坐标系统坐标转换精度评定公共点论文

1、摘 要建国以来，我国先后建立了 1954 年北京坐标系，1980 西安坐标系，与 2008 年开始启用 CGCS2000 坐标系统，而工程上测量常用的还有 WGS-84 坐标系统与地方独立坐标系统。在很多工程应用中，经常涉及到不同坐标系之间转换的问题。论文讨论的主要内容是坐标系统的转换和精度评定。首先对坐标系统转换所涉及的基础概念进行阐述，其中包括椭球的概念以及坐标系统的分类和建立方法等问题，并介绍了我国从建国以来各个时期的坐标系统的建立方法和优缺点等问题。随后重点讨论坐标系转换与精度评定的问题。坐标转换分为相同基准和不同基准两大坐标系统转换问题，又根据坐标是二维坐标还是三维坐标，又可将坐标转

2、换问题分为二维转换和三维转换，并一一介绍它们的各自的转换模型。随后讨论了坐标转换的精度评定问题，利用一组北京 54 和 WGS-84 的坐标进行坐标转换与精度评定的实例计算，通过改变公共点选择方法得到了多组坐标转换结果，并对其进行了分析和讨论得出了如下结论：坐标转换选择公共点时，若公共点集中选取在测区的某个部分，那么距离这个部分越近的点的坐标转换精度越高，距离这个部分越远的点的转换精度越低；当选取公共点时，若公共点平均分布于测区内，这样的转换精度结果较平均，但这样做的结果并不一定能得到某些点的最高精度的坐标；（3）间接平差中参数的精度，并不随着公共点个数的增多而增高。关键词:坐标系统，坐标转换

3、，精度评定，公共点 Abstract Our country has established 1954 Beijing coordinate system、1980 Nation coordinate system and in 2008,the surveying and mapping department provided Chinese Geodetic Control system.In many engineering applications, often involving conversion to a different coordinate system.This int

4、roduces the definitions and theories theories refer to coordinate transformation and accuracy assessment.Firstly,this paper introduces the definition of ellipse the methods of coordinate transformation and it discusses the usual coordinate system in our country,how to establish them,and their advant

5、ages and disadvantage of them.And then divide the problem into two type of the depending on whether it is 3-D coordinate while another is 2-D coordinate.Then explain these coordinate transformation mode.This paper mainly introduces accuracy assessment the methods of compute,At last I took a test to

6、transform coordinate and accuracy Beijing coordinate System and WGS-84.Because of the limit of the data,I have only do coordinate transformation between different benchmark my using 2-D coordinate date.then I program based on MATLAB to achieve coordinate transformation and accuracy assessment with t

7、he help of my classmate.By analysising the result,I get the conclusion as follows:when we select common points in the program of the coordinate system,We found that the points which is close to the common points have low accuracy.The positions of the common points influence the transformation result

8、s.The accuracy of the paraments will not improve with the account of the account of the common points increasing.Key words; coordinate system,coordinate transformation,accuracy assessment,common points. 目 录第一章第一章 绪论绪论.41.1 研究主要内容 .41.2 本文研究的背景 .5第二章第二章 地球椭球与坐标系转换的基本理论地球椭球与坐标系转换的基本理论.72.1 总的地球椭球和参考椭球

9、及相应坐标系的概念 .72.2 地方独立控制网的局部椭球 .72.3 椭球 .82.4 椭球定位和定向的概念 .102.5 坐标系 .102.6 高斯-克吕格坐标系 .112.7 空间直角坐标系 .132.8 大地坐标系 .132.9 我国的几种国家坐标系及 WGS-84 世界大地坐标系简介 .142.9.1 1954 北京坐标系.142.9.2 1980 国家大地坐标系.152.9.3 新 1954 北京坐标系.152.9.4 CGS2000 坐标系.162.9.5 WGS-84 世界大地坐标系.162.10 其它坐标系简介 .17第三章第三章 坐标转换数学模型坐标转换数学模型.183.1

10、同一基准下坐标转换数学模型 .183.1.1 同基准下二维坐标转换：.183.1.2 高斯坐标反算.203.1.2 同基准下三维坐标转换.233.1.3 同基准下换带计算.243.2 不同基准下的坐标转换模型 .253.2.1 不同基准的三维坐标系之间的转换.253.2.3 总结与补充.28第四章第四章 坐标转换结果的精度评定坐标转换结果的精度评定.294.1 精度及其衡量指标的概念 .294.2 协方差传播率 .294.2.1 线性函数的协方差传播.304.3 间接平差的数学模型 .304.4 最小二乘原理 .314.5 间接平差法.324.5.1 间接平差的一般原理.324.5.2 间接平

11、差法求平差值的计算步骤.334.6 精度评定 .344.6.1 单位权中误差.344.6.2 协因数阵.354.6.3 参数函数的中误差.35第五章第五章 四参数法坐标转换与精度分析实例计算四参数法坐标转换与精度分析实例计算.15.1 四参数法进行坐标转换的公共点坐标 .15.2 利用四参数法进行转换坐标 .35.3 坐标转换的精度评定 .45.4 精度评定结果的讨论 .6第六章第六章 总结与展望总结与展望.22参考文献参考文献.23致致 谢谢.25第一章 绪论1.1 研究主要内容自上个世纪五十年代以来，我国先后建立我 1954 北京坐标系，1980 西安坐标系以及 2008 年开始启用的地心

