第一章误差及误差理论

1、误差理论与测量平差误差理论与测量平差主 编: 夏春林副 主 编: 钱建国、张恒憬参 编: 李伟东、文 晔编写高校: 辽宁工程技术大学 吉林建筑大学 大连理工大学城市学院前 言为什么要学习误差理论与测量平差这门课程为什么要学习误差理论与测量平差这门课程? ?这门课程是测绘工程、摄影测量与遥感、地理信这门课程是测绘工程、摄影测量与遥感、地理信息系统等专业的一门专业理论基础课。息系统等专业的一门专业理论基础课。误差理论与测量平差是测绘数据处理和成果质量误差理论与测量平差是测绘数据处理和成果质量控制的理论基础，在地理信息、遥感等领域有着越控制的理论基础，在地理信息、遥感等领域有着越来越突出的地位。来越

2、突出的地位。误差理论与测量平差的奠基人之一陶本藻教授曾误差理论与测量平差的奠基人之一陶本藻教授曾说过说过“在测绘领域，还未发现不懂误差理论与测量在测绘领域，还未发现不懂误差理论与测量平差成为院士和大家的平差成为院士和大家的”。 在测量工作中，观测的未知量一般是角度、距离在测量工作中，观测的未知量一般是角度、距离和高差等。和高差等。 任何未知量，通常观测值不会等于真值，因为观任何未知量，通常观测值不会等于真值，因为观测中不可避免地存在误差。测中不可避免地存在误差。 测量平差就是以包含误差的观测数据为研究对象测量平差就是以包含误差的观测数据为研究对象，利用所含误差的自身规律，采取一定的数学手，利用

3、所含误差的自身规律，采取一定的数学手段消除或减弱其影响，从而得到未知量的最优估段消除或减弱其影响，从而得到未知量的最优估值值( (也称为最或然值也称为最或然值) )。 内内 容容 概概 要要 第一章第一章 观测误差与测量平差的任务观测误差与测量平差的任务 第二章第二章 条件平差条件平差 第三章第三章 间接平差间接平差 第四章第四章 平差综合模型平差综合模型 第五章第五章 误差椭圆误差椭圆 第六章第六章 统计假设检验在测量平差中的应用统计假设检验在测量平差中的应用 第七章第七章 近代平差概述近代平差概述第一章第一章 误差与误差理论误差与误差理论 1.1 1.1 观测误差与测量平差的任务观测误差与

4、测量平差的任务 1.2 1.2 偶然误差的统计性质偶然误差的统计性质 1.3 1.3 衡量精度的指标衡量精度的指标 1.4 1.4 协方差传播率协方差传播率 1.5 1.5 权与定权的常用方法权与定权的常用方法 1.6 1.6 协因数与协因数传播率协因数与协因数传播率 1.7 1.7 由真误差计算中误差及实际应用由真误差计算中误差及实际应用 1.8 1.8 系统误差的传播系统误差的传播 1.9 1.9 参数估计与最小二乘估计参数估计与最小二乘估计1.1.1 1.1.1 测量误差来源测量误差来源1.1.2 1.1.2 观测误差的分类观测误差的分类1.1.3 1.1.3 测量平差的任务测量平差的任

5、务1.1 观测误差与测量平差的任务学习的目的和要求学习的目的和要求: :n明确测量误差产生的来源明确测量误差产生的来源n掌握偶然误差的定义、特性掌握偶然误差的定义、特性n掌握系统误差的定义、特性、消除或减弱的措施掌握系统误差的定义、特性、消除或减弱的措施n粗差的定义、特性、消除的措施粗差的定义、特性、消除的措施学习的重点和难点：学习的重点和难点：误差的分类；系统误差消除减弱的措施；发现粗差误差的分类；系统误差消除减弱的措施；发现粗差的方法的方法1.1.1 测量误差来源n 测量数据中为什么存在不可避免的误差？n观测条件包含： 测量仪器 观测者 外界条件每种仪器总是具有一定限度的准确度感官的局限性

6、、工作水平、工作态度温度、湿度、大气折光、折射等观测条件的好坏观测条件的好坏 与与 观测成果的质量观测成果的质量密切相关。密切相关。 换言之换言之: : 1. 1.观测条件好则观测成果质量高观测条件好则观测成果质量高; ; 2.2.观测条件差则观测成果的质量就差观测条件差则观测成果的质量就差; ; 3. 3.相同观测条件下观测的成果质量相同。相同观测条件下观测的成果质量相同。1.1.2 观测误差的分类根据误差对测量结果影响的性质，可以分为根据误差对测量结果影响的性质，可以分为三类：三类：1.1.系统误差（系统误差（s s）2.2.偶然误差（偶然误差（）3.3.粗差（粗差（g g）可以表示为：可

7、以表示为：sg （1 1）系统误差）系统误差n概念：概念： 在相同的观测条件下作一系列的观测，如果误差在大小、在相同的观测条件下作一系列的观测，如果误差在大小、符号上表现出系统性，或者在观测过程中按一定的规律符号上表现出系统性，或者在观测过程中按一定的规律变化，或者为某一常数，那么，这种误差称为系统误差。变化，或者为某一常数，那么，这种误差称为系统误差。n实例：实例：钢尺的长度和标称长度不一致时，而使所测的距离产生误钢尺的长度和标称长度不一致时，而使所测的距离产生误差；差；水准仪的视准轴与水准轴不平行造成的水准仪的视准轴与水准轴不平行造成的i i角影响等；角影响等；三角高程测量中三角高程测量中

