频率及概率(2)

1、 频率与概率频率与概率（2）用树状图或列表法来计算不确定事件的概率城关中学 曹燕教学目标：1、能用树状图或列表法计算事件发生的概率2、培养学生的合作精神和交流意识 3、知道当实验次数较大时，事件发生的频率具有稳定性，可以用频率的集中趋势来估计概率w游戏规则:w准备两组相同的牌,每组两张,两张牌面的数字分别是1和2.从两组牌中各摸出一张为一次试验.w探索频率与概率的关系探索频率与概率的关系A AA A2 22 2两人合作做30次试验,依次记录实验结果分别汇总其中2人,3人,4人,5人,6人等段班的试验数据,相应得到试验60次,90次,120次,150次,180次时等等两张牌的牌面数字和等于3的频

2、率,并绘制相应的频率折线统计图.议一议：实验中我们发现的规律：w频率与概率的关系频率与概率的关系w当试验次数很大时,一个事件发生的频率也稳定在相应的概率附近.因此,我们可以通过多次试验,回顾与思考回顾与思考用一个事件发生的用一个事件发生的频率频率来估计这一事件发生的来估计这一事件发生的概率概率.再换一种再换一种“玩玩”法法w两步试验两步试验w在前面的摸牌游戏中在前面的摸牌游戏中, ,在第一次试验中在第一次试验中, ,如果摸如果摸得第一张牌的牌面数字为得第一张牌的牌面数字为1,1,那么摸第二张牌时那么摸第二张牌时, ,摸摸得牌面数字为几的可能性大得牌面数字为几的可能性大? ?A AA A2 22

3、 2第一组第一组 第二组第二组A A ？1、2的可能性是相同的的可能性是相同的再换一种再换一种“玩玩”法法w两步试验两步试验w在前面的摸牌游戏中在前面的摸牌游戏中, ,在第一次试验中在第一次试验中, ,如果摸如果摸得第一张牌的牌面数字为得第一张牌的牌面数字为2,2,那么摸第二张牌时那么摸第二张牌时, ,摸摸得牌面数字为几的可能性大得牌面数字为几的可能性大? ?A AA A2 22 2第一组第一组 第二组第二组2 2 ？1、2的可能性是相同的的可能性是相同的再换一种再换一种“玩玩”法法w两步试验两步试验w根据你所做的根据你所做的3030次试验的记录次试验的记录, ,分别统计一下分别统计一下, ,

4、摸摸得第一张牌的牌面数字为得第一张牌的牌面数字为1 1时时, ,摸第二张牌的牌面摸第二张牌的牌面数字为数字为1 1和和2 2的次数的次数. .A A ？实验的结果实验的结果1、2的次数未必相等的次数未必相等实验的次数太少的缘故。实验的次数太少的缘故。真知灼见真知灼见源于实践源于实践w小明对自己的试验记录进行了统计小明对自己的试验记录进行了统计, ,结果如下结果如下: :w因此小明认为因此小明认为, ,如果摸得第一张牌的牌面数字为如果摸得第一张牌的牌面数字为1,1,那么那么摸第二张牌时摸第二张牌时, ,摸得牌面数字为摸得牌面数字为2 2的可能性大的可能性大. .你同意小明你同意小明的看法吗的看法

5、吗? ?w将全班同学的试验记录汇总将全班同学的试验记录汇总, ,然后再统计一下然后再统计一下! !第一张牌的第一张牌的牌面数字为牌面数字为1(161(16次次) )摸得第二张牌的牌面摸得第二张牌的牌面数字为数字为1(71(7次次) )摸得第二张牌的牌面摸得第二张牌的牌面数字为数字为2(92(9次次) )w事实上事实上, ,每一次试验中每一次试验中, ,不管摸得不管摸得的第一张牌的牌面数字为几的第一张牌的牌面数字为几, ,摸第摸第二张牌时二张牌时, ,摸得牌面数字为摸得牌面数字为1 1和和2 2的的可能性是可能性是相同相同的的. .真知灼见真知灼见 小丽：小丽： w用树状图表示概率用树状图表示概

