李建军-半导体器件模拟及数值分析第六章有限元法模拟

1、微电子器件及工艺CAD1国际微电子中心国际微电子中心第六章第六章 有限元法有限元法哈尔滨工业大学哈尔滨工业大学( (威海威海) ) 微电子中心微电子中心王新胜王新胜微电子器件及工艺CAD2国际微电子中心国际微电子中心6-1 基本概念基本概念微电子器件及工艺CAD3国际微电子中心国际微电子中心 有限元法有限元法(Finite Element Method)，又译为又译为有限元素法有限元素法，是离散数值分析方法之一。是现在公认的一个有效的用途是离散数值分析方法之一。是现在公认的一个有效的用途广泛的数值分析工具，广泛的数值分析工具，它能应用于几乎所有的连续介质问它能应用于几乎所有的连续介质问题和场问

2、题题和场问题。70年代，有限元法在半导体器件模拟领域中年代，有限元法在半导体器件模拟领域中得到了发展，并且自那以后，研究它在器件模拟中的应用，得到了发展，并且自那以后，研究它在器件模拟中的应用，超过了有限插分法。超过了有限插分法。 有限元法不象有限差法那样把求解区域看作是网格点有限元法不象有限差法那样把求解区域看作是网格点的排列，而是把求解区域看作由许多小的互相连接的的排列，而是把求解区域看作由许多小的互相连接的子区子区域域(称为称为元素元素)所构成。对某一问题，其有限元法模型给出所构成。对某一问题，其有限元法模型给出基本方程的分片近似。基本方程的分片近似。 有限元法的基本有限元法的基本思想思

3、想是：用一组离散元素集合体来代是：用一组离散元素集合体来代替求解区域，解析地模拟或逼近求解区域。替求解区域，解析地模拟或逼近求解区域。因为这些元素因为这些元素可按各种不同的方式组合在一起，所以能用来表示极其复可按各种不同的方式组合在一起，所以能用来表示极其复杂的形状。杂的形状。基本概念基本概念微电子器件及工艺CAD4国际微电子中心国际微电子中心 现在把求解区域分成很多元素，并用每个元素内假设现在把求解区域分成很多元素，并用每个元素内假设的的近似函数近似函数来表示未知的场变量，来表示未知的场变量，那么，通过有限元素离那么，通过有限元素离散化过程便把问题简化为有限个未知数的问题。散化过程便把问题简

4、化为有限个未知数的问题。近似函数近似函数（有时称为（有时称为插值函数插值函数）则由称之为节或则由称之为节或节点节点的指的指定点上的场变量值来确定。定点上的场变量值来确定。 节点通常选在元素的边界上，相邻的元素由节点连接节点通常选在元素的边界上，相邻的元素由节点连接在一起；除边界节点外，元素也可能有一些内部节点。在一起；除边界节点外，元素也可能有一些内部节点。基本概念基本概念 那么有限元法的实质是什么呢？在任何维数的连续介那么有限元法的实质是什么呢？在任何维数的连续介质问题中，质问题中，场变量场变量（无论它是压力、温度、位移（无论它是压力、温度、位移 、应力或、应力或者某些其它量）者某些其它量）

5、是物体或求解区域内每个点的函数，因此是物体或求解区域内每个点的函数，因此这是一个具有无限个未知数的问题。这是一个具有无限个未知数的问题。微电子器件及工艺CAD5国际微电子中心国际微电子中心 场变量的节点值和元素的插值函数完全确定了元素内场变量的节点值和元素的插值函数完全确定了元素内部场变量的特性。部场变量的特性。一个问题用有限元素表示后，场变量的一个问题用有限元素表示后，场变量的节点值变成了新的未知数，一旦求出这些未知数，则插值节点值变成了新的未知数，一旦求出这些未知数，则插值函数便确定了整个元素集合体的场变量。函数便确定了整个元素集合体的场变量。 基本概念基本概念 显然，解的性质和近似程度不

6、但显然，解的性质和近似程度不但取决于所采用的元素取决于所采用的元素的大小和数目的大小和数目，而且，而且还取决于所选择的插值函数。还取决于所选择的插值函数。插值函插值函数的选择不是任意的，通常选取的函数，要使场变量或其数的选择不是任意的，通常选取的函数，要使场变量或其导数在通过相邻元素的边界时是连续的；同时插值函数必导数在通过相邻元素的边界时是连续的；同时插值函数必须是针对每个元素来定义的。须是针对每个元素来定义的。 有限元法的一个有限元法的一个重要特点重要特点是把各个单独的元素集合在是把各个单独的元素集合在一起表示整个问题之前，能够为单独元素的解建立公式，一起表示整个问题之前，能够为单独元素的

7、解建立公式，这使得有限元法不同于其他的近似数值方法。这使得有限元法不同于其他的近似数值方法。微电子器件及工艺CAD6国际微电子中心国际微电子中心 有限元法的另一个有限元法的另一个优点优点是建立各单独元素特性公式的是建立各单独元素特性公式的途径的多样性。一般来讲，得到元素特性的方法有四种：途径的多样性。一般来讲，得到元素特性的方法有四种：直接法、变分法、直接法、变分法、加权余数法加权余数法和能量平衡法。各种方法的和能量平衡法。各种方法的特点概括如下：特点概括如下：基本概念基本概念 直接法：来源于结构分析的直接刚度法，应用于比较直接法：来源于结构分析的直接刚度法，应用于比较简单的问题，易于掌握。简

