光波在介质波导中传播

1、第六章 光波在介质波导中的传播1. 薄膜介质波导一般概念薄膜介质波导一般概念介质薄膜波导介质薄膜波导如图，均匀介质薄膜波导的的如图，均匀介质薄膜波导的的纵向剖面，由三层均匀介质构纵向剖面，由三层均匀介质构成。成。一般地设定一般地设定即衬底及覆盖敷层。即衬底及覆盖敷层。1,n中层折射率为中层折射率为, h厚度为厚度为另外两层折射率分别为另外两层折射率分别为23,n n1213, nnnn123.nnn为限制光波于介质中间传导层中，应使为限制光波于介质中间传导层中，应使 薄膜波导的薄膜波导的横向宽度横向宽度（y向向）一般比薄膜波导的厚度大得多，）一般比薄膜波导的厚度大得多，也比光波波长大得多，因此

2、可以认为薄膜波导是无限宽，也比光波波长大得多，因此可以认为薄膜波导是无限宽，光波光波在在y方向上不受限制方向上不受限制。下面用下面用射线法射线法和和波动理论波动理论法来分析薄膜波导。法来分析薄膜波导。 射线法射线法是把波导中的波看作是均匀平面波在薄膜两个界是把波导中的波看作是均匀平面波在薄膜两个界面上全反射而形成的，故界面面上全反射而形成的，故界面、上的入射角应满足上的入射角应满足31sin/Icnn21sin/IIcnn若若23,nn则取则取sinIIc为波导的临界角。为波导的临界角。 波动理论法波动理论法则是把则是把薄膜波导中的波看作是满足介质平板波导边薄膜波导中的波看作是满足介质平板波导

3、边界条件的麦克斯韦方程组的解界条件的麦克斯韦方程组的解。此时，在波导的中间介质层中波以。此时，在波导的中间介质层中波以行波传输，衬底和覆盖层中则是一种倏逝波，光波能量就是由介质行波传输，衬底和覆盖层中则是一种倏逝波，光波能量就是由介质表面引导下在波导内传输的，此时所传输的波称之为表面引导下在波导内传输的，此时所传输的波称之为导行波导行波。若当。若当入射角小于临界角时，一部分能量由界面折射后不再回到介质入射角小于临界角时，一部分能量由界面折射后不再回到介质n1中，中，此时无法导行光波。这种波成为此时无法导行光波。这种波成为辐射波辐射波。特征方程及横向谐振特性特征方程及横向谐振特性 按射线法的原则

4、，光波在薄膜波导中向按射线法的原则，光波在薄膜波导中向z方向传播可看作是无限方向传播可看作是无限大均匀平面波在界面大均匀平面波在界面及及上依次反射，形成之字形传播路径。上依次反射，形成之字形传播路径。 如图，薄膜波导中光的入射面为如图，薄膜波导中光的入射面为xoz平面。平面。2. 射线法分析薄膜波导射线法分析薄膜波导考察某一时刻经考察某一时刻经A反射后向下传播的平面波，其波阵面到达反射后向下传播的平面波，其波阵面到达(MC所示所示)，而而面又是在前一时刻传播的平面波经面又是在前一时刻传播的平面波经B反射到达界面反射到达界面，又经，又经C反射后的反射后的面上重叠会产生干涉，只有当面上重叠会产生干

5、涉，只有当两波相位差两波相位差的平面波波阵面。这两个波在的平面波波阵面。这两个波在时，干涉加强，方可在波导内形成振荡，即可以在波导内存在并传时，干涉加强，方可在波导内形成振荡，即可以在波导内存在并传为为2m播。这两个波之间的播。这两个波之间的相位差相位差可以求得可以求得110022()nnABBCAM11022sec2tansiniiin hn h1022cosin h对对S波波1/22231sin(/)tan2cosiSinn 1/22221sin(/)tan2cosiSinn 对对P波波1/22223113sin(/)tan2cosiPinnnn 1/22222112sin(/)tan2c

