同，优惠办法如下： A旅行社：成人全价，儿童五折； B旅行社：成人、儿童一律八五折。 (1)童童和爸爸、妈妈一家三口去旅游，选择哪家旅行社比较便宜？ (2)乐乐一家三口、贝贝一家四口共7人（5个大人、

34、2个小孩）去旅游，选择哪家旅行社比较便宜？ 分析 要想知道选择哪家旅行社比较便宜，应看在哪家旅行社花钱少。两家旅行社原来的标价相同，在计算时可以先设两家旅行社原来的标价为a元或除0以外的任意一个数，分别计算出旅行社优惠后应花的钱数，再比较大小。 解答 设两家旅行社原来的标价为a元。 (1)童童一家： A旅行社：2a+50%a=2. 5a B旅行社：a85%3=2. 55a 2.5a5. 95a 答：童童一家选择A旅行社比较便宜，乐乐、贝贝两家选择B旅行社比较便宜。 提示 解决此类问题时，对于没有给出的总量，可以设一个数来代替。用设数法判断两个量是否成正比例 例 圆的面积和半径成正比例吗？分析

35、解答此题可以设圆的半径为一个数，然后求出圆的面积与半径的比值，如果这个比值是一个不变的数，这两个量就成正比例，否则就不成正比例。解答 圆的面积和半径不成正比例。提示 判断与固有关的两个量是否成正比例，可以用设数法来解答。用设数法探究速度比与时间比之间的关系 甲、乙两人同时从学校步行到少年宫，如果两人的速度比是2：3，那么甲、乙两人从学校到少年官的速度比与时间比有什么关系？分析 题中没有给出学校和少年宫之间的路程，可以把这个路程假设为一个具体的数，然后通过计算发现速度比与时间比之间的关系。 假设学校和少年宫之间的路程为120。 甲走完全程的时间：1202=60; 乙走完全程的时间：1203=40

36、; 甲、乙两人走完全程的时间比：60：40=3：2。发现：走同一段路程，速度比等于时间比的反比。解答 甲、乙两人从学校到少年官的速度比等于时间比的反比。总结 如果两个人走同一段路程，则速度比等于时间比的反比；如果两个人行走的时间相同，则速度比等于路程比。用图示法解决复杂的有关圆锥体积的问题 例 一个底面直径是12 cm的圆锥形木块，把它分成形状、大小完全相同的两个木块后，表面积比原来增加了120 cm2，这个圆锥形木块的体积是多少？ 分析 把圆锥形木块分成形状、大小完全相同的两块后，多了两个以底面直径为底边、以圆锥的高为高的等腰三角形的面。先求出一个三角形的面积，再根据公式h=2Sd求出圆锥形

37、木块的高。已知圆锥形木块的底面直径和高，可求出它的体积。 解答 1202=60( cm2) 圆锥形木块的高：60212=10(cm) 圆锥形木块的体积：3. 14（）210 =3. 143610 =376. 8(cm3) 答：这个圆锥形木块的体积是376.8 cm3。 提示 当把一个圆锥分成形状、大小完全相同的两份时，多出两个等腰三角形的面，三角形的底和高分别是圆锥的底面直径和高。用图示法解决稍复杂的有关圆柱表面积的问题 例 工人师傅要在一个零件（如下图）的表面涂一层防锈材料。这个零件是由两个圆柱构成的，小圆柱的直径是4 cm，高是2 cm；大圆柱的直径是6 cm，高是5 cm。这个零件上涂防

38、锈材料的面积是多少？分析 求涂防锈材料的面积就是求这个零件的表面积。从上面看这个零件，看到的形状如左下图所示；从下面看这个零件，看到的形状如右下图所示。 由此可知这个零件上下两个底面的面积相等。这个零件的表面积可以看作是“大圆柱的底面积的2倍+两个圆柱的侧面积之和”。解答 3. 14(62)z2+3. 1442+3. 1465 =56. 52+25. 12+94.2 =175. 84(cm2) 答：这个零件上涂防锈材料的面积是175. 84cm2。提示 利用图示法，发现零件上下两个底面的面积相等是解答本题的关键。用图示法解决有关圆柱体积的问题如下图所示，王老师用纸板做了一个学具，你能计算出它的

39、体积吗？分析 这是一个不规则的立体图形，不能用公式直接计算。可以把两个完全一样的学具拼成一个圆柱，这样用圆柱的体积除以2就能求出学具的体积。如下图： 解答 3. 14(162) 2(24+26)2 =3. 1464502 =5024(cm3) 答：它的体积是5024 cm3。 提示 解答此题的关键是把两个完全相同的不规则立体图形拼成一个圆柱，然后用圆柱的体积除以2就是所求的问题。用推理法解决求圆柱形物体表面积的实际问题 例 一个长方形的塑料板，利用图中的阴影部分刚好能做成一个圆柱形的带盖水桶（接头处忽略不计）。求这个水桶的表面积。分析 求水桶的表面积就要知道水桶的底面半径（或直径）和高。观图可

