朱海宏2013920

1、题目：用慧眼观察 用心智领悟作者：朱海宏地址：襄阳市襄州区张湾办事处中心学校单位：张湾中心学校联系方式慧眼观察 用心智领悟【主题词】：有序观察；数形结合；思维严密性【内容摘要】：有效的数学学习活动 不能单纯地依赖模仿与记忆，在教学过程中老师应引导学生 主动观察，让学生参与到教学中来，使学生从被动地接受知 识变为主动地发现、探索知识，从而能认识数学本质、揭示 数学规律、探求数学的思想和方法，激发学生对数学的兴趣 以及产生学好数学的愿望。 全日制义务教育数学课程标准（实验稿）指出：数学教学，要紧密联系学生的生活实际，从学生的生活经验和已有知识出发，创设生动有趣的情境，引导

2、学生开展观察、 操作、猜想、推理、交流等活动，使学生通过数学活动，掌 握基本的数学知识和技能。可见，有效的数学学习活动 不能单纯地依赖模仿与记忆，在教学过程中老师应引导学生 主动观察，让学生参与到教学中来，使学生从被动地接受知 识变为主动地发现、探索知识，从而能认识数学本质、揭示 数学规律、探求数学的思想和方法，激发学生对数学的兴趣 以及产生学好数学的愿望。由此可见，观察在中学数学教学 中起着至关重要的作用。 1、观察的概念 观察是一种有计划、有目的的特殊形态的知觉，是按照 客观事物本身存在的自然状态，在自然条件下，去研究和确 定事物的特征和联系。观察并不是简单的看一看，它不 同于日常生活中那

3、种随意的、自发的行为，它是在理性知识 参与下感知所需要的东西，是在大脑同时参与和积极配合下 进行的思维活动。在观察的过程中，随时比较所观察的对象， 找出对象的相同点、相似点与相异点，从而揭示出观察对象 的本质和内在联系。 对诸如3+7=10，5+7=12，3+11=14 这类简单的等式，很 少有人观察和思考其中的规律，而哥德巴赫却从中悟出了著 名的哥德巴赫猜想；对苹果落地平淡无奇的事情，牛顿通过 观察并思考它的原由发现了万有引力定律。实际上，观察是 搜集科学事实，获取感性经验的基本途径，是形成和发展自 然科学理论的实践基础，只要勤于观察和善于观察，就会有 所发现。 从数学角度来说，观察就是人们

4、对事物或问题的数学特 征通过视觉获取信息，运用思维辨认其形式、结构和数量关 系，从而发现某些规律或性质的方法3。数学研究的是现 实世界的空间形式和数量关系，自然离不开人们敏锐而准确 的观察，数学家欧拉曾经说过：“在通常的纯数学中，观察 也有很重要的地位?。”观察是认识的基础，是学习 知识的起点，是形成理论的先导。观察在数学教学中是充满 活力的方法，在中学数学教学中合理的运用观察法有助于数 学概念的形成、发现数学规律、发现数学性质和探索解题方 法与途径。 2.观察在中学数学教学中的应用 对于数学教学来说，无论是概念的形成、规律的探索， 还是数学性质的发现，在这些数学活动中观察都具有十分重 要的作

5、用。在通过观察形成的经验知识中，既包含了对事物 的内部特征的把握，也包含了对事物之间关系的了解，因而 通过观察既有利于深入事物的本质形成数学概念，也有助于 理解事物内部的关系而发现数学规律和数学性质。2.1 有助于发现规律。往往在给出一组变化的数、式子、 图形或条件下，通过对这些 特殊情况的观察、分析、猜想得出一般情况的结论，从 而发现内在规律。在学生经过认真的观察，发现观察对象的 规律后从而获得知识，这样能使学生对知识理解得透彻，掌 握得更好。 例如：同底数幂的乘法 计算下列各式 （1） 10 210= ；（2） 10 210 3= ； （3） 10 310 5= 老师问：试说出每个运算的步

