拉姆齐模型PPT学习教案

1、会计学1拉姆齐模型拉姆齐模型第1页/共34页第2页/共34页goldssgoldss第3页/共34页第4页/共34页f(k)E第5页/共34页第6页/共34页第7页/共34页第8页/共34页第9页/共34页第10页/共34页() ( ) ( )tntn ttotoUu c tdtu c tdteeen 说明子女越多，父母对每个子女福利的重视程度就会越小，即父母会加速对不断增多子女的轻视程度.第11页/共34页w(t)，家庭提供的劳动力为L(t)。这样，家庭通过劳动得到的收益为w(t)L(t)。因此，在t时刻家庭的总收入为r(t)A(t)+w(t)L(t)。第12页/共34页 C t/:A tw

2、 t L tr t A tC ttA tL tttC tL tttA tL ttA tw t L tr t A tC taw tr t a tc tna tna tn家庭收入除用来消费外，其余的用来储蓄以增加资产。记t时刻家庭的总的消费水平为，这样家庭的预算约束可以表示为:定义a为时刻家庭拥有的人均资产,c为和时刻家庭的人均消费,并且L的增长率为n,这样方程:a两边对求导,并将代入得表示人口按 速率增长 aw tr t a tc tna tw tr t a tc tn时使家庭人均资产保持原有水平必须追加的投资或储蓄.方程表明:人均资产随着人均收入的增长而增长,随着人均消费和人口扩张率 的上升而

3、下降.这是家庭消费最大化的第一个限制条件.第13页/共34页 0:limexp0,.,limexpttta tr vndvr tnr tna tr vndv 第 二 个 限 制 条 件 是即 时 间 的 无 限 推 移 ,人 均 净 资 产 的 贴 现 值 渐 进 非 负 ,这 说 明 人 均 净 资 产 的 净 贴 现 值 由决 定 不 能 为 负 ,否 则 ,在 未 来 远 期 的 某 一 时 刻 ,家 庭 将 会 停 止 投 资 .也 可 反 过 来 说 ,一 个 家 庭 的 长 期 人 均 债 务 的 增 长 速 度 不 能超 过否 则 收 益 将 为 负现 在 家 庭 的 最 优 消

4、 费 问 题 变 为 ,在 预 算 约 束 : 0()0: ( )tn ttoaw tr t a tc tna tUu c tdte和下求 解的 最 大 值 .第14页/共34页 :0n tn tHamiltonHamiltonHu c ewrn actcHamiltonHuc ec利用系统来求解上述优化问题.对于上面的优化问题定义方程式中第一项是时刻 消费 的效用的贴现值. 为乘子,表示在t时刻一个单位的资本存量的增加所带来效用增加量的现值,也有将其称为效用的影子价格.这样,第二项表示:t时收益的效用以0时刻的收益效用来表示.一阶最优条件为: 12lim( )03tHrnat a t 横截性

5、条件(Transversality condition-TVC,这里应用了K-T定理的互补松弛条件.)第15页/共34页第16页/共34页 Euler1Euler20.uccuc ccucu ccu cuc cdu cu cu cdc uu 现在来解释方程。考虑到方程，通过计算可以把方程变为：r= +是边际效用弹性 定义:边际效用弹性 =-该式说明家庭消费选择的准则是,使得投资报酬率r正好等于时间偏好率当前消费可以避免将来消费效用贬值损失的比率 与由于当前人均消费c的变化而引起效用的变化率之和,这个和表明了当前消费的回报率,它应等于当前投资的回报率r.这就是通常所讲的市场无套利原则在宏观经济学

6、中的体现.第17页/共34页 11( ) ( ),0,(1)011;( ), ( )21 2( 1/2)/ ( 1/2)( 1/2)/ (C tu C tngudu Cu Cu CCuCCdC uuCCPPCCP 效用函数的形式为：保证效用 不发散该函数具有以下三个特点：边际效用弹性不变:跨期替代弹性不变，为1/ ，表示相对风险回避系数不变。，表示两期的消费，定义跨期替代弹性为：11112ln1/21/2)ln1/2( ): ( )1. .1 12 2ln1/2ln1/2( ).:( )1( ).111( )CCPPPC tMaxu C tstP CP CWCCLPPu CuC CCCu CU