6、率w实际上实际上, ,摸第一张摸第一张牌时牌时, ,可能出现的结可能出现的结果是果是: :牌面数字为牌面数字为1 1或或2,2,而且这两种结而且这两种结果出现的可能性相果出现的可能性相同同; ;摸第二张牌时摸第二张牌时, ,情况也是如此情况也是如此. .与第与第一张牌面无关，因一张牌面无关，因此此, ,我们可以用左面我们可以用左面的树状图或后面的的树状图或后面的表格来表示所有可表格来表示所有可能出现的结果能出现的结果: :开始开始第一张牌的第一张牌的牌面的数字牌面的数字1 12 2第二张牌的第二张牌的牌面的数字牌面的数字1 12 21 12 2所有可能出所有可能出现的结果现的结果(1,1)(1

7、,1)(1,2)(1,2)(2,1)(2,1)(2,2)(2,2)w每种结果出现的概率都是每种结果出现的概率都是1/4w所以和为所以和为3出现的概率是出现的概率是1/4+1/4=1/2w从上面的从上面的表格表格可以看出：可以看出：w（1 1）在摸牌游戏中）在摸牌游戏中, ,一次试验可能出现的一次试验可能出现的结果共有结果共有4 4种：种：(1,1),(1,2),(2,1),(2,2),(1,1),(1,2),(2,1),(2,2),w（2 2）每种结果出现的可能性相同）每种结果出现的可能性相同. .1 11 12 2(1,1)(1,1)(1,2)(1,2)2 2(2,1)(2,1)(2,2)(

8、2,2)w用用表格表格来研究上述问题来研究上述问题w每种结果出现的概率都是每种结果出现的概率都是1/4w所以和为所以和为3出现的概率是出现的概率是1/4+1/4=1/2牌面数字和为牌面数字和为2 2的概率为的概率为41牌面数字和为牌面数字和为3的概率为的概率为牌面数字和为牌面数字和为4 4的概率为的概率为2141总共出现四种可能的结果总共出现四种可能的结果: : 分别为分别为 (1, 1) , (1, 2) , (2, 1) ,(2, 2) (1, 1) , (1, 2) , (2, 1) ,(2, 2) 且每种结果出现的可能性相同且每种结果出现的可能性相同. .第二次硬币第二次硬币第一次硬币

9、第一次硬币（正，正）（正，正） （正，反）（正，反）（反，正）（反，正） （反，反）（反，反）第二种方法：列表法第二种方法：列表法总共有总共有4 4种结果，每种结果出现的可能性相同，而种结果，每种结果出现的可能性相同，而至少有一次正面朝上的结果有至少有一次正面朝上的结果有3 3种：种：（正，正）（正，正）（正，反）（反，正）（正，反）（反，正），因此至少有一次正面朝，因此至少有一次正面朝上的概率为上的概率为3/43/4。 例例2 2 ：甲、乙两同学各拿一枚完全相同的硬币进行投掷：甲、乙两同学各拿一枚完全相同的硬币进行投掷实验，规定国徽为正面。两人同时掷出硬币为一次实验，实验，规定国徽为正面。两

10、人同时掷出硬币为一次实验，在进行在进行200200次实验后，他们将向上一面的结果汇总如下表：次实验后，他们将向上一面的结果汇总如下表：（1 1）根据表格提供的信息分别求出事件）根据表格提供的信息分别求出事件A A、B B、C C发生的频率；（发生的频率；（2 2）分别求出事件）分别求出事件A A、B B、C C发生的发生的理论概率；（理论概率；（3 3）比较同一事件的频率与概率是否）比较同一事件的频率与概率是否一致？一致？（1 1）根据表格提供的信息分别求出事件）根据表格提供的信息分别求出事件A A、B B、C C发生的频率；发生的频率；答答：（：（1 1）事件）事件A A发生的频率为：发生的

11、频率为：事件事件B B发生的频率为：发生的频率为：事件事件C C发生的频率为：发生的频率为：5454200200=0.27=0.27200200100100=0.5=0.54646200200=0.23=0.23（2 2）分别求出事件）分别求出事件A A、B B、C C发生的理论概率；发生的理论概率；答：树状图可以是答：树状图可以是: :开始开始正正反反正正反反正正反反( (正正, ,正正) )( (正正, ,反反) )( (反反, ,正正) )( (反反, ,反反) ) 事件事件A A、B B、C C发生的理论概率分别为：发生的理论概率分别为： P P（A A）=1/4=0.25=1/4=0

