材料力学第4章弯曲内力课件

1、第四章第四章 弯曲内力弯曲内力4.1 4.1 弯曲的概念和实例弯曲的概念和实例4.2 4.2 受弯杆件的简化受弯杆件的简化4.3 4.3 剪力和弯矩剪力和弯矩4.4 4.4 剪力方程和弯矩方程剪力方程和弯矩方程 剪力图和弯矩图剪力图和弯矩图4.5 4.5 载荷集度、剪力和弯矩间的关系载荷集度、剪力和弯矩间的关系4.6 4.6 平面曲杆的弯曲内力平面曲杆的弯曲内力4.1 弯曲的概念和实例弯曲的概念和实例工程实例工程实例起起重重机机大大梁梁FF4.1 弯曲的概念和实例弯曲的概念和实例工程实例工程实例火火车车轮轮轴轴FFFF4.1 弯曲的概念和实例弯曲的概念和实例楼房的横梁楼房的横梁阳台的挑梁阳台的

2、挑梁4.1 弯曲的概念和实例弯曲的概念和实例4.1 弯曲的概念和实例弯曲的概念和实例4.1受力特点及变形方式受力特点及变形方式 作用于这些杆件上的作用于这些杆件上的外外力垂直于杆件的轴线力垂直于杆件的轴线，使，使原为直线的轴线变形后成原为直线的轴线变形后成为为曲线曲线，这种方式的变形，这种方式的变形称为称为弯曲变形弯曲变形。以弯曲变形为主的杆以弯曲变形为主的杆件习惯上称为件习惯上称为4.1 弯曲的概念和实例弯曲的概念和实例镗刀杆镗刀杆车削工件车削工件4.1 弯曲的概念和实例弯曲的概念和实例对称弯曲对称弯曲ABP1P2RARB 梁的每一个横梁的每一个横截面至少有一根截面至少有一根对对称轴称轴，这

3、些对称轴，这些对称轴构成构成纵向对称面纵向对称面。 所有外力都作所有外力都作用在其对称面内时用在其对称面内时，梁弯曲变形后的，梁弯曲变形后的轴线将是位于这个轴线将是位于这个对称面内的对称面内的一条曲一条曲线线，这种弯曲形式，这种弯曲形式称为称为对称弯曲对称弯曲。对称轴对称轴纵向对纵向对称面称面弯曲后的轴线弯曲后的轴线4.2 受弯杆件的简化受弯杆件的简化一、支座的几种基本形式一、支座的几种基本形式依据支座对梁在载荷平面内的约束情况不同，可简依据支座对梁在载荷平面内的约束情况不同，可简化为三种基本形式化为三种基本形式( (注意图形表示方法！注意图形表示方法！) )：固定铰支座固定铰支座 (有转动无

4、移动有转动无移动) 可动铰支座可动铰支座 (有转动有移动有转动有移动)固定端支座固定端支座 (无转动无移动无转动无移动)4.2 受弯杆件的简化受弯杆件的简化火车轮轴简化火车轮轴简化固定铰支座固定铰支座可动铰支座可动铰支座4.2 受弯杆件的简化受弯杆件的简化镗刀杆左端的简化镗刀杆左端的简化固定端支座固定端支座4.2 受弯杆件的简化受弯杆件的简化二、载荷的简化二、载荷的简化根据载荷在所研究杆件长根据载荷在所研究杆件长度内的分布情况，可将载度内的分布情况，可将载荷简化成两种基本形式荷简化成两种基本形式集中载荷集中载荷分布载荷分布载荷均匀分布荷载均匀分布荷载线性线性(非均匀非均匀)分布荷载分布荷载Me

5、集中力偶集中力偶集中力集中力4.2 受弯杆件的简化受弯杆件的简化起重机大梁上的吊重起重机大梁上的吊重起重机大梁的自重起重机大梁的自重4.2 受弯杆件的简化受弯杆件的简化三、静定梁的基本形式三、静定梁的基本形式简支梁：简支梁：一端为固定铰支座，而一端为固定铰支座，而另一端为可动铰支座的梁另一端为可动铰支座的梁(a) 悬臂梁：悬臂梁：一端为固定端，另一端一端为固定端，另一端为自由端的梁为自由端的梁 (b)外伸梁：外伸梁：简支梁的一端或两端伸简支梁的一端或两端伸出支座之外的梁出支座之外的梁 (c)以上这三种梁的所以上这三种梁的所有支座反力均可由有支座反力均可由静力平衡方程确定静力平衡方程确定 静定梁