8、, ,大气折光造成的误差从目前的研究成果大气折光造成的误差从目前的研究成果来看来看, ,也将其视为系统误差；也将其视为系统误差；GPSGPS接收机的时钟误差。最初的接收机的时钟误差。最初的GPSGPS伪距定位方程中并没有伪距定位方程中并没有接收机钟差改正数。接收机钟差改正数。n系统误差消除或减弱的方法：系统误差消除或减弱的方法：u在观测方法和观测程序上采取必要的措施，限制在观测方法和观测程序上采取必要的措施，限制或削弱系统误差的影响；或削弱系统误差的影响；u在平差计算前进行必要的预处理，即利用已有公在平差计算前进行必要的预处理，即利用已有公式对观测值进行系统误差改正；式对观测值进行系统误差改正

9、；u将系统误差当作未知参数纳入平差函数模型中，将系统误差当作未知参数纳入平差函数模型中，一并解算。一并解算。（2） 偶然误差n概念：概念： 在相同的观测条件下作一系列的观测，如果误差在大在相同的观测条件下作一系列的观测，如果误差在大小小和符号上都表现出偶然性，即从单个误差看，该列误差的大和符号上都表现出偶然性，即从单个误差看，该列误差的大小和符号没有规律性，但就大量误差的总体而言，具有一定小和符号没有规律性，但就大量误差的总体而言，具有一定的统计规律，这种误差称为偶然误差。的统计规律，这种误差称为偶然误差。n实例：实例：经纬仪测角误差是安平、照准、读数、外界条件变化等经纬仪测角误差是安平、照准

10、、读数、外界条件变化等所引起的误差的综合。而其中每一项误差都很小，没有那一所引起的误差的综合。而其中每一项误差都很小，没有那一项占主导地位，误差的大小和符号具有随机性。项占主导地位，误差的大小和符号具有随机性。n偶然误差是无法使用消除系统误差的方法来消除的。偶然误差是无法使用消除系统误差的方法来消除的。n测量平差研究的主要对象：测量平差研究的主要对象： 偶然误差，即总是假定含粗差的观测偶然误差，即总是假定含粗差的观测值已被剔除，含系统误差的观测值已经过适值已被剔除，含系统误差的观测值已经过适当改正。当改正。n因此，在观测误差中，仅含偶然误差或是偶因此，在观测误差中，仅含偶然误差或是偶然误差占主

11、导地位。然误差占主导地位。（3） 粗差n 概念：粗差就是粗大误差，是观测过程中的错误造成的。概念：粗差就是粗大误差，是观测过程中的错误造成的。n 产生原因：产生原因：主要由于测量人员的技术水平不高，工作态度不端正造主要由于测量人员的技术水平不高，工作态度不端正造成的，如：控制点起始数据输入错误，数据记错，读错等。成的，如：控制点起始数据输入错误，数据记错，读错等。n 发现、剔除粗差：发现、剔除粗差：在观测中必须避免出现粗差：在观测中必须避免出现粗差： 进行必要的重复观测，即多余观测；进行必要的重复观测，即多余观测； 采用必要而又严格的检核、验算方式；采用必要而又严格的检核、验算方式； 遵守国家

12、测绘管理机构制定的各类测量规范和细则，遵守国家测绘管理机构制定的各类测量规范和细则，一般也能起到防范粗差的作用。一般也能起到防范粗差的作用。1.1.3 测量平差的任务 第一项：对带有偶然误差的观测值进行处第一项：对带有偶然误差的观测值进行处理，消除观测结果之间的不符值，得到观理，消除观测结果之间的不符值，得到观测量的最可靠结果。测量的最可靠结果。通过数据处理求通过数据处理求未知量的最优估值。未知量的最优估值。 第二项：评定观测值及其函数值的最可靠第二项：评定观测值及其函数值的最可靠结果的精度，也就是考核测量成果的质量结果的精度，也就是考核测量成果的质量。评定最优估值的精度。评定最优估值的精度。

13、1.2 偶然误差的统计性质 概念：概念：n 真值真值: :任何一个被观测量，客观上总是存在着任何一个被观测量，客观上总是存在着一个能代表其真正大小的数值。这一数值就称一个能代表其真正大小的数值。这一数值就称为该观测量的真值。习惯上用为该观测量的真值。习惯上用 来表示。来表示。n 真误差真误差( (偶然误差偶然误差):):真值与观测值之差真值与观测值之差, ,记为记为: : 真误差真误差 = = 真值真值 观测值观测值LiiiL - L 用向量表示：若进行n次观测，观测值：L1, L2, ,Ln;可表示为：12,1nnLLLL12,1nnLLLL1122,1nnnLLLLLL L - L偶然误差

14、的特性例1：在相同的条件下独立观测了358个三角形的全部内角，计算各内角和的真误差，并按误差区间的间隔0.2秒进行统计列表如下:误差区间-+个数K频率K/n(K/n)/d个数K频率K/n(K/n)/d0.000.20450.1260.630460.1280.6400.200.40400.1120.560410.1150.5750.400.60330.0920.460330.0920.4600.600.80230.0640.320210.0590.2950.801.00170.0470.235160.0450.2251.001.20130.0360.180130.0360.1801.201.40

15、60.0170.08550.0140.0701.401.6040.0110.05520.0060.0301.60000000和1810.5051770.495(K/n)/d00.4 0.6 0.8-0.8-0.6 -0.4闭合差概率密度函数用直方图表示:当n时，概率密度函数曲线以正态分布为其极限例2：在相同的条件下独立观测了421个三角形的全部内角，计算各内角和的真误差，并按误差区间的间隔0.2秒进行统计,列表如下:误差区间+个数K频率K/n(K/n)/d个数K频率K/n(K/n)/d0.000.20400.0950.475460.0880.4400.200.40340.0810.405410