6、osiPinnnn 当满足当满足干涉加强干涉加强条件时，条件时，0,1,2,3,m 110022cos2cos2,iin hn hkm式中，式中，0k是传输光波在真空中的波数；是传输光波在真空中的波数；1n是介质波导的中间层折射率；是介质波导的中间层折射率；i为波导内的入射角。为波导内的入射角。上式称为上式称为薄膜波导的特征方程薄膜波导的特征方程，或叫作，或叫作薄膜波导的色散方程薄膜波导的色散方程。特征方程中特征方程中102cos2,ixn hkk h表示了电磁波在横跨薄膜表示了电磁波在横跨薄膜（即沿（即沿x方向）时的相位差。方向）时的相位差。、是波在界面上的相位跃变，是波在界面上的相位跃变，

7、 因此，薄膜波导的特征方程表示了由波导中某点出发沿波导横因此，薄膜波导的特征方程表示了由波导中某点出发沿波导横2的整数倍。这使的整数倍。这使向往复一次回到原处，总的相位变化应是向往复一次回到原处，总的相位变化应是原来的波加强，即相当于波在原来的波加强，即相当于波在波导的横向谐振波导的横向谐振，因而成为波导的，因而成为波导的横向谐振条件。不仅薄膜波导，任意波导都具横向谐振特性。横向谐振条件。不仅薄膜波导，任意波导都具横向谐振特性。波导中含三种色散波导中含三种色散材料色散材料色散模式色散模式色散波导色散波导色散 指波导介质材料本身的色散，即当折射率随入射光波波长指波导介质材料本身的色散，即当折射率

8、随入射光波波长变化所带来的色散。变化所带来的色散。 在多模介质波导中，一个信号同时激发不同的模式，即使在多模介质波导中，一个信号同时激发不同的模式，即使是同一频率，各模式的群速度也是不同的。是同一频率，各模式的群速度也是不同的。 为满足特征方程，对同一个为满足特征方程，对同一个m值即同一个波导模，不同的波长对应于值即同一个波导模，不同的波长对应于不同的入射角。这就是说，对于不同波长的光，即使没有材料色散存在，不同的入射角。这就是说，对于不同波长的光，即使没有材料色散存在，但由于波导的谐振条件的要求，波在波导内经过一段距离传输后，将因为但由于波导的谐振条件的要求，波在波导内经过一段距离传输后，将

9、因为入射角不同而具有不同的相位、出射角及出射波导的时间，因此将引起信入射角不同而具有不同的相位、出射角及出射波导的时间，因此将引起信号失真。号失真。110022cos2cos2,iin hn hkm导波的模式导波的模式由特征方程可对由特征方程可对给定波导给定波导及及工作波长工作波长对某一个对某一个m求出形成导波的求出形成导波的值。特征方程中的值。特征方程中的确定确定im可取不同的值，相应于不同的可取不同的值，相应于不同的,i值，与此相应的值，与此相应的一个一个mi角入射的平面波形成一个导波模式。角入射的平面波形成一个导波模式。或或当当E矢量或矢量或H矢量垂直入射面作振动矢量垂直入射面作振动，即

10、，即0zH 0zE 时，分别得到时，分别得到TE模模或或TM模模。当当0,1,2,3,m 时，分别可得时，分别可得012TETETE 、012TMTMTM 、模，模，m表明各模式的阶数，称为波指数。表明各模式的阶数，称为波指数。110022cos2cos2,iin hn hkm当当0m 时，时，10cos,ixn hkk h即其场沿即其场沿x方向变化不足方向变化不足半个驻波。半个驻波。当当1m 时，时，2 ,xk h其场沿其场沿x方向变化不足两个方向变化不足两个“半半驻驻波波”。m越大，导波的模次越高，越大，导波的模次越高，m表示了导波场沿表示了导波场沿x方向（薄膜横向）方向（薄膜横向）出现的

11、完整半驻波个数。出现的完整半驻波个数。由特征方程还可以看出，在其他条件不变的情况下，当由特征方程还可以看出，在其他条件不变的情况下，当m增加时，增加时，i减小。这表明减小。这表明高次模是由入射角高次模是由入射角i较小较小的平面波构成的。的平面波构成的。当当i较小时，较小时，平面波的射线倾斜比较严重平面波的射线倾斜比较严重，其横向相位常数，其横向相位常数大，大，驻波密集驻波密集。xk110022cos2cos2,iin hn hkm导波模式的横向相位常数导波模式的横向相位常数10cos,xikn k导波模式的轴向相位常数导波模式的轴向相位常数10sin.zikn k对于给定的波导和工作波长，模次

