必修2 3.3.2~3.3.4 点到直线距离

1、 3.3.23.3.4 点到直线的距离点到直线的距离 和两条平行直线的距离和两条平行直线的距离直线系：直线系：具有某一共同属性的一类直线的集合。具有某一共同属性的一类直线的集合。（1）共点直线系方程：）共点直线系方程：l1: A1 x + B1 y + C1 = 0 ， l2: A2 x + B2 y + C2 = 0 交点的交点的经过两直线经过两直线直线系方程是直线系方程是A1 x + B1 y + C1+ ( A2 x + B2 y + C2) = 0， 其中其中是参变量，它不表示直线是参变量，它不表示直线 l2 .（2）平行直线系方程：）平行直线系方程：的直线系方程是的直线系方程是 A

2、x + B y + = 0 (C) ， 是参变量是参变量.（3）垂直直线系方程：）垂直直线系方程：的直线系方程是的直线系方程是 B x Ay + = 0 (是参变量是参变量) .与直线与直线 A x + B y + C = 0 平行平行与直线与直线 A x + B y + C = 0 垂直垂直复习回顾：复习回顾：平面几何中研究了几种距离，该怎样计算平面几何中研究了几种距离，该怎样计算l点到点的距离l点到线的距离l两平行线间的距离12222121211212(,y )(,y )(-) +(-)P xP xP Px xy y 平平面面中中两两点点、之之间间的的距距离离问题问题直线的距离直线的距离（

3、不在直线上，且，），试求点到（不在直线上，且，），试求点到已知：和直线：已知：和直线：00yxP，l0CByAxPl0AlP0B 要求的长度要求的长度PQ可以先作出距离可以先作出距离PQPQ，求出，求出Q Q点坐标点坐标利用两点的距离公式可以求利用两点的距离公式可以求的长度的长度PQ分析分析1：直接法：直接法问题相对而言和好求一些相对而言和好求一些 如果垂直坐标如果垂直坐标PQPSPRPSPR轴，则交点和距离都容易求出，轴，则交点和距离都容易求出，那么不妨做出与坐标轴垂直的线那么不妨做出与坐标轴垂直的线段和，如图所示，显然段和，如图所示，显然分析分析2：面积法：面积法已知点已知点P的坐标为的坐

4、标为（x0， y0），直线），直线l 的方程的方程是是 Ax+B y +C=0，怎样求点，怎样求点P到到直线直线l 的距离？的距离？ 设设A0，B0，这时，这时l与与x轴、轴、y轴都相交。过轴都相交。过P 作作x轴的平行线，轴的平行线，交交l于点于点 R( (x1, y0) ) ；作；作y轴的平行轴的平行线，交线，交l于点于点 S( (x0, y2) ).由由 A x1+B y0 +C=0 A x0+B y2 +C=0点到直线的距离点到直线的距离.,0201BCAxyACByx 得得.,0201BCAxyACByx 10 xxPR 所所以以，20yyPS 22PSPRRS ,00ACByAx

5、,00BCByAx .0022CByAxBABA 由三角形面积公式可知：由三角形面积公式可知：d RS = PR PS .2200BACByAxd 所以，所以，可证，当可证，当A=0或或B=0时，以上时，以上公式仍适用。于是得到距离公式仍适用。于是得到距离公式：公式：2200BACByAxd 注意：注意：先把直线方程化为一般式，再用公式先把直线方程化为一般式，再用公式 .预备知识：预备知识：对于直线对于直线 l: Ax+B y +C=0 (A0,B0)方向向量和法向量方向向量和法向量可表示为：可表示为：),1(k),1(BA B B，),(AB ).,(ABm 如果向量如果向量 与直线与直线l

6、垂直，垂直，n则称向量则称向量 为直线为直线l的的法向量法向量.n如果向量如果向量 与直线与直线l平行，平行，m则称向量则称向量 为直线为直线l的的方向向量方向向量.m可表示为：可表示为：nm).,(BAn P1P2xy0l已知点已知点P的坐标为的坐标为（x0， y0），直线），直线l 的方程的方程是是 Ax+B y +C=0，怎样求点，怎样求点P到到直线直线l 的距离？的距离？ 点到直线的距离点到直线的距离解：解：设直线设直线l的法向量为的法向量为，n则则),(BAn 过点过点P做直线做直线 l 垂线垂线PQ，则则|PQ|为所求为所求.PQn/nPQ 即即, ),(11yxQ),(),(01

