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文档简介

1、曲线是微分几何的主要研究对象，面且其研究方法也适用于曲面论，所以学好曲线论是非常重要的本节主要内容为2.1曲线的概念2.2光滑曲线 曲线的正常点2.3曲线的切线和法线2.4曲线的弧长 自然参数 几种观点1、把曲线看成是两个曲面的交线2、把曲线看成是动点运动的轨迹3、用映射观点来定义交线为此先介绍映射的有关知识给出两个集合 和 ，如果集合 中的每一个点（元素） ，有 中的点 和它对应，则我们说给定了 到 的一个映射 ， 称为点 的像， 称为 的原像对于任取集合 中的点 和 ，如果 时有 ，则称映射 是一一的（或单的）如果 ，我们就说 是从 到 的在上映射（或称满的） ,Ex,xfEE,EE,E,

2、xxx,xE1x2x12xx12()()f xf xf,( )f EEfE,E映射的有关知识定义：如果一个开的直线段到三维欧氏空间内建立的对应是一一的，双方连续的在上映射，则我们把三维欧氏空间中映射的像称为简单曲线。（得到的曲线无自交点）例1：开椭圆弧的向量参数表示是(0t2 )例2：圆柱螺线的向量参数表示是例例1和例和例2 分别是分别是曲线的坐标式参数方程和向量式参数方程r = a cost, a sint, bt (- t0,s是t的单调函数,s=s(t)的反函数存在t=t(s),代入r(t)有r=r(t)=r(t(s)( )( )( )xx syy szz s 例：圆柱螺线参数化为 r(

3、t) (a cos(wt) , a sin(wt) , vt) , tR ，其中三个常数 a 0 , w 0 和 v 0 0 试求t=0计起到t的弧长解解：r(t) = (aw sin(wt) , aw cos(wt) , v) ，参数变换定义：对于曲线 给出函数 如果 ，则称 为曲线 的一个参数变换，在次变换下曲线 的方程为命题1：参数变换曲线的正则性和正向不变。证： t增加则u增加,故正向不变 故正则性不变:( ),orr t( )tu( )tu ( ).rru,( )0u,( )0u,( )0drudu,dr dt=r(t)dt du命题：曲线上两点间的弧长与参数的选取无关。证：设 为曲线 的一个参数变换且( )tu00u =u(t )*r=r(t)=r (u)0000,( )( )( )|(

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