6、骤？ 学生答： 10 210=(1010)10=10 3=10 2+1 10 210 3=(1010)(101010)=10 5=10 2+3 10 310 5=(101010)(10 10101010) =10 8=10 3+5 老师问：请仔细观察条件与结论中的指数与底数各具有 怎样的特点和关系？ 学生答：观察到的结果是发现了算式的底数相同，其结 果的底数仍然是这个底数，而结果的指数是两个幂的指数之 和这一规律。 老师在学生通过观察具体和特殊情况的运算得出这一 规律的基础上，引导学生猜想、归纳出从特殊到一般的规律， 从而得出同底数幂的乘法运算。通过提问，让学生有目的、 分层次地进行观察，积极

7、主动地感知观察对象，把注意力都 集中在算式和结果上，从而迅速的发现规律。可见，观察有 助于发现数学规律。 学生通过仔细观察探索出数学规律，这比老师直接给出 来更能激发学生学习的兴趣和加深学生学习数学的体验。 2.2 有助于数学概念的形成。数学概念是现实世界的事 物和现象的数量关系和空间形 式的基本属性在人们头脑中的反映。数学概念是高 度概括、高度抽象的，在数学教学中若能从学生接触过或认 识过的事物入手，并引导学生去观察，这将有助于发现和形 成相应的数学概念。 例如：等差数列的概念 观察下列数列有什么相同点？ 0，5，10，15，20，25，30 ，?； 2，0，-2，-4，-6，?； 110

8、， 210 ， 310 ， 410 ，?； 教师引导学生观察：先看数列，从第二项起，每一项 与前一项的差有什么特点？ 学生观察到的结果：对于数列，从第二项起，每一项 与前一项的差都等于5；教师再引导学生继续观察：数列、 有无这样的特点？ 学生观察到的结果： 对于数列，从第二项起，每一项与前一项的差都等于 -2； 对于数列，从第二项起，每一项与前一项的差都等于 110 ； 最后在通过归纳得出这些数列的共同特点：从第二项 起，每一项与前一项的差都等于同一个常数； 教师通过引导学生观察数列的相同点，使学生自己发现 等差数列的特点，从而引出来等差数列的概念，这样能使学 生较容易地理解、掌握数学概念且对

9、新知识印象深刻，同时 也提高了学生的学习兴趣。 2.3 有助于发现数学中的性质。数学中的性质反映了客 观事物的某些规律，在教学中通过引导学生去观察，让学生 懂得这些知识是怎样形成的、反映了哪方面的客观规律，这 样能提高学生对知识理解过程中的清晰度，从而达到准确、 灵活的运用这些性质。各种函数的性质、各种几何图形的性 质等，可以通过展示直观的图象，尽可能让学生观察，从中 发现性质。 例如：函数的单调性 教师引导学生观察：请观察函数 y=x 2 的图象， 指出这个图象中哪部分从左向右看是上升的，哪部分从左向 右看是下降的？ 图1 学生观察到的结果：发现从左向右看图象在 y 轴的右 侧是上升的，在y

10、 轴的左侧是下降的。 教师引导学生观察：再仔细观察在y 轴的右侧的图象， 我们怎样用数学语言描述图象的上升？ 学生观察到的结果：当x 在区间 0,+)上取值时， 随着x 的增大，相应的y 值也随着增大。 教师再引导学生继续观察：观察在y 轴的左侧的图象， 我们又怎样用数学语言描述图象的下降？ 学生观察到的结果：当x 在区间(,0)上取值时，随 着x 的增大，相应的y 值反而随着减小。 学生通过观察得出y=x 2 的函数图象的特征之后，老 师在进一步来引出函数单调性的定义。 在教学过程中选取学生学过且熟悉的函数图象为对象 进行观察，这能使学生观察的更全面和深入，同时引导学生 去观察让学生清楚需要