12、坐标系 CGCS2000 坐标系，再加上工程测量中常用的地方独立坐标系和 WGS-84 坐标系，各种坐标系同时并存，都有其各自的优点及缺点。如何掌握各个坐标系的特点，充分利用现有的测量数据，进行不同坐标系下坐标的转换，评定这些转换结果的精度，为国民经济和社会发展提供基础的测绘保障，满足社会进步，经济发展与国防力量及科研力量与日俱增对它的要求，这就是本文研究的主要内容。本论文总共分为六个章节，在论文的前四个章节中，主要介绍地球椭球和坐标系统的一些基本概念，以及我国已有的一些坐标系统的建立过程以及它们各自的优缺点。在了解了坐标系统的基础知识和各种坐标系统之后，开始介绍坐标系统的转换模型，由于坐标转

13、换中主要涉及到两个大类的转换问题：即（1）相同基准坐标系的转换；（2）不同基准坐标系的转换。而其中主要以不同基准坐标系之间的坐标转换为重点，所以在讲解转换模型，就以相同基准的坐标转换模型和不同基准的坐标转换模型分开进行讲述，并且以不同基准下的坐标转换为重点。精度评定是坐标转换后的重要内容，所以在随后的章节中就主要讲述如何以间接平差的方法进行精度评定。由于在坐标转换问题的应用中，不同基准下的坐标转换是重点，在第五章中就利用北京 54 坐标和 WGS-84 进行不同基准的坐标转换实例计算，并对转换的结果精度评定，并且利用不同重合点的选择，得出了多组坐标转换的结果，为我们的结论提供重要的依据。1.2

14、 本文研究的背景在远古时代，我国劳动人民就提出“天圆地方”的说法。公元前六世纪后半叶，毕达哥拉斯提出了地球是圆球的说法。17 世纪初，荷兰人斯涅尔首创三角测量法，大大促进了大地测量学的发展，拉开了地球椭球阶段理论的序幕。此后，望远镜游标尺十字丝测微器等相继出现，各类测量与数据处理理论不断发展。期间，广泛使用的椭球有 1841 贝塞尔椭球和 1840 克拉克椭球。随着时间的推移，大地测量进入了大地水准面阶段。此阶段主要的表现有：天文大地网的布设进一步有了重大发展，在全球建立了三个大规模天文大地网，即 1800-1900 施测的印度天文大地网1911-1935 施测的美国天文大地网以及 1924-

15、1950 施测的前苏联天文大地网；铟瓦基线尺出现，带平行玻璃板的水准仪及铟瓦水准尺使用；将天文大地测量相结合代替天文水准等方面也有了较大发展。20 世纪下半叶，以电磁波测距人造地球卫星定位系统及甚长基线干涉测量等为代表的新的测量技术的出现，给传统的大地测量打来了新的动力，使空间大地测量定位确定地球参数及重力场，构筑数字地球等基本测绘任务都带来了崭新的理论与方法。1948 年瑞典人贝尔斯兰特研制了世界上第一台光电测距仪，70 年代德国成功研制测距侧角相结合的首台电子速测仪（全站仪） ，极大提高了测角量边的精度。20 世纪 70 年代，卫星多普勒技术5206 个三角点，二等锁及二等全面网共 334

16、78 个点。再加上各类大地坐标系统及独立坐标系的建立与其对应的测量数据，坐标系的转换方法与理论值得我们细细琢磨。坐标系的转换问题在促进国家建设、推进社会发展、提高我国的国防实力和各种科学应用中都是一个十分重要的问题，有着重要的意义：（1）进行坐标系的转换具有对科学研究起到十分重要的辅助作用。随着经济发展，我国的多个领域的科学研究都需要一个统一的坐标系统，来解决要面对的各种问题，只有建立了统一的坐标系统，我们就能较好的利用它，进行相应的转换，为当前乃至今后提供使用或进行检核； (2)进行坐标系的转换可对国民经济建设、社会发展产生巨大的社会效益，有利于应用于防灾减灾、公共应急与预警系统的建设和维护

17、。充分利用了原有数据，减少了再次进行测量工作的时间费用上的损耗，还能及时有效的建立当前所需的公共数据系统； (3)卫星导航技术已经进入到我们生活的各个产业，通过与他们的结合，创造出了许多新的服务内容。这些新型产业需要新型的并且功能更加全面的坐标系统，所以坐标系转换的理论与方法也就变得十分重要；(4)现代测量技术对国民经济的影响。应用现代空间测量技术进行地形图测绘和定位，可以快速求解出三维地心坐标，且精度较高，这大大的提高了传统测量工作的精度和效率。总之，本论文研究的内容，坐标转换问题一个十分重要的内容。要更加合理有效的利用现有的测量数据或将会获取的测量数据，掌握坐标转换与精度评定的理论是我们作

18、为测绘人必备的能力。第二章 地球椭球与坐标系转换的基本理论2.1 总的地球椭球和参考椭球及相应坐标系的概念 在几何大地测量中，总的地球椭球可定义为：除了满足在定位和定向时,总地球椭球的中心与地球的质心重合（X0=Y0=Z0=0） 。总地球椭球的短轴与地球的自转轴重合.且起始大地子午面和天文子午面重合，同时要求总地球椭球和大地体最为密合，即是说要求参数 a 使得参考椭球在全球范围内对大地水准面有一个较好的拟合。但对于国家测图和区域绘图来说，往往采用大小和其定向和定位最接近于本国和本地区的地球椭球。折中最接近，表现在两个面最接近及同一点的法线与垂线最接近。所有地面测量都依法线投影在这个椭球面上，这