8、单的问题，易于掌握。 变分法：依靠变分计算，涉及到泛函的极值问题，变变分法：依靠变分计算，涉及到泛函的极值问题，变分法既适用于形状简单的元素又适用于形状的复杂的元素分法既适用于形状简单的元素又适用于形状的复杂的元素。 加权余数法：这种推导元素特性的方法，完全建立在加权余数法：这种推导元素特性的方法，完全建立在数学知识上，从问题的基本方程出发，在推导元素特性时数学知识上，从问题的基本方程出发，在推导元素特性时不依赖于泛函或者变分原理。不依赖于泛函或者变分原理。微电子器件及工艺CAD7国际微电子中心国际微电子中心 能量平衡法：取决于系统的热平衡或机械能的平衡。能量平衡法：取决于系统的热平衡或机械能

9、的平衡。象加权余数法一样不需要应用变分法原理。因为极大地扩象加权余数法一样不需要应用变分法原理。因为极大地扩大了有限元素法可能应用的范围。大了有限元素法可能应用的范围。基本概念基本概念 不论用哪种方法求解元素特性，采用有限元法求解连不论用哪种方法求解元素特性，采用有限元法求解连续介质问题，总是按照一定步骤进行的，基本上可分成以续介质问题，总是按照一定步骤进行的，基本上可分成以下五个步骤：下五个步骤： 1. 连续介质离散化连续介质离散化 把连续介质或求解区域划分成很多元素。有各种不同把连续介质或求解区域划分成很多元素。有各种不同形式的元素可供采用，并且在同一个求解区域中可以应用形式的元素可供采用

10、，并且在同一个求解区域中可以应用不同形式的元素。不同形式的元素。 微电子器件及工艺CAD8国际微电子中心国际微电子中心 2. 选择插值函数选择插值函数 指定每个元素上的节点，选择插值函数的类型以表示指定每个元素上的节点，选择插值函数的类型以表示每个元素上场变量的变化。每个元素上场变量的变化。通常是选择多项式作为场变量通常是选择多项式作为场变量的插值函数，因为多项式易于积分和微分。的插值函数，因为多项式易于积分和微分。场变量及其导场变量及其导数的大小在节点上可能是未知的。数的大小在节点上可能是未知的。基本概念基本概念 3. 求出元素特性求出元素特性 有限元素模型一经建立（亦即，只要选择好元素和它

11、有限元素模型一经建立（亦即，只要选择好元素和它们的插值函数），就可准备确定表示各个元素特性的矩阵们的插值函数），就可准备确定表示各个元素特性的矩阵方程，可以应用上面提到的直接法、变分法、加权余数法方程，可以应用上面提到的直接法、变分法、加权余数法和能量平衡法四种方法中的任一种。所采用的方法完全取和能量平衡法四种方法中的任一种。所采用的方法完全取决于问题的性质。决于问题的性质。 微电子器件及工艺CAD9国际微电子中心国际微电子中心基本概念基本概念 系统矩阵方程组包括所有的节点，其形式和一个单独元系统矩阵方程组包括所有的节点，其形式和一个单独元素的方程组相同。素的方程组相同。在准备求解系统方程组以

12、前，还要考虑在准备求解系统方程组以前，还要考虑到问题的边界条件，并对系统方程组加以修正。到问题的边界条件，并对系统方程组加以修正。 4. 集合元素特性以求得系统方程组集合元素特性以求得系统方程组 要求出由元素网格构成的模型所表示的整个系统的特要求出由元素网格构成的模型所表示的整个系统的特性，必须将表示元素状态的矩阵方程组加以合并，形成表性，必须将表示元素状态的矩阵方程组加以合并，形成表示整个求解区域或系统的矩阵方程组。示整个求解区域或系统的矩阵方程组。 5.求解系统方程组求解系统方程组 用有限元方法得到的系统方程组可能是线性的或是非用有限元方法得到的系统方程组可能是线性的或是非线性的，选用适当

13、的求解方法，求解这组联立方程，即可线性的，选用适当的求解方法，求解这组联立方程，即可求得场变量在未知节点上的值。求得场变量在未知节点上的值。 由上所述，建立有限元方程的方法有多种，此处将着重由上所述，建立有限元方程的方法有多种，此处将着重介绍其中应用最广泛的加权余数法。介绍其中应用最广泛的加权余数法。微电子器件及工艺CAD10国际微电子中心国际微电子中心基本概念基本概念微电子器件及工艺CAD11国际微电子中心国际微电子中心6-2 连续介质离散化及插值函数连续介质离散化及插值函数微电子器件及工艺CAD12国际微电子中心国际微电子中心连续介质离散化及插值函数连续介质离散化及插值函数 6.2.1 连

14、续介质离散化连续介质离散化 如上所述，如上所述，有限元法的基本概念是把求解区域分为有限有限元法的基本概念是把求解区域分为有限个数目的子区域，这些子区域称之为个数目的子区域，这些子区域称之为元素元素。 这些元素只在求解区域内的节点处和元素的边界上互相这些元素只在求解区域内的节点处和元素的边界上互相连接。连接。 元素的节点是元素的一部分，这样求解区域就被离散了，元素的节点是元素的一部分，这样求解区域就被离散了，并且表示为许多元素的一个组合体。并且表示为许多元素的一个组合体。 有限元素的边界常常是直线或平面。所以，如果求解区有限元素的边界常常是直线或平面。所以，如果求解区域有曲线或曲面边界的话，就可

