离散时间系统的相位结构与状态变量描述PPT学习教案

1、会计学1离散时间系统的相位结构与状态变量描离散时间系统的相位结构与状态变量描述述信号分析：信号分析：把信号分解成它的各个组成分量或成分，以及它们把信号分解成它的各个组成分量或成分，以及它们各自包含什么样的特征信息等有关的概念、理论和方法。各自包含什么样的特征信息等有关的概念、理论和方法。信号处理：信号处理：按照某种需要或目的，对信号进行特定的加工、提按照某种需要或目的，对信号进行特定的加工、提炼和修改等。炼和修改等。系统分析：系统分析：在给定系统的情况下，研究系统对输入信号所产生在给定系统的情况下，研究系统对输入信号所产生的响应，并由此获得对系统功能和特性的认识。的响应，并由此获得对系统功能和

2、特性的认识。系统综合：系统综合：在给定系统功能和特性的情况下，或者已知系统在在给定系统功能和特性的情况下，或者已知系统在什么样的输入时应该有什么样的输出，设计并实现这样的系统什么样的输入时应该有什么样的输出，设计并实现这样的系统。第1页/共30页1.离散时间系统的相频响应离散时间系统的相频响应2.FIR 系统的线性相位特性系统的线性相位特性3.具有线性相位特性的具有线性相位特性的 FIR 系统的零点分布系统的零点分布4.全通系统与最小相位系统全通系统与最小相位系统5.谱分解谱分解第2页/共30页离散时间系统的频率响应包含幅频响应和相频响应两部分。幅离散时间系统的频率响应包含幅频响应和相频响应两

3、部分。幅频响应反映了信号频响应反映了信号 x(n) 通过系统后各频率成分的衰减情况，相通过系统后各频率成分的衰减情况，相频响应反映了信号频响应反映了信号 x(n) 中各频率成分通过系统后在时间上发生中各频率成分通过系统后在时间上发生的位移情况。一个理想的离散时间系统，除了具有所希望的幅的位移情况。一个理想的离散时间系统，除了具有所希望的幅频响应外，最好还能有线性相位。频响应外，最好还能有线性相位。具有线性相位的离散时间系统的相频响应满足：具有线性相位的离散时间系统的相频响应满足：其中其中 k 为常数。假设该系统的幅频响应等于为常数。假设该系统的幅频响应等于 1，当信号，当信号 x(n) 通通过

4、该系统后，输出信号过该系统后，输出信号 x(n) 的频率响应为：的频率响应为：1. 离散时间系统的相频响应离散时间系统的相频响应kjH)(arg)()()()()()(jXejXejHjXjHjYjkjk)()(knxny第3页/共30页H(j) 更一般的表达式为：更一般的表达式为：其中其中|H(j)|为幅频响应，为幅频响应，() 为相频响应。为相频响应。如果令如果令 x(n)=Acos(0n+) ，则系统的输出为：，则系统的输出为：为了简单，假定为了简单，假定 A|H(j)|=1，则，则 表示的输出相对输人的时间延迟。通常定义表示的输出相对输人的时间延迟。通常定义 为系统的相位延迟（为系统的

5、相位延迟（phase delay）。）。再定义再定义 为系统的群延迟（为系统的群延迟（group delay）。）。如果如果 () =-k, 则则如果如果 () =-k+，则，则1. 离散时间系统的相频响应离散时间系统的相频响应)(cos()()(000njHAny)()()(jejHjH)/ )(cos)(cos()(00000nnny/ )(pddg/ )()(kgp)()(kkgp)(,)(00()/ 第4页/共30页如果系统的单位冲激响应满足如果系统的单位冲激响应满足 ，则有，则有频率响应始终为实数，所以该系统具有零相频响应。另外，采频率响应始终为实数，所以该系统具有零相频响应。另外，

6、采取一些特殊的措施也可以做到零相频响应。取一些特殊的措施也可以做到零相频响应。1. 离散时间系统的相频响应离散时间系统的相频响应111)1(1)1()cos()(2)0( )sin()cos()()()(NnNNnNNnnjnnhhnjnnhenhjH)()(nhnh2)()()()()()()( )()()()()()(jjjjjjjjjjjjjeHeXeHeHeXeHeUeHeUeHeVeWeYH(ej)x(n) 时间反转时间反转时间反转时间反转u(n) v(n)=u(-n) y(n)=w(-n) w(n) H(ej)第5页/共30页当当 FIR 系统的单位冲激响应满足系统的单位冲激响应满