19、样的椭球在大地测量中称为参考椭球。为了地球椭球能够与某一个地区局部的大地水准面吻合的更密切，常常采用不同大小的参考椭球，以参考椭球中心为基准建立的坐标系统，称之为参心坐标系。而和整个在全球范围内都有一个较好拟合的地球椭球称为总地球椭球，以总地球椭球为基准建立的坐标系统,统称为地心坐标系。2.2 地方独立控制网的局部椭球城市与工程控制网是地方地方独立网，网中规算边长的高程基准面往往是测区平均高程面。常规大地测量中这种独立网通常直接在高斯平面上直接进行计算，不需考虑对应的椭球。在地方独立控制网中考虑 GPS 观测数据时，需要将地面的大地坐标转换为高斯平面坐标，这种转换受投影面的影响很大，因此，为保

20、持地方独立网的尺度基准，在测区范围内采用与作为投影面的平均高程大致重合的参考椭球面，并称之为局部椭球或地方椭球。按照不同的定义方式得到不同的局部椭球。2.3 椭球在控制测量中，用来代表地球的椭球叫做地球椭球，通常简称椭球，它是地球的数学代表。具有一定几何参数,定位及定向的用以代表某一地区大地水准面的地球椭球叫参考椭球。地面上一切元素需要归算到参考椭球面上，然后在这个面上进行计算。地球椭球是经过适当的选择的旋转椭球。旋转椭球是椭圆绕其短轴旋转而成的几何形体。包含椭球旋转轴（短轴）的平面称为大地子午面,子午面与椭球面的截线称为子午圈（子午线）。通过椭球中心且垂直于旋转轴的平面称为大地赤道面，赤道面

21、与椭球面的截线称为赤道。平行于赤道的平面与椭球面的截线称为平行圈（平行线）,也称纬圈。椭球面上旋转轴的两端点 N、S 分别称为北极和南极。 图 2-1地球椭球中常用的几何参数有以下 6 个:以上 6 个参数中只要给定一个长度参数和其它任意一个参数就可确定椭球的形状和大小。大地测量中常用长半径和扁率来表示地球椭球。在经典大地测量中，地球椭球的几何参数是根据天文、大地和重力测量资料推算出来的。六十年代以后，应用卫星大地测量观测数据推算出了许多更精确的地球椭球。下表为本文涉及的椭球参数表。表 2-1椭球名称年代a(m)克拉索夫斯基194063782451 IUGG-1975197563781401W

22、GS-84199663781371参考椭球为大地测量计算的基准面，同时又是研究地球形状和地图投影的参考面。而常规的外业测量为大地水准面，大地水准面围绕而成的球体称为地球椭球。大地水准面是接近地球形体的一个不规则曲面，但这种不规则性很微小，因为它的起伏主要是地壳层的物质质量分布不均匀引起的，而地壳质量仅占地球总质量的 1/65。所以大地水准面在总体上应非常接近于一个规则形体，十七世纪以来的大地测量结果表明，这个规则形体是一个南北稍扁的旋转椭球面。大地水准面在赤道面上的截线不是正圆，而更接近于椭圆，长轴指向西经 15方向，长短半径之差为 69.5m，赤道扁率为 191827，约为极扁率的三百分之一

23、。 因此三轴椭球是更接近于地球形状的数学曲面，但是，在它上面进行大地测量计算将会麻烦更多而收益甚微。而在旋转椭球面上计算，既不影响计算精度，又使计算工作较为简便，所以，通常总是选用旋转椭球面。常用的地球椭球分为总地球椭球和参考椭球。总地球椭球为一个和整个大地体最为密合的椭球。总地球椭球中心和地球质心重合，它的短轴和起始子午面都与分别与地球旋转轴和天文起始子午面相重合，总地球椭球和大地体最为密合。而参考椭球是一个具有确定参数(长半径 a 和扁率 )，经过局部定位和定向，同某一地区的大地水准面有最佳拟合的地球椭球。2.4 椭球定位和定向的概念一个椭球的确立需要进行两项工作：（1）椭球参数确定；（2

24、）椭球的定向和定位。由此可以看出，椭球的定位和定向是确定参考椭球时十分重要的内容。（1）椭球定位:即确定椭球中心的位置，根据定位要求不同分为两类：局部定位；地心定位。局部定位 ：要求参考椭球面与大地水准面在某一地区有最佳的拟合，而对椭球的中心位置无要求。地心定位 ：要求椭球面与大地水准面在全球范围内都有一个最佳的拟合，并且要求椭球中心与地球质心重合。（2）椭球的定向：是指确定椭球旋转轴的方向，不论是局部定位还是地心定位中，都应满足两个平行条件： 椭球短轴与地球自转轴平行； 大地起始子午面平与天文起始子午面平行。2.5 坐标系坐标系是坐标实现的一套理论方法，它包括原点位置的确定、基本平面和坐标轴