16、.0850.4250.400.60310.0740.370330.0690.3450.600.80250.0590.295210.0640.3200.801.00200.0480.240160.0430.2151.001.20160.0380.190130.0400.2002.402.6010.0020.01020.0050.00252.60000000和2100.4992110.501与之前具有类似的相同分布特征概率密度函数误差的概率分布曲线误差的概率分布曲线 若将误差区间的间隔无限缩小，就会出现若将误差区间的间隔无限缩小，就会出现两条光滑的曲线，称为误差的概率分布曲两条光滑的曲线，称为误差

17、的概率分布曲线或误差分布曲线，曲线所对应的函数则线或误差分布曲线，曲线所对应的函数则被称为概率密度函数。被称为概率密度函数。通过数据总结出偶然误差的规律性:在一定的观测条件下，误差的绝对值有一定的在一定的观测条件下，误差的绝对值有一定的限值，或者说，超出一定限值的误差，其出现限值，或者说，超出一定限值的误差，其出现的概率为零。的概率为零。绝对值较小的误差比绝对值较大的误差出现的绝对值较小的误差比绝对值较大的误差出现的概率大。概率大。绝对值相等的正负误差出现的概率相同。绝对值相等的正负误差出现的概率相同。偶然误差的数学期望为零，即：偶然误差的数学期望为零，即： 换言之，偶然误差的理论平均值为零。

18、换言之，偶然误差的理论平均值为零。( )( ( )( )( )0EE E LLE LE L 根据数理统计知识，服从正态分布的随机变根据数理统计知识，服从正态分布的随机变量的概率密度函数为：量的概率密度函数为：22()21( )e2xf xx 概率密度式为概率密度式为 ：2221( )e2f0对于偶然误差对于偶然误差而言：而言：正态分布曲线都具有两个拐点正态分布曲线都具有两个拐点 : : 偶然误差，偶然误差，拐点在横轴上的坐标为拐点在横轴上的坐标为: : =拐0 x拐1.3.1 1.3.1 方差、中误差方差、中误差1.3.2 1.3.2 极限误差极限误差1.3.3 1.3.3 相对误差相对误差1

19、.3.4 1.3.4 平均误差平均误差1.3.5 1.3.5 或然误差或然误差1.3.6 1.3.6 准确度、精确度准确度、精确度1.3 衡量精度的指标重点和难点:n衡量精度的各标准的定义及相互关系;学习目的和要求:n理解精度、准确度、精确度的定义；n掌握方差、均方差、中误差、平均误差、或然误差等精度估计标准的定义其相互关系；n 离散度离散度: :是指误差分布在一定的观测条件下进行是指误差分布在一定的观测条件下进行的一组观测，它对应着一种确定的误差分布。的一组观测，它对应着一种确定的误差分布。如果分布较为密集，即离散度较小时，则表示如果分布较为密集，即离散度较小时，则表示该组观测质量较好，也就

20、是说，这一组观测精度该组观测质量较好，也就是说，这一组观测精度较高；反之，如果分布较为离散，即离散度较大较高；反之，如果分布较为离散，即离散度较大时，则表示该组观测质量较差，也就是说，这一时，则表示该组观测质量较差，也就是说，这一组观测精度较低。组观测精度较低。n 精度：就是指误差分布的密集或离散的程度。是精度：就是指误差分布的密集或离散的程度。是指观测结果与其数学期望的接近程度，可从分布指观测结果与其数学期望的接近程度，可从分布曲线的陡峭程度看出精度的高低。曲线的陡峭程度看出精度的高低。基本概念：n 同精度观测值同精度观测值: :在相同的观测条件下所进行的在相同的观测条件下所进行的一组观测，

21、由于他们对应着同一种误差分布，一组观测，由于他们对应着同一种误差分布，对于这一组中的每一个观测值，都称为是同精对于这一组中的每一个观测值，都称为是同精度观测值。度观测值。1.3.1 1.3.1 方差和中误差方差和中误差 用 表示误差分布的方差，误差的概率密度函数为：由方差的定义： 由于在此主要包括偶然误差部分，所以有：22221()2fe 222( )() ( ( )DEE ( )0E 222()()()DEfd方差为真误差平方的数学期望，可以写成：方差为真误差平方的数学期望，可以写成：limnn 2()E中误差即为：中误差即为：221limlimninninn 方差和中误差的定义式，都是在理

22、想情况下定义的。方差和中误差的定义式，都是在理想情况下定义的。方差和中误差的估值方差和中误差的估值 但在实际计算中，但在实际计算中，n n总是一个有限值，这意总是一个有限值，这意味着，由有限个真误差只能求得方差和中味着，由有限个真误差只能求得方差和中误差的估值。误差的估值。方差方差中误差中误差 n2n1.3.2 1.3.2 极限误差极限误差 由于也就是说偶然误差的绝对值大于三倍中误差的概也就是说偶然误差的绝对值大于三倍中误差的概率仅有率仅有0.3%0.3%，是小概率事件，在有限次的测量中，是小概率事件，在有限次的测量中可看做不可能事件。因此以三倍中误差作为偶然可看做不可能事件。因此以三倍中误差