15、被一系列直线段或平面近似域有曲线或曲面边界的话，就可被一系列直线段或平面近似地表示出来。有限元素网格的数学解释就是空间的再分割。地表示出来。有限元素网格的数学解释就是空间的再分割。微电子器件及工艺CAD13国际微电子中心国际微电子中心 6.2.2 元素和插值函数概述元素和插值函数概述 除了用直接法建立有限元方程外，用其他三种方法建立除了用直接法建立有限元方程外，用其他三种方法建立元素特性方程都需要选择每个元素上的插值函数。插值函数元素特性方程都需要选择每个元素上的插值函数。插值函数不是任意选取的，它应满足如下要求：不是任意选取的，它应满足如下要求： (1). 在元素的交界面（边界）处，场变量在

16、元素的交界面（边界）处，场变量 及其任一阶偏及其任一阶偏导数导数(直至比在有限元积分方程中出现的最高阶偏导数少一直至比在有限元积分方程中出现的最高阶偏导数少一阶为止阶为止)都必须连续。都必须连续。 在有限元素法中，求解区域的元素网格一旦确定，则在在有限元素法中，求解区域的元素网格一旦确定，则在每个元素上的未知场变量的特性就由连续函数近似地表达。每个元素上的未知场变量的特性就由连续函数近似地表达。这些连续函数用场变量的节点值以及其直到某阶导数的节点这些连续函数用场变量的节点值以及其直到某阶导数的节点值表示。值表示。定义在每个有限元素上的函数称为定义在每个有限元素上的函数称为插值函数插值函数。整个

17、。整个求解区域上插值函数的集合提供场变量的一个分片近似。求解区域上插值函数的集合提供场变量的一个分片近似。连续介质离散化及插值函数连续介质离散化及插值函数微电子器件及工艺CAD14国际微电子中心国际微电子中心 (2). 在极限情况下当元素的尺寸缩小为零时，在极限情况下当元素的尺寸缩小为零时， 的全部均的全部均匀状态及其偏导数匀状态及其偏导数(直至在有限元积分方程中出现的最高阶直至在有限元积分方程中出现的最高阶的偏导数的偏导数)都能用都能用 来表示来表示。 )e( 这些要求由菲利帕这些要求由菲利帕(Felippa)、克劳夫给出，并为奥利维克劳夫给出，并为奥利维拉拉(Oliverira)所证明。前

18、一个要求称为协调性要求，第二个所证明。前一个要求称为协调性要求，第二个要求称为完备性要求。插值函数满足第一个要求的元素称为要求称为完备性要求。插值函数满足第一个要求的元素称为协调元素或保续元素；满足第二个要求的元素称为完备元素。协调元素或保续元素；满足第二个要求的元素称为完备元素。 采用以下的定义和记号表达场变量在元素交界面上连续采用以下的定义和记号表达场变量在元素交界面上连续性的程度。如果场变量在元素交界面上是连续的就说有性的程度。如果场变量在元素交界面上是连续的就说有 连连续；此外，若一阶导数也是连续的，就说续；此外，若一阶导数也是连续的，就说 有连续；若二阶有连续；若二阶导数也是连续的，

19、就说有导数也是连续的，就说有 连续等等。连续等等。0c1c2c 6.2.2 元素和插值函数概述元素和插值函数概述连续介质离散化及插值函数连续介质离散化及插值函数微电子器件及工艺CAD15国际微电子中心国际微电子中心 由此可见，当对所要解决的问题选用合适的元素类型时，由此可见，当对所要解决的问题选用合适的元素类型时，必须包括元素的形状、节点的数目和类型、节点变量的类型必须包括元素的形状、节点的数目和类型、节点变量的类型和插值函数的类型，这些特性中只要缺少一项，对元素的描和插值函数的类型，这些特性中只要缺少一项，对元素的描述就是不完整的。述就是不完整的。虽然可以设想许多类型的函数都可以作为虽然可以

20、设想许多类型的函数都可以作为插值函数，但是只有多项式得到了广泛的应用。原因是多项插值函数，但是只有多项式得到了广泛的应用。原因是多项式的数学运算较为容易，可以毫无困难地进行积分和微分。式的数学运算较为容易，可以毫无困难地进行积分和微分。 以下将本着上述原则，讨论在半导体器件模拟中常用的以下将本着上述原则，讨论在半导体器件模拟中常用的元素类型和插值函数。元素类型和插值函数。0c0c 6.2.2 元素和插值函数概述元素和插值函数概述连续介质离散化及插值函数连续介质离散化及插值函数 构造具有构造具有 连续性的元素和插值函数并不特别困难，但连续性的元素和插值函数并不特别困难，但需要具有高阶连续性时，困

21、难将迅速增加。需要具有高阶连续性时，困难将迅速增加。对于要求对于要求 连续连续性的问题，可以构造出无限个合适的元素，但通常要从这多性的问题，可以构造出无限个合适的元素，但通常要从这多种元素中选用类型最简单的元素，以避免过大的计算工作量。种元素中选用类型最简单的元素，以避免过大的计算工作量。 微电子器件及工艺CAD16国际微电子中心国际微电子中心 6.2.3 一维元素及其插值函数一维元素及其插值函数 最简单的元素是沿最简单的元素是沿x轴的直线线段，叫做线元素。轴的直线线段，叫做线元素。 用线元素的节点值和节点坐标可以唯一地表示场变量用线元素的节点值和节点坐标可以唯一地表示场变量 在元素上的线性变