6、静定梁支座反力不能完支座反力不能完全由静力平衡方全由静力平衡方程确定的梁程确定的梁超静定梁超静定梁4.2 受弯杆件的简化受弯杆件的简化4.3 剪力和弯矩剪力和弯矩 根据平衡方程求得静定根据平衡方程求得静定梁在载荷作用下的支座反力梁在载荷作用下的支座反力后，用截面法研究各横截面后，用截面法研究各横截面上的内力上的内力剪力和弯矩剪力和弯矩。FsFs 右图所示的简支梁，其两右图所示的简支梁，其两端的支座反力端的支座反力 R RA A 、R RB B均可由均可由梁的静力平衡方程求得。截梁的静力平衡方程求得。截面面I II I上将产生内力，这些内上将产生内力，这些内力将与外力力将与外力P P1 1 、R

7、 RA A，在梁的，在梁的左段部分构成平衡力系。左段部分构成平衡力系。yF0由平衡方程由平衡方程得：得：A1sRPF0sA1FRP这一与横截面相切的内力这一与横截面相切的内力F Fs s称为横截面称为横截面I II I上的剪力，它是与横上的剪力，它是与横截面相切的分布内力系的合力。截面相切的分布内力系的合力。4.3 剪力和弯矩剪力和弯矩FsFs 根据平衡条件，若把左段根据平衡条件，若把左段上的所有外力和内力对截面上的所有外力和内力对截面II的形心的形心O取矩，其力矩总取矩，其力矩总和应为零，即：和应为零，即： 0Om得：得：0)(1xRaxPMA)(1axPxRMA这一内力偶矩这一内力偶矩M称

8、为横截称为横截面面II上的弯矩。它是与上的弯矩。它是与横截面垂直的分布内力系横截面垂直的分布内力系的合力偶矩。的合力偶矩。 如以右段为研究对象，剪如以右段为研究对象，剪力和弯矩的数值相等，方力和弯矩的数值相等，方向相反向相反！4.3 剪力和弯矩剪力和弯矩剪力和弯矩的正负号剪力和弯矩的正负号使梁产生使梁产生顺时针顺时针转转动的剪力规定为正动的剪力规定为正，反之为负，反之为负 。使梁的下部产生拉伸而使梁的下部产生拉伸而上部产生压缩的弯矩规上部产生压缩的弯矩规定为正，反之为负定为正，反之为负 。FsFsFs Fs4.3 剪力和弯矩剪力和弯矩实例实例1lABCq2lP2l补充实例补充实例: 计算悬臂梁

9、的支反力计算悬臂梁的支反力4.3 剪力和弯矩剪力和弯矩实例实例1RAmRPqBAlC2ql43l解解: 求梁的支反力求梁的支反力 RA 和和 mR 0432, 0PllqlmMRA由平衡方程得：由平衡方程得：yAqlF0,RP024.3 剪力和弯矩剪力和弯矩实例实例18322qlPlmPqlRRARAmRPqBAlC2ql43l4.3 剪力和弯矩剪力和弯矩实例实例2补充实例补充实例： 求图中梁求图中梁 C、B 截面上的剪力和弯矩截面上的剪力和弯矩解：解：1).1).求支座反力求支座反力 0,44360,70,40,3ABByABAMRMqPRKNFRRPqRKN 4.3 剪力和弯矩剪力和弯矩实

10、例实例20,1110,2132yACCAFFscRqKNMMRMqKN 2).2).C 截面的剪力和弯矩，取脱离体如图截面的剪力和弯矩，取脱离体如图 a 所示所示 图图 aFscq4.3 剪力和弯矩剪力和弯矩实例实例23).3).B 截面的剪力和弯矩，分别取截面的剪力和弯矩，分别取 B左左 截面和截面和 B右右 截面脱离体如图截面脱离体如图 b、c 所示。所示。 图图 bFsB左左33:33352SBABAFRqKNBMRMqKN m 左左左左左左4.3 剪力和弯矩剪力和弯矩实例实例214:12152SBBFPqKNBMPqKN m 右右右右右右图图 cFsB右右4.3 剪力和弯矩剪力和弯矩实

11、例实例214:12152SBBFPqKNBMPqKN m 右右右右右右33:33352SBABAFRqKNBMRMqKN m 左左左左左左思考：为什么思考：为什么B处左右截面上的剪力不相等？相差多少？处左右截面上的剪力不相等？相差多少？4.4 4.4 剪力方程和弯矩方程剪力方程和弯矩方程 剪力图和弯矩剪力图和弯矩图图剪力方程和弯矩方剪力方程和弯矩方程程 一般情况下，梁横截面上的剪力和弯矩随截面位置不同而一般情况下，梁横截面上的剪力和弯矩随截面位置不同而变化，若以横坐标变化，若以横坐标x表示横截面在梁轴线上的位置，则各横截表示横截面在梁轴线上的位置，则各横截面上的剪力和弯矩可以表示为面上的剪力和

