微分方程基本概念、可分离变量、齐次方程

1、微分方程微分方程 第十二章第十二章yxfy求已知, )( 积分问题积分问题 yy求及其若干阶导数的方程已知含, 微分方程问题微分方程问题 推广 第一节第一节 微分方程的基本概念微分方程的基本概念)(12xy . 1程程微分的方程称为微分方微分的方程称为微分方含有未知函数的导数或含有未知函数的导数或:例如例如)(.289 y)(334223xyxyxyx )(sin)(425121044xyyyyy )(5222222222zuyuxuatu .都是微分方程都是微分方程.2方方程程称称为为常常微微分分方方程程未未知知函函数数为为一一元元函函数数的的)5(.例例方程称为偏微分方程方程称为偏微分方程

2、未知函数为多元函数的未知函数为多元函数的.本章只讨论常微分方程本章只讨论常微分方程)4()1( 例例.3的阶的阶的最高阶称为微分方程的最高阶称为微分方程方程中未知函数的导数方程中未知函数的导数, )(.4成为恒等式成为恒等式代入微分方程能使方程代入微分方程能使方程函数函数xyy .)(称为该方程的解称为该方程的解则则xyy :例例如如,)(xy21.22的解的解为为xycxy ,.)(892 y,.189cxy.21294cxcxy.8 . 99 . 4212的的解解为为 ycxcxy且任意常数的且任意常数的有任意常数有任意常数如果微分方程的解中含如果微分方程的解中含,.5此解叫做微分方程此解

3、叫做微分方程与微分方程的阶相同与微分方程的阶相同相互独立相互独立个数个数,)(.的通解的通解:例例如如.22的通解的通解为为xycxy .8 . 99 . 4212的的通通解解为为 ycxcxy.8 . 99 . 4212的通解的通解不是不是 yccxy.6件称为定解条件件称为定解条件用来确定任意常数的条用来确定任意常数的条.件件分分为为初初始始条条件件和和边边界界条条定定解解条条件件按按物物理理意意义义可可:)(适适合合数数例例如如自自由由落落体体的的路路程程函函tss )()(,)()(.7000689shss2129 . 4)()6(ctctts 的通解为的通解为2129 . 4)()6

4、(ctctts 的通解为的通解为,)(hchs200890001tcts.)(.01 chttss294.)(.)7(),6(的的解解是是,)6()7(的定解条件的定解条件为为 )()(,)()(.7000689shss.),( .初速度初速度初位移初位移初始条件初始条件.7微微分分方方程程的的特特解解满满足足定定解解条条件件的的解解称称为为.)7()6(9 . 4)(,2的的特特解解满满足足条条件件为为方方程程前前面面httss 称为微分方程称为微分方程是一条曲线是一条曲线微分方程的特解的图形微分方程的特解的图形,.8.的积分曲线的积分曲线称为微分方程的称为微分方程的是一族曲线是一族曲线微分

5、方程的通解的图形微分方程的通解的图形,. )(族族积分曲线积分曲线.分分的的微微分分方方程程我我们们已已经经会会解解能能直直接接积积xexy sin1例例,cos)(sin1cexdxexyxx 解解)(.sin21通通解解cxcexyx eyxy)1(ln2例例)(.lnln通通解解解解cxxxdxxy ecy 11)(1ec)(. 1ln特特解解 exxxyxxysin3 例例cdxxxy sin解解;,明明显显地地写写出出来来把把为为了了表表示示是是通通解解c 积积 dxxxsin.,经解出来了经解出来了但到此认为微分方程已但到此认为微分方程已不出来不出来求所满足的微分方程求所满足的微分

6、方程 .例例4. 已知曲线上点已知曲线上点 P(x, y) 处的法线与处的法线与 x 轴交点为轴交点为 QPQxyox解解: 如图所示如图所示, yYy1)(xX 令令 Y = 0 , 得得 Q 点的横坐标点的横坐标yyxX,xyyx即02 xyy点点 P(x, y) 处的法线方程为处的法线方程为且线段且线段 PQ 被被 y 轴平分轴平分, 第二节第二节 可分离变量的微分方程可分离变量的微分方程:先先举举几几个个例例子子yxy21 例例yxxdyd2 解解xdxydy21xdxydy21cxylnln2)(2通解通解xcey :验证验证2xcey xceyx22xy 2yx2,可取任意实数可取

7、任意实数c.包括负数和零包括负数和零xyyyln2 例例xyyxdydln 解解xxdyyydlncxylnlnlnln: 积积分分得得xcy ln)(.通解通解xcey 程程能能化化成成如如果果一一个个一一阶阶常常微微分分方方结结论论 :)()()(1xdxfydyg.,变量的变量的则称这个方程是可分离则称这个方程是可分离的形式的形式.)1(两两边边积积分分即即可可解解这这个个方方程程只只需需将将例例3. 求微分方程求微分方程yxxy23dd的通解的通解.解解: 分离变量得分离变量得xxyyd3d2两边积分两边积分xxyyd3d2得得13lncxy cxylnln3 即即13cxey 31x