23、作为偶然误差的极限值，并称为极限误差。误差的极限值，并称为极限误差。P(- + )68.3%P(-2 +2 )95.5%P(-3 +3 )99.7%32限或置信概率1.3.3 1.3.3 相对误差相对误差 问题：有两段距离问题：有两段距离S S1 1和和S S2 2，经多次观测得到观测值及，经多次观测得到观测值及其中误差分别为其中误差分别为300.00m300.00m2cm2cm和和600.00m600.00m2cm2cm，请，请问哪段距离测量的精度高？问哪段距离测量的精度高？对于某些观测结果，有时单靠中误差还不能完全表对于某些观测结果，有时单靠中误差还不能完全表达观测结果的好坏。须采用另一种

24、办法来衡量精度，达观测结果的好坏。须采用另一种办法来衡量精度，通常采用相对中误差，它是中误差与观测值之比。通常采用相对中误差，它是中误差与观测值之比。在测量中一般将分子化为在测量中一般将分子化为1 1。其意义可简单理解为：每观测其意义可简单理解为：每观测N N单位长度时产生单位长度时产生1 1单位长度的误差。单位长度的误差。 1kLN1.3.4 1.3.4 平均误差平均误差 在一定的观测条件下，一组独立的偶然误差绝对值在一定的观测条件下，一组独立的偶然误差绝对值的数学期望称为平均误差。设以的数学期望称为平均误差。设以 表示平均误差，则表示平均误差，则有：有： 如果在相同条件下得到了一组独立的观

25、测误差，平如果在相同条件下得到了一组独立的观测误差，平均误差为均误差为 即平均误差是一组独立的偶然误差绝对值的算术平即平均误差是一组独立的偶然误差绝对值的算术平均值之极限值。均值之极限值。 ()()Efdlimnn 或然误差的定义是：误差出现在 之间概率等于1/2，即： 将的概率密度代入上式，作变量代换，令 ,则得： 由概率积分表查得，当概率为1/2时，积分限为0.6745，即得 1.3.5 1.3.5 或然误差或然误差 (,)1( )2fd ,tt ddt 22011( )222tfdedt 20.674531 / 2因此：中误差、平均误差和或然误差都可以作为衡量精度中误差、平均误差和或然误

26、差都可以作为衡量精度的指标，但由于的指标，但由于: :u当当n n不大时，中误差比平均误差更能灵敏地反映大不大时，中误差比平均误差更能灵敏地反映大误差的影响；误差的影响；u中误差具有明确的几何意义中误差具有明确的几何意义( (分布曲线的拐点坐标分布曲线的拐点坐标););u平均误差和或然误差都与中误差存在理论关系；平均误差和或然误差都与中误差存在理论关系；所以，世界上各国都采用中误差作为衡量精度的指所以，世界上各国都采用中误差作为衡量精度的指标，我国也统一采用中误差作为衡量精度的指标。标，我国也统一采用中误差作为衡量精度的指标。1.3.6 1.3.6 准确度、精确度准确度、精确度 前述：精度是指

27、误差分布的密集或离散的程前述：精度是指误差分布的密集或离散的程度，即各个观测值与其数学期望的接近程度度，即各个观测值与其数学期望的接近程度，所以精度是衡量观测结果中偶然误差大小，所以精度是衡量观测结果中偶然误差大小的指标。的指标。 但由于各种原因，观测值中可能含有残余的但由于各种原因，观测值中可能含有残余的系统误差，这时就有必要引进准确度与精确系统误差，这时就有必要引进准确度与精确度的概念。度的概念。 准确度准确度：描述系统误差和粗差，指观测值的真值与其数学：描述系统误差和粗差，指观测值的真值与其数学期望之差，即：期望之差，即：精确度精确度：描述偶然误差、系统误差和粗差的集成，指观测：描述偶然

28、误差、系统误差和粗差的集成，指观测结果与其真值的接近程度，包括观测结果与其数学期望接结果与其真值的接近程度，包括观测结果与其数学期望接近程度和数学期望与其真值的偏差，是一个全面衡量观测近程度和数学期望与其真值的偏差，是一个全面衡量观测质量的指标。精确度可用观测值的均方误差来描述，即：质量的指标。精确度可用观测值的均方误差来描述，即： 当当 ，即观测值中不存在系统误差和粗差时，亦，即观测值中不存在系统误差和粗差时，亦即观测值中只存在偶然误差时，均方误差就等于方差，此即观测值中只存在偶然误差时，均方误差就等于方差，此时精确度就是精度。时精确度就是精度。L- E(L)222LMSE(L)E(LL)(

29、E(L)L)E(L)L结合刚才讲到的精度，准确度、精确度的概念结合刚才讲到的精度，准确度、精确度的概念请说明三个打靶的质量如何？请说明三个打靶的质量如何？ 当观测列中的系统误差或其残余与偶然误差相比当观测列中的系统误差或其残余与偶然误差相比处于次要地位时，观测值与偶然误差便都可看成处于次要地位时，观测值与偶然误差便都可看成是随机变量，那么需要是随机变量，那么需要“次要次要”到什么程度呢？到什么程度呢？ 当含有的系统误差为中误差的当含有的系统误差为中误差的1/51/5： 当系统误差为中误差的当系统误差为中误差的1/3 1/3 ：22LMSE( )1.041.0225L22LMSE( )1.111