7、01BAyyxx ByyAxx 0101 ByyAxx 0101即即代入直线代入直线l的方程得的方程得0)()(00 CByBAxA )0,0( BA分析分析3：向量法：向量法解得解得2200BACByAx nPQ |nPQ |n 222200|BABACByAx 2200|BACByAxd )0,0( BA时，时，当当0,0 BA直线直线l：，BCy | )(|0BCyd .|0BCBy 时，时，当当0,0 BA直线直线l：，ACx | )(|0ACxd .|0ACAx 因此，当因此，当A=0或或B=0时，时，以上公式仍适用。于是得到以上公式仍适用。于是得到点到直线的距离公式：点到直线的距离

8、公式：2200BACByAxd 注意：注意： 先把直线方程化为一般式先把直线方程化为一般式:Ax+By+C=0，再用公式，再用公式 . 已知点已知点P(x0， y0)，直线，直线l:Ax+B y +C=0，怎样求点怎样求点P到到直线直线l 的距离？的距离？ 点到直线的距离点到直线的距离2200BACByAxd 想一想：想一想：当当A=0或或B=0时时,公式还成立？公式还成立？00 已知点已知点P0(x0， y0)，直线，直线l:Ax+B y +C=0，怎样求点怎样求点P0到到直线直线l 的距离？的距离？ 点到直线的距离点到直线的距离2200BACByAxd 点点P0到到直线直线l 的距离的距离

9、|0BCyd 220000BCByx 公式成立公式成立.想一想：想一想：当当A=0或或B=0时时,公式还成立？公式还成立？0l 分析：分析：当当A=0，B0时，时， 直线直线l:BCy 已知点已知点P0(x0， y0)，直线，直线l:Ax+B y +C=0，怎样求点怎样求点P0到到直线直线l 的距离？的距离？ 点到直线的距离点到直线的距离2200BACByAxd 点点P0到到直线直线l 的距离的距离|0BCyd 220000BCByx 公式成立公式成立.同理当同理当B=0, A0时时,公式也成立公式也成立.想一想：想一想：当当A=0或或B=0时时,公式还成立？公式还成立？0l分析：分析：当当A

10、=0，B0时，时， 直线直线l:BCy 2200BACByAxd 注意：注意： 先把直线方程化为一般式先把直线方程化为一般式:Ax+By+C=0，再用公式，再用公式 .点到直线的距离公式：点到直线的距离公式：例例1 求点求点P0（-1, 2）到下列直线的距离）到下列直线的距离（1） 2 x+ y -10=0； （2） 3 x=2。解：解：，得，得由点到直线的距离公式由点到直线的距离公式)1(2212102)1(2 d510 52 ，轴轴平行于平行于直线直线yx32)2( | )1(32| d35 教材教材108页练习：页练习：1. 求原点到下列直线的距离求原点到下列直线的距离:.)2(;026

11、23)1(yxyx 2. 求下列点到直线的距离求下列点到直线的距离:.034, )21()3(;033, )01()2(;0343, )32()1( yxCyxByxA，.0)2(;132)1(；59)1(；0)2(.52)3(思考：思考：如何求两平行线间的距离？如何求两平行线间的距离？例例2 求平行直线求平行直线 2x-7y +8=0和和 2x-7y -6=0的距离的距离.xyoP解：解：上上取取一一点点在在直直线线0672 yx)03( ，P.0872)03(的的距距离离的的距距离离就就是是两两平平行行线线间间到到直直线线，则则 yxP22)7(280732 d5314 .535314 2

12、2)7(286 xyoP另解：另解：)(067200yxPyx，上上任任取取一一点点在在直直线线 .0872)(00的的距距离离的的距距离离就就是是两两平平行行线线间间到到直直线线，则则 yxyxP2200)7(2872 yxd5314 .535314 想一想：想一想：?)(0672来求距离来求距离，上任取一点上任取一点是否可以在直线是否可以在直线yxPyx 067200 yx67200 yx22)7(286 d再想一想：再想一想：?0:0:2211 dCByAxlCByAxl之间的距离之间的距离，两平行线两平行线猜想：猜想：2212|BACCd xyoP证明：证明：)(0:0011yxPCB