12、弯矩可以表示为x的函数，即：的函数，即： FsFs xMM x上述函数表达式称为梁的上述函数表达式称为梁的剪力方程剪力方程和和弯矩方程弯矩方程。 将剪力和弯矩沿梁轴线的变化情况用图形表示出来，这种图形将剪力和弯矩沿梁轴线的变化情况用图形表示出来，这种图形分别称为分别称为剪力图剪力图和和弯矩图弯矩图。 剪力图和弯矩图剪力图和弯矩图4.4 4.4 剪力方程和弯矩方程剪力方程和弯矩方程 剪力图和弯矩图剪力图和弯矩图实例实例1 1例例4.24.2：绘图示梁的剪力图和弯矩图绘图示梁的剪力图和弯矩图 解：解：1 1）求支座反力）求支座反力 0,0,0,0,ABBABAPaMPaRlRlPbFyRRPRl

13、4.4 4.4 剪力方程和弯矩方程剪力方程和弯矩方程 剪力图和弯矩图剪力图和弯矩图实例实例1 12 2）列出各段的剪力方程和弯矩方程）列出各段的剪力方程和弯矩方程 00AAPbFs xRxalPbM xRxxxalAC 段：段： AAPaFs xRPaxllPaM xRxP xalxaxll CB 段：段： 4.4 4.4 剪力方程和弯矩方程剪力方程和弯矩方程 剪力图和弯矩图剪力图和弯矩图实例实例1 13 3）绘剪力图和弯矩图）绘剪力图和弯矩图 由求得的剪力方程和弯矩方程可绘出由求得的剪力方程和弯矩方程可绘出Fs图和图和M图：图： F Fs sPaPa4.4 4.4 剪力方程和弯矩方程剪力方程

14、和弯矩方程 剪力图和弯矩图剪力图和弯矩图实例实例1 1 故得出结论故得出结论：在集中力作用处，剪力图上发生在集中力作用处，剪力图上发生突变，突变值的大小等于该集中力的大小。突变，突变值的大小等于该集中力的大小。 从剪力图可以看出从剪力图可以看出C截面上：截面上： ,CCPbPaFsFsll 右右左左剪力图在剪力图在 C 截面发生了突变，其大小为：截面发生了突变，其大小为： 。PbPaPll F Fs sPaPa4.4 4.4 剪力方程和弯矩方程剪力方程和弯矩方程 剪力图和弯矩图剪力图和弯矩图实例实例1 1从弯矩图可以看出，最大弯矩发生在集中力作从弯矩图可以看出，最大弯矩发生在集中力作用处的截面

15、上。用处的截面上。其值为：其值为： maxPabMl 4.4 4.4 剪力方程和弯矩方程剪力方程和弯矩方程 剪力图和弯矩图剪力图和弯矩图实例实例2 2解：解：1 1）求支座反力）求支座反力 0,0,0,0,BAAABBAMMRlMRlMFyRRRRl 补充实例补充实例： 绘图示梁的剪力图和弯矩图绘图示梁的剪力图和弯矩图 4.4 4.4 剪力方程和弯矩方程剪力方程和弯矩方程 剪力图和弯矩图剪力图和弯矩图实例实例2 22 2）列出各段的剪力方程和弯矩方程）列出各段的剪力方程和弯矩方程 AC 段：段： 00AAMFs xRxalMM xRxxxalCB 段：段： AAMFs xRaxllMM xRx

16、Mlxaxll 4.4 4.4 剪力方程和弯矩方程剪力方程和弯矩方程 剪力图和弯矩图剪力图和弯矩图实例实例2 23 3）绘剪力图和弯矩图）绘剪力图和弯矩图 由剪力方程和弯矩方程可绘出由剪力方程和弯矩方程可绘出Fs、M 图：图：F Fs s4.4 4.4 剪力方程和弯矩方程剪力方程和弯矩方程 剪力图和弯矩图剪力图和弯矩图实例实例2 2弯矩图在弯矩图在 C 截面发生一突截面发生一突变，其大小为：变，其大小为： MaMbMll 由此可得出结论由此可得出结论：在集中的力偶作用处，弯矩：在集中的力偶作用处，弯矩图上发生突变，其突变值等于该集中力偶的大小。图上发生突变，其突变值等于该集中力偶的大小。 对剪