30、.059L系统误差大小不超过偶然中误差的系统误差大小不超过偶然中误差的1/31/3时，则可以时，则可以将系统误差的影响忽略不计。将系统误差的影响忽略不计。1.4 协方差传播律1.4.1 1.4.1 协方差与协方差阵协方差与协方差阵1.4.2 1.4.2 观测值线型函数的协方差误观测值线型函数的协方差误差率差率1.4.3 1.4.3 观测值非线性函数的协方差观测值非线性函数的协方差误差率误差率1.4.4 1.4.4 协方差传播律的应用协方差传播律的应用1.4.1 1.4.1 协方差与协方差阵协方差与协方差阵 在测量数据处理中，观测值分成两种：在测量数据处理中，观测值分成两种： 直接观测值；直接观

31、测值； 间接观测值；间接观测值； 通过直接观测值所构成的函数计算得通过直接观测值所构成的函数计算得到到 一个平差问题，待求量的估值也总是可以一个平差问题，待求量的估值也总是可以利用观测值的某种函数进行描述和表达。利用观测值的某种函数进行描述和表达。观测值函数的中误差与观测值的中误差观测值函数的中误差与观测值的中误差 在三角高程测量中，在三角高程测量中，A A、C C两点间的高差可以通过两点间的高差可以通过以下公式求出，即以下公式求出，即tanhD观测值的函数值由于观测值误差存在的原因，肯定也观测值的函数值由于观测值误差存在的原因，肯定也是不可避免地存在误差。是不可避免地存在误差。阐述这种误差传

32、递关系的公式称为误差传播律阐述这种误差传递关系的公式称为误差传播律 ，也，也称为协方差传播律称为协方差传播律 。协方差协方差传播律是阐述观测值的函数的中误差与观测值的中误差之间关系的公式。协方差是用数学期望来定义的。设有观测值X和Y，它们的协方差定义是： 即:式中: 和 分别是X和Y的真误差。()( )xyEXE XYE Y()xyxyE ()xE XX ( )yE YY协方差 由定义可知,协方差则是这两种真误差所有可能取值的乘积的理论平均值，即 实用上总n总是有限值，只能求得它的估值，记为:limxyxyyxnn xyxyn 0 xy观测值误差之间互不相关，称不相关观测值0 xy误差之间相关

33、，称相关观测值对于正态分布的随机变量而言，不相关与独立是等价的，所以把不相关观测值也称为独立观测值。例：在测量工作中，直接观测得到的高差、距离、角度、方向和三角高程测量求得的高差等，都认为是独立观测值。协方差阵 假定有假定有n n个不同精度的相关观测值，它们的数学期望和个不同精度的相关观测值，它们的数学期望和方差分别为方差分别为 和和 ，它们两两之间的协方差为，它们两两之间的协方差为 , ,用矩阵表示为用矩阵表示为: : 为观测值向量的方差-协方差阵，简称为协方差阵。 ix2ixijx x12.TnXxxx12.()nTXxxxE X1121212212222()() nnnnnxx xx x

34、x xxx xTXXXXx xx xxDEXXXXD互协方差阵设有观测值向量设有观测值向量 和和 ，它们的数学期望分，它们的数学期望分别为别为 和和 。,1nX,1tY,1Xn,1Yt令：令： ；则；则 的方差阵为：的方差阵为：XZYZXXXYZZYXYYDDDDD111212122212ttnnntx yx yx yx yx xx yXYx yx yx yD()() TTXYXYYXDEXYD其中：其中：且：且：式中：式中： 和和 分别为分别为X X和和Y Y的协方差阵，的协方差阵， 是是X X关于关于Y Y的互协方差阵。的互协方差阵。XXDYYDXYD1.4.2.1 单个观测值线性函数的协

35、方差 设有观测值向量设有观测值向量X X，其数学期望为，其数学期望为 ，协方差，协方差阵为阵为 , ,即即 式中： 为 的方差， 为 和 的协方差，又设有X的线性函数为：1.4.2 1.4.2 观测值线性函数的协方差传播率观测值线性函数的协方差传播率 XXXD2111112122222122212()(),(),()nnXXXnnnnnnXE XXE XXE XDXE X2iiXijiXjX11220nnZk Xk Xk Xk令：则：对上式两边取数学期望：对上式两边取数学期望： 则有： 000( )()()XE ZE KXkKE XkKk0000( )( )()()()()()()TZZTXX

36、TTXXTTXXTXXDEZE ZZE ZEKXkKkKXkKkE K XXKKEXXKKDK12.nKkkk01,11,11,1n nZK Xk纯量形式为：纯量形式为： 当向量观测值中的各分量两两独立时，它们当向量观测值中的各分量两两独立时，它们之间的协方差之间的协方差 ，此时上式为：，此时上式为： 222222211221 2121 3131111,2222ZZZnnnnnnnnDkkkkkkkkkk k0ij22222221122ZZZnnDkkk1.4.2.2 1.4.2.2 多个观测值线性函数的协方差阵多个观测值线性函数的协方差阵 设有观测值向量 ,X 的数学期望和协方差阵分别如下:

37、 ,1nXnXXXX21)()()(2121nXXXXXEXEXEn2222122121211nnnnnXXXXXXXXXXXXXXXXXD若有X的t个线性函数Z：若令： 则：11 111 2211 022 112 2222 011220nnnnttttnntZkXkXkXkZkXkXkXkZkXkXkXk 10111121221222200,1,1120nntt nttttnttkZkkkZkkkkZKKkkkZk0,1,1,1ttnntZKXK 即 00)()(KKKKXEZEx,( )( ) ()() ()() TZZt tTxxTTxxDE ZE ZZE ZE KXKKXKKEXXK,