40、得，长方形阴影的长（即水桶的底面周长）为3. 14d，宽（即水桶的高）为2d，整个长方形塑料板的长为d+3. 14d=16. 56(dm)，据此先求出水桶的底面直径和高，再求表面积。解答 水桶的底面直径：16. 56(1+3.14)=4(dm) 水桶的高：42=8( dm) 水桶的表面积：3. 14（）22+3. 1448=125. 6(dm2) 答：这个水桶的表面积是125.6 dm2。 提示 圆柱的底面周长是直径的倍，即圆柱侧面展开图的长是圆柱底面直径的倍。用推理法解决有关比的问题 例 育红小学正在举行秋季运动会，六(1)班1号队员和2号队员都参加了200米赛跑。当1号队员到达终点时，2号

41、队员还差20米。如果两人的速度不变，要使1号队员和2号队员同时到达终点，1号队员的起跑线要比原来后移多少米？分析 1号队员和2号队员所跑的路程比：200：（200-20） 两人所用时间相同1号队员所跑的路程：1号队员的速度=2号队员所跑的路程：2号队员的速度交换比例的内项，得出两人所跑的路程比等于两人的速度比，两人各自的速度不变，因此两人所跑的路程比也不变，即1号队员起跑线后移之后所跑的路程：2号队员所跑的路程=200：(200-20)。解答 解：设1号队员的起跑线要比原来后移x米。(200+x):200=200:(200 - 20)(200 +x)180=200200 x=22 答：1号队员

42、的起跑线要比原来后移22米。总结 当时间一定时，速度和路程成正比例，速度比是多少，路程比也是多少，即速度比等于路程比。用推理法解决有关圆柱形物体表面积的实际问题 例 一块长方形的塑料板，利用图中的阴影部分刚好能做成一个圆柱形的带盖水桶（接头处忽略不计）。求这个水桶的表面积。分析 求水桶的表面积要知道底面的半径（或直径）和高。观图可得长方形阴影的长（即水桶的底面周长）为3.14d，宽（即水桶的高）为2d。大长方形的长为d+3.14d=16.56（分米），先求出水桶的底面直径和高，再求表面积。解答 水桶的底面直径：16.56(1+3.14）=4（分米） 水桶的高：42=8（分米） 水桶的表面积：3

43、.142+3.1448=125.6（）答：这个水桶的表面积是125.6。提示 圆柱的底面周长是直径的倍，即圆柱侧面展开图的长是圆柱底面直径的倍。用正比例关系解决实际问题 例 下面是甲、乙两辆摩托车的行程图。(1)甲车0.5时行驶多少千米？(2)乙车5时行驶多少千米？分析 先确定图像上的某一时刻，然后找出与这一时刻对应的路程，用路程除以时间，求出速度，最后根据要求分别求出甲车0.5时和乙车5时行驶的路程。解答 (1)3时20分一2时=1时20分=时60=45（千米） 450.5 =22.5（千米） 答：甲车0.5时行驶22.5千米。 (2)3时40分一2时=1时40分=时 60=36（千米） 3

44、65 =180（千米） 答：乙车5时行驶180千米。 提示 用图中的路程除以对应的时间是解答此题的关键。用抓不变量的方法解决物体形变问题 例 一个圆锥形麦堆的底面半径是2米，高是3米，如果把这堆小麦装入一个圆柱形粮囤里，只占粮囤容积的。粮囤的底面积是7，粮囤的高是多少米？分析 小麦的体积就是圆锥的体积，把小麦装入粮囤，小麦的体积不变，由它的体积是圆柱形粮囤容积的可知，用小麦的体积除以，可以求出圆柱形粮囤的容积，再用圆柱形粮囤的容积除以圆柱形粮囤的底面积，就求出圆柱形粮囤的高。 解答 3. 14237 =3. 1443 =3. 14（米） 答：粮囤的高是3. 14米。提示 由体积不变可知，圆锥形

45、麦堆的体积就是圆柱形粮囤体积的，用除法求出圆柱形粮囤的容积，再求圆柱形粮囤的高。用抓不变量的方法解决求商品价格问题 例 甲、乙两种商品的价格比是5:3，如果它们的价格分别下降15元，其价格比则变为7:3。这两种商品的原价各是多少元？分析 两种商品都降价15元，降价后的价格差不变，价格差所对应的份数也应该相同。原价格的份数差是5-3=2；现价格的份数差是7-3=4。使5:3和7:3的价格差的份数相等，原价格的比=5:3=10:6，价格差的份数现在都是4。两种商品的价格都下降10-7=3（份），3份对应的是15元，先求出1份的价格，再求原价。 解答 5:3=10:6 15（10-7）=5（元）或1