12、.25， P P（B B）=2/4=0.5=2/4=0.5， P P（C C）= 1/4=0.25.= 1/4=0.25.（3 3）比较同一事件的频率与概率是否一致？）比较同一事件的频率与概率是否一致？答：经过答：经过200200次实验后事件次实验后事件B B发生的频率发生的频率与理论概率是一致的，事件与理论概率是一致的，事件A A、C C发生的频率发生的频率与理论概率略有误差。与理论概率略有误差。 随堂练习随堂练习P178如果有两组牌，它们的牌面数字分别是如果有两组牌，它们的牌面数字分别是1 1，2 2，3,3,那么从每组牌中各摸出一张牌，那么从每组牌中各摸出一张牌，(1)(1)两张牌的牌面

13、数字和等于两张牌的牌面数字和等于4 4的概率是多少呢？的概率是多少呢？(2)(2)两张牌的牌面数字和为几的概率最大？两张牌的牌面数字和为几的概率最大？1 15 51 15 51 15 51 15 51 15 5小颖：小颖：(1)(1)两张牌的牌面数字和等于两张牌的牌面数字和等于4 4的概率是的概率是1/51/5开始开始第一张牌的牌面的数字1 13 3第二张牌的牌面的数字1 13 32 23 3所有可能出现的结果(1,1)(1,1) (1,2)(1,2) (1,3)(1,3) (2,1)(2,1)2 22 21 11 13 32 2(2,3)(2,3) (3,1)(3,1) (3,2)(3,2)

14、 (3,3)(3,3)(2,2)(2,2)树树状状图图小明：小明：两张牌的牌面数字和等于两张牌的牌面数字和等于4 4的概率是的概率是3/9=1/33/9=1/31 11 12 2(1,1)(1,1)(1,2)(1,2)2 2(2,1)(2,1)(2,2)(2,2)3 33 3(1,3)(1,3)(2,3)(2,3)(3,1)(3,1)(3,2)(3,2)(3,3)(3,3)表表格格小亮：小亮：两张牌的牌面数字和等于两张牌的牌面数字和等于4 4的概率是的概率是3/9=1/33/9=1/3两张牌的牌面数字和等于几的概率最大？两张牌的牌面数字和等于几的概率最大？ 用列表法求概率时，应注意各种情况出现

15、用列表法求概率时，应注意各种情况出现的可能性必须相同。的可能性必须相同。 你认为用列表法求概率时应注意些什么？你认为用列表法求概率时应注意些什么？ 猜一猜猜一猜. .小明和弟弟在玩猜点数的游戏，规则是这样的：小明和弟弟在玩猜点数的游戏，规则是这样的：将红桃将红桃A A至红桃至红桃5 5、黑桃、黑桃A A至黑桃至黑桃5 5两组扑克牌分别洗匀，两组扑克牌分别洗匀，每次从两种花色中各抽出一张，抽后并放回洗匀每次从两种花色中各抽出一张，抽后并放回洗匀, ,在抽之在抽之前猜一个数，如果每次抽出的两张牌的点数之和与猜的前猜一个数，如果每次抽出的两张牌的点数之和与猜的数相同算对，否则算错，谁猜对的多算赢。小

16、明每次说数相同算对，否则算错，谁猜对的多算赢。小明每次说的数不是的数不是4 4就是就是5 5；弟弟每次说的数不是；弟弟每次说的数不是6 6就是就是7 7，那么谁，那么谁赢的可能大呢？若你来猜会猜哪两个数呢？为什么？赢的可能大呢？若你来猜会猜哪两个数呢？为什么？解：所有可能出现的结果为解：所有可能出现的结果为开始开始红桃红桃A红桃红桃2红桃红桃3红桃红桃4红桃红桃5黑黑A黑黑2黑黑3黑黑4 黑黑5黑黑A黑黑2黑黑3黑黑4黑黑5黑黑A黑黑2黑黑3 黑黑4黑黑5黑黑A 黑黑2 黑黑3黑黑4黑黑5黑黑A黑黑2黑黑3黑黑4 黑黑5两张牌面数字和的所有结果为两张牌面数字和的所有结果为2，3，4，5，6，3

