固定收益第4章--利率

1、第1页本章纲要1.利率的种类2.利率的度量3.零息率4.债券的定价5.零息票收益率曲线的确定6.远期利率7.远期利率协议8.久期9.凸性10.利率的期限结构第2页国债利率（国债利率（treasury rates）投资者在短期国债和长期国债中获得的利率。一般来说，政府对本国债务不会出现违约现象，因此国债利率被认为无风险利率。1.利率的种类第3页伦敦同业拆借利率（伦敦同业拆借利率（London interbank offer rate）一家特定银行向同业银行贷出大额资金时所收取的利率。按照衍生品市场的实践惯例，通常将LIBOR看作无风险利率。1.利率的种类第4页回购利率回购利率（repo rate

2、）回购协议回购协议（repurchase agreement）持有证券的投资者同意将证券出售给另一方，之后再以稍高的价格将这些证券买回的协议。回购利率回购利率在回购协议中，对方公司因证券持有者向其出售和购回证券所得的利息收益。1.利率的种类第5页一个银行一年定期存款利率为每年10%，一储户向该银行存入1000元，若利率每年计一次计算，则一年后该储户会得到：若利率按每半年计一次复利计算，则该储户会得到：2.利率的度量1100) 1 . 01 (1000 5 .110205. 0105. 011000第6页假设将资金A以年利率R投资了n年，如果利率每年计m次复利，则以上投资的终值为：2.利率的度量

3、mnmRA)1 ( 第7页连续复利连续复利（continuous compounding）当复利频率m趋于无穷大时，就称为连续复利。在连续复利的情况下，资金A以年利率R投资n年后，将达到：2.利率的度量RnmnnAemRAlim)1 (第8页例例4.1 考虑一个年息为10%的利率，半年计一次息。求与该年利率等价的连续复利利率。解：设 为连续复利利率，由将代入上式，解得2.利率的度量mnmnRmRec 11 . 0, 2mRm09758. 0cRcR第9页例例4.2 假设债权人给出的贷款利息为年息8%，连续复利计息。而实际上利息是一季度支付一次，求每季度计息的年利率。解：设每季度计一次息的等价年

4、利率为，由将 代入上式，得2.利率的度量mRmnmnRmRec)1 ( 08.0,4cRm0808. 0mR第10页N年期零期息票利率年期零期息票利率（zero-coupon interest rate）从现在开始持续n年的一笔投资中获得的利息率。 注：所有利息和本金是n年期限结束之时收到，中间不发生任何支付。3.零息率第11页为计算出债券的理论价格，我们将收到的现金流用合适的零息率（zero-rate）进行贴现并求和。假设一个2年期国债的本金为100元，息票率为每年6%，每半年支付一次利息。连续复利的国债零息率如表4.1，则债券的理论价格为：4.债券的定价39.981033330 . 206

5、8. 05 . 1064. 00 . 1058. 05 . 005. 0eeee第12页表表4.1 国债零息率4.债券的定价第13页债券收益率债券收益率（bond yield）使得债券的现金流量的折现之和与市场相等的贴现率。假设我们在上个例子中的债券理论价格98.39等于它的市场价格，如用y表示债券的收益率，则有：从而得出4.债券的定价39.9833330 . 25 . 10 . 15 . 0yyyyeeee%76. 6y第14页票面收益率票面收益率（par yield）使债券价格等于其面值的息票率。假定上例中2年期债券的息票率为每年C，则可得如下方程：解得4.债券的定价100)2100(22

6、20 . 2068. 05 . 1064. 00 . 1058. 05 . 005. 0ecececec%87. 6c第15页一般地，假设债券到期时1元的现值为d，每次付息日支付的1元年金现值为A，m为每年的利息支付次数，则票面收益率c为：4.债券的定价Amdc100100第16页零息率曲线零息率曲线（zero curve）表示零息收益率与期限之间关系的曲线。通常用息票剥离方法（bootstrap method）从长期国债的价格得出零息收益率。具体方法，考虑表4.2中5个债券价格的数据。5.零息票收益率曲线的确定第17页表表4.2 息票剥离方法的数据5.零息票收益率曲线的确定第18页3个月期短