12、越高，对于给定的波导和工作波长，模次越高，i越小，因而越小，因而zk越小。在电磁场解法中将把越小。在电磁场解法中将把.所有模式中，所有模式中，zk记为记为00, TETM模次最低，故模次最低，故最大。最大。波导的截止波长波导的截止波长21sin/.cnn在射线法中，截止波长可直接由全反射的临界角求得。按假定在射线法中，截止波长可直接由全反射的临界角求得。按假定决定决定123,nnn2n临界角由下面衬底的折射率临界角由下面衬底的折射率0,当处于临界状态时，界面当处于临界状态时，界面上的相位跃变上的相位跃变即刚刚发生即刚刚发生21arcsin(/),icnn全反射时的临界状态的入射角全反射时的临界

13、状态的入射角可得：对可得：对S波波222322122arctannnnn并且，并且，2221cos1 sin1 (/) .iinn1/22221sin(/)tan2cosiSinn 1/22222112sin(/)tan2cosiPinnnn 同样应用上式于色散方程，并把得到的同样应用上式于色散方程，并把得到的0代入，可得代入，可得以及以及由上式可求得不同模式下的截止波长由上式可求得不同模式下的截止波长.c得得对对TE0模，模，0,m 22120222322122arctancmh nnnnnn时时当当0m 22120222322122arctanccmmh nnnnmnn110022cos2

14、cos2,iin hn hkm 由此可见，高阶模的临界波长更小些。对传输工作波长的几由此可见，高阶模的临界波长更小些。对传输工作波长的几种情况讨论如下：种情况讨论如下：（1）0,cm此光波大于此光波大于0阶的临界波长，此波不能在波导内传播。阶的临界波长，此波不能在波导内传播。（2）此时只有此时只有10,ccmm的零阶模可以传输，即单的零阶模可以传输，即单0m 模运行。模运行。（3）这样的光波对这样的光波对及及0m ,cmm阶模均可被传输，发生阶模均可被传输，发生多模传输。多模传输。还需指出，对于对称薄膜波导还需指出，对于对称薄膜波导23,nn可以得到，可以得到，0,cm 这说明对称波导没有截止

15、波长，任何波长的波均可在对称波导内传播。这说明对称波导没有截止波长，任何波长的波均可在对称波导内传播。这时特征方程变成这时特征方程变成22120222hnnm 由此可算出对波长为由此可算出对波长为0的光波，该波导内所允许传播的模式个数为的光波，该波导内所允许传播的模式个数为221202hmnn 虽然射线法讨论薄膜波导物理概念清楚易懂，获得了有价值的结论，虽然射线法讨论薄膜波导物理概念清楚易懂，获得了有价值的结论，这些结论不仅适用于薄膜波导，对认识其他形式的介质波导也是很有价值这些结论不仅适用于薄膜波导，对认识其他形式的介质波导也是很有价值的。但对更详细的的。但对更详细的场分布场分布、传输功率传

16、输功率、场方程场方程等问题就无法解决。因此必等问题就无法解决。因此必须要用另一种方法须要用另一种方法应用电磁场理论应用电磁场理论来求电磁波在介质波导这样一种特来求电磁波在介质波导这样一种特殊边界条件下的波动方程解殊边界条件下的波动方程解 ，在此基础上再去分析传播模的特性。，在此基础上再去分析传播模的特性。 用电磁理论分析薄膜介质波导，就是求满足边界条件时麦克斯用电磁理论分析薄膜介质波导，就是求满足边界条件时麦克斯韦方程的解，在定态条件下就是求解韦方程的解，在定态条件下就是求解亥姆霍兹方程亥姆霍兹方程222200Ek EHk H在此基础上再分析其特性。在此基础上再分析其特性。3. 用电磁理论求解

17、薄膜介质波导用电磁理论求解薄膜介质波导薄膜波导中的薄膜波导中的TE波和波和TM波波在介质波导中的波型也可以存在在介质波导中的波型也可以存在TE波波和和TM波波。 按照定义，按照定义，TE波波的的E矢量在波导的横截面上，在传播方向（矢量在波导的横截面上，在传播方向（z方向）方向）上只有磁场分量。而上只有磁场分量。而TM波波的的H矢量在波导的横截面上，在传播方向上矢量在波导的横截面上，在传播方向上只有电场分量。只有电场分量。TE波波(a)和和TM波波(b)的形成的形成 可以认为，薄膜中的可以认为，薄膜中的TE波波是由垂直偏振的平面波即是由垂直偏振的平面波即S波在薄膜边波在薄膜边界上反射而成，而界上