7、足时，该系统具有线性相位。时，该系统具有线性相位。证明：证明：第一种情况：第一种情况： ，且，且 N 为奇数（类型为奇数（类型滤波器）滤波器）2. FIR 系统的线性相位特性系统的线性相位特性)1()(nNhnh)1()(nNhnh2/ )1(2/ )3(0)1(2/ )3(02/ )1(12/ )1(2/ )3(010)21()1()( )21()()( )()(NjNmmNjNmmjNjNNnnjNnnjNnnjeNhemNhemheNhenhenhenhjH令令 m=N-1-n第6页/共30页2. FIR 系统的线性相位特性系统的线性相位特性)21()cos()21(2)21()21co

8、s()(2)21()()()21()()(2/ )1(12/ )1(2/ )3(02/ )1(2/ )3(0)21(2/ )3(0)21(2/ )1(2/ )1(2/ )3(0)1(2/ )1(2/ )3(02/ )1(NhnnNheNhmNmheNhemhemheNheemheemheNnNjNmNjNmNmjNmNmjNjNjNmmNjNjNmmjNj令令 n=(N-1)/2-m令令2/ ) 1( , 2 , 1 ),21(20 ),21()(NnnNhnNhna第7页/共30页则则这是一个线性相位系统，且这是一个线性相位系统，且第二种情况：第二种情况： ，且，且 N 为偶数（类型为偶数（

9、类型 滤波器）滤波器）其中其中这也是一个线性相位系统，且这也是一个线性相位系统，且2. FIR 系统的线性相位特性系统的线性相位特性2/ )1(02/ )1()cos()()(NnNjnnaejH2/ ) 1()(N)1()(nNhnh2/ ) 1()(N2/12/ )1(21cos)()(NnNjnnbejH2/, 2 , 1 ),2/(2)(NnnNhnb第8页/共30页第三种情况：第三种情况： ，且，且 N 为奇数（类型为奇数（类型滤波器）滤波器）其中其中这是一个线性系统，且这是一个线性系统，且第四种情况：第四种情况： ，且，且 N 为偶数（类型为偶数（类型 滤波器）滤波器）其中其中这是

10、一个线性系统，且这是一个线性系统，且2. FIR 系统的线性相位特性系统的线性相位特性2/ ) 1(2/)(N)1()(nNhnh2/ )1(1212)sin()()(NnNjnncejH21, 2 , 1 ),21(2)(NnnNhnc)1()(nNhnh2/121221sin)()(NnNjnndejH2/, 2 , 1 ),2/(2)(NnnNhnd2/ ) 1(2/)(N第9页/共30页当当 FIR 系统的单位冲激响应满足对称条件，即系统的单位冲激响应满足对称条件，即 ，则有则有令令 m=N-1-n，代入上式则有，代入上式则有3. 具有线性相位特性的具有线性相位特性的 FIR 系统的零

11、点分布系统的零点分布)1()(nNhnh1100( )( )(1)NNnnnnH zh n zh Nn z 1(1)1(1)10( )( )()()NNmNmH zzh m zzH z 由上式可以看出，由上式可以看出，H(z) 的零点也是的零点也是 H(z-1) 的零点，反之亦然。的零点，反之亦然。令令zk=rkejk 为为 H(z) 的一个零点，则有的一个零点，则有 当当 k 0 和和 ，且，且 rk1时，时，zk 在单位圆内；在单位圆内；易知，易知，(zk)* 、1/zk 和和 1/(zk)* 也是也是 H(z) 的零点，的零点，这四个零点构成一个四阶系统：这四个零点构成一个四阶系统：Im

12、Re单位圆单位圆1Z平面平面0zk)(1)(1)(1)(1 ()(111111kkkkkzzzzzzzzzH第10页/共30页 当当 k = 0 或或 ，且，且 rk1时，时，zk 在实轴上；在实轴上；此时此时 zk=rk，它没有共轭零点存在，但在实轴，它没有共轭零点存在，但在实轴上有镜像零点上有镜像零点 1/rk , 这两个零点构成一个二阶这两个零点构成一个二阶系统：系统：3. 具有线性相位特性的具有线性相位特性的 FIR 系统的零点分布系统的零点分布ImRe单位圆单位圆1Z平面平面0rk)11)(1 ()(11kkmrzrzzH 当当 k 0 或或 ，且，且 rk=1时，时，zk 在单位圆