25、指向的确定，同时还包括了基本的数学和物理模型。 坐标系统按照维数可分为三维坐标系（曲线坐标系和笛卡尔坐标系）和二维坐标系（高斯-克吕格平面直角坐标系） 。按照原点的不同位置分为站心坐标系，参心坐标系和地心坐标系。按照使用的不同椭球基准又分为大地坐标系，天文坐标系和地球坐标系。图 2-2 地球坐标系统的分类及相互关系2.6 高斯-克吕格坐标系投影高斯是一种横轴椭圆柱面正形投影，是地球椭球面与平面间正形投影的一种。它假想用一个圆柱横切于地球椭球体的某一经线上，这条与圆柱面相切的经线，称中央经线。以中央经线为投影的对称轴，将东西各 3或 130的两条子午线所夹经差 6或 3的带状地区按数学法则、投影

26、法则投影到圆柱面上，再展开成平面，即高斯-克吕格投影，简称高斯投影。这个狭长的带状的经纬线网叫做高斯-克吕格投影带。 图 2-3（1）分带投影 高斯投影 6带：自 0子午线起自西向东每隔 6经差进行分带，依次编号1,2,3,。我国 6中央子午线的经度用 Lo 表示，带号用 n 表示，它们的关系可以写为：Lo=6n-3，如图 2-4 所示。 高斯投影 3带：用 n表示 3带的带号，L 表示中央子午线经度，则 L 与 n的关系为 L=3n。且 6带与 3带的关系如图 2-4 所示。我国带共计 22 带（2445 带） 。 图 2-4（2）.高斯-克吕格平面直角坐标系 在投影面上，由于中央子午线和赤

27、道的投影均为直线，所以纵坐标 x 轴选为中央子午线的投影，横坐标 y 轴选定为赤道的投影，且坐标原点选择中央子午线和赤道的交点 o。 由于我国所处的地理位置在北半球，导致 x 坐标均为正，并且 y 坐标的最大值（在赤道上）约为 330km。为了保证横坐标不为负，一般会在横坐标上加上 500 Km，除此之外坐标前面再冠以带号，这样得到的坐标系就被称为国家统一坐标系。例如，有一点y=17 123 456.789m，该点位在 17 带内，其相对于中央子午线而言的横坐标则是：首先去掉带号，再减去 500000m,最后得=-376 543.211m。（3） 高斯平面投影的特点：1投影后角度不产生变形，满

28、足正形投影要求；2中央子午线投影后是一条直线；3中央子午线投影后长度不变，其投影长度比恒等于 1. 2.7 空间直角坐标系 空间直角坐标系分为地心空间直角坐标系、参心空间直角坐标系和站心空间直角坐标系。参心空间直角坐标系的原点选为参考椭球中心，Z 轴为参考椭球中心指向参考椭球北极的方向（向北为正），X 轴指椭球中心指向起始子午面与赤道的交点的方向，Y 轴位于赤道面上，垂直于 Z 轴和 X 轴构成的平面。而地心空间直角坐标系的坐标系原点位于地球椭球的中心，Z 轴指向椭球的北极。A(B,L,H)BLH0起始子午面赤道图 2-5 空间直角坐标系 站心坐标系分为站心直角坐标系，站心极坐标系，站心赤道坐

29、标系以及站心地平坐标系。 站心直角坐标系以站心（如 GPS 接收天线中心）为坐标系原点 O，Z 轴与椭球法线重合，向上为正（天向），y 与椭球短半轴重合（北向），x 轴与地球椭球的长半轴重合（东向）所构成的直角坐标系，称为当地东北天坐标系（ENU）。 站心极坐标系以站心为坐标极点 O，以水平面（即 xoy 平面）为基准面，以东向轴（即 x 轴）为极轴， 为卫星到站点的距离，az 为星视方向角（azimuth angle），el 为星视仰角（elevation）。 站心地平坐标系 以测站法线为 Z 轴，指向天顶为正，以子午线方向为 X 轴，指向北为正，Y 轴与 XZ 轴平面垂直，向东为正。2.8

30、 大地坐标系大地坐标系是采用大地经度（L）、大地纬度（B）和大地高（H）来表示某点所在的空间位置的坐标系。纬度是椭球面上一点法线与赤道面的夹角 B，经度是参考椭球面上一点所在的子午面与参考椭球的起始子午面的夹角，大地高是空间一点沿参考椭球的法线方向到参考椭球面的距离。A(B,L,H)BLH0起始子午面赤道图 2-6 大地坐标系2.9 我国的几种国家坐标系及 WGS-84 世界大地坐标系简介2.9.1 1954 北京坐标系建国初期，为了更好的开展我国的测绘工作，必须要尽快建立一个参心坐标系。但是由于当时的客观条件的限制，只能暂时采用克拉索夫斯基椭球参数，并与前苏联 1942坐标系进行联测，通过计

31、算建立了我国大地坐标系，并命名为 1954 年北京坐标系。其高程异常是以前苏联 1955 年大地水准面差距重新平差结果为依据，换算过来的，所以也可以将 1954 北京坐标系称为前苏联 1942 年坐标系的延伸。它的原点在前苏联的普尔科沃，相应的椭球为克拉索夫斯基椭球。随着科学技术的飞速发展，该坐标系已经慢慢无法满足我国经济建设的要求，并且随着测绘新理论和技术的发展，其缺点也越来越明显： （1）椭球参数的误差较大。克拉索夫斯基椭球参数与现在精确测定的参数相比较，a 大了 108m。（2）参考椭球面与我国的大地水准面未达到最佳拟合的条件，存在着自西向东明显的系统性倾斜。 （3）几何大地测量和物理大