18、反射而成，而TM波波是由是由E为水平偏振（在入射面内振动）的平面为水平偏振（在入射面内振动）的平面波即波即P波在边界上反射而成。波在边界上反射而成。 对于对于TE波波，其电场只有，其电场只有Ey分量分量(Ez=0)，磁场包括了，磁场包括了Hx、Hz分量。分量。而而TM波波其磁场只有其磁场只有Hy分量分量(Hz=0)，而，而电场包括了电场包括了Ex、Ez分量。分量。可以由时谐电磁场的麦克斯韦第一、二方程讨论可以由时谐电磁场的麦克斯韦第一、二方程讨论对于所讨论的各向同性的均匀介质，对于所讨论的各向同性的均匀介质，0, 都是标量，把都是标量，把E、H用直角坐标用直角坐标下的三分量代入后展开，可得到以

19、下公式。下的三分量代入后展开，可得到以下公式。000zxzyzyzxyxzzxzyzyzxyxzHiEik HyHiEik HxHHiExyEiHik EyEiHik ExEEiHxy 针对现在讨论的无穷大平板介质波导，考虑到针对现在讨论的无穷大平板介质波导，考虑到y方向无限大方向无限大，场在该方向不受限制，因而可得场在该方向不受限制，因而可得0;y又考虑到光是沿又考虑到光是沿z向传输，向传输，沿该方向场的变化可用一个传输因子沿该方向场的变化可用一个传输因子zik ze来表示。来表示。为了普适地讨论为了普适地讨论为为电磁波在三层介质中的情况，记电磁波在三层介质中的情况，记123zzzkkk、

20、、 ，表示实波矢表示实波矢的的z分量。由此得到导波的传播因子分量。由此得到导波的传播因子,i ze因而有因而有,iz 式中式中是是z方向的相位常数。将上述关系代入方程组，可得到方向的相位常数。将上述关系代入方程组，可得到6个标量方程。个标量方程。这这6个标量方程又可分为两组，一组只含个标量方程又可分为两组，一组只含Ey, Hx ,Hz三个分量，另一组三个分量，另一组只含只含Hy, Ex, Ez三个分量，即三个分量，即00yxyzzxyEHdEiHdxdHi HiEx 0yxyzzxyHEdHiEdxdEi EiHx 这两组方程是完全独立的，可分别求解，得出两组独立的解。第这两组方程是完全独立的

21、，可分别求解，得出两组独立的解。第一组方程中电场矢量只包含了一组方程中电场矢量只包含了Ey分量，因而解得的是分量，因而解得的是TE模；第二组模；第二组方程的磁场矢量只包含了方程的磁场矢量只包含了Hy分量，因而解出的是分量，因而解出的是TM模。模。 对于对于TE模模，求出，求出Ey分量后，可以求得分量后，可以求得00 xyyzHEdEiHdx 对于对于TM模模，求出，求出Hy分量后，可以求得分量后，可以求得xyyzEHdHiEdx 因此，求解薄膜介质波导问题归结为因此，求解薄膜介质波导问题归结为TE模的模的Ey分量分量及及TM模的模的Hy分量分量。波导的场方程及其解波导的场方程及其解TE波波 对

22、对TE波应先求出波应先求出Ey，由，由TE波的振动在波导的横截面上，即仅具波的振动在波导的横截面上，即仅具Ey可写出其电场矢量为可写出其电场矢量为分量，并考虑到在分量，并考虑到在z方向的传播，具有传播因子方向的传播，具有传播因子,i ze为为y方向单位矢量。方向单位矢量。其中其中j将上式代入亥姆霍兹方程，可将上式代入亥姆霍兹方程，可得得2222( )( )( )0yyiyExExk Exx式中，角标式中，角标1,2,3,i 表示对应于介质波导的三层介质，其对应的折射率表示对应于介质波导的三层介质，其对应的折射率分别为分别为123, innnk、 、为不同介质中的波数，它们的关系可表示为为不同介