11、观察什么，明确观察的目的。由观察 直观的函数图象，经过分析、归纳出抽象的定义，加深对单 调性的理解，这样对于学生掌握单调性起到事半功倍的效 果。同时，调动了学生学习的积极性，使学生从被动的学习 变为主动的学习。 3.观察在中学数学解题中 的应用 观察也广泛地应用于解决数学问题，数学解题需要透过 观察去认识本质，找出问题的内在联系和规律。观察是一种 有目的、有计划的主动知觉的方法，边观察边思考，有助于 寻找解题的突破口，有助于探索和发现解题的途径。一般来 说，在解决数学时多从观察问题特征入手、从观察分析条件 的隐含关系入手、从观察问题间的差异入手、从选择适当的 观察角度入手等去寻找解决数学问题的

12、突破口和途径。 3.1 注意观察问题的特征。在数学解题中，有些数学问 题蕴含的性质比较隐蔽，一时难以观察到某些特征，但是如 果稍加分析，使得对某些特征初有感知，然后再根据其特征 进行分析、变换、联想、构造，往往可以迅速获得解决问题 的思路优化问题解决的过程。 3.1.1 观察数字的特征。数学式子里的数值特征，往往 蕴含着数学问题的本质与规律，这对解题起着导向作用。在 数学解题时，要善于观察分析，从数字本身的变化、数字与 数字之间的联系去寻找解题的思路。 例1 设 f(x)=4 x4 x+2 求 f(11001)+f(21001)+ + f(10001001) 的值 分析：逐项求和显然很烦，认真

13、观察所要求的式子可发 现与首尾等距离的两项自变量数值之和 11001+10001001=21001+9991001= =5001001+5011001 =1 根据观察发现自变量数值特征 若设 x 1+x 2=1 ，那么只须证明 f(x 1)+f(x 2) 等于常数，则问 题可解。 解：设 x 1+x 2=1 ，则 f(x 1)+f(x 2)=4 x 1 4 x 1 +2+4 x 2 4 x 2 +2 =4 x 1 (4 x 2 +2)+4 x 2 (4 x 1 +2)(4 x 1 +2)(4 x 2 +2) = 24 x 1+x 2 +24 x 1 +24 x 2 4 x 1+x 2 +24

14、x 1 +24 x 2 +4 =8+24 x 1 +24 x 2 8+24 x 1 +24 x 2 =1 又 11001+10001001=21001+9991001=?=5001001+5011001=1 f(11001)+f(21001)+ ? + f(10001001) = f(11001)+f(10001001)+ f(21001)+f(9991001)+? f(5001001)+f(5011001) =500 从例1 可以看出，在解题时仔细观察发现数值的特征， 把注意力集中在这些特征上，在运用已知条件从中发现解决 问题的方法、途径。 3.1.2 观察图形特征。图形的合理运用是非常重要

15、的， 注意观察图形的特征，可以发现图形中隐含的重要的关系， 同时也有利于运用数形结合方法，在解题中获得优解。 例2 如图2 所示， a 是半径为1 的 o 外的一 点， oa=2 ， ab 是 o 的切线， b 是切点， 弦 bc oa ，连结 ac ，求阴影部分的面积？ 图2 分析：要求此不规则阴影部分的面积，一般采用分块求 解，观察图形知该阴影部分由两块构成。先求 abc 的 面积，作 abc 的高线，再观察图形连结 oc 、 ob ，发现 boc 与 abc 有相同的底和高，则 s boc =s abc ，即 s 扇形boc 等于所要求的阴影面积。 解：根据题意连结 oc 、 ob ab