32、地测量应用的参考面不统一。（4）定向不明确。2.9.2 1980 国家大地坐标系1980 年国家大地坐标系的建立特点是：（1） 属参心大地坐标系,采用 1975 年国际大地测量与地球物理联合会（IUGG）第16 届大会上推荐的四个椭球基本参数；（2）在 1954 北京坐标系的基础上建立；（3） 定向明确。地球椭球的短轴平行于由地球质心指向 JYD1968.0 的方向，起始大地子午面平行于我国起始天文子午面，X=Y=Z=0；（4）大地原点在我国中部地区，推算坐标的精度比较均匀，位于陕西省泾阳县永乐镇，在西安市以北 60 公里，可简称西安原点；（5）大地点高程是以 1956 年青岛验潮站求出的黄海

33、平均海水面为基准；（6）1980 年国家大地坐标系建立后，用它计算了全国天文大地网整体平差五万余点的成果。该坐标系体现了我国现阶段测绘科学发展的结果，在今后相当长的历史时期中可以保持稳定不变。将 1980 年国家大地坐标系和原 1954 午北京坐标系相比较，前者优于后者是比较明显的；（7）1980 年国家大地坐标系的地极原点选用 JYD1968.0.1980 年国家大地坐标系的问题是：（1） 地形图图廓线和方里线位置的变化。 （2） 1980 年国家大地坐标系的地极原点选用 JYD1968，已不能适应当代建立高。2.9.3 新 1954 北京坐标系新 1954 北京坐标系，是由 1980 年国

34、家大地坐标系转换得来的，简称 BJ1954 新；原 1954 年北京坐标系又称为旧 1954 北京坐标系，即 BJ54旧。BJ54新是在 GDZ80 的基础上，改变 GDZ80 的椭球几何参数为克拉索夫斯基椭球参数，并将坐标原点平移，使坐标轴保持平行而建立起来的。由于在全国以 GDZ 80 为基准的测绘成果建立之前，BJ54旧测绘成果仍存在了一段时间，但是两者之间的差距较大，于是通过对 1980 年国家大地坐标系转换得到新 1954 年北京坐标系，将其作为过渡坐标系 。总结 新 1954 年北京坐标系的特点是:（1） 属参心大地坐标系；（2） 采用克拉索夫斯基椭球参数。长半轴 a= 63782

35、45 米 扁 率 f=1 ：298.3；（3） 多点定位。参心虽和 1954 年北京坐标系参心不相一致，但十分接近；（4） 定向明确。地球椭球的短轴平行于由地球质心指向了 JYD1968.0 方向，起始大地子午面平行于我国定义的起始天文子午面， X = Y = Z =0 ；（5） 大地原点也位于陕西省泾阳县永乐镇，但和 1980 年国家大地坐标系大地原点大地起算数据不同，其详细数值有待于正式发表；（6）大地点高程是以 1956 年青岛验潮站求出的黄海平均海水面为基准;f.提供的坐标是 1980 年国家大地坐标系整体平差转换值，坐标精度和 1980 年国家大地坐标系坐标精度完全一样;（7）原 1

36、954 年北京坐标系局部平差成果不宜再继续使用，除特殊情况外，应停止使用;（8）用它作为测图坐标系，对于 1 ： 5 万以下比例尺测图，新旧图接边，不会产生明显裂隙。2.9.4 CGS2000 坐标系CGCS2000 坐标系是一种地心坐标系，坐标原点在地球质心（包括海洋和大气的整个地球质量的中心） ， Z 轴指向由 1984.0 时 BIH 所定义协议地极方向， X 轴指向 BIH 所定义的零子午面与协议地极赤道的交点， y 轴按右手坐标系确定。椭球参数有长半轴 a(=637, 8137m ) 、扁率 f( 1 298.257222101) 、地球自转角速度108m3s-2） 。2.9.5 W

37、GS-84 世界大地坐标系1984 年世界大地坐标系 (World Geodetic Systeml984 ，简称 WGS-84) 是一种地固坐标系，坐标原点在地球质心， Z 轴指向 BIH 所定义协议地极方向， X 轴指向 BIH 所定义的零子午面与协议地极赤道的交点， y 轴按右手坐标系确定。 WGS-84 由 WGS 84 椭球模型、地球重力场模型、椭球重力公式和 GPS 时间系统等构成。椭球参数有长半轴 a=637 8137m 、扁率 f 1 298.257222563 、地球自转角速度 、二阶带谐系数和引力常数。地球重力场模型（计算 GPS 卫星轨道要用到）用引力位球谐系数展开式表示

38、 ( 目前已完全到 n=m 180 阶次，共 32755 个位系数 ) 。 WGS 84 椭球既是地球表面的几何参考面，也是一个等位面 ( 椭球面上的引力位相等 ) ，定义有理论重力值公式 GPS 时间系统 ( 简写为 GPST) 是由一组铯钟组成，是导航和定位计算的基础。 WGS-S4 的大地水准面高 N。可利用地球重力场模型的球球谐系数展开式计算，其误差在全球范围为 2 6m ，由 GPS 测定出某点的 GPS 大地高HG 后，该点的正高可按公式 HgHG 一 N 得到。2.10 其它坐标系简介(1) 地方独立坐标系许多城市基于实用、方便的目的 ( 如减少投影改正计算工作量 ) ，以当地的