13、yAxl，上任取一点上任取一点在直线在直线 .0:)(2200的的距距离离的的距距离离就就是是两两平平行行线线间间到到直直线线，则则 CByAxlyxP22200BACByAxd 0100 CByAx100CByAx 2212|BACCd 注意：注意：两直线的一次项系数完全相同，两直线的一次项系数完全相同，若不同，需变成系数完全相同时再用若不同，需变成系数完全相同时再用. . (教材教材59页页15题题)已知点已知点P的坐标为（的坐标为（x0, y0），直线），直线l 的方程的方程是是Ax+B y +C=0，则点，则点P到直线到直线l 的距离为：的距离为： 点到直线的距离公式点到直线的距离公式

14、:2200BACByAxd ，之间的距离为之间的距离为，设两平行线设两平行线dCByAxlCByAxl0:0:2211 2212|BACCd 平行线间的距离公式：平行线间的距离公式：则则xdy1l2lo1. 两点两点P1(x1,y1), P2(x2,y2)间的距离公式为间的距离公式为: ，2. 点点P(x0， y0)到到直线直线l:Ax+B y +C=0的距的距离公式为离公式为: 22122121)()(|yyxxPP 2200BACByAxd 3.两平行直线两平行直线l1: Ax+By+C1=0, l2: Ax+By+C2=0间的距离为间的距离为:2221BACCd 知识总结：知识总结：例例

15、3.例例2.则则例例4.的的方方程程。直直线线）两两点点的的距距离离相相等等，求求，（），（的的交交点点，且且与与和和过过直直线线lBAyxyxl543208320543 08320543yxyx由由方方程程组组)1(2 xkyl 方程为：方程为：设设解：解： 21yx解解得得：），（两直线的交点为两直线的交点为21 C1254123222 kkkkkk3313 kk即即)1(312 xyl：.053 yx即即.31 k解解得得：0)2( kykx即即则由题意则由题意.ABC.M例例5.轴轴时时，又又当当xl 的的距距离离：）到到，（），（此此时时154,32 xlBA.1053 xyxl或或

16、：故所求直线故所求直线.3都是都是1 xl：.ABC.M的的方方程程。直直线线）两两点点的的距距离离相相等等，求求，（），（的的交交点点，且且与与和和过过直直线线lBAyxyxl543208320543 08320543yxyx由由方方程程组组：解解2 21yx解解得得：），（两直线的交点为两直线的交点为21 C.ABC.当直线当直线 l / 直线直线AB 时，时，ABlkk 2435 31 )1(312 xyl：.053 yx即即当直线当直线 l 过线段过线段AB的中点的中点M(-1 ,4)时，时，M1 xl：综上所述：综上所述：.1053 xyxl或或：所所求求直直线线例例5.的的方方程程

17、。直直线线）两两点点的的距距离离相相等等，求求，（），（的的交交点点，且且与与和和过过直直线线lBAyxyxl543208320543 ：解解3设直线设直线 l 的方程为：的方程为：0)832(543 yxyx 即即058)34()32( yx由已知得由已知得22)34()32(|583)34(2)32( | 22)34()32(|585)34()4)(32( | 即即|315|133| 解得解得.3495或或 .1053 xyxl或或：故所求直线故所求直线例例5.xyO.CMNPQd例例6.例例7.解解：102030由由10，20，30得得: 例例8.已知已知ABC的顶点的顶点A(5,1)，

18、AB边上的中线边上的中线CM所在直线方程为所在直线方程为2x-y-5=0，AC边上的高边上的高BH所在直线方所在直线方程为程为x-2y-5=0.求：求：（1）顶点）顶点C的坐标；（的坐标；（2）直线）直线BC的方程的方程.ABCxyOM解：解： （1）由题意得：）由题意得：直线直线AC的方程为的方程为)5(21 xy即即0112 yx解方程组解方程组 0520112yxyx得得 C(4, 3). 例例8.已知已知ABC的顶点的顶点A(5,1)，AB边上的中线边上的中线CM所在直线方程为所在直线方程为2x-y-5=0，AC边上的高边上的高BH所在直线方所在直线方程为程为x-2y-5=0.求：求：（1）顶点）顶点C的坐标；（的坐标；（2）直线）直线BC的方程的方程.ABCxyOM解：解： （2）设）设B(x0 ,y0)，).21,25(00 yxM则则052125200 yx由由M在直线在直线CM上得：上得：即即01200 yx解方程组解方程组 0520120000yxyx得得 B(1, 3).故直线故直线BC的方程：的方程：(4, 3). 0956 yx已知点已知点P的坐标为（的坐标为（x0, y0），直线），直线l 的方程的方程是是Ax+B y +C=0，则点，则点P到直线到直线l 的距离为：的距离为：