13、上；在单位圆上；此时此时 zk= ejk ，它没有镜像对称零点存在，但，它没有镜像对称零点存在，但有一个共轭对称零点有一个共轭对称零点 ejk , 这两个零点构成一这两个零点构成一个二阶系统：个二阶系统：)1)(1 ()(11kkjjlezezzHImRe单位圆单位圆1Z平面平面0rk第11页/共30页 当当 k = 0 或或 ，且，且 rk=1时，时，zk 在实轴与单位圆的交点上；在实轴与单位圆的交点上；此时此时 zk=1 或或 -1，它没有共轭零点存在，也没，它没有共轭零点存在，也没有镜像零点存在有镜像零点存在 , 它构成最简单的一阶系统：它构成最简单的一阶系统：一个具有线性相位的一个具有

14、线性相位的 FIR 系统，其系统函数系统，其系统函数可表述为上述各式的级联，即可表述为上述各式的级联，即3. 具有线性相位特性的具有线性相位特性的 FIR 系统的零点分布系统的零点分布ImRe单位圆单位圆1Z平面平面0)1 ()(1zzHn)()()()()(zHzHzHzHzHnnllmmkk第12页/共30页已知已知 ，进一步考察，进一步考察 H(z) 在在 z=1和和 z= -1处的幅处的幅频响应。频响应。n对类型对类型滤波器：由于滤波器：由于 N 为奇数，故为奇数，故 N-1 为偶数，当为偶数，当 z=1和和 z= -1时有时有 如果如果 |H(1)|=0，那么该系统将具有高通或带通的

15、幅频特性；，那么该系统将具有高通或带通的幅频特性； 如果如果 |H(-1)|=0，那么该系统将具有低通或带通的幅频特性，那么该系统将具有低通或带通的幅频特性。n对类型对类型 滤波器：由于滤波器：由于 N 为偶数，故为偶数，故 N-1 为奇数，当为奇数，当 z=1 和和 z= -1时有时有此时此时 z 可以为可以为 1，但不能为，但不能为 -1，除非，除非 z= -1是零点。因此该是零点。因此该系系 统可以具有低通或带通的幅频特性，但不能具有高通或统可以具有低通或带通的幅频特性，但不能具有高通或带阻型的幅频特性。带阻型的幅频特性。3. 具有线性相位特性的具有线性相位特性的 FIR 系统的零点分布

16、系统的零点分布)()(1)1(zHzzHN) 1 ()1 (1) 1 (1)1(HHHN) 1() 1() 1() 1(1)1(HHHN) 1 () 1 (HH) 1() 1() 1() 1(1)1(HHHN第13页/共30页n对类型对类型滤波器：由于滤波器：由于 N 为奇数，故为奇数，故 N-1 为偶数，当为偶数，当 z=1和和 z= -1时有时有因此因此 z=1和和 z= -1均必须为零点，该系统只能具有带通型的均必须为零点，该系统只能具有带通型的频谱特性。频谱特性。n对类型对类型 滤波器：由于滤波器：由于 N 为偶数，故为偶数，故 N-1 为奇数，当为奇数，当 z=1和和 z= -1时有

17、时有此时此时 z 可以为可以为 -1，但不能为，但不能为 1，除非，除非 z = 1是零点。因此该是零点。因此该系系 统可以具有高通或带通的幅频特性，但不能具有低通或统可以具有高通或带通的幅频特性，但不能具有低通或带阻型的幅频特性。带阻型的幅频特性。3. 具有线性相位特性的具有线性相位特性的 FIR 系统的零点分布系统的零点分布) 1 ()1 (1) 1 (1)1(HHHN) 1() 1() 1() 1(1)1(HHHN) 1 ()1 (1) 1 (1)1(HHHN) 1() 1() 1() 1(1)1(HHHN第14页/共30页如果一个系统的幅频响在整个频率范围内都等于如果一个系统的幅频响在

18、整个频率范围内都等于 1 或一个常数，或一个常数，则该系统称为全通系统（则该系统称为全通系统（all pass system）。在数字信号处理中，）。在数字信号处理中，全通系统通常用来校正系统的相位。信号通过某个系统时，如全通系统通常用来校正系统的相位。信号通过某个系统时，如果该系统的相位是非线性的，可将其与一个全通系统级联，后果该系统的相位是非线性的，可将其与一个全通系统级联，后者不影响整个系统的幅频特性，但可以对相位进行补偿，从而者不影响整个系统的幅频特性，但可以对相位进行补偿，从而使得整个系统的相频特性接近线性。使得整个系统的相频特性接近线性。全通系统的频率响应可以写为：全通系统的频率响