39、平均海拔高程面为基准面，过当地中央的某一子线为高斯投影带的中央子午线，构成地方独立坐标系。测量控制网的定位取决于其所依据的坐标系。地方独立坐标系隐含着一个与当地平均海拔高程面相对应的参考椭球，该椭球的中心、轴向和扁率与国家参考椭球相同，其长半轴 a 的改正量 a 由下式汁算： a= aN/N (式中 a 为国家参考椭球长半轴， N 为地方独立坐标系原点的卯酉圈曲率半径， - N 为当地平均海拔高程 h平均与该地的平均大地水准面差距 平均 之和，即 N h 平均 十 平均地方参考椭球的长半轴 a a 十 a )。 (2) 局部独立坐标系 对于大部分工程专用控制网均采用局部独立坐标系，若需要将其放

40、置到国家大地控制网或地方独立坐标系，一般应通过赫尔默特变换来完成。虽然有人认为最好将工程专用控制网按三维处理，但迄今在实际中仍把平面网和高程网分开。对于范围不大的工程，一般选测区的平均海拔高程面或某一特定高程面 ( 如隧道的平均高程面、过桥墩顶的高程面 ) 作为投影面，以工程的主要轴线为坐标轴，比如对于隧道工程而言，般取与贯通面垂直的一条直线作 X 轴。高程控制网一般与国家水准网连接。 还有一些坐标系，如子午面直角坐标系，大地极坐标系，地心纬度坐标系和归化纬度坐标系，由于不是本文重点介绍的内容，就不于此一一作详细介绍了。 第三章 坐标转换数学模型 坐标转换包含两方面的内容：一是同一基准椭球下不

41、同形式的坐标之间的转换，也称坐标系转换。如同一参考椭球下，空间直角坐标与大地坐标的转换；二是不同椭球基准下坐标之间的转换，是不同基准之间的转换，需要确定不同基准之间的转换参数，也称基准转换。如 WGS84坐标系与1954年北京坐标系下大地坐标的相互转换。同时在不同基准和相同基准下的坐标转换，又可细分为二维坐标转换和三维坐标转换，本章就分为两部分为大家介绍坐标转换的问题。3.1 同一基准下坐标转换数学模型3.1.1 同基准下二维坐标转换： 高斯平面坐标（x，y）与大地坐标（L,B）的相互关系 高斯投影坐标正算公式：由（B ,L）（x ,y）高斯投影需满足的三个条件：中央子午线投影后为直线；中央子

42、午线投影后长度不变；投影具有正形性质，即正形投影条件。由第一条件知中央子午线东西两侧的投影必然对称于中央子午线，即（3-1）式中，x 为的偶函数，y 为 的奇函数；，即，如展开为 的级数，收敛。ll0330l20/ 1/ ll （3-1） 553316644220lmlmlmylmlmlmmx式中是待定系数，它们都是纬度 B 的函数。,10mm由第三个条件知： （3-2）qylxlyqx,(3-2)式分别对 和 q 求偏导数并代入上式l （3-3） 5533156342442204523164253ldqdmldqdmldqdmlmlmlmldqdmldqdmdqdmlmlmm上两式两边相等，

43、其必要充分条件是同次幂 前的系数应相等，即l （3-4）.3121231201dqdmmdqdmmdqdmm(3-4)是一种递推公式，只要确定了就可依次确定其余各系数。 0m 由第二条件知:位于中央子午线上的点，投影后的纵坐标 x 应等于投影前从赤道量至该点的子午线弧长 X，即(3-2)式第一式中，当时有：0l 0mXx顾及(对于中央子午线) （3-5）BVMrMBNdqdBMdBdXcoscos2得： (3-6,7) BVcBNrdqdBdBdXdqdXdqdmmcoscos01 (3-8)BBNdqdBdBdmdqdmmcossin22121112依次求得并代入(3-2)式，得到高斯投影正

44、算公式6543,mmmm6425644223422)5861(cossin720)495 (cos24cossin2lttBBNltBsimBNlBBNXx （3-9）5222425532233)5814185(cos120)1 (cos6cosltttBNltBNlBNy 3.1.2 高斯坐标反算由 （x,y ）（B,L）投影方程：),(),(21yxlyxB高斯投影坐标反算公式相对复杂。 由 x 求底点纬度(垂足纬度),对应的有底点处的等量纬度，求 x,y 与fBfq的关系式，仿照(3-9)式有，lqqf, ),(),(yxllyxqq由于 y 和椭球半径相比较小(1/16.37)，可将展

45、开为 y 的幂级数；又由于是对称投lq,影，q 必是 y 的偶函数，必是 y 的奇函数。l (3-10)33144220ynynlynynnq是待定系数，它们都是 x 的函数.,210nnn由第三条件知：， ， (3-11)ylxqyqxl(3-10)式分别对 x 和 y 求偏导数将结果代入（3-11） （3-12）5533156342452314422064253ydxdnydxdnydxdnynynynynynnydxdnydxdndxdn上式相等必要充分条件，是同次幂 y 前的系数相等， (3-13）,41,31,21,34231201dxdnndxdnndxdnndxdnn 第二条件，