8、cee 3xecy 1cec 令令( c为任意常数为任意常数 )或说明说明: 在求解过程中在求解过程中每一步不一定是同解每一步不一定是同解变形变形, 因此可能增、因此可能增、减解减解.( 此式含分离变量时丢失的解此式含分离变量时丢失的解 y = 0 ) 1)0(422yyxyxyxy例例)1()1(22xyyxxdyd 解解2211xxdxyydy122121121cxyln)(ln)(. )1(122隐式通解隐式通解xcy :积积分分得得10 )(y12c 10yx即即2 c22221xy)(隐式特解隐式特解1222 yx或或初值问题初值问题mkte1)(.特解kmgv 所受空气阻力与速度所

9、受空气阻力与速度降落伞从跳伞塔下落后降落伞从跳伞塔下落后例例,5求降落伞求降落伞速度为零速度为零降落伞离开跳伞塔时降落伞离开跳伞塔时成正比成正比.)0(, t.关关系系下下落落速速度度与与时时间间的的函函数数则则阻阻力力设设解解, )(kvRtvv kvmgdtdvm00 )(v:解解微微分分方方程程dtmkvmgdv1dtmkvmgdv111cmtkvmgkln2cmktkvmgln)(.通通解解mktcekvmg 00 )(v10cmgmgc mktemgkvmg有有意意义义只只有有特特解解才才对对具具体体问问题题第三节第三节 齐次方程齐次方程一一阶阶常常微微分分方方程程)(1fdxdyx

10、y.称为齐次方程称为齐次方程.是一元函数是一元函数这里这里 f:齐次方程的求解齐次方程的求解)()(xuxxyu 设设xuy 则则dxduxudxdy:)1(式得式得代入代入)(ufdxduxuuufdxdux)(xdxuufdu)(,变变量量已已经经分分离离, )(xuu 可可求求出出. )(xuxy 进进而而例例1. 解微分方程解微分方程.tanxyxyy解解:,xyu 令,uxuy则代入原方程得代入原方程得uuuxutan分离变量分离变量xxuuuddsincos两边积分两边积分xxuuuddsincos得得,lnln)(sinlncxu xcu sin即即故原方程的通解为故原方程的通解

11、为xcxy sin( 当当 c = 0 时时, y = 0 也是方程的解也是方程的解)( c 为任意常数为任意常数 )例例2. 解微分方程解微分方程.0dd)2(22yxxyxy解解:,2dd2xyxyxy方程变形为,xyu 令则有则有22uuuxu分离变量分离变量xxuuudd2积分得积分得,lnln1lncxuu xxuuudd111即代回原变量得通解代回原变量得通解即即cuux )1(ycxyx )(说明说明: 显然显然 x = 0 , y = 0 , y = x 也是原方程的解也是原方程的解, 但在但在(c 为任意常数为任意常数)求解过程中丢失了求解过程中丢失了. 02)3(322 d

12、yxydxyx例例xyyxdxdy2322 解解,xyu 令令,xuy 则则dxduxudxdyuudxduxu2312 所以所以uudxdux212xdxuudu212:积积分分得得cxulnln)ln(21cxu 21xcxy221xyxy2312.322xcyx)(隐隐式式通通解解dxdyxydxdyxy 224例例22xxyydxdy 解解12xyxy,xyu 令令,uxy 则则dxduxudxdy12uudxduxu1uudxduxxdxduuu1xdxduu11cxuulnlncuxu)ln(cyxy ln)(隐隐式式通通解解内容小结内容小结1. 微分方程的概念微分方程的概念微分方

13、程微分方程;定解条件定解条件;2. 可分离变量方程的求解方法可分离变量方程的求解方法:说明说明: 通解不一定是方程的全部解通解不一定是方程的全部解 .0)(yyx有解有解后者是通解后者是通解 , 但不包含前一个解但不包含前一个解 .例如例如, 方程方程分离变量后积分分离变量后积分; 根据定解条件定常数根据定解条件定常数 .解解; 阶阶;通解通解; 特解特解 y = x 及 y = c 找出事物的共性及可贯穿于全过程的规律列方程找出事物的共性及可贯穿于全过程的规律列方程.常用的方法常用的方法:1) 根据几何关系列方程根据几何关系列方程2) 根据物理规律列方程根据物理规律列方程3) 根据微量分析平衡关系列方程根据微量分析平衡关系列方程(2) 利用反映事物个性的特殊状态确定定解条件利用反映事物个性的特殊状态确定定