(完整word版)4.2.3直线与圆的方程的应用教案

1、4、2、3直线与圆的方程的应用(一)【教学目标】利用直线与圆的位置关系及圆与圆的位置关系解决一些实际问题【教学重难点】教学重点：直线的知识以及圆的知识教学难点：用坐标法解决平面几何.【教学过程】一、复习准备：(1)直线方程有几种形式？分别为什么？(2)圆的方程有几种形式？分别是哪些？(3)求圆的方程时，什么条件下，用标准方程？什么条件下用一般方程 ？(4)直线与圆的方程在生产.生活实践中有广泛的应用.想想身边有哪些呢？(5)如何用直线和圆的方程判断它们之间的位置关系？(6)如何根据圆的方程，判断它们之间的位置关系？二、讲授新课：提出问题、自主探究例1、如图是一桥圆拱的示意图，根据提供信息完成以

2、下计算：圆拱跨度AB=84米，拱高A6P6=15米，在建造时每隔7米需用一个支柱支撑，求：支柱 A3P3的长度(精确到0.01 米).方法一：在RtAAA6O中R2 =422 +(R-15)2可求出半径R,而在RtAP3CO中P3C2 = R2 -212, A3 P3 =P3c -A6O,从而可求得A3P3长度。能否用学过的圆方程的有关知识来尝试求解？方法二：先求圆的方程，再把求A3P3长度看成P3的纵坐标。首先应建立坐标系。如何建系？四种不同的建系方案：A.组解答, 同学自选一种建系方案，同桌之间可以互相协作，相互探讨。归纳总结、巩固步骤总结解决应用问题的步骤:审题-分清条件和结论，将实际问

3、题数学化;（2）建模-将文字语言转化成数学语言或图形语言，找到与此相联系的数学知识，建立数学模型;（3）解模-求解数学问题，得出数学结论;（4）还原-根据实际意义检验结论，还原为实际问题.流程图:实际问题;数学问题结论实际问题结论（审题）（建模）（解模）（还原）变式训练：某圆拱桥的水面跨度 16米，拱高4米。有一货船，装满货过桥，顶部宽 4米，水面以上高3米，请问此船能否通过？当卸完货返航时，船水面以上高 3.9米，此时能否通过？深入讨论、提炼思想在上面问题求解过程中，我们通过“建系”，利用直线和圆的方程来完成平面几何中的计算。这一 “新方法”在初等几何的证明中也非常有用，如证明“平行四边形四

4、条边的平方和等于两条对角线的平方和”，再看下例:例2、已知内接于圆P的四边形ABCD勺对角线互相垂直,PE _L AD于E ,探求线段PE与BC的数量关系。1 八(1) PE = BC .2思路：把四边形特殊化，看成正方形，那么圆心与正方形的中心重合，此时1 PE =-BC .2对于一般情形，这个结论正确吗？作如下猜想：“已知内接于圆的四边形的对角线互相垂直，求证圆心到一边的距离等于这条边所对边边长一半”，能否用学过的平面几何知识加以证明？证明：(平面几何法)连接 AP并延长交圆P于点F,连接DF, CF, / 3=/4.在 Rt/ADF 和 Rt/AHB 中/ 1 = /2 /5=/1+ /

5、7,/6=/2+ Z 7/5= /6又/ACF=9C0 且 /CHD=9C0，CF/ BD 由 可得四边形 CFDB为等腰梯形，|CB|=|FD| 又 |FD|二2|PE| ，|BC|二2|PE |用“建系”这一新工具尝试证明：(解析几何法)以 AC, BD交点为坐标原点，所在直线为坐标轴建立平面直角坐标系，设 A(a,0), B(0,b), C(c,0), D(d,0).用勾股定理， PE =.R2 _ AE2，其中E为AD中点；先求出圆心P的坐标及直线 AD的方程，然后用点到直线距离公式求PE的长；先求出圆心P与点E的坐标，再用两点间距离公式求PE的长。设圆方程为(x-m )2+ (y-n

6、)2 =r2,考虑到圆与x轴交于A、C两点，令y=0,得关于x的一元二次方程x2-2mx+(m2+n2-r2)=0,然后利用韦达定理可得圆心的横坐标m - ac ,同理可2-, b d得圆心的纵坐标n = bd 。2应用圆的方程求圆心坐标，正是圆方程的具体应用。过圆心作两坐标轴的垂线，利用垂径定理来解决，很快可以求出a c b d、圆心的P坐标(,)。22变式练习：设Q为BC的中点，则QH / PE ,如何用代数方法D证明这一结论呢？还能有什么其他发现？(1)若圆内接四边形的两条对角线互相垂直，则一组对 边的平方和等于另一组对边的平方和；(2)若圆内接四边形的两条对角线互相垂直，则两条对角线之

