柱体、椎体、台体、球体的体积和球的表面积

1、柱体、锥体、台体、球体的体积和球体的表面积思考：思考：取一些书堆放在桌面上取一些书堆放在桌面上( (如图所示如图所示) ) ，并改变它们的放置方法，观察改变前后的体并改变它们的放置方法，观察改变前后的体积是否发生变化？积是否发生变化？从以上事实中你得到什么启发？从以上事实中你得到什么启发？一、柱体、锥体、台体的体积一、柱体、锥体、台体的体积 关于体积有如下几个原理：关于体积有如下几个原理： （1 1）相同的几何体的体积相等；）相同的几何体的体积相等； （2 2）一个几何体的体积等于它的各部分体积之和；）一个几何体的体积等于它的各部分体积之和； （3 3）等底面积等高的两个同类几何体的体积相等；

2、）等底面积等高的两个同类几何体的体积相等； （4 4）体积相等的两个几何体叫做）体积相等的两个几何体叫做等积体等积体. . 归纳：归纳：长方体体积：长方体体积：正方体体积：正方体体积：vabc3vavs h正方体、长方体以及圆柱的体积公式正方体、长方体以及圆柱的体积公式, ,它们的体积公式它们的体积公式可以统一为：可以统一为：shv （s为底面面积，为底面面积，h为高）为高）一般棱柱体积也是：一般棱柱体积也是：shv 其中其中s为底面面积，为底面面积，h为棱柱的高为棱柱的高hs棱锥与同底等高的棱柱体积之间的关系棱锥与同底等高的棱柱体积之间的关系三棱锥与同底等高的三棱柱的关系三棱锥与同底等高的三

3、棱柱的关系探探究究shv31（其中（其中s为底面面积，为底面面积，h为高）为高） 由此可知，棱柱与圆柱的体积公式类似，都是底由此可知，棱柱与圆柱的体积公式类似，都是底面面积乘高；棱锥与圆锥的体积公式类似，都是等于面面积乘高；棱锥与圆锥的体积公式类似，都是等于底面面积乘高的底面面积乘高的 31 经过探究得知，棱锥也是同底等高的棱柱体积经过探究得知，棱锥也是同底等高的棱柱体积的的 即棱锥的体积：即棱锥的体积：31 由于圆台由于圆台( (棱台棱台) )是由圆锥是由圆锥( (棱锥棱锥) )截成的，因此可以利用两个锥体的截成的，因此可以利用两个锥体的体积差得到圆台体积差得到圆台( (棱台棱台) )的体积

4、公的体积公式式根据台体的特征，如何求台体的体积？根据台体的特征，如何求台体的体积？ababcdcdpsshdcbapabcdpvvvhssss)(31 其中其中 ， 分别为上、下底面面积，分别为上、下底面面积，h为圆台为圆台（棱台）的高（棱台）的高ss公式推导过程公式推导过程棱台和圆台棱台和圆台可以这样得到小圆锥大圆锥圆台vvv)(31hshhs上下下上sshhh上下上ssshh)(31hsssshssv下上下上上下圆台hssss)(31下上下上棱台的体积公式同理可得.柱体、锥体、台体的体积公式之间有什么关系？柱体、锥体、台体的体积公式之间有什么关系？hssssv)(31s为底面面积，为底面面

5、积，h为柱体高为柱体高shv ss s分别为上、下分别为上、下底面底面面积，面积，h 为台体高为台体高shv310ss为底面面积，为底面面积，h为锥体高为锥体高上底扩大上底扩大上底缩小上底缩小二、球体的体积和表面积二、球体的体积和表面积 探探究究 如果用油漆去涂一个足球和一个篮球，且涂的油漆如果用油漆去涂一个足球和一个篮球，且涂的油漆厚度相同，问哪一个球所用的油漆多？为什么？厚度相同，问哪一个球所用的油漆多？为什么？ 一个充满空气的足球和一个充满空气的篮球，一个充满空气的足球和一个充满空气的篮球，球内的气压相同，若忽略球内部材料的厚度，则哪一球内的气压相同，若忽略球内部材料的厚度，则哪一个球充