23、质中的波数，它们的关系可表示为2220iikn kjexEEziy)(222200Ek EHk H00yxyzzxyEHdEiHdxdHi HiEx 或或 于是可写出在三层介质中的亥姆霍兹方程于是可写出在三层介质中的亥姆霍兹方程222210122222202222223032( )()( )0 0,()( )0 0,()( )0 ,yyyyyyd Exn kExxhndxd En kExxndxd En kExxhndx在中间层在衬底层在覆盖层2311122()33cos() 0,( ) 0, ,xxxkxykx hAk xxhnExA exnA exhn折射率为折射率为折射率为其振幅应可预见

24、：在中间薄膜层是驻波解，可用余弦函数表示；在衬其振幅应可预见：在中间薄膜层是驻波解，可用余弦函数表示；在衬底底 按前面的分析我们已知，导波在按前面的分析我们已知，导波在z方向按方向按传播。而在横向，传播。而在横向，i ze于是有于是有及覆盖层是倏逝波，应是衰减解。及覆盖层是倏逝波，应是衰减解。222210122222202222223032( )()( )0 0,()( )0 0,()( )0 ,yyyyyyd Exn kExxhndxd En kExxndxd En kExxhndx在中间层在衬底层在覆盖层222210122222022222303xxxkk nkk nkk n将上式各区域中

25、将上式各区域中Ey的表达式代入对应的各亥姆霍兹方程，可得的表达式代入对应的各亥姆霍兹方程，可得123,xxxkkk由于由于都必须是正实数，这就限定都必须是正实数，这就限定030201k nk nk n这与用射线得出的结果是一致的。射线法中由这与用射线得出的结果是一致的。射线法中由0sin1i及及01sin,ik n得得01,k n由由, iicic为临界角，为临界角，21sin,icnn可得可得03020 1,k nk nk n此处约定此处约定321.nnn下面再利用边界条件进一步求解常数下面再利用边界条件进一步求解常数123,.A A A薄膜波导的边界条件为：在薄膜波导的边界条件为：在0 x

26、h 、处，切向分量处，切向分量yE连续，连续，切向分量切向分量zH也连续，由此得也连续，由此得yEx也连续。也连续。可得：可得：0 x 在在12,yyEE即即处，处，12cos()AAyEx0 x 在在连续，即连续，即处，处，2221 1100sin()xkxxxxxxA k eAkk x 得得221 1sinxxA kAk 2311122()33cos() 0,( ) 0, ,xxxkxykx hAk xxhnE xAexnAexhn折射率为折射率为折射率为这样可得这样可得xh在在连续，即连续，即处，处，/yEx331 11sin()xxxA kAkk h xh在在连续，即连续，即处，处，y

27、E311cos()xAAk h222210122222022222303xxxkk nkk nkk n12cos()AA221 1sinxxA kAk 331 11sin()xxxA kAkk h 311cos()xAAk h1xk因此，只要求出因此，只要求出就可求出其他各量。就可求出其他各量。311tan()xxxkk hk311arctanxxxkk hmk2222130111()arctanxxxnnkkk hmk2222222212011301111()()arctanarctanxxxxxnnkknnkkk hmkkA1可以由输入波导的导波功率确定。可以由输入波导的导波功率确定。通过

28、以上耦合方程组可以得到通过以上耦合方程组可以得到122xk hm102cos2in hkm参照参照S波在波在、界面上全反射相位跃变的公式，并考虑到界面上全反射相位跃变的公式，并考虑到011cos,ixk nk及及22sin1 cosii 可知上式左边的后两项可知上式左边的后两项正是正是S波的相位跃变之半，因此上式可写为波的相位跃变之半，因此上式可写为或或这就是这就是薄膜波导特征方程薄膜波导特征方程。1/22231sin(/)tan2cosiSinn 1/22221sin(/)tan2cosiSinn 2222222212011301111()()arctanarctanxxxxxnnkknnk