16、 是 o 的切线， o 的半径为1，且 oa=2 oab=30 ，又 bc oa ， cbo=boa =60 即 boc 为等边三角形 又 boc 与 abc 等底等高， s boc =s abc 即 s 阴影 = s 扇形 boc =12 60 1801 2= 6 由例2 可知在中学数学解题中，通过观察直观图象的特 征，这有利于发现题目所隐含的已知条件，然后运用这些已 知条件去寻找解决问题的思路及途径，使问题得以解决。 3.2 注意观察发现隐含条件。所谓隐含条件是指若明若 暗，含蓄不露的已知条件。在观察时抓住观察对象的本质， 不仅考虑表面上呈现出来的数量关系和图形的性质，而且也 要善于洞察出

17、隐含在深处的数量关系和图形性质。往往隐含 条件很可能是解题的关键所在，而要发现隐含条件只有通过 仔细观察。 例3 解方程2 x1x+1x+12x1=32 分析：此题若直接去根号、去分母来解，计算量大且很 繁，观察其特点发现根号里的式子 2x1x+1 与 x+12x 1 是互为倒数关系这一隐含条件，解题时运用这一关系 可以采用换元法求解。 解：令 2x1x+1=y ,则 x+12x1=1y 所以原 式等于 y1y=32 ，可得 y=14 或 y=4 从而得到 x=57 或 x=52 从例3 可以看出在数学解题中，有些数学问题蕴含的条 件比较隐蔽，一时难以观察到某些条件，但是如果稍加分析， 使得对

18、某些条件初有感知，然后再根据条件去寻找解决问题 的思路。可见，只有仔细地观察问题中所隐含的已知条件， 才能更好地抓住解决问题的关键。 3.3 注意观察问题间的差异。问题之间的差异表明了它 们之间的相互区别，以及它们对于解题可能发挥的各种不同 作用。如果能观察到问题中的各种差异，并设法消除差异， 或者发现问题中式子间的共同点，往往可以发现解题的途 径。 例4 已知 2 tan 2b= tan a+ tan b ， 求证 tan (ab)= sin 2b 分析：显而易见，要从要证等式的右边着手证明相对困 难，应该从证等式的左边入手，设法逐步推出右边。推导过 程中应时时注意已有的结果与 sin 2b

19、 之间的差异。 把 tan (ab) 展开有 tan (ab)= tan a tan b1+ tan a tan b 与 sin 2b 做比较，知道必须将 tan (ab) 中含有角 a 的 函数式消掉。由已知条件得 tan a= tan b(3+ tan 2b)1 tan 2b （1） 把（1）代入 tan (ab) 展开的式子中，化简， 整理得出 tan (ab)= tan a tan b1+ tan a tan b=2 tan b1+ tan 2b = sin 2b 命题得证。 解： 2 tan 2b=4 tan b1 tan 2b 且 2 tan 2b= tan a+ tan b 4

20、tan b1 tan 2b= tan a+ tan b 即 tan a = 4 tan b1 tan 2b tan b = tan b(3+ tan 2b)1 tan 2b （1） 又 tan (ab)= tan a tan b1+ tan a tan b （2） 把（1）代入（2）得 tan (ab)=2 tan b1+ tan 2b = 2 sin b cos 2b cos b=2 sin b cos b= sin 2b 即 tan (ab)= sin 2b 由例4 可以看出，认真仔细地观察对于我们解数学题是 很有必要的，只有仔细地观察问题才能发现它们之间的差 异，从差异中发现解决问题的突破口。 3.4 注意选择适当的观察角度。有些问题，如果能根据 题中所提供的信息，在有意识的分析过程中选择适当的观察 角度，往往能越过“思维障碍”，突破解题难关，获得“柳 暗花明又一村”的效果，不同的观察角度往往可以使我们得 到不同的解题途径。 例5 已知 a 2+b 2=1 ， c 2+d 2=1 且 a 、 b 、 c 、 d 都是正数。求证 ac+bd 1 分析：从代数的角度，观察 a 2+b 2=1 ， c 2+d 2=1 则会用代数法去解 把已知两式相加得 a 2+b 2 + c 2+d 2 =2 根据 a 2+c 22ac ， b 2+d 22bd 这两式相加得 a 2+b 2