22、化。在元素上的线性变化。 元素元素12外节点外节点外节点外节点元素元素12内节点内节点3123456 图图6-1 一维线元素一维线元素连续介质离散化及插值函数连续介质离散化及插值函数微电子器件及工艺CAD17国际微电子中心国际微电子中心元素元素12外节点外节点外节点外节点x1x2)x()e( x1x2x1x2N1(x)N2(x)(a)(b)(c)图图6-2 场变量在一维元素上的线性表示场变量在一维元素上的线性表示(a)一维直线元素一维直线元素,(b) 在元素在元素(e)上的线性变化上的线性变化,(c) 的线性插值函数的线性插值函数 )x()e( )x()e( 6.2.3 一维元素及其插值函数一

23、维元素及其插值函数连续介质离散化及插值函数连续介质离散化及插值函数111 2 微电子器件及工艺CAD18国际微电子中心国际微电子中心21211122)e(xxxxxxxx)x( N1(x)和和N2(x)称为称为插值函数插值函数。(6.2.1) 6.2.3 一维元素及其插值函数一维元素及其插值函数连续介质离散化及插值函数连续介质离散化及插值函数x1x2)x()e( 1 2 (6.2.3)(6.2.2) 2211)e()e(2121)e(NNNN,N)x( 12121221xxxx)x(N,xxxx)x(N 微电子器件及工艺CAD19国际微电子中心国际微电子中心 6.2.4 二维元素及其插值函数二

24、维元素及其插值函数 图图6-3 二为元素二为元素(a) 三节点三角形三节点三角形 (b) 矩形矩形 (c) 六节点三角形六节点三角形 (d) 十节点三角形十节点三角形 (e) 梯形梯形 (a) (b) (c) (d) (e) 连续介质离散化及插值函数连续介质离散化及插值函数微电子器件及工艺CAD20国际微电子中心国际微电子中心 在半导体器件模拟中常采用的二维元素是在半导体器件模拟中常采用的二维元素是三节点三角形三节点三角形元素元素。根据区域离散化的形式，可以允许。根据区域离散化的形式，可以允许 在每个元素上按在每个元素上按线性变化，如图线性变化，如图6-4。与元素。与元素(e)相联系的相联系的

25、 的三个节点值的的三个节点值的平面由下述方程描述。平面由下述方程描述。图图6-4 分片的线性求解曲面分片的线性求解曲面)y, x( i k j xy通过通过 的三节的三节点值的平面点值的平面 用此方程可在每个节点用此方程可在每个节点上计算上计算 的节点值。的节点值。 ),()(3)(2)(1)(eeeeyxyxb bb bb b (6.2.4) ),(),(),()(3)(2)(1)()(3)(2)(1)()(3)(2)(1)(kekeeekjejeeejieieeeiyxyxyxyxyxyxb bb bb b b bb bb b b bb bb b (6.2.5) 6.2.4 二维元素及其插

26、值函数二维元素及其插值函数连续介质离散化及插值函数连续介质离散化及插值函数微电子器件及工艺CAD21国际微电子中心国际微电子中心 从而求得用元素节点的坐标和从而求得用元素节点的坐标和 的节点值来表示的常数的节点值来表示的常数 。)e(3)e(2)e(1,b bb bb bD D D D D D 2)()()(2)()()(2)()()()(3)(2)(1ijkkijjkiejikikjkjiekjjikijikjkikjiexxxxxxyyyyyyyxyxxyyxxyyx b b b b b b(6.2.6)kkjjiiyxyxyx1112 D D顶点为顶点为i,j,k的三角形的面积的三角形的

27、面积 2 6.2.4 二维元素及其插值函数二维元素及其插值函数连续介质离散化及插值函数连续介质离散化及插值函数微电子器件及工艺CAD22国际微电子中心国际微电子中心把方程把方程(6.2.6)代入方程代入方程(6.2.4)， 6.2.4 二维元素及其插值函数二维元素及其插值函数连续介质离散化及插值函数连续介质离散化及插值函数D D D D D D 2)()()(2)()()(2)()()()(3)(2)(1ijkkijjkiejikikjkjiekjjikijikjkikjiexxxxxxyyyyyyyxyxxyyxxyyx b b b b b b ),()(3)(2)(1)(eeeeyxyxb

28、 bb bb b ijkjikjkjikkijikjijikjjkikjikikjikkkkjjjjiiii)e(xxc ,yyb,xyyxaxxc ,yyb,xyyxaxxc ,yyb,xyyxa2ycxba2ycxba2ycxba)y, x( D D D D D D (6.2.7)(6.2.8) 整理各项，有整理各项，有aiajakbibjbkcickcj微电子器件及工艺CAD23国际微电子中心国际微电子中心Nl(e)就是三节点三角形元素的线性插值函数。就是三节点三角形元素的线性插值函数。 kjilycxbaNNNNNyxxxcyybxyyxaxxcyybxyyxaxxcyybxyyxay

29、cxbaycxbaycxbayxllleleekjiekejeieijkjikjkjikkijikjijikjjkikjikikjikkkkjjjjiiiie,2),(,222),()()()()()()()()( D D D D D D D D (6.2.7)(6.2.8)(6.2.9)(6.2.10)把方程把方程(6.2.6)代入方程代入方程(6.2.4)，整理各项，有整理各项，有 6.2.4 二维元素及其插值函数二维元素及其插值函数连续介质离散化及插值函数连续介质离散化及插值函数BACK微电子器件及工艺CAD24国际微电子中心国际微电子中心 某一三角形元素某一三角形元素e，顶点坐标分别为