38、TZZXXt nn tt tn nDK DK 设另有X 的m个线性函数Y：11111221102211222220m11220YYYrrrrmmmrrmf Xf Xf XffXfXfXffXfXfXf令则：10111121221222200,1,1120rrmmrmmmmrmmfYfffYffffYFFfffYf 0YFXF0000,()() ()() TZYxxTTxYTXXt nn mn nDE KXKKKFXFFFKE XYFK DF根据互协方差阵的定义有DZY：()( ) TZYDEZE ZYE Y同理:,TYZXXm nn tn nDF DK推广公式：设有观测值向量 和 的线性函数：

39、 已知X的方差阵DXX，Y的方差阵DYY ，X关于Y的互协方差阵为DXY ,K,K0,F0 为常系数阵。则有如下方差和协方差计算公式： 0,1,1,10,r,1,1,1Wtt n ntm rmmZK XKF YFTZZXXTWWYYTZWXYTW ZYXDKDKDFDFDKDFDFDK,1nX,1rY设有观测值 的非线性函数： ,或表示为:已知 的协方差阵 ，求Z的方差 。假定观测值X有近似值： , 将函数式按泰勒级数在点 处展开为如下(略去二次以上项)： ,1nX()Zf X12(,)nZf XXXXXDZZD000012,1TnnXXXX00000012011022012(,) () ()

40、 () ()() ()nnnnfffZf X XXXXXXXXXXX,1nX12(,)nZf XXX0,1nX1.4.3 1.4.3 观测值非线性函数的协方差传播率观测值非线性函数的协方差传播率 令： 得： 这样，就将非线性函数式化成了线性函数式，然这样，就将非线性函数式化成了线性函数式，然后用线性函数的协方差传播律计算协方差后用线性函数的协方差传播律计算协方差, ,即即: :1200012()()()nnfffKkkkXXX00000121(,)nniiikf XXXk X112200nnZk Xk Xk XkKXkTZZXXDKDK如果令： 则上式可写为 上式是非线性函数式的全微分。根据协

41、方差传播律：结论:求非线性函数的方差，只需求它的全微分。012000012(1,2, )(),iiiTnndXXXindXdXdXdXdZZ ZZf XXX0102012()()()nnfffdZdXdXdXKdXXXXZZdzdzXXdxdxDDDDjiji,如果同时有X 的t个非线性函数 将t个函数求全微分得：1112221212(,)(,)(,)nnttnZfXXXZfXXXZfXXX 11110102012222201020120102012()()()()()()()()()nnnnttttnnfffdZdXdXdXXXXfffdZdXdXdXXXXfffdZdXdXdXXXX若记：

42、 则有：根据协方差传播律得 的协方差阵： 因此，对于非线性函数，首先将其线性化，然后用线性函数的协方差传播律计算。线性化方法可用台劳级数展开或求全微分。12,1ttZZZZ12,1ttdZdZdZdZ111000122220012,00012()()()()()()()()()nnt ntttnfffXXXfffXXXKfffXXX dZKdX,1tZTZZXXDKDK同样地，若还有同样地，若还有r r个非线性函数，即：个非线性函数，即：1112221212()()()nnrrnYFXXXYFXXXYFXXX ,应用误差传播律，同样可得：应用误差传播律，同样可得：TYYXXDFDF函数的互协方

43、差阵为：函数的互协方差阵为： TYZXXDFDK1)找出观测值与其函数的函数表达式如：2)如果为非线性函数，则对函数式求全微分得： 3)写成矩阵形式： 或 4)应用协方差传播律求方差或协方差阵。总结：应用协方差传播律的步骤 0102012()()()(1,2, )iiiinnfffdZdXdXdXitXXX0ZKXKdZKdXi12(,)inZf XXX1.4.4 1.4.4 协方差传播律的应用协方差传播律的应用 (1)(1)同精度独立观测值的算术平均值的精度同精度独立观测值的算术平均值的精度 设对某量以同精度独立观测了次，即得到个独立设对某量以同精度独立观测了次，即得到个独立观测值，中误差均

44、为，则个观测值的算术平均值为观测值，中误差均为，则个观测值的算术平均值为： 应用协方差传播律，平均值的方差为：应用协方差传播律，平均值的方差为： 则中误差为：则中误差为： 也就是说，个同精度独立观测值的算术平均值的中也就是说，个同精度独立观测值的算术平均值的中误差等于各观测值的中误差的误差等于各观测值的中误差的 倍。倍。1N1xN222222221111xNNNN1211111NiNixLLLLNNNN(2) (2) 水准测量高差中误差水准测量高差中误差 经经N N个测站测定个测站测定A A、B B两水准点间的高差，其中第两水准点间的高差，其中第i i站的观测高站的观测高差为差为hihi，则，

45、则A A、B B两水准点间的总高差为两水准点间的总高差为 设各测站观测高差是精度相同的独立观测值，方差均为设各测站观测高差是精度相同的独立观测值，方差均为 ， 的方差的方差 ： 得中误差为：得中误差为：AB12Nhhhh2站ABhAB2hAB22222hN站站站站ABhN=站 若水准路线布设在平坦地区，前、后两测站间的距离若水准路线布设在平坦地区，前、后两测站间的距离s s大致相大致相等，设等，设A A、B B 间的距离为间的距离为S S，则测站数，则测站数 ，代入上式得：，代入上式得：SNsABhSs=站1kmS 如果如果 ，s s以以kmkm为单位，则为单位，则1km1km的测站数为：的测