7、积等于两组对边之积的和；(3)若圆内接四边形的两条对角线互相垂直，则经过对角线交点作其中一边的垂线， 一定平分这一条边的对边。课堂小结：(1)直线与圆的方程在实际问题和平面几何中的一些应用；(2)解决实际问题的具体步骤 -审题、建模、解模、还原；(3)解决几何问题的新方法-解析法，主要数学思想是通过代数方法研究几何问题，达到数形结合的一种完美境界。用坐标法解决平面几何问题的“三步曲” ：第一步：建立适当的坐标系，用坐标和方程表示问题中的几何元素，将平面几何问题转化为代数问题；第二步：通过代数运算，解决代数问题；第三步：把代数运算结果翻译”成几何结论；【板书设计】一、指数函数1 .定义2 .图像

8、3 .性质二、例题例1变式1例2变式2【作业布置】习题4.2B组的2、3、4题4、2、3直线与圆的方程的应用(二)【教学目标】1、坐标法求直线和圆的应用性问题；2、面积最小圆、中点弦问题的解决方法.【教学重难点】教学重点：坐标法求直线和圆的应用性问题.教学难点：面积最小圆、中点弦问题的解决方法.【教学过程】1、面积最小圆问题、中点弦轨迹问题例1、求通过直线2xy+3=0与圆x2+y2+2x4y+1=0的交点，且面积最小的 圆的方程.结论：解法一：利用过两曲线交点的曲线系.我们可以设圆的方程为22x +y +2x4y+1+*2x y+3) =0 .配方得到标准式方程如下所不2222(x +1 +

9、 Z) +(y2九/2) =(1 + K) +(2 + K/2) -3Z-1, 可 以 得 到r2 =(5/4)1 + 九+4 =5/4(九+2/5)2 +19/5,当九= 2/5时，此时半径 r =19/5 ,所 求圆的方程为(x+3/5)2+(y-9/5)2 =19/5 .解法二：利用平面几何知识.以直线与圆的交 点A (x1,y1)，B(x2,y2)连线为直径的圆符合条件.把两个方程式联立，消去y,得 25x+6x-2 =0 .因为判别式大于零， 我们可以根据根与系数的关系也即韦达定理得到线段AB的中点的横坐标为 x0 =(、+x2)/2 = 3/5 , y0 = 2x0 + 3 = 9

10、/ 5,又半径r =0.5|x1 -x2|.j1 +22 = J19/5 (弦长公式)，所以所求的圆的方程 22是：(x+3/5) +(y-9/5) =19/5.解法三：我们可以求出两点的坐标，根据两点间距离公式和中点坐标公式求出半径和圆心，求出圆的方程2+ (y+3) =4上的点至x y+2=0的最远、最近的距离。22例2、已知圆。的万程为x +y =9,求过点A(1,2)所作的弦的中点的轨迹.结论:解法一：参数法(常规方法)设过 A所在的直线方程为 y-2=k(x-1)(k存在时)， 22P ( x,y),则x +y =9,y=kx + (2 k),消去 y , 得到如下万程 (1+ k2

11、)x2+2k(2 k)x + k2 4k 5 = 0.所以我们可以得到下面结果 _2x1 +x2 =2k(k -2)/(k+1),利用中点坐标公式及中点在直线上，得： x = k(k2)/(k2+1), y = (k+2)/(k2+1)(k为参数).消去k得P点的轨迹方程为 22x +y x-2y=0,当k不存在时，中点 P (1, 0)的坐标也适合万程.所以P点的轨迹 是以点(1/2,1)为圆心，J5/2为半径的圆.解法二：代点法(涉及中点问题可考虑此法)我 们可以设过点 A的弦为MN,则可以设两点的坐标为M (x1, y1), N(x2, y2).因为M、N都在22-22圆上，所以我们可以

12、得到Xi十y1 =9,x2 +y2 =9,然后我们把两式向减可以得到：(X +x2)+(y1 y2)/(x1 x2).(y1+丫2)=03*2).设 P ( x,y) 则x = (x +x2)/2, y=(y#y2)/2 .所以由这个结论和M、N、P、A四点共线，可以得到(y1 -y2)/(x1 -X2) =(y -2)/(x-1)(x #1).所以 2x+ (y-2)/(x-221) 2y=0 ,所以P点的轨迹万程为x +y x 2y =0 (x=1时也成立)，所以P点的轨迹 是以点(1/2,1)为圆心，J5/2为半径的圆.解法三：数形结合(利用平面几何知识)，由垂径定理可知OP_LPA,故点P的轨迹是以AO为直径的圆.变式练习：已知直线l：、+ Y=1, M是l上一动点，过 M作x轴、y轴的垂线，垂4