高等数学重积分

1、 4 二重积分的计算：D是矩形区域 含“复习 2，图19： 平行截面面积为已知的立体的体积” 5 二重积分的计算：D是曲线梯形区域 6 二重积分计算的两种积分顺序212222)()( :其中 的大小, d)(与 d)( 比较321yxDyx IyxIDD3多元函数积分学概况12 曲顶柱体的体积731 : 222yyxyDyxyxyID 其中dd计算8所围区域 与:其中 dd 用两种顺序计算2 xyxyDyxxyD平面所围成的体积与 求椭圆抛物面xoybyaxz222219 10将二重积分化成二次积分.D: x+y =1 , xy =1，x=0所围11 将二重积分化成二次积分D: 由四条直线 :

2、 x =3，x = 5, 3x 2y+4 = 0, 与 3x 2y+1 = 0 共同围成的区域 16 利用极坐标计算二重积分 17 怎样用极坐标计算二重积分 (1) 极点不在区域 D 的内部 18 怎样用极坐标计算二重积分 (2) 极点位于区域 D 的内部 14 （练习）将二重积分化成二次积分15 为什么引用极坐标计算二重积分1921变为极坐标形式把 )d(d 20202RyRyxx,yfy I变为极坐标形式把 d)d( Dyxx,yf I所围区域与 :其中 0 )( 222 y ayax D20之间的环域 和 41:2222yx yxD 计算 yxx,yfIDd)d(12 将二重积分换序：1

3、0)d(dyyxx,yfyI13 将二重积分换序：axaxxyx,yfxI022)d(d.22 arctanDyxxyIdd 计算. yxx,yfIDd)d(计算23所围xy, yx, xyx , xyxD284:2222.24 将积分换序 )d(d20222aaxxaxyx,yfxI25 将积分化为极坐标形式RRRxRyxyfx22210)d(d yxyfxIRRRx2100)d(d 0142222所围第一象限部分 , , , yxyyxyx:D积分区域积分区域积分区域积分区域定积分定积分二重积分二重积分三重积分三重积分D曲线积分曲线积分曲面积分曲面积分一型：对弧长一型：对弧长二型：对坐标二

4、型：对坐标一型：对面积一型：对面积二型：对坐标二型：对坐标Stokes 公式公式高斯公式高斯公式格林公式格林公式1. 1. x0z y DSS : z = f (x,y)1 任意分割区域任意分割区域 D,化整为零化整为零2 以平代曲以平代曲2.2. 曲顶柱体的体积曲顶柱体的体积 ix0z yDS : z = f (x,y)iiiiyxfV ),(3 积零为整积零为整 niiiiyxfV1),(2 以平代曲以平代曲1 任意分割区域任意分割区域 D,化整为零化整为零2.2. 曲顶柱体的体积曲顶柱体的体积. ix0z yDS : z = f (x,y)iiiiyxfV ),(3 积零为整积零为整 n

5、iiiiyxfV1),(4 取极限取极限 i2 以平代曲以平代曲1 任意分割区域任意分割区域 D,化整为零化整为零2.2. 曲顶柱体的体积曲顶柱体的体积. niiiiyxf1),(limV =x0z yDS : z = f (x,y)iiiiyxfV ),(3 积零为整积零为整i niiiiyxfV1),(4 取极限取极限2 以平代曲以平代曲1 任意分割区域任意分割区域 D,化整为零化整为零2.2. 曲顶柱体的体积曲顶柱体的体积. niiiiyxf1),(limV =x0z yS : z = f (x,y)iiiiyxfV ),(iiiiyxfV ),(3 积零为整积零为整4 取极限取极限 )

6、d(y,xfD 记记V2 以平代曲以平代曲1 任意分割区域任意分割区域 D,化整为零化整为零.2.2. 曲顶柱体的体积曲顶柱体的体积. niiiiyxf1),(limV = niiiiyxfV1),(0y x112x + y =12x + y 1围围成成由由其其中中 的的大大小小, , 与与 比比较较 )()( d)( d)( yxDyxIyxIDD 21II 由二重积分的性质由二重积分的性质更确切的更确切的I1 I23. 3. 比较大小比较大小4.4.二重积分的计算二重积分的计算 (D是矩形区域是矩形区域)复习平行截面面积为已知的立体的体积y0 xz yabcdDD是矩形区域是矩形区域 a,