46、当 y=0 时，点在中央子午线上，即 x=X，对应的点称为底点，其纬度为底点纬度，即 x=X 时的子午线弧长所对应的纬度，设所对应的等量纬度为，在底点展fBfq开为 y 的幂级数。 由(3-10)1 式 fqn 0依次求得其它各系数 (3-14)fffffffrBNMBNMdXdBdBdqdXdqdXdqdXdnn1cos11cos01 (3-15) fffffBNtdXdBdBdndXdnncos221212112 将代入(3-14)式6420,nnnn (3-16)62224264422422484612018061cos720465cos24cos2ytttBNtytBNtyBNtqqf

47、fffffffffffffffff （3-17）ffffffffffBNyttBNytqq266422224422cos24)465 (cos4 (3-18) ffffBNytqq36633cos8将代入(3-15)式得(3-17)式。531,nnn求与的关系。fBB yx,由(8-7)式知：dBBNMdqcos (3-19) )(),(ffqfBqfB (3-20) )()(dqqfqqqfBfff按台劳级数在展开fq (3-21) 3332226121)(dqdqBddqdqBddqdqdBqfBffff (3-22)3332226121fffffffqqdqBdqqdqBdqqdqdBB

48、B由(3-6)式可求出各阶导数： (3-23)fffBVdqdBcos2 (3-24) )341 (cossin4222fffffBBdqBd 化简后公式为： （3-25） 425622224590617209935342242ffffffffftttNMyttffffffttNMytNMyBB （3-26）)8624285(cos12021cos6cos22242552233ffffffffffffftttBNytBNyBNyl3.1.2 同基准下三维坐标转换XTYZHOLB 图 3-1地球空间直角坐标系与大地坐标系 在相同的基准下空间大地坐标系向空间直角坐标系的转换公式为： (3-27)B

49、HeNZLBHNYLBHNXsin)1 (sincos)(coscos)(2式中，为椭球的长半轴，为椭球的卯酉圈曲率半径=6378.137km， WaN aNa ， 为椭球的第一偏心率，为椭球的短半轴，BeW22sin12222abaeeb=6356.7523141km。b 在相同的基准下空间直角坐标系向空间大地坐标系的转换此转换为迭代运算，首先，迭代开始时候设 （3-28）12220222001ZarctaniiiHNNeYXBabZYXHaN随后，每次迭代按一下公式进行 （3-29）12221221221arctancossin1iiiiiiiiiHNNeYXZBNBYXHBeaN直至 B

50、i-Bi-1和 Hi-Hi-1小于要求的限差为止。一般，在要求 H 精确至 0.001，B 精确至0.00001时，需要迭代 4 次。3.1.3 同基准下换带计算同基准下的换带计算即是高斯坐标的换带计算，通过对不同中央子午线的选择，得到的高斯平面直角坐标不同，此种坐标转换也是属于同基准下二维坐标转换的范畴，有时在工程应用时需要进行换带计算，例如两个相邻带中的边缘点，在做控制时需要横跨两个带，必须知道两个带的坐标在同一基准下的坐标，所以换代计算也是一种十分重要的坐标转换。同基准下的换带计算的解法：首先利用高斯投影坐标反算公式，根据换算成Iyx,椭球面上大地坐标，进而得到。然后由大地坐标，利用高斯

51、投影),(ilBIIlLL0),(2lB坐标正算公式，根据计算该点在 2 带的平面直角坐标，想要完成此步，要),(2lB2, yx根据第二带的中央子午线的经度计算 P 点在第二带的经差。计算过程中每20L202LLl一步都需往返计算，以检核计算的正确性。3.2 不同基准下的坐标转换模型3.2.1 不同基准的三维坐标系之间的转换由222111,ZYXZYX 七参数转换，其计算模型布尔莎公式: （3-30）0001111112220001ZYXZYXZYXmZYXXYXZYZ式中共有七个转换参数，三个平移参数 和三个旋转参数 ，oooZYX,ZYX,还有一个尺度变化参数 。利用一些重合点上的两套空

52、间直角坐标系坐标值，即可采m用最小二乘法解得其转换七参数。令 ，则ma11Xaa12Yaa13Zaa14 （3-31）4321000111111111222010000100001aaaaZYXXYZXZYYZXZYX求解这七个转换参数，至少需要三个公共点，当多于三个点时，可按最小二乘原理求的这七个参数的最或然值。其误差方程式为： （3-32）2224321000111111111010000100001ZYXaaaaZYXXYZXZYYZXVVVZYX矩阵形式为： (3-33)LXBV法方程式为： (3-34)0PLBXPBBTT其解为： (3-35)PLBPBBXTT1由 可进一计算:X，

53、11 am12aaX13aaY14aaZ 由于公共点的坐标存在误差，其准确性影响到转换参数，公共点坐标误差对转换参数的影响与点位的几何分布及点数的多少有关，因而为了求得较好的转换参数，应选择一定数量的精度较高且分布较均匀并有较大覆盖面的公共点。当利用3个以上的公共点求解转换参数时存在多余观测，由于公共点误差的影响使转换的公共点的坐标值与已知值不完全相同，而在实际中一般要求所有的已知点的坐标值固定不变。解决这一问题的方法是采用配置法，将公共点的转换值改为已知值，并且非公共点的转换值也进行相应的配置。具体方法是：计算公共点转换值的改正数已知值转换值，公共点采用已知值。采用配置法计算非公共点转换值的

