刚体之共轴定滑轮系统的加速度和张力

1、如图所示，一个内外半径分别为如图所示，一个内外半径分别为r1和和r2的定滑轮的定滑轮c的转动惯量的转动惯量为为j，上面绕有轻绳，轻绳两边挂有质量分别为，上面绕有轻绳，轻绳两边挂有质量分别为m1和和m2的物体的物体a和和b。不计轴处的摩擦，求物体的加速度和定滑轮的角加速。不计轴处的摩擦，求物体的加速度和定滑轮的角加速度以及轻绳的张力。当度以及轻绳的张力。当m2 = 0.5kg，r1 = 0.1m，r2 = 0.05m，j = 0.005kgm2时，时，物体的加速度和轻绳的张力随质量物体的加速度和轻绳的张力随质量m1的变化的变化有什么规律？有什么规律？(g = 10m/s2) m1g - t1 =

2、 m1a1，t2 - m2g = m2a2，解析解析假设假设a和和b的加速度大小分别为的加速度大小分别为a1和和a2，两边轻，两边轻绳张力分别为绳张力分别为t1和和t2，根据牛顿运动定律可列方程，根据牛顿运动定律可列方程设滑轮的角加速度为设滑轮的角加速度为，根据转动定理可得方程，根据转动定理可得方程t1r1 t2r2 = j 加速度和角加速度的关系为加速度和角加速度的关系为a1 = r1，a2 = r2， m1gt2ba2t1am2ga1r1t2t1r2c角加速度为角加速度为11222212.()m rm r gm rm rj可得可得m1gr1 m2gr2 = (m1r12 + m2r22 +

3、 j)，范例范例4.4 共轴定滑轮系统的加速度和张力共轴定滑轮系统的加速度和张力线加速度为线加速度为张张力力为为角加速度为角加速度为11222212()m rm r gm rm rj1122111221122(),m rm r r garm rm rj1122222221122()m rm r r garm rm rjm1gt2ba2t1am2ga1r1t2t1r2c22121111221122()()m r rrj m gtm gam rm rj11122222221122().(m r rrj m gtmgam rm rj如图所示，一个内外半径分别为如图所示，一个内外半径分别为r1和和r2

4、的定滑轮的定滑轮c的转动惯量的转动惯量为为j，上面绕有轻绳，轻绳两边挂有质量分别为，上面绕有轻绳，轻绳两边挂有质量分别为m1和和m2的物体的物体a和和b。不计轴处的摩擦，求物体的加速度和定滑轮的角加速。不计轴处的摩擦，求物体的加速度和定滑轮的角加速度以及轻绳的张力。当度以及轻绳的张力。当m2 = 0.5kg，r1 = 0.1m，r2 = 0.05m，j = 0.005kgm2时，时，物体的加速度和轻绳的张力随质量物体的加速度和轻绳的张力随质量m1的变化的变化有什么规律？有什么规律？(g = 10m/s2) 范例范例4.4 共轴定滑轮系统的加速度和张力共轴定滑轮系统的加速度和张力当当r1 = r

5、2 = r时，这是典型的阿脱伍德机。时，这是典型的阿脱伍德机。讨论讨论11222212(),m rm r gm rm rj112211221122(),m rm r r gam rm rj112222221122()m rm r r gam rm rj221211221122(),m r rrj m gtm rm rj111222221122()m r rrj m gtm rm rj1212(),()mmgmm r1212,mmagmm1212122m m gttmm如果如果j = mr2/2，滑轮就是匀质圆盘；，滑轮就是匀质圆盘；如果如果j = mr2，滑轮就是匀质圆环，滑轮就是匀质圆环。如

6、果不计滑轮质量，即如果不计滑轮质量，即j = 0，则，则范例范例4.4 共轴定滑轮系统的加速度和张力共轴定滑轮系统的加速度和张力范例范例4.4 共轴定滑轮系统的加速度和张力共轴定滑轮系统的加速度和张力当当m1gr1 = m2gr2时，即时，即a物体的重力对滑轮产生的力矩物体的重力对滑轮产生的力矩与与b物体的重力对滑轮产生的力矩大小相等时，物体静止。物体的重力对滑轮产生的力矩大小相等时，物体静止。当当m1r1 m2r2时，滑轮顺时针转动，时，滑轮顺时针转动，否则，除了静止外，滑轮逆时针转动否则，除了静止外，滑轮逆时针转动。如果如果m2 = 0，则，则11211,m grm rj2111211,m

7、 r gam rj11211,jm gtm rjt2 = 0这是这是b物体不存在，轻绳缠绕在滑轮上的情况。物体不存在，轻绳缠绕在滑轮上的情况。如果不计滑轮质量，如果不计滑轮质量，a物体将做自由落体运动，轻绳无张力。物体将做自由落体运动，轻绳无张力。如果如果m1 = 0，情况正好相反。，情况正好相反。讨论讨论11222212(),m rm r gm rm rj112211221122(),m rm r r gam rm rj112222221122()m rm r r gam rm rj221211221122(),m r rrj m gtm rm rj111222221122()m r rrj

8、 m gtm rm rj1122211,m r r gam rj当当a物体的质量比较小时，其重力产物体的质量比较小时，其重力产生的力矩小于生的力矩小于b物体的重力产生的力物体的重力产生的力矩，两物体的加速度都是负值。矩，两物体的加速度都是负值。当当a物体的重力产生的力矩等于物体的重力产生的力矩等于b物体的重物体的重力产生的力矩时，两物体的加速度都为零。力产生的力矩时，两物体的加速度都为零。当当a物体的重力产生的力矩大于物体的重力产生的力矩大于b物体的重力物体的重力产生的力矩时，两物体的加速度都大于零。产生的力矩时，两物体的加速度都大于零。a物体的加速度比物体的加速度比b物体物体的加速度大。的加速度大。虽然虽然b物体的拉力比物体的拉力比a物体的物体的