7、b ; c,d z=f (x,y) Dyxy,xfId)d(y0 xz yabcdDD是矩形区域是矩形区域 a,b ; c,d z=f (x,y) baxy,xf)d()(yQ yyyxfz),( 问题：问题：Q( y)是什么图形？是什么图形？Q( y ) =是曲边梯形。是曲边梯形。 Dyxy,xfId)d(.4. 二重积分的计算二重积分的计算 (D是矩形区域是矩形区域). dcyyQ)d(I0 xz yyabcdD dcbaxy,xfy)d(d. baxy,xf)d(Q( y ) = dcyyQ)d(I同理，也可以先对同理，也可以先对 y 积分积分 badcyyxfxId),(d. Dyxy

8、,xfId)d(z=f (x,y)D是矩形区域是矩形区域 a,b ; c,d 4. 二重积分的计算二重积分的计算 (D是矩形区域是矩形区域)0 xz ycdDz=f (x,y)x= (y)x= (y)yD: (y) x (y) c y d 5.5. 二重积分的计算二重积分的计算（D是曲线梯形区域）是曲线梯形区域） Dyxy,xfId)d(0 xz ycdDz=f (x,y)x= (y)x= (y)(yQ.y问题：问题：Q( y)是什么图形？是什么图形？D: (y) x (y) c y d yyyxfz),(也是曲边梯形也是曲边梯形 ! Dyxy,xfId)d(. )( )( )d,(yyxyx

9、fQ( y ) = dcyyQ)d(I =5.5. 二重积分的计算二重积分的计算（D是曲线梯形区域）是曲线梯形区域）.0 xz yx= (y)ycdD dcyyxyxfy)( ) )d,(d(.D: (y) x (y) c y d. Dyxy,xfId)d( )( )( )d,(yyxyxf dcyyQ)d(Q( y ) =I =z=f (x,y)x= (y)5.5. 二重积分的计算二重积分的计算（D是曲线梯形区域）是曲线梯形区域）D: x1(y) x x2(y) c y dI = )()()d( yxyxxy,xf0y x x2(y)x1 (y)cdy Dyxy,xfId)d(6.6. 二重

10、积分计算的两种积分顺序二重积分计算的两种积分顺序D0y xcdyD x2(y)x1 (y)I =6.6. 二重积分计算的两种积分顺序二重积分计算的两种积分顺序. Dyxy,xfId)d( )()()d( yxyxxy,xfD: x1(y) x x2(y) c y d0y xcdy dcydDD: y1(x) y y2(x) a x b0y xI =ab y1(x) y2(x)D x2(y)x1 (y)x )()(d),(xyxyyyxfI =6.6. 二重积分计算的两种积分顺序二重积分计算的两种积分顺序. Dyxy,xfId)d( )()()d( yxyxxy,xfD: x1(y) x x2(

11、y) c y d0y xcdyD0y xI =ab y1(x) y2(x)D x2(y)x1 (y)x6.6. 二重积分计算的两种积分顺序二重积分计算的两种积分顺序. Dyxy,xfId)d( )()(d),(xyxyyyxfI = )()()d( yxyxxy,xf dcydD: x1(y) x x2(y) c y dD: y1(x) y y2(x) a x b0y xcdyD0y xI =ab y1(x) y2(x)D x2(y)x1 (y)x baxd6.6. 二重积分计算的两种积分顺序二重积分计算的两种积分顺序. Dyxy,xfId)d( )()(d),(xyxyyyxfI = )()