6、入的气体较多？为什么？个球充入的气体较多？为什么？球的截面的形状圆面圆面球的概念球的概念球面被经过球心的平面截得的圆叫做球面被经过球心的平面截得的圆叫做大圆大圆不过球心的截面截得的圆叫做球的不过球心的截面截得的圆叫做球的小圆小圆rrlo因此因此 s圆圆 = 2r= ( )22lr = 2r2llloll设球的半径为设球的半径为r,r,截面半径为截面半径为r,r,平平面面 与截面的距离为与截面的距离为那么那么 r = r = 22lrlh排液法测小球的体积排液法测小球的体积（一）、球的体积：（一）、球的体积：探探究究公式？公式？h实验：排液法测小球的体积实验：排液法测小球的体积曹冲称象曹冲称象h

7、r.34,32:33rvrv 从从而而猜猜测测半半球球? 半球半球v331rv 圆锥圆锥333rv 圆柱圆柱高等于底面半径的旋转体体积对比高等于底面半径的旋转体体积对比2、类推法：、类推法：or)1( inr半半径径：层层“小小圆圆片片”下下底底面面的的第第i.,2,1,)1(22niinrrri iro3、分割极限法：、分割极限法：nininrnrrvii,2,1,)1(1232 niinrrri,2,1,)1(22 nvvvv 21半球半球)1(2122223nnnnr 6) 12() 1(123 nnnnnnr 6)12)(1(1123 nnnr 6)12)(11(13nnrv 半半球球

8、.01, nn时时当当.343233rvrv 从从而而半半球球334rvr 的的球球的的体体积积为为：定定理理：半半径径是是ois o（二）、球的表面积：（二）、球的表面积：探探究究公式？公式？分割法分割法第第一一步：步：分分割割球面被分割成球面被分割成n n个网格，表面积分别为：个网格，表面积分别为：nssss ,321，则球的表面积：则球的表面积：nsssss 321则球的体积为：则球的体积为：iv 设“小锥体”的体积为设“小锥体”的体积为ivnvvvvv 321iso oo o第第二二步：步：求求近近似似和和ih由第一步得：由第一步得：nvvvvv 321nnhshshshsv 3131

9、3131332211 iiihsv 31 o oisivo o第第三三步：步：化化为为准准确确和和rsvii31 如果网格分的越细如果网格分的越细, ,则则: “: “小小锥体锥体”就越接近小棱锥就越接近小棱锥rsrsrsrsvni 3131313132 rsssssrni31).(3132 334rv 又又球球的的体体积积为为：ris ivihiso oiv234,3134rsrsr 从从而而rhi的的值值就就趋趋向向于于球球的的半半径径 1 1343vr球球的体积和表面积公式：球的体积和表面积公式：or 例例1、 有一堆规格相同的铁制（铁的密度是有一堆规格相同的铁制（铁的密度是 ）六角螺帽

10、共重）六角螺帽共重5.8kg，已知底面是正六边，已知底面是正六边形，边长为形，边长为12mm，内孔直径为，内孔直径为10mm，高为，高为10mm，问这堆螺帽大约有多少个（问这堆螺帽大约有多少个（ 取取3.14）？）？3/8 . 7cmg 解：解：六角螺帽的体积是六棱六角螺帽的体积是六棱柱的体积与圆柱体积之差，即柱的体积与圆柱体积之差，即: :10)210(14. 3106124322v)(29563mm)(956. 23cm所以螺帽的个数为所以螺帽的个数为252)956. 28 . 7(10008 . 5（个）（个）答：这堆螺帽大约有答：这堆螺帽大约有252252个个三、例题讲解三、例题讲解

11、例例2 、已知一正四棱台的上底边长为、已知一正四棱台的上底边长为4cm，下底边长为下底边长为8cm，高为，高为3cm，求其体积。，求其体积。13vh下下台体上上s +s + ss 例例3 、 一个圆锥形的空杯子上面放着一个半球一个圆锥形的空杯子上面放着一个半球形的冰淇淋，如果冰淇淋融化了，溢出杯子吗？形的冰淇淋，如果冰淇淋融化了，溢出杯子吗？（假设冰淇淋融化前后体积不变）（假设冰淇淋融化前后体积不变）12cm4cm8.5cm8cm例例4 、 一个圆柱形的玻璃杯的内半径为一个圆柱形的玻璃杯的内半径为3cm，瓶里说装的水深为瓶里说装的水深为8cm，将一个钢球完全浸，将一个钢球完全浸入水中，瓶中水的