17、，4，5，6，7，.5432154321黑桃黑桃红桃红桃牌面数字和牌面数字和所有可能结果所有可能结果黑桃黑桃红桃红桃牌面数字和牌面数字和所有可能结果所有可能结果 因为牌面数字和为因为牌面数字和为6 6的概率最大，所以弟弟的概率最大，所以弟弟赢的可能性大。赢的可能性大。(1)在一个不透明的袋中装有除颜色外其余都相同在一个不透明的袋中装有除颜色外其余都相同的的3个小球，其中一个红色球、两个黄色球个小球，其中一个红色球、两个黄色球.如果第如果第一次先从袋中摸出一个球后再放回摇匀，第二次一次先从袋中摸出一个球后再放回摇匀，第二次再从袋中摸出一个，那么两次都摸到黄色球的概再从袋中摸出一个，那么两次都摸到

18、黄色球的概率是率是 _.(2)在一个不透明的袋中装有除颜色外其余都相同的在一个不透明的袋中装有除颜色外其余都相同的3个个小球，其中一个红色球、两个黄色球小球，其中一个红色球、两个黄色球.如果第一次先从袋如果第一次先从袋中摸出一个球后不再放回，第二次再从袋中摸出一个，那中摸出一个球后不再放回，第二次再从袋中摸出一个，那么两次都摸到黄色球的概率是么两次都摸到黄色球的概率是 _.开始开始红红黄黄黄黄( (红红, ,黄黄) )黄黄黄黄红红黄黄红红( (黄黄, ,黄黄) )( (黄黄, ,红红) )( (黄黄, ,黄黄) )( (黄黄, ,红红) )黄黄( (红红, ,黄黄) )(3)有两组扑克牌有两组

19、扑克牌,第一组是第一组是1和和2,第二组是第二组是1、2和和 3，从两组中各抽一张，和等于，从两组中各抽一张，和等于4的概率的概率是是_;和不小于和不小于3的概率是的概率是_. 拓展训练：拓展训练： 一一. .将一个均匀的硬币上抛三次，结果为三个正面将一个均匀的硬币上抛三次，结果为三个正面的概率为的概率为_._.解：解：开始开始反反正正正正反反反反正正正正反反反反反反正正 反反正正正正第一次：第一次：第二次：第二次：第三次：第三次： 掷两枚骰子，它们的点数和可能有哪些值？掷两枚骰子，它们的点数和可能有哪些值？第二枚第二枚骰子的点数骰子的点数第一枚骰子第一枚骰子 的点数的点数 用列表的方法求：（

20、用列表的方法求：（1）“点数和为点数和为7点点”的概率；的概率； （2）“两颗骰子点数相同两颗骰子点数相同”的概率；的概率；（3）两颗骰子点数都是相同偶数的概率。）两颗骰子点数都是相同偶数的概率。(1,6)(1,6)(2,5)(2,5)(3,4)(3,4)(4,3)(4,3)(5,2)(5,2)(6,1)(6,1)(1,1)(1,1)(2,2)(2,2)(3,3)(3,3)(4,4)(4,4)(5,5)(5,5)(6,6)(6,6)二二.1.1.一个家庭有两个孩子，从出生的先后顺序一个家庭有两个孩子，从出生的先后顺序和性别上来分，所有可能出现的情况（和性别上来分，所有可能出现的情况（ ）（A

21、A）男女）男女 ，男男，女男，男男，女男 （B B）男女）男女 ，女男，女男（C C）男女）男女 ，男男，女男，女女，男男，女男，女女， （D D）男男，女女）男男，女女 随堂练习随堂练习2 2. .小明是个小马虎，晚上睡觉时将两双小明是个小马虎，晚上睡觉时将两双不同的袜子放在床头，早上起床没看清不同的袜子放在床头，早上起床没看清随便穿了两只就去上学，问小明正好穿随便穿了两只就去上学，问小明正好穿的是相同的一双袜子的概率是多少？的是相同的一双袜子的概率是多少？ 随堂练习随堂练习第一次所选袜子第一次所选袜子第二次所选袜子第二次所选袜子所有可能结果所有可能结果A1A2B1B2A1A2B1B2第一次