29、kk hmkk波导的场方程及其解波导的场方程及其解TM波波（略略）( )i zyHHx ej222202()0 1,2,3yiyd Hk nHidx.yH,yzxHEE、对于对于TM波，应先求波，应先求出出TM模的电磁分量为模的电磁分量为其做法完全类似于其做法完全类似于TE波求解。写出磁场矢量为波求解。写出磁场矢量为代入以下的亥姆霍兹方程，代入以下的亥姆霍兹方程，220Hk H得到得到xyyzEHdHiEdx 依照依照TE模推导，设在三层介质中具有如下不同形式，即模推导，设在三层介质中具有如下不同形式，即yH的解为的解为2311122()33cos() 0,( ) 0, ,xxxkxykx h

30、Bk xxhnHxB exnB exhn折射率为折射率为折射率为考虑到薄膜波导的边界条件：在上、下界面上考虑到薄膜波导的边界条件：在上、下界面上yH及及zE连续，连续，在下界面在下界面处处0 x 12cos(),BB以及以及0 x 处处1,yzHEx即即1yHx连续，得连续，得2221 11210011sin()xkxxxxxxB k eB kk x即即12221 1sinxxB kB k 在上界面在上界面处，处，xh且在且在311cos(),xBBk h处有处有xh连续，得连续，得yHx13331 11sin(),xxxB kBkk h 以下推到完全类似于以下推到完全类似于TE波，导出的波，

31、导出的表达式及场分布与表达式及场分布与TE模形式模形式yH相同，其特征方程也有相同的形式相同，其特征方程也有相同的形式122xk hm只不过式中只不过式中与与表达式应当取作表达式应当取作P波的全反射时的相位跃变表达式。波的全反射时的相位跃变表达式。因此，波指数相同的因此，波指数相同的TE模和模和TM模的模的是不同的，从而求解出波的是不同的，从而求解出波的1xk参数也不同。参数也不同。2311122()33cos() 0,( ) 0, ,xxxkxykx hAk xxhnExA exnA exhn折射率为折射率为折射率为另外，从另外，从TE波（或波（或TM波）求解过程中也可以看出，上式中波）求解

32、过程中也可以看出，上式中的的正是界面上正是界面上的相位跃变半角的相位跃变半角它是决定场分布极大值位置的参量。它是决定场分布极大值位置的参量。/2,图解法求解特征方程图解法求解特征方程102cos2in hkm薄膜波导特征方程薄膜波导特征方程只能通过图解法或数值法求解。只能通过图解法或数值法求解。以以TE模为例，上式可改写为模为例，上式可改写为222201sin()sin()arctanarctancoscosGiixiinnnnk hm式中式中n为中间层折射率，为中间层折射率，Gn及及0n分别为基底及覆盖层折射率。分别为基底及覆盖层折射率。利用三角公式利用三角公式tantantan()1tan

33、tan可得，可得，22220122220sin()sin()/costan()sin()sin()1coscosGiiixGiiiinnnnK hnnnn为将上式右端化为为将上式右端化为1xk h的函数的函数1(),xF k h可以利用以下关系式可以利用以下关系式10cosxikkn2210sin1xikkn 222222201000220sin(/ )xik nkn knnk n可得，可得，111/21/222222222001011/21/2222222222100101()()()()()()()()()()()()()()()xxxGxxxGxF k hk hnnk hk hnnk h

34、k hk hnnk hk hnnk hk hg因此，特征方程的解就是由因此，特征方程的解就是由1()xF k h1tan()xk h与与的交点，如图的交点，如图1( ()xF k h1(tan()xk h与与实线实线的交点。的交点。从左到右各交点（原点除外）相应于从左到右各交点（原点除外）相应于0 1 2m 、各阶模的解，各阶模的解，1 , x mKh的值，若薄膜厚度的值，若薄膜厚度从这些交点的横坐标确定出从这些交点的横坐标确定出h已知，已知，则通过则通过22221 ,0mx mKK n求得求得mTE模的传播常数模的传播常数.m截止波长截止波长导波的截止波长也可从电磁场解法中导出。从射线法观点

35、看，出现导波的截止波长也可从电磁场解法中导出。从射线法观点看，出现,ic衬底辐射模的标志是衬底辐射模的标志是而从而从电磁理论电磁理论的观点看，出现衬底辐射模的观点看，出现衬底辐射模意味着意味着2xk为虚数，此时为虚数，此时2yE由原来的振幅沿由原来的振幅沿x方向衰减的倏逝波变为方向衰减的倏逝波变为由由2xikxe代表的辐射波，即在代表的辐射波，即在2n介质中有向介质中有向x方向传播的行波存在，这时能方向传播的行波存在，这时能得得2n量从量从泄漏，此波便无法在薄膜波导中传播，因此泄漏，此波便无法在薄膜波导中传播，因此220 xk就是确定就是确定截止波长的条件。由截止波长的条件。由22222020