30、顶点坐标分别为i(0,0),j(1,0),k(1/2,1)，求求i,j,k节点处的插值函数。由节点处的插值函数。由(6.2.8)得得y21x12ycxbaN11211011001yx1yx1yx12iii)e(ikkjjii D D D D于是可得差值函数于是可得差值函数 6.2.4 二维元素及其插值函数二维元素及其插值函数2111, iiijkikjikikjicbaxxcyybxyyxa连续介质离散化及插值函数连续介质离散化及插值函数微电子器件及工艺CAD25国际微电子中心国际微电子中心yx212ycxbaNjjj)e(j D D 于是可得差值函数于是可得差值函数 6.2.4 二维元素及其

31、插值函数二维元素及其插值函数1c1b21axxc ,yyb,xyyxajjjkijikjijikj 某一三角形元素某一三角形元素e，顶点坐标分别为顶点坐标分别为i(0,0),j(1,0),k(1/2,1)，求求i,j,k节点处的插值函数。由节点处的插值函数。由(6.2.8)得得连续介质离散化及插值函数连续介质离散化及插值函数微电子器件及工艺CAD26国际微电子中心国际微电子中心y12ycxbaNkkk)e(k D D 于是可得差值函数于是可得差值函数 6.2.4 二维元素及其插值函数二维元素及其插值函数1c0b1axxc ,yyb,xyyxakkkijkjikjkjik 某一三角形元素某一三角

32、形元素e，顶点坐标分别为顶点坐标分别为i(0,0),j(1,0),k(1/2,1)，求求i,j,k节点处的插值函数。由节点处的插值函数。由(6.2.8)得得连续介质离散化及插值函数连续介质离散化及插值函数微电子器件及工艺CAD27国际微电子中心国际微电子中心 6.2.5.三维元素三维元素连续介质离散化及插值函数连续介质离散化及插值函数微电子器件及工艺CAD28国际微电子中心国际微电子中心6-3 加权余数法加权余数法微电子器件及工艺CAD29国际微电子中心国际微电子中心加权余数法加权余数法 第一步是假定有关场变量的一般函数性质，以某种方式第一步是假定有关场变量的一般函数性质，以某种方式近似地满足

33、给定的微分方程和边界条件，把这种近似值代入近似地满足给定的微分方程和边界条件，把这种近似值代入原来的微分方程和边界条件中，一般来讲，所得结果会出现原来的微分方程和边界条件中，一般来讲，所得结果会出现某种误差，称为某种误差，称为余数余数，这种余数在整个求解区域上按某种平，这种余数在整个求解区域上按某种平均意义要求为零。均意义要求为零。 第二步是求解由第一步所得的方程第二步是求解由第一步所得的方程(组组)，从而将一般的，从而将一般的函数形式化为某种特定的函数，于是成为所求的近似解。函数形式化为某种特定的函数，于是成为所求的近似解。 为了说明问题方便，我们以一个微分方程来加以说明。为了说明问题方便，

34、我们以一个微分方程来加以说明。设设 在以曲面在以曲面 为界的区域为界的区域D中由下述微分方程决定中由下述微分方程决定 ( )-f=0 (6.3.1) 加权余数法是求解线性和非线性偏微分方程近似解的一加权余数法是求解线性和非线性偏微分方程近似解的一项技术。项技术。加权余数法基本上包括两个步骤。加权余数法基本上包括两个步骤。微电子器件及工艺CAD30国际微电子中心国际微电子中心加权余数法加权余数法 ( )-f=0 (6.3.1) 符号符号是微分算符，函数是微分算符，函数f为独立变量的已知函数，并且为独立变量的已知函数，并且假定在假定在 上给出了适当的边界条件。应用加权函数法有下述上给出了适当的边界

35、条件。应用加权函数法有下述两步。两步。 首先，用首先，用 近似地表示未知的精确解近似地表示未知的精确解 ， 可表示为插值可表示为插值函数的一个组合，即函数的一个组合，即 )y, x(CNm1iii (6.3.2) 式中式中Ni是假定的近似函数是假定的近似函数(即插值函数即插值函数)，Ci或是未知参或是未知参数或是一个独立变量的未知函数，这数或是一个独立变量的未知函数，这m个函数个函数Ni通常要满足通常要满足整体边界条件。整体边界条件。微电子器件及工艺CAD31国际微电子中心国际微电子中心 当当 代入方程代入方程(6.3.1)时，未必能满足方程，即时，未必能满足方程，即 ( )-f 0 或表示为

36、或表示为 ( )-f =R式中式中R是用是用 近似表示近似表示 时所产生的余数或误差。加权余数法时所产生的余数或误差。加权余数法是在整个求解区域上，通过使误差是在整个求解区域上，通过使误差R为微小的方法，来定出为微小的方法，来定出m个未知数个未知数Ci，其做法是做出误差的加权平均值，使它在求其做法是做出误差的加权平均值，使它在求解区域上为零。因此，可选择解区域上为零。因此，可选择m个线性无关的加权函数个线性无关的加权函数Wi，并且认为，若并且认为，若 加权余数法加权余数法(6.3.3) 则在某种意义上则在某种意义上 0R (6.3.4)微电子器件及工艺CAD32国际微电子中心国际微电子中心 方

37、程方程(6.3.4)中表示的误差分布原理的形式与加权函数的中表示的误差分布原理的形式与加权函数的选择有关。一旦指定了加权函数，方程选择有关。一旦指定了加权函数，方程(6.3.4)就表示出求就表示出求Ci的的m个方程，它们或者是代数方程，或者是常微分方程，于个方程，它们或者是代数方程，或者是常微分方程，于是第二步是解方程是第二步是解方程(6.3.4)求求Ci。通过方程通过方程(6.3.2)可得到未知场可得到未知场变量变量 的近似表示。可以证明，对于许多线性问题，甚至某的近似表示。可以证明，对于许多线性问题，甚至某些非线性问题，当些非线性问题，当 时，时，(6.3.4) m加权余数法加权余数法 由