22、所选袜子第一次所选袜子第二次所选袜子第二次所选袜子所有可能结果所有可能结果A1A2B1B2A1A2B1B2(A1,A2)(A1,B1)(A1,B2)(A2,A1)(A2,B1)(A2,B2)（B1，A1）（B1，A2）（B1，B2）（B2，A1）（B2，A2） （B2，B1）用表格求所有可能结果时，你可要特别谨慎哦w例2.鞋架上放置两双皮鞋（散乱无序）,它们除颜色外其他完全相同,从中随机拿取两只,正好配成同一双的概率是多少?例题欣赏例题欣赏3.3.有长度分别为有长度分别为2cm2cm，2cm2cm，4cm4cm，5cm5cm的小棒的小棒各一根，放在不透明的纸盒中，每次从中任各一根，放在不透明的

23、纸盒中，每次从中任意取一根小棒（不放回），取了三次，取得意取一根小棒（不放回），取了三次，取得的三根小棒恰好能构成一个三角形的概率是的三根小棒恰好能构成一个三角形的概率是多少？多少？ 随堂练习随堂练习4.4.在两只口袋里分别放黑白小球各一个（他在两只口袋里分别放黑白小球各一个（他们仅颜色不同），抖匀后在第一个口袋里摸们仅颜色不同），抖匀后在第一个口袋里摸出一个小球，记下颜色后，放在第二个口袋出一个小球，记下颜色后，放在第二个口袋里，抖匀后再在第二个口袋里摸出一个小球，里，抖匀后再在第二个口袋里摸出一个小球，两次摸到小球颜色相同的概率是多少？两次摸到小球颜色相同的概率是多少？ 随堂练习随堂练习5

24、、 两个转盘都被分成黑白相等的两部分，甲乙两个转盘都被分成黑白相等的两部分，甲乙两人用它们做游戏，如果两个指针所停区域的颜两人用它们做游戏，如果两个指针所停区域的颜色不同，则乙获胜，在这个游戏中（色不同，则乙获胜，在这个游戏中（ ）（A）甲获胜的可能性大）甲获胜的可能性大（B）乙获胜的可能性大）乙获胜的可能性大（C）两人获胜的可能性一样大）两人获胜的可能性一样大（D）不能确定谁获胜的可能性大）不能确定谁获胜的可能性大 随堂练习随堂练习试一试：试一试：一个家庭有三个孩子，若一个孩子是男孩一个家庭有三个孩子，若一个孩子是男孩还是女孩的可能性相同还是女孩的可能性相同(1)(1)求这个家庭的求这个家庭

25、的3 3个孩子都是男孩的概率；个孩子都是男孩的概率；(2)(2)求求这个家庭有这个家庭有2 2个男孩和个男孩和1 1个女孩的概率；个女孩的概率；(3)(3)求这个求这个家庭至少有一个男孩的概率家庭至少有一个男孩的概率解解: : 归纳总结，画龙点睛归纳总结，画龙点睛1 1、本节课你有哪些收获？有何感想？、本节课你有哪些收获？有何感想？2 2、用列表法求概率时应注意什么情况？、用列表法求概率时应注意什么情况？用列表法求随机事件发生的理论概率用列表法求随机事件发生的理论概率（也可借用树状图分析）（也可借用树状图分析）学会了学会了明白了明白了用列表法求概率时应注意各种情况发生的可用列表法求概率时应注意

26、各种情况发生的可能性能性务必相同务必相同懂得了懂得了合作交流的重要性合作交流的重要性w 利用树状图或表格可以清晰地表示出某个事件发生的所利用树状图或表格可以清晰地表示出某个事件发生的所有可能出现的结果有可能出现的结果; ;从而较方便地求出某些事件发生的从而较方便地求出某些事件发生的概率概率. .结束寄语询问者智之本,思虑者智之道也.下课了!学以致用学以致用1.一个均匀的小正方体一个均匀的小正方体,各面分别标有各面分别标有16六个数字六个数字,求下列事件的概率求下列事件的概率: 随机掷这个小正方体随机掷这个小正方体,落地后朝上面数落地后朝上面数字是字是6的概率是的概率是 ;(1)随机掷这个小正方