36、 xkk n2222022k nk可见，截止时传播常数等于介质可见，截止时传播常数等于介质2中的波数。于是有中的波数。于是有221120 xknn k可以得到可以得到22222213012322112()2arctan2arctan()xSxnnkknnknn222212011()2arctan0 xSxnnkkk将以上二式代入特征方程，并考虑到将以上二式代入特征方程，并考虑到02 /,cK 可得截止波长可得截止波长2212222322122arctanch nnnnmnn这与用射线法求出的结果完全一致。这与用射线法求出的结果完全一致。23112()3cos() 0( ) 0 xzxxKxiK

37、 zyKx hAK xxhExeA exA exh1/2/2xmKh以以TE波波为例，薄膜波导中为例，薄膜波导中TE波的波的分量为分量为yE以及薄膜波导中的以及薄膜波导中的特征方程特征方程, 可以求出，它们是小于零的数。可以求出，它们是小于零的数。4. 介质薄膜波导中的场分布介质薄膜波导中的场分布对于对于TE0模模1/2/2xkh 可知可知/2/2,可见，横跨薄膜的相位变化可见，横跨薄膜的相位变化1,xk h即场沿即场沿x方向的变化不足半个驻波。方向的变化不足半个驻波。由以上公式可以得到由以上公式可以得到22cosyExh 按边界条件：按边界条件：(1) 0 x 处，处，coscos2yE(2

38、) xh处，处，cos2yE（3）中间层中，场变化极大值在）中间层中，场变化极大值在mx处，即满足处，即满足220mxh故有故有22222mhxh g且由且由123,nnn可知在界面可知在界面上的相位移动上的相位移动大于下界面的相移大于下界面的相移即即/2/2,代入上式代入上式/2mxh这意味着场分布的极大值（波腹）偏向衬底。这意味着场分布的极大值（波腹）偏向衬底。（4）由）由及及22221201()xxknnkk 22231301(),xxknnkk 且且23,nn可知可知23xxkk这表示场在覆盖层中衰减得比在下衬底中快。这表示场在覆盖层中衰减得比在下衬底中快。0TE由以上四点，可以画出由

39、以上四点，可以画出模在波导截面上场分布情况，如图所示。模在波导截面上场分布情况，如图所示。中间层场在中间层场在x向变化不足两个向变化不足两个“半驻波半驻波”，阶数，阶数m越大，在覆盖层及越大，在覆盖层及衬底衬底12TETE 、类似地还可以导出类似地还可以导出模场分布特征，如对模场分布特征，如对1TE波，波，中振幅衰减越缓慢，即能量在中振幅衰减越缓慢，即能量在2n3n和和二介质中延伸部分越多，能量二介质中延伸部分越多，能量越分散。越分散。 导波的传输功率就是通过波导横截面的功率。由于薄膜波导在导波的传输功率就是通过波导横截面的功率。由于薄膜波导在y方向是无限宽，故只计算在方向是无限宽，故只计算在

40、y方向上单位宽度上传输的功率，即计方向上单位宽度上传输的功率，即计算算 的条形面积上传输的功率。的条形面积上传输的功率。宽度为宽度为1，高度（，高度（x方向上）为方向上）为 类似于金属导波中的求法，传输的功率等于在要求的截面上的类似于金属导波中的求法，传输的功率等于在要求的截面上的积分，即积分，即*1Re()2PSdEHdrrrg 对于对于TE波，且考虑到单位宽度的条形面积波，且考虑到单位宽度的条形面积则得则得,2*01Re22yxyPE H dxEdx 5. 介质平面波导中的传输功率介质平面波导中的传输功率 把把yE 在在x上分布的公式代入上式，进行分段积分，得上分布的公式代入上式，进行分段