12、()d( yxyxxy,xf dcydD: x1(y) x x2(y) c y dD: y1(x) y y2(x) a x b0y x1133y = xx = y 2D yyxyxyId yd. yyxyDyxyxyID : dd .2ln21123 .7. 7. 计算计算所围区域所围区域 与与 xyxyDyxxyD : , dd 11y = x20y xD2 先对先对 y 积分（从下到上）积分（从下到上）1 画出区域画出区域 D 图形图形 Dddyxxy xxyxyd xd xxyyxxdd 1053d)(21xxx241 3 先对先对 x 积分（从左到右）积分（从左到右）. Dddyxxy

13、y = x yyxxyd yd241 .8.8. 用两种顺序计算用两种顺序计算x0z yab1 平面所围成的体积平面所围成的体积与与 求椭圆抛物面求椭圆抛物面xoybyaxz 1 2222 1 :2222 byaxDxyD1 Vx)byax(ybybbadd byybbad)( dcosab（定积分三角代换）（定积分三角代换） abab2 .yxbyaxDd)d( 瓦里斯公式瓦里斯公式9.9.= ID:yxy yyxyxfyId),(d.0y x11y = xy = x210 y xd yxxy 联立联立) ( , 得得交交点点 xxyyxf)d,(.12.12. 将二重积分换序将二重积分换序

14、15.15.为什么为什么21D0y xD1D2D3D4D:之之间间的的环环域域 和和 yxyx 4321DDDDI.怎么计算？怎么计算？ Dyxy,xfId)d(需使用需使用此题用直角系算麻烦此题用直角系算麻烦必须把必须把D分块儿分块儿!极坐标系下的面积元素极坐标系下的面积元素 DyxfId),(将将变换到变换到0D用用 = =常数常数分割区域分割区域 D iriri+1iiirr .ir iiiiiirrrr2)( ),(iiiiiiiirrsin ,cos iiinif),(lim1 iiiiiiinirrrrf)sin,cos(lim1 Drrrrfdd)sin,cos(.i. 是平均值

15、)是平均值)ir (16. 16. i i i + iI = riiiiiirrr21)(2122 r cos ,rx ,rysin ? d .,d .17.17. 极点不在区域极点不在区域 D 的内部的内部 0ABFE)(1 r)(2 r DD:)()(21 rrr rrrrrfrrd)sin,cos( )()(21 DyxyxfIdd),( Dyxy,xfId)d(r17.17. 0ABFE)(1 r)(2 r Drrrrfrrd)sin,cos( )()(21 D:)()(21 rrr . Dyxy,xfId)d( DyxyxfIdd),(极点不在区域极点不在区域 D 的内部的内部 r1

16、7.17. 0ABFE)(1 r)(2 r Drrrrfrrd)sin,cos( )()(21 dD:)()(21 rrr . 步骤：步骤：1 从从D的图形找出的图形找出 r, 上、下限；上、下限；2 化被积函数为极坐标形式；化被积函数为极坐标形式；3 面积元素面积元素dxdy化为化为rdrd . Dyxy,xfId)d( DyxyxfIdd),(极点不在区域极点不在区域 D 的内部的内部 r极点位于区域极点位于区域 D 的内部的内部 0)( r Drrrrfrd)sin,cos( )(0 rD:)(0 rr 20 DyxyxfIdd),(18.18. Dyxy,xfId)d(r)( r D:

17、)(0 rr 20 rrrrfrd)sin,cos( )(0 D018.18. . Dyxy,xfId)d( DyxyxfIdd),(极点位于区域极点位于区域 D 的内部的内部 r)( r D:)(0 rr 20 rrrrfrd )sin,cos( )(0 20d.D0 步骤：步骤：1 从从D的图形找出的图形找出 r, 上、下限；上、下限；2 化被积函数为极坐标形式；化被积函数为极坐标形式；3 面积元素面积元素dxdy化为化为rdrd 18.18. . Dyxy,xfId)d( DyxyxfIdd),(极点位于区域极点位于区域 D 的内部的内部 r0y x变变为为极极坐坐标标形形式式 把把 d