27、体两次随机掷这个小正方体两次,两次落地两次落地后朝上面数字之和为后朝上面数字之和为6的概率是的概率是 .1/65/36学以致用学以致用2.某商场门前有一停车场某商场门前有一停车场,共有八个停共有八个停车位车位,分成两排，已有三辆车分别停放在分成两排，已有三辆车分别停放在了了1、4、6号车位。今有甲、乙两位顾号车位。今有甲、乙两位顾客乘车去商场，他们先后将车随机停放客乘车去商场，他们先后将车随机停放在了停车场，问甲、乙二人所乘的车并在了停车场，问甲、乙二人所乘的车并排停放在一起的概率是多少？排停放在一起的概率是多少？思考讨论思考讨论 袋中装有袋中装有四个红色球四个红色球和和两个兰色球两个兰色球，

28、它们除了颜色外都相同；它们除了颜色外都相同；（1）随机从中摸出一球，恰为红球的）随机从中摸出一球，恰为红球的概率是概率是 ；2/3（2）随机从中摸出一球，记录下颜色后）随机从中摸出一球，记录下颜色后放回袋中，充分混合后再随机摸出一球，放回袋中，充分混合后再随机摸出一球，两次都摸到红球的概率为两次都摸到红球的概率为 ；（3）随机从中一次摸出）随机从中一次摸出两个两个球，两球球，两球均为红球的概率是均为红球的概率是 。（2）随机从中摸出一球，记录下颜色后）随机从中摸出一球，记录下颜色后放回袋中，充分混合后再随机摸出一球，放回袋中，充分混合后再随机摸出一球，两次都摸到红球的概率为两次都摸到红球的概率

29、为 ；4/91 11 12 2(1,1)(1,1)(1,2)(1,2)2 2(2,1)(2,1)(2,2)(2,2)3 33 3(1,3)(1,3)(2,3)(2,3)(3,1)(3,1)(3,2)(3,2) (3,3)(3,3)4 45 56 64 46 65 5(1,4)(1,4) ( (1 1, ,5 5) )( (1 1, ,6 6) )(2,4)(2,4)( (2 2, ,5 5) )( (2 2, ,6 6) )( (3 3, ,6 6) )( (3 3, ,5 5) )(3,4)(3,4)(4,1)(4,1)(4,2)(4,2) (4,3)(4,3)(4,4)(4,4)( (4

30、4, ,5 5) )(5,6)(5,6)( (4 4, ,6 6) )(6,6)(6,6)(5,5)(5,5)(6,5)(6,5)( (5 5, ,4 4) )( (6 6, ,4 4) )( (5 5, ,3 3) )( (6 6, ,3 3) )( (5 5, ,2 2) )( (6 6, ,2 2) )( (5 5, ,1 1) )( (6 6, ,1 1) )（3）随机从中一次摸出）随机从中一次摸出两个两个球，球，两球均为红球的概率是两球均为红球的概率是 。2/51 11 12 22 23 33 34 45 56 64 46 65 5(1,1)(1,1)(1,2)(1,2)(2,1)(

31、2,1)(2,2)(2,2)(1,3)(1,3)(2,3)(2,3)(3,1)(3,1)(3,2)(3,2) (3,3)(3,3)(1,4)(1,4) ( (1 1, ,5 5) )( (1 1, ,6 6) )(2,4)(2,4)( (2 2, ,5 5) )( (2 2, ,6 6) )( (3 3, ,6 6) )( (3 3, ,5 5) )(3,4)(3,4)(4,1)(4,1)(4,2)(4,2) (4,3)(4,3)(4,4)(4,4)( (4 4, ,5 5) )(5,6)(5,6)( (4 4, ,6 6) )(6,6)(6,6)(5,5)(5,5)(6,5)(6,5)( (5 5, ,4 4) )( (6 6, ,4 4) )( (5 5, ,3 3) )( (6 6, ,3 3) )( (5 5, ,2 2) )( (6 6, ,2 2) )( (5 5,