椭圆及其双曲线定义的应用

1、两定点两定点f1、f2(|f1f2|=2c)和和的距离的的距离的等于常数等于常数2a ( 2a|f1f2|=2c0) 的点的轨迹的点的轨迹.平面内与平面内与 1. 椭圆的定义 2. 双曲线的定义平面内与平面内与 两定点两定点f1、f2(|f1f2|=2c) 的距离的的距离的差差的绝对值等于常数的绝对值等于常数 2a ( 2a |f1f2|=2c0)的点轨迹的点轨迹 椭圆 双曲线根据|mf1|+|mf2|=2a根据|mf1|-|mf2|=2a ac0， 令a2-c2=b2(b0) 0a0) (ab0)12222byax12222bxay12222byax12222bxay(a0，b0 ，a不一定

2、大于b ) 3.椭圆和双曲线的标准方程以及它们之间的关系椭圆和双曲线的标准方程以及它们之间的关系1162522yx1，设p是椭圆 上的点,若 是椭圆的两个焦点，求 21,ff21pfpf2，双曲线 上一点 到它的焦点的距离等于1，那么点 到另一个焦点的距离等于多少？ 1166422xypp102a173，p是双曲线是双曲线 上一点，上一点， 是双是双曲线的两个焦点，且曲线的两个焦点，且 ，则，则 1366422yx21,ff171pf2pf33例例1双曲线双曲线 ，过焦点，过焦点f1和双曲线同支和双曲线同支相交的弦相交的弦ab长为长为m，另一焦点为，另一焦点为f2，则，则abf2的的周长为周长

3、为()a4a b4amc4a2m d4a2m12222byax解析：因解析：因abf2周长等于周长等于|af2|bf2|ab|，涉，涉及到双曲线上的点到焦点的距离问题，故可用双及到双曲线上的点到焦点的距离问题，故可用双曲线定义求解曲线定义求解|bf2|bf1|2a，|af2|af1|2a，如图所示，显然可知如图所示，显然可知|af2|af1|，|bf2|bf1|，所以去掉绝对值符号，所以去掉绝对值符号，由由得，得，|bf2|af2|(|af1|bf1|)4a，而而|af1|bf1|ab|m，所以再代回就很容易求得所以再代回就很容易求得abf2的周长，的周长，|af2|bf2|4am.abf2的

4、周长为的周长为|af2|bf2|ab|4a2m.答案：答案：c变式1,已知经过椭圆 的右焦点 作垂直于 轴的直线 ，交椭圆 两点， 是椭圆的左焦点，求 的周长1162522yx2fxabba,1fbaf11f2fxyoab解： 的周长为baf1babfafc11afbfbfaf2211)()(2121bfbfafaf20422aaa例例2，如图，点，如图，点p是椭圆是椭圆 上一点，上一点， 是椭圆的两个焦点，是椭圆的两个焦点， 求求 的面积的面积14522xy21,ff9021pff21pff1f2fxyop解解:由题意得由题意得1, 2,5cba5221 pfpf42212221ffpfpf

5、42)(21221pfpfpfpf821pfpf4821212121pfpfspff9021pff变式2，已知，双曲线 , 是其两个焦点，点 在双曲线上，若 求 的面积 19422yx21,ffm9021mff21mff解解:(1)由双曲线的定义知由双曲线的定义知1332, 3, 222cba4221amfmf9021mff52)132(22212221ffmfmf162)(222121221mfmfmfmfmfmf1821mfmf91821212121mfmfsmff例3，在 ，已知 ，当动点 满足条件 ，求动点 的轨迹方程。abc4bcaacbsin21sinsina解解;以以 所在直线为

6、所在直线为 轴，以线段轴，以线段 的垂的垂直平分线为直平分线为 建立直角坐标系建立直角坐标系bcxybcacbsin21sinsin由正弦定理，得由正弦定理，得2421 acab24 bcc.b.ax由双曲线的定义知，点a的轨迹是以b,c为焦点的双曲线的右支(除去与 的交点）22 , 42ac3, 1, 2222acbac所以，动点a的轨迹方程为)0, 0( 1322yxyxxxc.b.a。xyc.b.a。变式3， abc的三边a，b，c成等差数列，且abc，a，c的坐标分别为(1,0)，(1,0)，求顶点b的轨迹方程【分析】解答本题关键是利用椭圆定义分析出b点的轨迹是椭圆，再利用待定系数法求解 求下列动圆圆心m的轨迹方程：