18、)d,( DyxyxfI所所围围区区域域与与 0 )( :222 yayaxD2a cos2ar . 20cos20d)sin,cos(darrrrf )(222ayax ,ar cos 即即解解19.19. DyxyxfIdd),(.代入 令 sincosryrx此题用直角系算麻烦，此题用直角系算麻烦，需使用需使用21D0y xD: 4321DDDDI变换到变换到 20 : rrrrf2021d)sin,cos(d. 之之间间的的环环域域 和和 yxyx 20.20. Dyxy,xfId)d(计算计算 DyxyxfIdd),(D: =1和和 =2 围成围成0y x4r = 4 cos 所围所

19、围xy, yx,xyx,xyx:D 422xyx 822xyx r = 8 cos 8D 1 2,r cos 即即 即即 arctan 即即,r cos 即即23.23. Dyxy,xfId)d(计算计算y = 2xx = y0y x 422xyx 822xyx yx 即即xy2 arctan 即即r = 8 cos D48.r = 4 cos 2 1所围所围xy, yx,xyx,xyx:D ,r cos 即即 2arctan4cos8cos4d)sin,cos(drrrrf,r cos 即即23.23. Dyxy,xfId)d(计算计算I =.xA(x)dV=A(x)dxx已知平行截面面积为

20、已知平行截面面积为 A(x)的立体的立体 baxxAVd)(.aV复习复习 图图1919： 平行截面面积为已知的立体的体积平行截面面积为已知的立体的体积b返回原页 dxxn sindxxn cos ）为为偶偶数数奇奇数数nnnnnn( , 2! ! !)!( , ! ! !)!( 为返回原页计算三重积分zyxx,y,zfIddd)( =a ,b ; c ,d ; e ,g123:平面 x=0, y= 0 , z= 0，x+2y+ z =1所围成的区域。4:平面 y=0, z=0，3x+y=6, 3x+2y=12,和 x+y+z=6 所围成的区域。所围成的区域。 , , 与平面 抛物柱面:200

21、zxzyxy5. .所围成的区域 和平面 双曲抛物面:01, zyxxyz6.4 1 22域 及三个坐标平面所围区 与平面曲面:yxyxz7所围区域。 , 和平面抛物柱面: 012242 2zzyxxy89 计算三重积分的另一思路（对有的问题适用） 10 例，计算11 柱面坐标 12 柱面坐标的坐标面为曲顶柱体 所围成的闭区域是由 1222222czbyaxzyxzIddd218 球面坐标下的体积元素围成的区域。在第一卦限所及平面球面:000 2222,z,yxRzyx19202222222)(zy, xaazyx :21的在第一卦限的区域。0所围及椭圆柱面双曲抛物面 :zbyax ,cxy

22、cz1 )0( 2222.yxazaaz yx所围区域0)与圆锥面(旋转抛物面轉:22222 2223. 的公共部分 0)(与 球体:ba bzyxazzyx2222222214zyxzIddd01222zzyx , :15zyxyxIddd1122 所围 锥面 :1222 , zzyx16球面坐标 17 球面坐标的坐标面 计算.13 柱面坐标下的体积元素x0z yabcdz=gz=eNMPzyxzyxfIddd ),( =a ,b ; c ,d ; e ,gI = gezzyxfd),(积分区域是长方体积分区域是长方体. D同理，也有其它同理，也有其它 积分顺序积分顺序 Dyxdd gedc

23、bazzyxfyxd),(dd1.1. x0z yz2(x,y) 为图示曲顶柱体为图示曲顶柱体I = ),(),(d),(yxzyxzzzyxf DyxddPNM.积分区域是曲顶柱体积分区域是曲顶柱体 Dz1(x,y)2.2.zyxzyxfIddd ),( x0z yz2(x,y)I =D积分区域是曲顶柱体积分区域是曲顶柱体 为图示曲顶柱体为图示曲顶柱体z1(x,y)2.2.zyxzyxfIddd ),( ),(),(d),(yxzyxzzzyxf Dyxddz =0y = 0 x =00y x ：平面平面 x= 0, y = 0 , z = 0，x+2y+ z =1 所围成的区域所围成的区域