19、应可以写为：这表明它仅改变输入信号的相位特性，而不改变其幅度特性。这表明它仅改变输入信号的相位特性，而不改变其幅度特性。一个最简单的全通系统为：一个最简单的全通系统为：由该系统得到的输出信号是输入信号的简单延迟。由该系统得到的输出信号是输入信号的简单延迟。4. 全通系统与最小相位系统全通系统与最小相位系统)()(japejHkapzzH)(kapzzxzHzxzY)()()()()()(knxny第15页/共30页考察一阶全通系统：考察一阶全通系统：系统的频率响应为系统的频率响应为:易知该系统的零点、极点均落在实轴上，其中零点在易知该系统的零点、极点均落在实轴上，其中零点在 1/a 处，处，极

20、点在极点在a处，它们互为倒数。如果系统是稳定的，则极点处，它们互为倒数。如果系统是稳定的，则极点a应应落在单位圆内，即有落在单位圆内，即有 0|a|1 。4. 全通系统与最小相位系统全通系统与最小相位系统111)(azazzHapImRe单位圆单位圆1Z平面平面0X Xa1/ajjjjjapaeaeeaeaejH111)(1)(jHap第16页/共30页考察二阶全通系统：考察二阶全通系统：易知该系统的零点和极点均以共轭对形易知该系统的零点和极点均以共轭对形式出现，且零点和极点关于单位圆镜像式出现，且零点和极点关于单位圆镜像对称均。如果系统是稳定的，则极点对称均。如果系统是稳定的，则极点 b应落

21、在单位圆内，即有应落在单位圆内，即有 0|b|1 。4. 全通系统与最小相位系统全通系统与最小相位系统)1)(1 ()()(1*111zbbzbzbzzHapImRe单位圆单位圆1Z平面平面0X XbX Xb*1/b1/b*第17页/共30页一般来说，高阶全通系统可由若干个一一般来说，高阶全通系统可由若干个一阶系统和二阶系统级联而成：阶系统和二阶系统级联而成：上式中上式中为正常数。为正常数。一个一个 N 阶全通系统的系统函数也可表示为：阶全通系统的系统函数也可表示为：4. 全通系统与最小相位系统全通系统与最小相位系统)1)(1 ()()1 ()()(1*1*111111zbzbbzbzzaaz

22、AzHkkkkNkkkMkapImRe单位圆单位圆1Z平面平面0X XbX Xb*1/b1/b*NNNNNNNNapzdzdzdzzdzddzH)1(111)1(1111)()()(11 1)(1)1(1111111)1(111)1(111zAzAzzdzdzdzdzdzdzzdzdzdzzdzddzHNNNNNNNNNNNNNNNNNNap定义上式的分母多项式为定义上式的分母多项式为 A(z)，则，则第18页/共30页频率响应满足：频率响应满足：全通系统的特点：全通系统的特点：n全通系统都是全通系统都是 IIR 系统（不考虑系统（不考虑 ）；）；n全通系统的零点和极点数目相等；全通系统的零点

23、和极点数目相等；n为保证系统稳定，所有的极点都在单位圆内。因此，所有为保证系统稳定，所有的极点都在单位圆内。因此，所有的零点都在单位圆外；的零点都在单位圆外；4. 全通系统与最小相位系统全通系统与最小相位系统1 )()()()( )()()()()()(*jjNjjjNjjjNjjjNjapapeAeAeeAeAeeAeAeeAeAejHjH)()()(1zAzAzzHNap1)(2jHap1)(jHapkapzzH)(第19页/共30页n由于全通系统的每一对极零点都关于单位圆镜像对称，且由于全通系统的每一对极零点都关于单位圆镜像对称，且零点在单位圆外，因此，当零点在单位圆外，因此，当 由由

24、0 变到变到 时，相频响应是时，相频响应是单调递减的。单调递减的。n全通系统的群延迟始终为正值。全通系统的群延迟始终为正值。一个因果的、稳定的离散时间系统，其极点必需位于单位圆内一个因果的、稳定的离散时间系统，其极点必需位于单位圆内，而对零点没有要求。如果系统函数，而对零点没有要求。如果系统函数 H(z) 的所有零点都在单位的所有零点都在单位圆内，则称该系统为最小相位系统；如果所有零点都在单位圆圆内，则称该系统为最小相位系统；如果所有零点都在单位圆外，则称该系统为最大相位系统；如果在单位圆内外都有零点外，则称该系统为最大相位系统；如果在单位圆内外都有零点，则称该系统为混合相位系统。，则称该系统