38、于可采用的加权函数或误差分布原理有多种选择方式，由于可采用的加权函数或误差分布原理有多种选择方式，因而就有多种加权余数技术。最经常用来推导有限元方程的因而就有多种加权余数技术。最经常用来推导有限元方程的误差分布原理称为伽辽金准则，或伽辽金法。根据伽辽金法误差分布原理称为伽辽金准则，或伽辽金法。根据伽辽金法所选的加权函数与用来表示所选的加权函数与用来表示 的近似函数相同，即的近似函数相同，即Wi=Ni, m, 2 , 1i 微电子器件及工艺CAD33国际微电子中心国际微电子中心 因此，伽辽金法要求因此，伽辽金法要求(6.3.5)加权余数法加权余数法 上述讨论是假定在整个求解区域上进行的。由于方程

39、上述讨论是假定在整个求解区域上进行的。由于方程(6.3.1)对求解区域中的任意一点都成立，因此，对于由点集对求解区域中的任意一点都成立，因此，对于由点集所定义的整个区域中的任何子区域或元素也是成立的。所以，所定义的整个区域中的任何子区域或元素也是成立的。所以，可集中讨论单独一个元素，确定一个类似于方程可集中讨论单独一个元素，确定一个类似于方程(6.3.2)的局的局部近似，并且每次只对一个元素有效，这样，场变量的有限部近似，并且每次只对一个元素有效，这样，场变量的有限元素表示就变得可能了。元素表示就变得可能了。可将函数可将函数Ni视为定义在元素上的插视为定义在元素上的插值函数值函数 ，而，而Ci

40、就是待定参数，它可以是场变量或者导数的就是待定参数，它可以是场变量或者导数的节点值。于是，根据伽辽金法，可列出支配一个元素性质的节点值。于是，根据伽辽金法，可列出支配一个元素性质的方程方程)e(iN(6.3.6)( )-f=0 (6.3.1) )y, x(CNm1iii (6.3.2)微电子器件及工艺CAD34国际微电子中心国际微电子中心 与前面一样，式中上标与前面一样，式中上标(e)限于一个元素范围，且限于一个元素范围，且 f(e)为定义在元素为定义在元素(e)上的强迫函数；上的强迫函数；N)e()e()e( (6.3.6) 对于整个集合体的每个元素，有象方程对于整个集合体的每个元素，有象方

41、程(6.3.6)那样的一那样的一组方程，由元素方程集合成系统方程之前，应要求所选择的组方程，由元素方程集合成系统方程之前，应要求所选择的近似函数近似函数Ni在集合过程中必须保证元素间的连续性。前面说在集合过程中必须保证元素间的连续性。前面说过，选择插值函数要保证在元素边界上过，选择插值函数要保证在元素边界上 的连续性，以及直的连续性，以及直至比最高阶导数少一阶的至比最高阶导数少一阶的 的各阶偏导数的连续性。的各阶偏导数的连续性。 加权余数法加权余数法r为指定于元素上的未知参数的数目。为指定于元素上的未知参数的数目。微电子器件及工艺CAD35国际微电子中心国际微电子中心 避免这种困境的常用方法是

42、改变方程避免这种困境的常用方法是改变方程(6.3.6)的形式，对的形式，对方程方程(6.3.6)的积分表达式进行分部积分，可以得到包含较低的积分表达式进行分部积分，可以得到包含较低阶导数的表达式，从而可以利用较低阶的元素间的连续性的阶导数的表达式，从而可以利用较低阶的元素间的连续性的近似函数。当分部积分可能时，这便提供了一种方便的方法。近似函数。当分部积分可能时，这便提供了一种方便的方法。引进了在边界的某些部分必须满足的自然边界条件。引进了在边界的某些部分必须满足的自然边界条件。虽然含虽然含有自然边界条件的边界项出现在每个元素方程中，但是在集有自然边界条件的边界项出现在每个元素方程中，但是在集

43、合元素方程时，只有边界元素才给出非零的贡献。在集合过合元素方程时，只有边界元素才给出非零的贡献。在集合过程之后，才引入固定的边界条件。程之后，才引入固定的边界条件。加权余数法加权余数法微电子器件及工艺CAD36国际微电子中心国际微电子中心 下面举例说明有限元法解微分方程的过程下面举例说明有限元法解微分方程的过程1,1, 0, 010022 xxxdxd边边界界条条件件 这是一个一维问题，边界只有首位两个离散点。对于这这是一个一维问题，边界只有首位两个离散点。对于这类问题的边界条件的处理，是让首尾两个元素的近似函数在类问题的边界条件的处理，是让首尾两个元素的近似函数在相应的点取边界条件规定值，这

44、样，边界条件就自动满足了。相应的点取边界条件规定值，这样，边界条件就自动满足了。 有限元法解题的步骤，首先是对微分方程的定义域进行有限元法解题的步骤，首先是对微分方程的定义域进行离散化。如图离散化。如图6-5所示。所示。加权余数法加权余数法微电子器件及工艺CAD37国际微电子中心国际微电子中心 下面举例说明有限元法解微分方程的过程下面举例说明有限元法解微分方程的过程1,1, 0, 010022 xxxdxd边边界界条条件件 1 2 3 4 x1=0 x2 x3 x4=1 元素元素 (1) (2) (3) 节点节点313131图图6-5 区域离散化区域离散化加权余数法加权余数法 可把定义域划分成