24、 先画图先画图x0z y1121Dxy 是是曲曲顶顶柱柱体体 Dxy:x = 0, y = 0, x+2y =1 围成围成：上顶上顶yxz21 ：下底下底z = 0121 yxxzyxxddd 481 .3.3.计算三重积分计算三重积分x + 2y + z =1DxyzyxxIddd yxDzxyxxydddI = ：平面平面y=0 , z=0，3x+y =6, 3x+2y =12 和和 x+y+z = 6所围成的区域所围成的区域0y x6241 找出上顶、下底及投影区域找出上顶、下底及投影区域2 画出投影区域图画出投影区域图Dxy:y = 0, 3x+y = 6, 3x+2y =12 围成围

25、成yxz 6z = 0不画立体图做三重积分不画立体图做三重积分Dxy yxDzz , y,xfyxIxy6 0)d(dd yxyyzzyxfxy6032 43 260d),(dd. 是是曲曲顶顶柱柱体体 ：上顶上顶：下底下底4.zyxz , y,xfIddd )( 计计算算666x+y+z=63x+y=62.4.x0z yzyxz , y,xfIddd )( 计计算算 ：平面平面y=0 , z=0，3x+y =6, 3x+2y =12 和和 x+y+z = 6所围成的区域所围成的区域666x+y+z=63x+y=62.4.x0z yzyxz , y,xfIddd )( 计计算算 ：平面平面y=

26、0 , z=0，3x+y =6, 3x+2y =12 和和 x+y+z = 6所围成的区域所围成的区域3x+y=63x+2y=12x+y+z=6.4.666x0z y42zyxz , y,xfIddd )( 计计算算 ：平面平面y=0 , z=0，3x+y =6, 3x+2y =12 和和 x+y+z = 6所围成的区域所围成的区域3x+y=63x+2y=12x+y+z=6.4.666x0z y42zyxz , y,xfIddd )( 计计算算 ：平面平面y=0 , z=0，3x+y =6, 3x+2y =12 和和 x+y+z = 6所围成的区域所围成的区域z = 0y = 042x+y+z

27、=6.4.x0z y666zyxz , y,xfIddd )( 计计算算 ：平面平面y=0 , z=0，3x+y =6, 3x+2y =12 和和 x+y+z = 6所围成的区域所围成的区域42.x0z y666 ：平面平面y=0 , z=0，3x+y =6, 3x+2y =12 和和 x+y+z = 6所围成的区域所围成的区域4.zyxz , y,xfIddd )( 计计算算 yxDzz , y,xfyxI6 0)d(dd.D0y x624D yxyyzzyxfxyI6 032 4 3 26 0d),(dd.0y x 2 xy 1 找出上顶、下底及投影区域找出上顶、下底及投影区域2 画出投影

28、区域图画出投影区域图不画立体图做三重积分不画立体图做三重积分Dxy:xz 2 z = 0 xDzz , y,xfyxIxy2 0)d(dd xxzzyxfyx2 002 0d),(dd围围成成 x,y,xy。Dxy当当 f (x,y,z)= ycos(z+ x), I = ?21162 。是曲顶柱体是曲顶柱体 ：上顶上顶：下底下底 所所围围成成的的区区域域。与与平平面面抛抛物物柱柱面面 zx,z,yxy2 0 0 : 5.I =试计算：试计算：？zyxz , y,xfIddd )( 计计算算y2=xxyzo.5. 所所围围成成的的区区域域。与与平平面面抛抛物物柱柱面面 zx,z,yxy2 0

29、0 : zyxz , y,xfIddd )( 计计算算 zx2 2 2 y2=xxyzo.5. 所所围围成成的的区区域域。与与平平面面抛抛物物柱柱面面 zx,z,yxy2 0 0 : zyxz , y,xfIddd )( 计计算算z = 0y=0 2 2 xyzo zzyxfyxIxxd ),(dd2 002 0 。 Dxzz , y,xfyxI2 0)d(dd0y x 2 xy y2=x.5. 所所围围成成的的区区域域。与与平平面面抛抛物物柱柱面面 zx,z,yxy2 0 0 : zyxz , y,xfIddd )( 计计算算D 4 1:22 及及三三个个坐坐标标面面所所围围区区域域平平面面