25、为混合相位系统。4. 全通系统与最小相位系统全通系统与最小相位系统第20页/共30页4. 全通系统与最小相位系统全通系统与最小相位系统最小相位系统的性质：最小相位系统的性质：n性质一：性质一：任何一个非最小相位系统任何一个非最小相位系统 H(z) 均可由一个最小相均可由一个最小相位系统位系统 Hmin(z) 和一个全通系统和一个全通系统 Hap(z) 级联而成，即级联而成，即 证明：证明：假设假设 H(z) 有一个零点在单位圆外，该零点记为有一个零点在单位圆外，该零点记为 z=1/z0，|z0|1, 其余的零极点均在单位圆内，那么其余的零极点均在单位圆内，那么 H(z) 可可表示为：表示为：

26、其中其中 H1(z) 是最小相位系统，上式还可表示为：是最小相位系统，上式还可表示为： )()()(minzHzHzHap)()(011zzzHzH1*001min1*0011*011*01*00111)(1)1)( 11)()(zzzzzHzzzzzzzHzzzzzzzHzH第21页/共30页4. 全通系统与最小相位系统全通系统与最小相位系统由于由于 |z0|1，所以，所以 是最小相位系统，记为是最小相位系统，记为 ， 而而 为全通系统。上述做法实际上是把为全通系统。上述做法实际上是把 H(z)在在单位圆外的零点单位圆外的零点 z=1/z0 反射到单位圆内，使之成为反射到单位圆内，使之成为

27、Hmin(z) 的零的零点。点。 H(z) 和和 Hmin(z) 具有相同的幅频响应。具有相同的幅频响应。*110( )(1)H zz z)(minzH)1/()(1*001zzzzImRe单位圆单位圆1Z平面平面01/z0z*0第22页/共30页4. 全通系统与最小相位系统全通系统与最小相位系统n性质二：性质二：在一组具有相同幅频响应的因果稳定系统中，最在一组具有相同幅频响应的因果稳定系统中，最小相位系统对于小相位系统对于 轴（即零相位）具有最小的相位偏移。轴（即零相位）具有最小的相位偏移。n性质三：性质三：在一组具有相同幅频响应的因果稳定系统中，最在一组具有相同幅频响应的因果稳定系统中，最

28、小相位系统的响应延迟与能量延迟最小。令小相位系统的响应延迟与能量延迟最小。令 h(n)为所有具为所有具有相同幅频响应的离散时间系统的单位冲激响应，有相同幅频响应的离散时间系统的单位冲激响应， hmin(n)是其中最小相位系统的单位冲激响应，并定义单位冲激响是其中最小相位系统的单位冲激响应，并定义单位冲激响应的累积能量为：应的累积能量为： 则有则有 帕什瓦尔定理告诉我们，时域的能量等于频域的能量。由帕什瓦尔定理告诉我们，时域的能量等于频域的能量。由上式可知，最小相位系统的单位冲激响应的能量集中在上式可知，最小相位系统的单位冲激响应的能量集中在 n 为较小值的范围内，也就是说具有最小的延迟。为较小

29、值的范围内，也就是说具有最小的延迟。MnhMEMn0 , )()(02MnhnhMnMn0 , )()(0202min第23页/共30页4. 全通系统与最小相位系统全通系统与最小相位系统习题：给定三个稳定的因果系统，它们具有相同的极点分布，习题：给定三个稳定的因果系统，它们具有相同的极点分布，即即 p1=0.9 和和 p2=-0.9 。零点分布则有三种情况。最小相位系统：。零点分布则有三种情况。最小相位系统：全部零点都在单位圆内；最大相位系统：零点分布在单位圆内全部零点都在单位圆内；最大相位系统：零点分布在单位圆内外；混合系统：全部零点分布在单位圆外。图中外；混合系统：全部零点分布在单位圆外。

30、图中 。ImRe单位圆单位圆1Z平面平面0X XX XImRe单位圆单位圆1Z平面平面0X XX XImRe单位圆单位圆1Z平面平面0X XX X最小相位系统最小相位系统最大相位系统最大相位系统混合系统混合系统z0z03/05 . 0jez 第24页/共30页4. 全通系统与最小相位系统全通系统与最小相位系统为保证三者具有相同的幅频响应，其系统函数可写为：为保证三者具有相同的幅频响应，其系统函数可写为：2213/213/181. 01)5 . 01 ()5 . 01 ()(zzezezHjj213/13/13/13/281. 01)5 . 0)(5 . 0)(5 . 01)(5 . 01 ()(zzezezezezHjjjj2213/213/381. 01)5 . 0()5 . 0()(zzezezHjj)()()(321zHzHzH第25页/共30页4. 全通系统与最小相位系统全通系统与最