45、可把定义域划分成3个区域，即个区域，即3个元素，共有个元素，共有4个节点，个节点，节点节点1和节点和节点4就是边界上的节点，其对应的值就是边界条件就是边界上的节点，其对应的值就是边界条件规定值。这规定值。这3个元素的大小即长度相等，均为个元素的大小即长度相等，均为1/3。微电子器件及工艺CAD38国际微电子中心国际微电子中心 )()()()()(2)(23 , 2 , 1, 1,01eeeeixxeeNlllidxNdxdll (6.3.7)加权余数法加权余数法0dxd22 应用伽辽金法，对元素应用伽辽金法，对元素e，加权余数方程为加权余数方程为 1 2 3 4 x1=0 x2 x3 x4=1

46、 元素元素 (1) (2) (3) 节点节点313131图图6-5 区域离散化区域离散化微电子器件及工艺CAD39国际微电子中心国际微电子中心 )()()()()(2)(23 , 2 , 1, 1,01eeeeixxeeNlllidxNdxdll 加权余数法加权余数法0dxd22 应用伽辽金法，对元素应用伽辽金法，对元素e，加权余数方程为加权余数方程为其中其中xl和和xl+1分别为元素的两个节点坐标。分别为元素的两个节点坐标。 如果如果Ni采用线性插值函数，首先碰到其在元素交界处二采用线性插值函数，首先碰到其在元素交界处二阶导数取不定值问题。为此对方程阶导数取不定值问题。为此对方程(6.3.7

47、)进行分部积分，得进行分部积分，得(6.3.7)微电子器件及工艺CAD40国际微电子中心国际微电子中心11111111)()()()()()()()()()()()()()()()()()(0,0 llllllllllllllllxxeeixxxxeieeiexxxxeieeiexxeeieeixxxxeieeeidxdNdxNdNdxddxNdNdxddxdNdxdvNudxNdxddN 整理得整理得利用分部积分公式利用分部积分公式 vduuvudv(6.3.8)加权余数法加权余数法0dxNdxd)e(ixx)e(2)e(21ll 微电子器件及工艺CAD41国际微电子中心国际微电子中心111

48、)()()()()()( llllllxxeeixxxxeieeiedxdNdxNdNdxd 首先，对于首先，对于元素元素1 1，根据，根据线性线性插值函数的定义，可得插值函数的定义，可得插值函数插值函数(6.3.8) 对于每一元素，下面给出方程对于每一元素，下面给出方程(6.3.8)的具体形式的具体形式 而而 ，其中，其中 分别为节点分别为节点1及节点及节点2处待处待求函数值。求函数值。 2211)e(NN 21, 12131, hhxxNhxx2N12121221)(,)(xxxxxNxxxxxN 加权余数法加权余数法微电子器件及工艺CAD42国际微电子中心国际微电子中心 dxNNdxdN

49、dxdNdxNdxdNdxNNNdxdNdxdNdxdNihhxxNhxxNhhh 020212112121022111221111221131,1 左左边边，元元素素(6.3.8)2211)e(NN 111)()()()()()( llllllxxeeixxxxeieeiedxdNdxNdNdxd 加权余数法加权余数法微电子器件及工艺CAD43国际微电子中心国际微电子中心 21332223121h03h02222h03121h0222222h0221212h021221h0222h022121h012121h02211122111)6hh1()3hh1()3h2h(h1h13hh1h1)|3

50、x|x2h(h1h1|)xh(31h1h1dx)xxx(h1h1)xx (d)xx(h1h1dxh)xx)(xx(h1dxhxxh1dxNNdxdNdxdNdxNdxdNdxNNNdxdNdxdNdxdN 12121221)(,)(xxxxxNxxxxxN 加权余数法加权余数法微电子器件及工艺CAD44国际微电子中心国际微电子中心(6.3.8)2211)e(NN 210102121222220221122211231612 hhhhdxNNdxdNdxdNdxNdxdNdxNNNdxdNdxdNdxdNihhh12131, hhxxNhxx2N元素元素1111)()()()()()( llll

51、llxxeeixxxxeieeiedxdNdxNdNdxd 加权余数法加权余数法微电子器件及工艺CAD45国际微电子中心国际微电子中心(6.3.8)hxxhxhxxhxhdxddxdNdxdhNdxdNidxddxdNdxdhNdxdNi )1(0)1(2)1(20)1(20)1(0)1(1)1(10)1(1)0()(, 2)0()(, 1 方程右边方程右边元素元素1111)()()()()()( llllllxxeeixxxxeieeiedxdNdxNdNdxd 12131, hhxxNhxx2N加权余数法加权余数法代入代入微电子器件及工艺CAD46国际微电子中心国际微电子中心 )1(2)1

52、(121)1(22)1(21)1(12)1(11)1(0)1(432100000000000031610061311ffkkkkdxddxdhhhhhhhhhxx 元素元素于是得元素于是得元素1中中 的有限元方程为的有限元方程为加权余数法加权余数法21)6hh1()3hh1( 21)3hh1()6hh1( hx)1(0 x)1(dxddxd 矩阵形式矩阵形式微电子器件及工艺CAD47国际微电子中心国际微电子中心111)()()()()()( llllllxxeeixxxxeieeiedxdNdxNdxdNdxd 322303232222222332223322223226131231,12 h