17、力图而言，集中力偶作用的截面并无改变。对剪力图而言，集中力偶作用的截面并无改变。 从从M 图可看出，在图可看出，在C截面上：截面上： ,CCMaMbMMll 左左右右F Fs s4.4 4.4 剪力方程和弯矩方程剪力方程和弯矩方程 剪力图和弯矩图剪力图和弯矩图实例实例3 3补充实例：补充实例：作图示悬臂梁作图示悬臂梁AB的剪力图和弯矩图。的剪力图和弯矩图。FxxMFxF)()(S剪力、弯矩方程：xFSFFlMFlMFFmaxmaxS|FlAB4.4 4.4 剪力方程和弯矩方程剪力方程和弯矩方程 剪力图和弯矩图剪力图和弯矩图实例实例4 4 32/32ql32/32qlBAl解：解：1 1确定约束

18、力确定约束力00，BAMMFAy FBy ql/22 2写出剪力和弯矩方程写出剪力和弯矩方程yxCx lxqxqlxFS02/ lxqxqlxxM02/2/2FSxMx2/ql2/ql8/2ql 补充实例补充实例：简支梁受均布载荷的作用，试写出剪力和：简支梁受均布载荷的作用，试写出剪力和弯矩方程，并画出剪力图和弯矩图。弯矩方程，并画出剪力图和弯矩图。4.5 4.5 载荷集度、剪力和弯矩间的关系载荷集度、剪力和弯矩间的关系Fs(x)Fs(x)+dFs(x) 轴线为直线的梁，坐标轴线为直线的梁，坐标选择如图所示。分布载荷的选择如图所示。分布载荷的集度集度q( (x) )是是x的连续函数，规的连续函

19、数，规定向上为正。从梁中取出长定向上为正。从梁中取出长为为dx的微段并放大的微段并放大( (图图b),b),图图示的内力取值为正，且设微示的内力取值为正，且设微段内无集中力和集中力偶段内无集中力和集中力偶。由微段的平衡方程：由微段的平衡方程：yOF0M0和 sssFxFxdFxq x dx0 sdxM xM xdM xFx dxq x dx024.5 4.5 载荷集度、剪力和弯矩间的关系载荷集度、剪力和弯矩间的关系 2s2d M xdFxq x4.3dxdx ssdFxq x4.1dxdM xFx4.2dx dxq x dx2 sssFxFxdFxq x dx0 sdxM xM xdM xFx

20、 dxq x dx02略去第二式中的高阶微量略去第二式中的高阶微量直梁微段的平衡方程直梁微段的平衡方程以上三式表示了直梁的分布载荷集度以上三式表示了直梁的分布载荷集度q(x)、剪力、剪力Fs(x)和弯矩和弯矩M(x)之间的之间的导数关系导数关系。4.5 4.5 载荷集度、剪力和弯矩间的关系载荷集度、剪力和弯矩间的关系外力情况外力情况q0q0( (向下向下) )无载荷段无载荷段集中力集中力F F作作用处：用处：集中力偶集中力偶M M作用处：作用处：剪力图上的剪力图上的特征特征(向下斜直向下斜直线线) )水平线水平线突变，突突变，突变值为变值为F F不变不变弯矩图上的弯矩图上的特征特征( (向上凸

21、的抛向上凸的抛物线物线) )斜直线斜直线有尖点有尖点有突变，突有突变，突变值为变值为M M最大弯矩可最大弯矩可 能的截面位能的截面位置置剪力为零的剪力为零的截面截面剪力突变剪力突变的截面的截面弯矩突变的弯矩突变的某一侧某一侧根据上述导数关系，可得出下面的推论根据上述导数关系，可得出下面的推论：利用这些推论可以不列出利用这些推论可以不列出剪力方程剪力方程和和弯矩方程弯矩方程，直接绘，直接绘出出剪力图剪力图和和弯矩图弯矩图。4.5 4.5 载荷集度、剪力和弯矩间的关系载荷集度、剪力和弯矩间的关系 2121xs2s1xx21sxFxFxq x dx4.4M xM xFx dx4.5 ssdFxq x

22、4.1dxdM xFx4.2dx积分积分 在在x=x2和和x=x1两截面上的剪力之差，等于两截面间两截面上的剪力之差，等于两截面间分布载荷图的面积；两截面上的弯矩之差，等于两截面分布载荷图的面积；两截面上的弯矩之差，等于两截面间剪力图的面积。间剪力图的面积。4.5 4.5 载荷集度、剪力和弯矩间的关系载荷集度、剪力和弯矩间的关系实例实例F Fs sPaPa4.5 4.5 载荷集度、剪力和弯矩间的关系载荷集度、剪力和弯矩间的关系实例实例F Fs s4.5 4.5 载荷集度、剪力和弯矩间的关系载荷集度、剪力和弯矩间的关系实例实例xFSFFlMFlAB4.5 4.5 载荷集度、剪力和弯矩间的关系载荷集度、剪力和弯矩间的关系实例实例 32/32ql32/32qlBAlyxCxFSxMx2/ql2/ql8/2