12、高度上升到入水中，瓶中水的高度上升到8.5cm，求钢，求钢球的体积。球的体积。例例5、一种空心钢球的质量是一种空心钢球的质量是142g,142g,外径是外径是5cm,5cm,求它的内径求它的内径.( .(钢的密度是钢的密度是7.9g/cm7.9g/cm3 3) )解解:设空心钢球的内径为设空心钢球的内径为2xcm,则钢球的质量是则钢球的质量是答答:空心钢球的内径约为空心钢球的内径约为4.5cm.14234)25(349.733 x 3.1149.73142)25(33 x由计算器算得由计算器算得:24. 2 x5 . 42 x( (变式变式) )把钢球放入一个正方体的有盖纸盒中把钢球放入一个正

13、方体的有盖纸盒中, ,至少要用多少纸至少要用多少纸? ?用料最省时用料最省时, ,球与正方体有什么位置关系球与正方体有什么位置关系? ?球内切于正方体球内切于正方体2215056cms 侧侧侧棱长为侧棱长为5cm例例6 6、如、如图，正方体图，正方体abcd-aabcd-a1 1b b1 1c c1 1d d1 1的棱长为的棱长为a,a,它的各个顶点都在球它的各个顶点都在球o o的球面上，问球的球面上，问球o o的表的表面积。面积。a ab bc cd dd d1 1c c1 1b b1 1a a1 1o o分析：正方体内接于球，则由球和正方分析：正方体内接于球，则由球和正方体都是中心对称图形

14、可知，它们中心重体都是中心对称图形可知，它们中心重合，则正方体对角线与球的直径相等。合，则正方体对角线与球的直径相等。22222113423,)2()2(:arsaraarddbrt 得得中中略略解解：a ab bc cd dd d1 1c c1 1b b1 1a a1 1o ooabco 例例7、已、已知过球面上三点知过球面上三点a、b、c的截面到球的截面到球心心o的距离等于球半径的一半，且的距离等于球半径的一半，且ab=bc=ca=cm，求球的体积，表面积，求球的体积，表面积解：解：如图，设球如图，设球o半径为半径为r，截，截面面 o的半径为的半径为r，是正三角形，是正三角形，abcroo

15、 ,2 r332ab2332ao ,222aooooaaoort 中中解解：在在 ,)332()2r(r222 .34r ;81256)34(343433 rv.96491644s2 r2、一、一个正方体的顶点都在球面上个正方体的顶点都在球面上,它的棱长是它的棱长是4cm,这个球的体积为这个球的体积为cm3. 8 3323、有、有三个球三个球,一球切于正方体的各面一球切于正方体的各面,一球切于一球切于正方体的各侧棱正方体的各侧棱,一球过正方体的各顶点一球过正方体的各顶点,求这三求这三个球的体积之比个球的体积之比_.1、球、球的直径伸长为原来的的直径伸长为原来的2倍倍,体积变为原来的倍体积变为原

16、来的倍.练习一练习一33:22:1四四、课堂练习、课堂练习4 4、若、若两球体积之比是两球体积之比是1:21:2，则其表面积之比是，则其表面积之比是_. .练习二练习二2422:134:11、若、若球的表面积变为原来的球的表面积变为原来的2倍倍,则半径变为原来的则半径变为原来的_倍倍.2、若、若球半径变为原来的球半径变为原来的2倍，则表面积变为原来的倍，则表面积变为原来的_倍倍.3、若、若两球表面积之比为两球表面积之比为1:2，则其体积之比是，则其体积之比是_.5 5、长、长方体的共顶点的三个侧面积分别为方体的共顶点的三个侧面积分别为 ， 则它的外接球的表面积为则它的外接球的表面积为_. .15,5,3 96 6、若两球表面积之差为若两球表面积之差为4848 , ,它们大圆周长之和为它们大圆周长之和为12