41、积分，得23022()2222112300cos ()2xxhKxKx hxhPAK xdxA edxA edx2102311()4xxAhkkeS h其中其中2104SA是单位宽度的波导传输的平均功率密度，是单位宽度的波导传输的平均功率密度，2311=exxhhkk即为等效厚度。即为等效厚度。2311,xxkk表示表示yE衰减到衰减到1e处的深度，这一深度正是全反射中的处的深度，这一深度正是全反射中的倏逝波的穿透深度倏逝波的穿透深度.mz因此，传输功率因此，传输功率可以看作是在厚度为可以看作是在厚度为ePS h的平板波导中的平板波导中eh以平均功率密度以平均功率密度传输。而传输。而x方向上实

42、际传输功率是变化的，在波腹方向上实际传输功率是变化的，在波腹S处传输的功率密度极大值为处传输的功率密度极大值为210.2A 对于对于TM波，利用波，利用222221201121222221301131()tan2()tan2xxxxnnkknnknnkknnk 求得单位宽度的介质薄膜波导传输功率求得单位宽度的介质薄膜波导传输功率2()14TMePH h其中其中2311exxhhkk上式在形式上与上式在形式上与TE波类似，但要注意的是，其中的等效厚度波类似，但要注意的是，其中的等效厚度eh与与TE波中波中的值不同，这是因为对于的值不同，这是因为对于TE波与波与TM波，波，与与的数值不同，从而由的

43、数值不同，从而由特征方程对同一个特征方程对同一个m值及值及0k值将有不同的值将有不同的i值，这是使值，这是使123xxxkkk、的值对于的值对于P波与波与S波均不同而造成的。波均不同而造成的。同样我们也可以证明，等效厚度中的同样我们也可以证明，等效厚度中的21/xk31/xk和和就是全反射就是全反射中用古斯中用古斯-汉森位移所求出来的倏逝穿透深度。汉森位移所求出来的倏逝穿透深度。介质平板波导中的古斯介质平板波导中的古斯-汉森位移及穿透深度汉森位移及穿透深度6. 圆形介质波导（光纤）的一般概念圆形介质波导（光纤）的一般概念（a）均匀光纤；（）均匀光纤；（b）非均匀光纤）非均匀光纤在均匀光纤中可以

44、存在两种光射线：在均匀光纤中可以存在两种光射线：子午光线子午光线光线处在过光纤轴线的子午面内；光线处在过光纤轴线的子午面内；孤矢光线孤矢光线不通过光纤轴的光线。不通过光纤轴的光线。21arcsinicnn对于子午光线，入射角应满足全反射条件对于子午光线，入射角应满足全反射条件此时方可在光纤中传播。此时方可在光纤中传播。 芯层与包层折射率之差直接影响到光纤的性能。引入几个常芯层与包层折射率之差直接影响到光纤的性能。引入几个常用的概念：用的概念：（1）相对折射率指数差）相对折射率指数差2212212nnn 对于对于12,n n相差极小的光纤，相对折射率指数差可近似为相差极小的光纤，相对折射率指数差

45、可近似为121nnn 这种光纤称为弱导波光纤。这种光纤称为弱导波光纤。（2）数值孔径）数值孔径NA 数值孔径是描写允许进入光纤芯内形成导波的光线范围参数。数值孔径是描写允许进入光纤芯内形成导波的光线范围参数。如图。如图。设光线以与光轴成设光线以与光轴成0角度方向从光纤角度方向从光纤0,n端面入射，设光纤外的环境折射率为端面入射，设光纤外的环境折射率为定义数值孔径为定义数值孔径为00sinNAn表示为最大允许的入射角范围，表示为最大允许的入射角范围，此时入射的光处于内壁全反射临界状态，在此光锥之内的所有光此时入射的光处于内壁全反射临界状态，在此光锥之内的所有光线均可在光纤内传播，反之，入射到光纤内的光就会从介质的界线均可在光纤内传播，反之，入射到光纤内的光就会从介质的界面上折射到包层中而逃逸。面上折射到包层中而逃逸。圆形介质波导的电磁理论解法圆形介质波导的电磁理论解法 柱坐标系下，电场磁场各分量之间的关系柱坐标系下，电场磁场各分量之间的关系22221()11()1()1()zzrzczzzczzrczzzcEHiEikkrrEHEikikrrEHiHikzkrrEikHHikrr g 首先求出首先求出z向长分量向长分量,zzE H就可以求出全部电磁分量。就可