53、hhhdxNNdxdNdxdNdxNdxdNdxNNNdxdNdxdNdxdNihhxxNhxxNhhhhh左边，左边，元素元素加权余数法加权余数法微电子器件及工艺CAD48国际微电子中心国际微电子中心111)()()()()()( llllllxxeeixxxxeieeiedxdNdxNdxdNdxd 232231,12 hhxxNhxxN元素元素 322203232323232332233322331613 hhhhdxNNdxdNdxdNdxNdxdNdxNNNdxdNdxdNdxdNihhhhh加权余数法加权余数法微电子器件及工艺CAD49国际微电子中心国际微电子中心111)()()(

54、)()()( llllllxxeeixxxxeieeiedxdNdxNdxdNdxd 232231,12 hhxxNhxxN元素元素hxhxhxhhhxhxhxhhdxddxdhNdxdhNdxdNidxddxdhNdxdhNdxdNi2)2()2(32)2(32)2(3)2()2(22)2(22)2(2)()2(, 3)()2(, 2 方方程程右右边边加权余数法加权余数法微电子器件及工艺CAD50国际微电子中心国际微电子中心 )2(3)2(232)2(33)2(32)2(23)2(222)2()2(4321000000031610006131000002ffkkkkdxddxdhhhhhhh

55、hhxhx 元素元素加权余数法加权余数法于是得元素于是得元素2中中 的有限元方程为的有限元方程为326hh13hh1 2i 323hh16hh1 3i h2x)2(hx)2(dxddxd 微电子器件及工艺CAD51国际微电子中心国际微电子中心 )3(4)3(343)3(44)3(43)3(34)3(331)3(2)3(43214433)3(34330031610061310000000000,13ffkkkkdxddxdhhhhhhhhNNhxxNhxxNxhx 元素元素加权余数法加权余数法微电子器件及工艺CAD52国际微电子中心国际微电子中心 )3(4)3(3)2(3)2(2)1(2)1(1

56、4321)3(44)3(43)3(34)3(33)2(33)2(32)2(23)2(22)1(22)1(21)1(12)1(11000000ffffffkkkkkkkkkkkk 系统矩阵方程系统矩阵方程 )3(4)3(343)3(44)3(43)3(34)3(33ffkkkk )2(3)2(232)2(33)2(32)2(23)2(22ffkkkk )1(2)1(121)1(22)1(21)1(12)1(11ffkkkk 加权余数法加权余数法hx)1(0 x)1(dxddxd h2x)2(hx)2(dxddxd 1x)3(h2x)3(dxddxd 微电子器件及工艺CAD53国际微电子中心国际微

57、电子中心加权余数法加权余数法 1x0 x4321dxd00dxd3hh16hh1006hh13hh126hh1006hh13hh126hh1006hh13hh1总方程为总方程为上述方程有上述方程有4个未知数个未知数 ，由此可见集合元素方，由此可见集合元素方程构成系统方程时，内部元素边界无需考虑，只有边界元素程构成系统方程时，内部元素边界无需考虑，只有边界元素的边界条件需要考虑。的边界条件需要考虑。1x0 x32|dxd,|dxd, 微电子器件及工艺CAD54国际微电子中心国际微电子中心6103. 0,2889. 06098. 0,2885. 01000316100613126100613126

58、1006131323241104321 解析解为解析解为解得解得，代入边界条件代入边界条件总方程为总方程为xxdxddxdhhhhhhhhhhhhhhhhhhhh加权余数法加权余数法微电子器件及工艺CAD55国际微电子中心国际微电子中心加权余数法加权余数法 该方程写成矩阵形式为该方程写成矩阵形式为 fK 其中其中k为系数矩阵，为系数矩阵， 为节点变量矩阵，为节点变量矩阵，f为方程右边的为方程右边的项。项。 由上例可以看出有限元方法解微分方程，主要工作式计算由上例可以看出有限元方法解微分方程，主要工作式计算k和和f。系数矩阵系数矩阵k是一三对角线矩阵，可以用追赶法求解，是一三对角线矩阵，可以用追

59、赶法求解，计算起来并不困难。计算起来并不困难。 如以如以klm表示系数矩阵元，则归纳本例，表示系数矩阵元，则归纳本例，klm计算式为计算式为 Mm, ldxNNdxdNdxdNkmlmllm 1M为系统节点总数为系统节点总数具体到由具体到由i,j两节点组成的元素，系数矩阵的矩阵元为两节点组成的元素，系数矩阵的矩阵元为BACK微电子器件及工艺CAD56国际微电子中心国际微电子中心316101122hhdxNdxdNkkhhdxNNdxdNdxdNkkj , im, l,kllllxxiijjiixxjijijiijlm 加权余数法加权余数法微电子器件及工艺CAD57国际微电子中心国际微电子中心6

60、-4一维一维Poisson方程的有限元方程方程的有限元方程微电子器件及工艺CAD58国际微电子中心国际微电子中心一维一维Poisson方程的有限元方程方程的有限元方程 前一节介绍了用加权余数法建立有限元方程前一节介绍了用加权余数法建立有限元方程 ，从本节起，从本节起，将介绍有限元法在半导体器件模拟中的具体应用。首先从比将介绍有限元法在半导体器件模拟中的具体应用。首先从比较简单的一维较简单的一维Poisson方程开始，然后再介绍二维器件的有限方程开始，然后再介绍二维器件的有限元模拟法。元模拟法。微电子器件及工艺CAD59国际微电子中心国际微电子中心 10222022202222eeTaylord