7、uC C 针对应用 求极值法,求出C1和C2,代入得同理我们可证明一个两期效用函数的第18页/共34页 1( ), ( ):1/,:lim0,0,tuc ccu CCu CCu cccrcTVCt a tt a t 将代入r得该式表明,r大于,等于,还是小于决定了家庭的最佳消费模式是人均消费不断上升 保持不变,还是逐步下降.我们讨论一下横截性条件该横截性条件表明,当时间趋向于无穷远时,家庭人均资产的效用必须趋向于 即无穷远时间的资产在现在.看来毫无价值第19页/共34页 00/,:00 exp,00(0) .lim( )0,limexp0ttttHrnrntar vn dvvvu ct a t

8、a tr vn dv 方程两边对时间积分,得: (t)=是一常数,将上式代入则横截性条件变为:该式意味着:长期人均资产a不能以r-n那么快的速度增长,否则家庭不能实现效用最大化.如a的增长速度超过r-n, 00:exp0,.1/0.trttr ttr v dvtr vrer ttr v dvte那么多出来的那一部分用于消费,家庭人均福利能够提高.消费函数上述方程中的项是将时刻 的一单位收入转化为 时刻的等价单位的贴现因子.如果等于常数 则贴现因子简化为如果定义:为时间 至 之间的平均利息率,则贴现因子为第20页/共34页 1001,0,:TTr TnTr tntr tntcu ccwracna

9、a T ec t edtaw t edtTTVCc t 决定了人均消费 的增长率.为了确定家庭的消费函数,即各个时刻家庭人均消费的水平 必须用收入流量预算约束:a导出家庭的跨时期预算约束.将上式作为一价线性微分方程求解,得到对任何时刻T0都成立的跨时期预算约束:如果令根据条件有 00001/0(0)(0)(0)(0)/1/01/,:0,r tntr tntr tnttr ttedtaw t edtawww t edtwcrtr ttr v dvc tce其中: 为未来全部工资收入的现值之和.上式表明:消费的现值等于初始资产a(0)和未来收入的现值之和. 将c对时间积分,并利用求得消费函数为将该

10、 01/0(0)(0)000(0)(0)100r tntr tntc t edtawawedt 式代入可导出 时刻的消费为:c其中称为财富的消费倾向,由下式决定:第21页/共34页 1/01,01,2,.0.r tntr tedtr t 对给定的财富量 平均利率的提高对方程中的边际财富消费倾向有两方面的影响:较高的利率提高当前消费相对于将来消费的机会成本 跨时期消费的替代效应会刺激人们把当前消费改为将来消费,即当前少消费,多储蓄(投资).较高的利率又有收入效应 会提高所有时间的消费水平 包括当前的消费水平因此平均利率的提高对的净影响取决于上述哪种效应更强 : 11(0),0,021,0,031

11、,0,r tcr tcnr t分析如果越小,随的上升将下降也将下降,意味着当前少消费,多储蓄(投资).说明替代效应强.如果越大,随的上升也会上升上升,说明替代效应强逐渐减弱,而收入效应逐渐增强.如果两种效应相互抵消,简化为与无关.第22页/共34页 :,.:,;00 ,01.:./gtgtgtYF K ALYF K ALF K LA tAegALALLeyYLKLyYLfYKfYLffe 厂商的生产函数且规模报酬不变令将正规化为则为有效劳动的单位产出. k为单位有效劳动占有资本.生产函数也可写为:k 且满足稻田条件.容易证明:kkkk第23页/共34页 0.,:1,gtK ALrKwLrwrK