46、站数为：而而1km1km观测高差的中误差即为：观测高差的中误差即为：km1Nskm1s站距离为距离为S S kmkm的的A A、B B两点的观测高差的中误差为：两点的观测高差的中误差为：ABkmhS= (3) (3) 若干独立误差的联合影响若干独立误差的联合影响 测量工作中经常会遇到这种情况，一个观测结果同时受到测量工作中经常会遇到这种情况，一个观测结果同时受到许多独立误差的联合影响，如照准误差、读数误差、目标许多独立误差的联合影响，如照准误差、读数误差、目标偏心误差和仪器偏心误差对测角的影响。偏心误差和仪器偏心误差对测角的影响。 在这种情况下，观测结果的真误差是各个独立误差的代数在这种情况下

47、，观测结果的真误差是各个独立误差的代数和，即：和，即： 由于这里的真误差是相互独立的，各种误差的出现都是纯由于这里的真误差是相互独立的，各种误差的出现都是纯属偶然属偶然( (随机随机) )的，因而也可由误差传播律并顾及得出它们的，因而也可由误差传播律并顾及得出它们之间的方差关系式，即：之间的方差关系式，即：12Zn222212Zn1.5 权与定权的常用方法n 方差是表示精度的一个绝对数字特征，一定的观方差是表示精度的一个绝对数字特征，一定的观测条件就对应着一定的误差分布，而一定的误差测条件就对应着一定的误差分布，而一定的误差分布就对应着一个确定的方差。分布就对应着一个确定的方差。n 表示各观测

48、值方差之间比例关系的数字特征称之表示各观测值方差之间比例关系的数字特征称之为权。权是表示精度的相对数字特征，在平差计为权。权是表示精度的相对数字特征，在平差计算中起着很重要的作用。算中起着很重要的作用。n 在平差计算之前，精度的绝对数字特征往往是不在平差计算之前，精度的绝对数字特征往往是不知道的，而精度的相对的数字特征（权）却可以知道的，而精度的相对的数字特征（权）却可以根据事先给定的条件予以确定，然后根据平差的根据事先给定的条件予以确定，然后根据平差的结果估算出表示精度的绝对的数字特征（方差）。结果估算出表示精度的绝对的数字特征（方差）。 1.5.1 1.5.1 权权 的的 定定 义义 设有

49、观测值 ，它们的方差为 ，选定任一常数 ，定义观测值的权为：由权的定义可知：观测值的权与其方差成反比。即方差愈小，其权愈大，或者说，精度愈高，其权愈大。用权来比较各观测值之间的精度高低，不限于是对同一类的观测值，同样也适用于对不同类的观测值。 12iL in ， ，0 202iip 2i 222212n111:1nppp 选定了一个值选定了一个值0 02 2，即有一组对应的权。或者说，有一组，即有一组对应的权。或者说，有一组权，必有一个对应的权，必有一个对应的0 02 2值。值。一组观测值的权，其大小是随一组观测值的权，其大小是随0 02 2的不同而异，但不论的不同而异，但不论0 02 2选用

50、何值，权之间的比例关系始终不变。选用何值，权之间的比例关系始终不变。为了使权能起到比较精度高低的作用，在同一问题中为了使权能起到比较精度高低的作用，在同一问题中0 02 2只能选定一个值，否则就破坏了权之间的比例关系。只能选定一个值，否则就破坏了权之间的比例关系。事先给出一定的条件，就可以确定出观测值的权的数值。事先给出一定的条件，就可以确定出观测值的权的数值。权是用来比较各观测值相互之间精度高低的，权的意义不权是用来比较各观测值相互之间精度高低的，权的意义不在于它们本身数值的大小，重要的是它们之间所存在的比例在于它们本身数值的大小，重要的是它们之间所存在的比例关系。关系。 权的性质： 权的量

51、纲：u权等于权等于1 1的观测值称为单位权观测值。的观测值称为单位权观测值。u权等于权等于1 1的观测值的方差称为单位权方差。的观测值的方差称为单位权方差。u权等于权等于1 1的观测值的中误差称为单位权中误差。的观测值的中误差称为单位权中误差。u在确定一组同量纲的观测值的权时，所选取的单位权方差的在确定一组同量纲的观测值的权时，所选取的单位权方差的单位是与观测值方差的单位相同，在这种情况下权是一组无单位是与观测值方差的单位相同，在这种情况下权是一组无量纲的数值。量纲的数值。u在确定不同量纲的观测值的权时，所选取的单位权方差的单在确定不同量纲的观测值的权时，所选取的单位权方差的单位一般是与其中一

52、类观测值方差的单位相同，在这种情况下，位一般是与其中一类观测值方差的单位相同，在这种情况下，权就不完全是一组无量纲的数值。权就不完全是一组无量纲的数值。单位权中误差：单位权中误差： 1.5.2 1.5.2 权权 的的 定定 义义 1.5.3 1.5.3 测量上常用的定权方法测量上常用的定权方法 在测量实际工作中，往往是要根据事先给定的条在测量实际工作中，往往是要根据事先给定的条件，首先确定出各观测值的权，也就是先确定它件，首先确定出各观测值的权，也就是先确定它们精度的相对数字指标，然后通过平差计算：们精度的相对数字指标，然后通过平差计算：求出各观测值的最可靠值，求出各观测值的最可靠值，求出它们