7、期债券市场价格为97.5，3个月的收益为2.5。每季度计一次复利的3个月期的零息率为连续复利的3个月期零息率为5.零息票收益率曲线的确定256.105 .97/5 . 2410127. 0410256. 01ln4第19页类似的，连续复利的6个月和1年期的零息率分别为0.10469和0.10536。为计算出1.5年期的零息率，我们求解方程 得类似的，2年期的零息率为0.108085.零息票收益率曲线的确定96104445 . 10 . 110536. 05 . 010469. 0Reee10681. 0R第20页图图4.1 息票剥离方法给出的零息率曲线5.零息票收益率曲线的确定年利率（%）期限

8、（年）第21页远期利率远期利率（forward interest rate）由当期零息率隐含的在将来开始的一定期限的利率。为说明远期利率的计算，从表4.3可知，1年期和2年期的零息率分别为3.0%和4.0%，则第2年的远期利率可由方程： 得 其它数据可用类似方法求出。6.远期利率204. 01103. 0 eeeR05. 0R第22页表表4.3 远期利率的计算6.远期利率第23页6.远期利率q 一般来说，如果 是 年期的零息率， 是 年期的零息率，那么， 至 期间的远期利率 为：qT 时刻的瞬态远期利率（ instantaneous forward rate ）为：1R1T2R2T1T2TFR

9、121122TTTRTRRFTRTRRF第24页远期利率协议（forward rate agreement，FRA）是一个场外合约，参与者同意在指定的未来的某个时期按照某个确定的利率借入或贷出某个确定本金。7.远期利率协议第25页7.远期利率协议q 考虑某个远期协议，公司X同意在 和 期限之间把资金给公司Y。定义如下的变量：远期利率协议的利率：现在计算的 期间的远期LIBOR：在 时刻观察到的 期间的市场的实际LIBOR的值：协议的本金1T2TKRFR21TTMR1T21TTL第26页在时刻，协议给公司X的现金流为：与此对应的时刻公司Y的现金流为：7.远期利率协议2T)(12TTRRLMK2T

10、)(12TTRRLKM第27页例例4.3 假设一家公司签订一个FRA，3年后开始的3个月期间内，公司将以4%固定利率 获得100万美元本金的利息。到期后，市场对应于3个月期限的LIBOR为4.5%。那么，在3.25年末发生的贷方的现金流将为：解：7.远期利率协议125025. 0)045. 004. 0(1000000第28页FRA的估值收取 的FRA协议的价值为：支付 的FRA协议的价值为：7.远期利率协议KR22)(12TRFKFRAeTTRRLV22)(12TRKFFRAeTTRRLVKR第29页例例4.4 假设即期和远期LIBOR数据如表4.3。考虑一个FRA，协议期间从第1年末到第2

11、年末，我们将收取6%利率，每年复利一次，本金为100万美元 。在表4.3的情况下，1年末1年远期利率为按连续复利计算的5%或年复利的5.127%，则FRA的价值为：解：7.远期利率协议8058)05127. 006. 0(1000000204. 0e第30页久期久期（duration）债券持有者收到现金付款时平均需要等待的时间。假定债券持有者在 时刻收到的现金为 ，（ ）债券的价格 和连续复利收益率y 之间的关系为：8.久期iticni 1iytniiecB1第31页债券久期债券久期 的定义为： 注：久期是付款时间的加权平均值，对应 时刻的权重等于该时刻现金流的现值与债券价格的比率。8.久期B

12、ectDiytinii1it第32页当收益率有微小变动 时，则有如下等式成立：8.久期yiytniiietcyydydBB1yBD第33页修正久期修正久期（modified duration）当y为一年计m次复利的利率，则有：定义变量 ：为修正久期。8.久期myyBDB/1 DmyDD/1第34页凸性（凸性（convexity）久期关系式只适用于收益率发生微小变化的情况。当收益率发生较大变化时，则由得：9.凸性BetdyBdBCniytii122212221dyBdydydBB221yCyDBB第35页图4.2表明了具有相同久期的两个证券组合的价值变化的百分数与收益变化之间的关系。在原点处，当收益率变化很小时，两个组合价值变化的百分数相同；当收益率变化较大时，两个组合价值变化的百分数明显不同。9.凸性第36页9.凸性图图4.2 相同久期的两个证券组合第37页预期理论预期理论（expectation theory）该理论认为长期利率应该反映预期未来的短期利率，更确切的说，它认为对应某一确定时期的远期利率应该等于预期未来的的那个期限的零息率。10.利率的期限结构第38页市场分割理论市场分割理论（market segment