12、wLK ALrKwLf krkwefkrfk 代表性厂商在任一时点的净利润流量:=F,其中: 为资本市场的平均利率;为资本折旧率; 为工人工资上式表明:净利润等于总产出减去资本的租金和工人的工资考虑一个有效劳动投入为L的厂商 其净利润为:=F,L容易验证,为使 最大化 须满足即单位有效资本的边际产出等于资本的租 ;2,.1 , 2gtrf kk fkewEuler金即劳动力要素的边际产出等于工资上述实为定理.第24页/共34页 1;,/,gtgtrwrwk kwracna akkKLKLekefk前面介绍了给定利率 和工资率情况下家庭的行为方式,接着又讨论了给定利率 和工资率情况下完全竞争厂商

13、的行为规律.现在将它们结合起来分析两部门均衡. 在均衡时,总需求等于总供给,家庭最终净债务水平为零,因此有:人均资本a= ( =K/L).k与a相等是因为在两部门模型中,全部资本都由国内居民(工人)拥有.根据 a再依据 ,:.gtgtgtgtgtgtgtgtrfkk fkewkk egkewracna egkewrkcnk egkefkcgnkcceL ALgn和可得其中有效人均消费上述等式是生产的资源约束:单位有效劳动资本的变化等于单位有效劳动资本的产出减去消费和资本的广化,这里考虑到了以的速率增长上述等式也可表述为:资本的深化等于人均产出减去消费和资本的广化.第25页/共34页 .,.21

14、kf kcgnkf kcc 微分方程是决定有效劳动资本的增长路径,从而也是产出y路径的关键关系式,是模型的基本微分方程.但该模型还缺少决定的机制如果有决定 变动的另一个微分方程 就可以研究经济运行的全部动态过程了 索洛模型是通过假定储蓄率为常数,从而消费是产出的固定比例来解决这个问题的.本模型中储蓄率已不是常数,根据对家庭最优化消费路径的分析,已经知道c按c/c= /1/gtrrfkfkg 增长,再根据c=ce和- ,可得: c/c=c/c-g=第26页/共34页 003limexp0limexp0,.1 , 2 , 3tgttttakkkea tr vn dvkfkgn dvkkfkKgn

15、将和代入式,则TVC条件变为: 如果要 趋向一个常数稳定状态值则上式要求稳定状态时的净资本报酬率单位资本的净报酬大于稳定状态的资本的增长率 上述就构成了关于kckc和 的微分方程,也就决定了 和 的增长路径.第27页/共34页 0,kf kcgnkk 与索洛模型一样,本模型稳定状态时c, k, y的增长率都为零,即c=k=y=0.这时,单位有效劳动的资本k ,消费c, 产出y 都是一稳定值,而人均资本k ,消费c, 产出y 都以技术水平的增长率g为速率增长,总量指标K, Y, C, 则以速率g+n增长. 根据上述结论,稳定状态c, k, 值可以令中的和c/c=c/ 1/0.0,.goldfkg

16、kf kgnkfkgnfkgnkc-g=中的c而求得满足的 k c 在图3.4中构成了曲线c该曲线的最高点的切线斜率为零,因此满足即资本报酬率与稳定状态的产出增长率相等.由于这个最高点是最好的稳定状态消费水平,而对应的资本水平被称为黄金法则资本水平,记为 第28页/共34页 0,.,fkgfkgggfkgk ckkkkf kkc意味着: 即稳定状态的资本报酬率必须等于有效折扣率其中反映了由于消费以 的速率增长而引起的消费效用递减的影响.在图3.4中,满足的构成一条垂直于 轴, 恒等于 的垂线 存在唯一的是因为是 的单调函数第29页/共34页 .,110kkcf kgnkcf kgnkyf kkkrfkKgnfkgggnngng 从上图可以看出,稳定状态的单位有效劳动消费c由垂线和曲线交点决定,也即稳定状态的产出再看TVC条件,由于 在稳定状态是常数该条件只有当稳定状态的报酬率大于稳定状态的 的增长率时才成立.根据该条件又可以写成:罗 ,10,0,goldgoldgoldgoldgoldgoldkkkkngkfkgkfkgnggnfkfkfkfkkkk 默:定义效用函数时的条件从上图中我们还可以看出 稳定状态资本 在黄金法则资本的左边