46、5(6-3)=5（元） 甲种商品原价：510=50（元）乙种商品原价：56=30（元） 答：甲种商品原价是50元，乙种商品原价是30元。提示此类题中两种商品降价前后的价格差不变，可以根据价格下降的份数先求出1份的价格，再求原价。用抓不变量法解决实际问题 例 比例尺为1：50000的一幅地图，现在改用的比例尺重新绘制，原地图中4.8 cm的距离，在新地图中应该画多少厘米？分析 不管比例尺怎么变化，其实际距离是不变的。根据原地图中的比例尺先求出原地图中4.8 cm表示的实际距离，再根据新地图中的比例尺求出这个实际距离在新地图中的图上距离。解答 4.85000=240000(cm) 24000020

47、00 =12(cm) 答：在新地图中应该画12 cm。 提示 此题的解题关键是求实际距离，在求实际距离时不必将厘米化成千米，以免下一步计算时再次换算单位。用转化法解决稍复杂的体积问题 例 有一种饮料瓶的瓶身呈圆柱形（不包括瓶颈），容积是3分米，其中装有一些饮料，正放时饮料高度为20厘米，倒放时空余部分的高度为5厘米（见下图）。问瓶内现有饮料多少立方分米。分析 正放和倒放，饮料体积不变，而瓶子的容积一定，所以空余部分体积相同，由于底面积不变，饮料瓶的容积就相当于高为(20+5)厘米的圆柱形容器的容积，可知饮料占瓶子容积的=这样就可以求出饮料的体积。解答 20+5=25（厘米） 3=2.4（分米）

48、答：瓶内现有饮料2.4分米。提示 解答此类问题要注意把不规则形体转化成规则形体，这样便于计算体积或容积。重点提示 瓶子正放时，空余部分为不规则形体；倒放时，空余部分转化成体积相等的圆柱。用转化法解决有关瓶子容积的问题 例 有一种饮料瓶的瓶身呈圆柱形（不包括瓶颈），容积是480 mL。现在瓶中装有一些饮料。瓶子正放时饮料的高度为20 cm，倒放时空余部分的高度为4 cm(如右图)。瓶内现有饮料多少毫升？ 分析 瓶子正放和倒放时的容积与饮料的体积不变，所以瓶子空余部分的容积相等。因此，饮料瓶的容积就相当于一个高为( 20+4) cm的圆柱形容器的容积，由此可以推知饮料的体积占瓶子容积的，即480

49、mL的。 解答 20+4=24(cm) 480=400(mL) 答：瓶内现有饮料400 mL。 提示 确定瓶中饮料的体积占瓶子容积的几分之几是解答此题的关键。用综合法求圆柱形容器中液体的高 例 甲、乙两个圆柱形容器，底面积之比为4:3甲容器中水深7 cm，乙容器中水深3 cm，再往两个容器中注入同样多的水，直到水深相等，甲容器的水面应上升多少厘米？ 分析 因为甲、乙两个容器的底面积之比为4:3，所以往两个容器中注入同样多的水，水面上升的高度比为3:4，也就是说乙容器中水面上升的高度比甲容器中水面上升的高度多，但结果水深相等，说明原来甲、乙两个容器中水深相差的4 cm就是甲容器中水面上升高度的。

50、解答 (7-3)=12(cm) 答：甲容器的水面应上升12 cm。提示 找出水面上升的高度比是底面积之比的反比是解答此题的关键。 运用拆分法解决复杂的分数计算问题例 计算：分析 把题中每个加数分别扩大到原来的2（分母中两个因数的差）倍，各加数分别变为。而， ，因此将题中每个加数都扩大到原来的2倍，再拆分成两个数的差进行简便计算，最后把所得的结果再缩小到它的，从而得出原题的结果。解答 总结形如：的分数可以拆分成的形式。运用方程法和倒推法解决稍复杂的分数除法问题例 一本故事书，明明第一天看了全书的，第二天看了余下的，还剩60页没有看。这本故事书一共有多少页？方法一 方程法。分析 题中的单位“1”，

51、即全书的总页数是所求问题，可以列方程来解答。根据等量关系“全书的总页数（1一）（1一）=60”列出方程。解答 解：设这本故事书一共有x页。 方法二 倒推法。分析 解答时要根据已知条件倒过来分析，先求第二个单位“l”，即第一天看后余下的页数，再求第一个单位“1”，即全书的总页数。第一步：先求第二个单位“l”，即第一天看后余下的页数。 观察上面的线段图发现，60页对应的是第一天看后余下页数的（1一），求第一天看后余下的页数应该用除法计算，即60（1一）= 180（页）。 第二步：再求第一个单位“l”，即全书的总页数。 观察上面的线段图发现，180页对应的是全书总页数的（1一），求全书的总页数应该用除法计算，即180（1一）。 解答60（1一）=180（页） 180（1一）=240（页） 答：这本故事书一共有240页。 提示用方法一解答本题的关键是找出题中的等量关系；用方法二解答本题的关键是根据已知条件倒过来分析。运用分段计算法解决纳税问题例 2011年9月1日，个人所得税起征标准上调至3500元。下面是个人所得税税率表。销售部李经理今年5月份的工资总额是8245元，按规定，李经理这个月纳税后能得到多少元工资？分析 根据题