53、精度的绝对数字指标。求出它们精度的绝对数字指标。 (1) 同精度观测值的算术平均值的权 设有 ，它们分别是 次同精度观测值 的平均值，若每次观测的方差均为 ； 则 的方差为： 取 ，则 的权为： 12nL LL， ， ，12nNNN， ，2 iL22iiN 220C iL202iiiNpC iL特别地：(1)若 ，则 ，表明C是单次观测的权倒数。(2) 若 ，则 ，表明C是单位权观测值的观测次数。 1iN 1iCp1ip iCN(2) (2) 水准测量的权水准测量的权 设每一测站观测高差精度相同，中误差均为，设通过架设个测站测得两水准点间的高差h，根据协方差传播律，得h 的方差为： 则中误差为

54、： 水准网中的各条路线观测高差的中误差可写为 取： ,则权为：站22222hN站站站站hN站iiN站0C站iiCpN特别地：(1)若 ，则 ，表明C是一测站的观测高差的权 。(2) 若 ，则 ，表明C是单位权观测高差的测站数，或者说是以C个测站的观测高差的中误差作为单位权中误差 。 1iN ipC1ip iNC 除了上述利用测站数除了上述利用测站数 进行定权的方法外，进行定权的方法外，还可以采用路线长度还可以采用路线长度 来定权。来定权。 若水准路线布设在平坦地区，测站间的距离若水准路线布设在平坦地区，测站间的距离 大致相等，每千米的测站数也大致相等，则每公大致相等，每千米的测站数也大致相等，

55、则每公里的观测高差的中误差里的观测高差的中误差 可看作是相等的，可看作是相等的，这种情况就可利用路线长度来定权。这种情况就可利用路线长度来定权。 各路线观测高差的中误差为各路线观测高差的中误差为: : 取：取： 权：权：iNiSskmkmiiSiiCpS0kmC特别地：(1)若 ，则 ，表明C是1km观测高差的权 。(2) 若 ，则 ，表明C是单位权观测高差的路线千米数，或者说是令C km观测高差的权为1 。 1iS ipC1ip iSC 小结 在实际的水准测量工作中，定权方法最终应该是在实际的水准测量工作中，定权方法最终应该是选择利用水准路线的距离选择利用水准路线的距离S S定权，还是选择利

56、用测定权，还是选择利用测站数站数N N 定权，需根据实际问题具体分析而定。定权，需根据实际问题具体分析而定。 通常：通常： (1) (1) 在地形起伏不大、比较平坦的区域，每千米在地形起伏不大、比较平坦的区域，每千米的测站数的测站数N N 大致相同，就可根据水准路线的距离大致相同，就可根据水准路线的距离S S进行定权。进行定权。 (2) (2) 在地形起伏较大的区域，由于每千米的测站在地形起伏较大的区域，由于每千米的测站数相差会比较大，因此需按照测站数数相差会比较大，因此需按照测站数N N 进行定权进行定权。(3) (3) 丈量距离的权丈量距离的权 在丈量距离S 时，设用长度为的钢尺丈量了n尺

57、段，则有： 可得： 取： 权： 12nSlllSiSl0iCliiCpS总 结 通过上述内容，不难总结出以上定权方法的共同点都是： 在实际进行定权时，不用知道各观测值方差的具体数值信息，只需应用测站数、千米数等信息就能够定权了。 其重要意义在于可以避开平差前方差未知的情况，这已经成为定权的常用方法。1.61.6 协因数与协因数传播率协因数与协因数传播率1.6.1 1.6.1 协因数、协因数阵协因数、协因数阵1.6.21.6.2 权阵权阵1.6.21.6.2 协因数传播率协因数传播率1.6.1 协因数、协因数阵的概念 设有观测值 和 ，它们的权分别为 和 ，它们的方差分别为 和 ，它们之间的协方

58、差为 ，单位权方差为 。 令 称 为的 协因数或权倒数， 为的 协因数或权倒数， 为 关于 的协因数或相关权倒数。ipjp2jij20iLjL2222200011jijiiijjijijQ,Q,QppiLiiQjjQjLiLijQ协因数与权成反比，因此，也可作为衡量精度的相对指标。当=0，说明两观测值独立（不相关）。ijQ2ijL 设有观测值向量X和Y， 它们的方差阵分别为 和 ， 关于 的互协方差阵为 单位权方差为 令： 称 为 的协因数阵， 为Y的协因数阵， 为X关于Y的互协因数阵。XXn,nDYYr,rDXYn,rD20222000111XXXXYYYYXYXYn,nr,rn,rQD,Q

59、D ,QDXXQYYQYXYQX协因数阵 中的主对角线元素就是各个 的权倒数，它的非主对角线元素是 关于 的相关权倒数； 中的元素就是 关于Yj的相关权倒数。 也称为X的权逆阵， 为Y权逆阵， 为X关于Y的相关权逆阵。当 说明X与Y相互独立（不相关）YYQXXQiXiXXXQiXXYQ0TXYYXQQjXXYQ11 211 11 212 1222 12 221212222200022222000022220001rrrrrnr rrrrYYYYYYYYYYYY YYY YY YY YY YYYYYY YY YY YY YY YYQQQQQQQQQ QD111211121221221222121

60、2222200022222000022220001nnnnnnnnnnnX XXX XX XX XX XX XX XXX XX XX XXXXXX XX XX XX XX XXQQQQQQQQQQD1 11 211 11 212 12 222 12 221212222200022222000022220001rrrrnnn rnnn rX YX YX YX YX YX YX YX YX YX YX YX YXYXYX YX YX YX YX YX YQQQQQQQQQ QD1.6.2 权阵 一个观测值的权 与其协因数 互为倒数关系 n维观测向量 的权阵 权阵与其协方差阵的关系 ipiiQ11i