30、, , 曲曲面面 yxyxzDxy:122 yxz围围成成 0, yx,yxz = 0440y x 1 022)d(ddyxDzz , y,xfyxIxy 104 04 022d),(ddyxxzzyxfyx。Dxy：上顶上顶：下底下底 是是曲曲顶顶柱柱体体 7.7.zyxz , y,xfIddd )( 计计算算 4 1:22 及及三三个个坐坐标标面面所所围围区区域域平平面面, , 曲曲面面 yxyxzy14x+ y = 4x = 0 xzo1 22 yxz.7.7.zyxz , y,xfIddd )( 计计算算 4 1:22 及及三三个个坐坐标标面面所所围围区区域域平平面面, , 曲曲面面

31、yxyxzy14x+ y = 4xzo11 22 yxz.7.7.zyxz , y,xfIddd )( 计计算算取第一卦限部分取第一卦限部分 4 1:22 及及三三个个坐坐标标面面所所围围区区域域平平面面, , 曲曲面面 yxyxz4x+ y = 4y = 0 xyz Dyxzz , y,xfyxId )(dd1022.Dzzyxfyxyxxd ),(dd .7.7.ozyxz , y,xfIddd )( 计计算算1 x0z yzyxzyxfIddd ),( zDy,x,czc|z , y,x )()(21 其中其中 c1c2z Dz9. 计算三重积分的另一思路计算三重积分的另一思路（对有的问

32、题适用）（对有的问题适用） x0z yzyxzyxfIddd ),( zDy,x,czc|z , y,x )()(21 其中其中 c1c2 .9. 计算三重积分的另一思路计算三重积分的另一思路（对有的问题适用）（对有的问题适用）zDz x0z yzyxzyxfIddd ),( zDy,x,czc|z , y,x )()(21 其中其中 c1c2 I = 21dccz zDyxx,y,zfd)d(.9. 计算三重积分的另一思路计算三重积分的另一思路（对有的问题适用）（对有的问题适用）zDzx0z yzyxzyxfIddd ),( zDy,x,czc|z , y,x )()(21 其中其中 c1c

33、29. 计算三重积分的另一思路计算三重积分的另一思路（对有的问题适用）（对有的问题适用）. I = 21dccz zDyxx,y,zfd)d(zyxzIddd2 所所围围成成的的闭闭区区域域 是是由由 其其中中 1222222 czbyaxx0yzbc10. 例例 计算计算aD0 2222221)(czbyax,czc|z ,y,x cczz d2 zDyxddzyxzIddd2 Dz 所所围围成成的的闭闭区区域域 是是由由 其其中中 1222222 czbyax.bczyxzIddd2 cczzczabd)1(222.3154abc =.10. 例例 计算计算x0yzD0a1)1()1(22

34、222222 czbyczax. 2222221)(czbyax,czc|z ,y,xz0 xz yM(r, , z)z rN cosrx xyz sinry (x, y, z) (r, , z)11. 柱面坐标柱面坐标z = z. z动点动点M(r, , z)柱面柱面Sr =常数：常数：平面平面 z =常数：常数：x0yzMrz12.12. 柱面坐标的坐标面柱面坐标的坐标面动点动点M(r, , z)半平面半平面P柱面柱面S =常数常数:r =常数：常数：平面平面 z =常数：常数：zx0yzMr 12.12. 柱面坐标的坐标面柱面坐标的坐标面.xz y0 drrrd d z平面z元素区域由六

35、个坐标面围成：元素区域由六个坐标面围成：半平面半平面 及及 +d ; 半径为半径为r及及 r+dr的园柱面；的园柱面； 平面平面 z及及 z+dz；13.13. 柱面坐标下的体积元素柱面坐标下的体积元素xz y0 drrrd d z底面积底面积 ：r drd 元素区域由六个坐标面围成：元素区域由六个坐标面围成：半平面半平面 及及 +d ; 半径为半径为r及及 r+dr的园柱面；的园柱面； 平面平面 z及及 z+dz；dz平面平面z+dz13.13. 柱面坐标下的体积元素柱面坐标下的体积元素.xz y0 drrrd d z底面积底面积 ：r drd 元素区域由六个坐标面围成：元素区域由六个坐标面

