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文档简介
1、课题:矩形中的折叠问题 114中学 张爱教学目标:知识与技能:灵活运用矩形的性质、轴对称性质、全等三角形等知识解决矩形中的折叠问题.过程与方法:在分析三类基本折叠问题的过程中,体会利用方程思想、转化思想解决折叠问题的一般方法.情感态度价值观:通过综合应用数学知识解决折叠问题,体会知识间的联系,感受数学学习的乐趣.教学重点:解决矩形中的折叠问题.教学难点:综合运用知识挖掘矩形折叠问题中角度和线段的数量关系.教学方法:引导探究式教学教学过程(一)课堂引入师:将矩形按不同要求进行折叠,就会产生丰富多彩的几何问题,今天我们bcdefa就来研究矩形的折叠问题.(二)讲授新课例1:如图,已知矩形,将沿对角
2、线折叠,点c落在点处,be交ad于点.师:根据图像,你能发现图中有哪些相等的线段和角吗?生:ab=dc=ed,bf=df,af=ef,bc=be=ad;e=a=90,abf=edf,fbd=fdb=dbc,bdc=bde;师:由此,我们可以归纳出图中的三角形具有哪些特殊的性质?生:ebdcbdadb且都是直角三角形,abfedf;fbd是等腰三角形;并且ebd与cbd关于直线bd对称,若连接ec,则bd垂直平分ec(对称轴垂直平分对应点之间的连线).师:我们将矩形纸片沿对角线进行折叠,折叠后的图形中含有全等三角形、等腰三角形,以及轴对称图形,下面我们就来看看几个具体的问题:(1) 若ade=2
3、0,求ebd的度数 (2) 若,求af 解:(1)矩形abcd中,c=90,又翻折,e=c=90,ade=20,efd=70.adbc,fdb=dbc ,又fbd=dbc, fbd=fdb,fbd=35.(2)fbd=fdb,fb=fd,设af为x,则fd=fb= 8-x,在abf中,a=90,因此, ,解得,af=3.【小结】师生共同小结,教师进行归纳:将矩形沿对角线进行折叠,我们从翻折产生的性质和背景图形的性质两方面入手,分析出了图中相等的线段和角,找到了全等三角形,等腰三角形,从而解决了问题.abcfegd图中还隐含着一个重要的基本几何图形, 即角平分线和平行线结合在了一起,这时会出现等
4、腰三角形,这对于我们解题有很大帮助.因此我们在识图时一定要注意挖掘出图中的基本几何图形.例2:将矩形纸片abcd沿ef折叠,使点b与点d重合,点a落在点g处.师:请你分析出图中存在着哪些数量关系.生:ab=dc=dg,bf=df=de,ae=eg=fc;g=a=90,cdf=gde,dfc=deg ,bfe=dfe=fed;dgedcf,且都是直角三角形,def是等腰三角形;并且四边形eabf与四边形egdf关于直线ef对称.师:下面我们来看具体问题:(1) 判断四边形bfde的形状;(2) 若ab=2,bc=4,求折痕ef的长.abcfegdo解:(1)四边形bfde是菱形证法一: b与d
5、关于直线ef对称 efbd,且bo=od adbceo:of=bo:doeo=of四边形bfde是菱形.证法二: ed平行且等于bf 四边形bfde是平行四边形 dgedcf,ed=df四边形bfde是菱形(2)四边形bfde是菱形 设fc为x,则fd=fb= 4-x,在dfc中,因此, ,解得,fc=1.5 ,bf=2.5 又dc=2 ,bd= , ef=.这里问题的解法比较多,教师鼓励学生一题多解,给学生展示不同思路的机会.【小结】师生共同小结,教师适当归纳:例2中的图形是沿着某一直线折叠,使矩形对角的顶点互相重合.我们仍然找到了相等的线段、角,全等三角形,等腰三角形,还有特殊的四边形菱形
6、. 回顾例1、例2中两个计算边长的问题,勾股定理是解决此类问题的有力工具,并且两题都用到了和设未知数的方法,这里也体现了数学中的方程思想.例3:如图,将矩形沿直线折叠,顶点恰好落在边上点处. 问题:若,求tandae.师:请你先分析图形中的数量关系,写在学案上,然后独立完成问题.生:图中的主要关系有:,勾股定理可以用于任何一个直角三角形.解:b=c=afe=90,baf+bfa=90,bfa+efc=90,baf=efc,设ec为a,则ef=ed=3a,ab=dc=4a,af=ad=tandae=【小结】师生共同小结:本题中这个图形是使矩形的一个顶点落在矩形的一边上,图中除出现全等三角形外,还
7、出现了相似三角形,相似的出现并不意外,这是因为出现了我们在几何中曾经总结过的一个基本图形,即同一直线上出现三个直角(或60角或120角)时,则会出现相似图形.由此可见,在复杂图形中挖掘出基本几何图形是非常重要的.(三)课堂小结这节课我们研究了矩形折叠中的三类基本折叠问题,相信同学们都有了一定的收获和感受,下面就请你们谈谈吧.学生畅谈感受和收获.教师总结:以上三个例题体现了折叠问题中的三种基本折法,通过这三道例题,我们今后再遇到此类问题应该有了一定的解题思路.首先,我们应该从由折叠产生的轴对称图形和背景图形的性质入手,找出相等的线段、角,直角三角形等,这些是我们解决问题的基本条件.其次,根据这些基本条件,再结合我们在几何中已有的知识经验,挖掘常见的基本图形,从而找到全等三角形、相似三角形、等腰三角形等特殊图形,这些是解决问题的关键.再有,在特殊图形中运用方程思
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