54、改正数niiniPVPV11式中：n 为公共点的个数，P 为权，可根据非公共点与公共点的距离 Si计算单位权中误差：tnPVVT其中， xWPllxPlBPllPVVTTTTTT PlBWT计算点位中误差：TTxxBPBBBQ1二维iiiiiQQ22)12)(12(0三维iiiiiiiQQQ33)13)(13()23)(23(3.2.2 不同基准间二维坐标系之间的转换由(X0,Y0)-(X1,Y1)四参数转换模型为： （3-37）0011YXcddcYXYX其中：与为平移参数，为尺度参数，c 为 m，d 为 m，其中为XYmcossin旋转参数。利用一些重合点上的两套空间直角坐标系坐标值，即可

55、采用最小二乘法解得其转换四参数。 （3-38）其误差方程为： （3-35）110000111001YXdcYXXYYXVVYX矩阵形式为：LXBV法方程式为：0PLBXPBBTT其解为： PLBPBBXTT1 由此可计算出四参数 X 、Y、c 与 d。当利用两组以上的公共点求解转换参数时存在多余观测，确定公共点权阵，计算平差后单位权中误差和点位中误差可参考七参数的计算方法。3.2.3 总结与补充 在不同基准的二维坐标转换问题中，想要得到大地坐标与高斯坐标之间的转换，都可先利用相同基准之间的二维转换，将大地坐标转换成同基准下的高斯坐标，再利用不同基准的高斯坐标之间的准换方法，得到相应的高斯坐标，

56、进而完成了不同基准之间大地坐标与高斯坐标之间的转换。同理，不同基准的三维坐标转换中，也都是利用不同基准下大地坐标的转换作为中介，进而达成转换目标。第 4 章 坐标转换结果的精度评定 由于不同基准下的坐标转换并不是严密的，转换后的坐标与原坐标之间必然存在误差，为了清楚的确定我们转换后坐标的精度，那么我们就需要进行精度评定。本文想利用间接平差对不同基准的坐标转换后的结果进行精度评定，在此之前我们就必须明确精度评定的内容和概念，以及间接平差中用到的基础的平差理论。所以本章的主要内容就是对精度评定的方法和其中涉及的平差理论进行介绍，为后面的实际应用做准备。4.1 精度及其衡量指标的概念 在测量中所谓精

57、度，就是表示同一两的重复观测值之间密集或吻合的程度，即各观测结果与其中数的接近程度。通常使用中误差作为衡量的指标, （4-1）h21 h 为精度指数，从上式可知，精度指数越大，中误差越小，观测精度越高；反之，精度越低。但中误差并不能在实际中得到，所以我们采用中误差的估值代替它。4.2 协方差传播率 阐述观测值的误差传播到观测值函数上的这种关系公式称为“协方差传播”，他们之间的关系可以通过方差和协方差的运算规律来导出。 而协方差传播可以分为两类问题来讨论， （1）线性函数的协方差传播；（2）非线性函数的协方差传播。但本文的主要内容是应用线性函数的协方差传播，所以对非线性函数的协方差传播不做说明。

58、4.2.1 线性函数的协方差传播 设有观测值向量 X，数学期望为，协方差阵为,即：xXXD其中，为的方差，为和的协方差。2iXXD又有 X 的线性函数为：，令，则： （4-2）对其取数学期望可得， E（Z）=K+K0 （4-3）X所以 Z 的方差为：DZZ=KDXXKT （4-4）2Z所以设有函数 Z=KX+k0时，线性函数的协方差传播率为： DZZ=KDXXKT （4-5）4.3 间接平差的数学模型 测量平差的数学模型可以分为两个部分:（1）函数模型；（2）随机模型。由于我们将要应用的平差方法是间接平差的方法，所以此处只介绍间接平差的数学模型。（1）函数模型 所谓函数模型，就是描述观测量与待

59、求量之间数学函数关系的模型。因为 一个几何模型可以由 t 个独立的观测量唯一地确定下来，那么我们也可以选择几何模型中 t 个独立两为平差参数，将每一个观测量表达成所选参数的函数，共列出 r+u=r+t=n 个这种关系函数式，以此作为平差的函数模型的方法称为间接平差。所以间接平差的函数模型为： （4-6）1111nnnndXBL 若将代入上式，并令： LLl=L-d （4-7） 则函数模型也可写为： （4-8）1111ntnnlXB（2）随机模型 测量平差的随机模型即观测向量的协方差阵，即： （4-9）12020nnnnnnPQD式中，D 为 L 的协方差阵；Q 为 L 的协因数阵；P 为 L

60、的权阵；为单位权方差。204.4 最小二乘原理在实际测量工作及其他科学工程领域中，为了解决值不唯一的问题且得到最佳性质的解，人们通常是利用“最小二乘准则”来解决，“最小而成准则”可表达为： （4-10）minPVVT由于根据最小二乘准则可以求得真误差估值 V，也就可以求得观测值的估值，计算公式为： （4-11）VLL式中，V 称为观测值的改正数；称为观测值 L 的平差值。L当 P 为非对角阵时，表示观测值相关，按 VTPV=min 进行的平差称为“相关观测平差”。当 P 为对角阵时，表示观测值之间不相关，此时最小二乘准则可以表示为纯量形式，即： (4-12)当观测值均为不相关权相等时，此时最小