36、围成：半平面半平面 及及 +d ; 半径为半径为r及及 r+dr的园柱面；的园柱面； 平面平面 z及及 z+dz；dz ),sin,cos(zrrf zrrdddzyxddddV =zrrddd .13.13. 柱面坐标下的体积元素柱面坐标下的体积元素.zyxzyxfddd ),( dVzyxzIddd 0 , 1 :222 zzyx1zzyxIxyDyxddd 4 . Dxy:221yxz ：下下底底122 yx：上顶上顶z = 0用哪种坐标？用哪种坐标？.柱面坐标柱面坐标0 xz yDxyzzrrrddd2101020 14.14. 计算计算I =1zyxyxIddd1122 所所围围锥锥

37、面面 , zzyx:0 xz y1DxyzrrrIDrd11dd1 2 zrrrrdd1d1 1 0 22 0 )222(ln . Dxy:rz 1 rz = 1锥面化为锥面化为: r = z1.：下下底底：上顶上顶用哪种坐标？用哪种坐标？ 柱面坐标柱面坐标15.15. 102)d111(2rrr.0 xz y x y zM(r, , )r Nyxz. cos sinr sin sinr cosr.16.16. 球面坐标球面坐标 SrM yz x0r =常数常数: =常数常数:球面球面S动点动点M(r, , )17.17. 球面坐标的坐标面球面坐标的坐标面17.17. 球面坐标的坐标面球面坐标

38、的坐标面 r =常数常数: =常数常数:球面球面S半平面半平面P动点动点M(r, , )M yz x0 =常数常数:锥面锥面C. r drd rsin xz y0圆锥面圆锥面 rd 球面r圆锥面圆锥面 +d 球面球面r+d r元素区域由六个坐标面围成：元素区域由六个坐标面围成：d rsin d 18.18. 球面坐标下的体积元素球面坐标下的体积元素半平面半平面 及及 +d ； 半径为半径为r及及r+dr的球面；的球面；圆锥面圆锥面 及及 +d r drd xz y0 ,sinsin,cossin( rrf d rd 元素区域由六个坐标面围成：元素区域由六个坐标面围成：rsin d 18.18.

39、 球面坐标下的体积元素球面坐标下的体积元素.半平面半平面 及及 +d ； 半径为半径为r及及r+dr的球面；的球面；圆锥面圆锥面 及及 +d zyxzyxfddd ),( r 2sin drd d sin drd d r 2rcos )dVdV =rR 对对r: 从从0R积分积分,得半径得半径任取球体内一点任取球体内一点.z ,y,xRzyx:所所围围成成的的区区域域在在第第一一卦卦限限 及及平平面面球球面面 000 2222 19.zyxzyxfIddd ),( 求求0 xz y0 xz yMr R对对 : 从从0 积分，积分，.19.zyxzyxfIddd ),( 求求2.z ,y,xRz

40、yx:所所围围成成的的区区域域在在第第一一卦卦限限 及及平平面面球球面面 000 2222 对对r: 从从0R积分积分,得半径得半径任取球体内一点任取球体内一点 R对对 : 从从0 积分，扫遍球体积分，扫遍球体 .19.zyxzyxfIddd ),( 求求2得锥面得锥面.z ,y,xRzyx:所所围围成成的的区区域域在在第第一一卦卦限限 及及平平面面球球面面 000 2222 0 xz y对对r: 从从0R积分积分,得半径得半径任取球体内一点任取球体内一点对对 : 从从0 积分，积分，20 xz yR . 0I=V当当 f =1,.19.zyxzyxfIddd ),( 求求rrrrrfIRdsin)cos,sinsin,cossin(dd022020 .z ,y,xRzyx:所所围围成成的的区区域域在在第第一一卦卦限限 及及平平面面球球面面 000 2222 对对r: 从从0R积分积分,得半径得半径