一元二次方程的解法经典例题精讲

1、一元二次方程的解法经典例题精讲例1解方程X2 25 0 分析：解一元二次方程的方法有四种，而此题用直接开平方法较好.2 解：X 250，x225 ,x 25 , x= 5.X!5, X25 .2 例2解方程(X 3)2 .2 分析：如果把X+ 3看作一个字母y，就变成解方程y 2 了.2解：(X 3)2 ,X 32 ,X 32,或 X 3. 2 ,. X13 . 2, X 23 22例3解方程4(x 2)81 0 .分析：解此题虽然可用因式分解法、公式法来解，但还是用直接开平方法 较好.2解：4(x2)81 02整理，4(x 2)81,(x 2)2 81x213,X22X152 .注意：对可用

2、直接开平方法来解的一元二次方程，一定注意方程有两个解; 若 x2 a，则 x；若(x a)2 b，则 x b a .2例4解方程x 3x 2 0 .分析：此题不能用直接开平方法来解，可用因式分解法或用公式法来解. 解法一：2X2 3x 20 ,(x-2)(x- 1) = 0,x 2= 0, X 1 = 0,Xi 1, X22解法二：.a= 1, b =一 3, c= 2,2 2b2 4ac ( 3)24 1210 ,3 .1x2 .-x12, x21注意：用公式法解方程时，要正确地确定方程各项的系数a、b、c的值，先计算“”的值，若 0,则方程无解，就不必解了.2 2例5解关于x的方程x m(

3、3x 2m n) n 0 .分析：先将原方程加以整理，化成一元二次方程的一般形式，注意此方程 为关于x的方程，即x为未知数，m, n为已知数.在确定b2 4ac 0的情况下, 利用公式法求解.解：把原方程左边展开，整理，得x2 3mx (2m2 mn n2) 0a=1, b = 3m, cC222m mn n ,b24ac(3m)242 21 (2m mn n )2 m4mn4n2(m2n)20 .x3m(m 2n)223m(m2n)2X12mn, x2 mn注意：解字母系数的一元二次方程与解数字系数的一元二次方程一样，都 要先把方程化为一般形式，确定 a、b、c和b2 4ac的值，然后求解.

4、但解字母 系数方程时要注意：(1)哪个字母代表未知数，也就是关于哪个未知数的方程；(2) 不要把一元二次方程一般形式中的 a、b、c与方程中字母系数的a、b、c相混淆； 在b2 4ac开平方时，可能会出现两种情况，但根号前有正负号，已包括了这 两种可能，因此， (m 2n)2(m 2n).例6用配方法解方程2x23 7x .3 7x ,总02 ,2x2分析：解一元二次方程虽然一般不采用配方法来解，但配方法的方法本身 重要，要记住.解：23077x x247 225x4 1675x 44 .1x 13, X22 .注意：用配方法解一元二次方程，要把二次项系数化为1,方程左边只有二次项，一次项，右

5、边为常数项，然后方程两边都加上一次项系数一半的平方，左 边就配成了一个二项式的完全平方.例7不解方程，判别下列方程的根的情况：2 2 2x2 3x 4 0 ；讪 9 24；(3)5(x1) 7x 0.分析：要判定上述方程的根的情况，只要看根的判别式b2 4ac的值的符号就可以了.解：(1) v a= 2， b= 3， c= 4，b2 4ac 324 2 ( 4)4 10 .方程有两个不相等的实数根.(2) v16，b = 24，c= 9，2 2b2 4ac ( 24)24 16 9 0 .方程有两个相等的实数解.将方程化为一般形式5x25 7x 0，5x2 7x 5 0 .v a=4， b =

6、 7， c= 5，b2 4ac ( 7)24 5 5=49100=510.方程无实数解.注意：对有些方程要先将其整理成一般形式，再正确确定a、b、c的符号.例8已知方程5x2 kx 6 0的一个根是2,求另一根及k的值.bcx x x x 分析：根据韦达定理12 a，12 a易得另一根和k的值.再是根据方程解的意义可知x= 2时方程成立，即把x = 2代入原方程，先求出k值，再 求出方程的另一根.但方法不如第一种.解：设另一根为，则2 X2X2X2即方程的另一根为，k的值为一7.注意：一元二次方程的两根之和为，两根之积为.2例9利用根与系数的关系，求一元二次方程 2x 3x 1 0两根的 平方

7、和；(2)倒数和.31丄丄分析：已知X1 X22，X1 X22 .要求x2 X；,X! X2 ,1 12 2关键是把X1 X2、X1 X2转化为含有X1 X2、X1 X2的式子. 因为两数和的平方，等于两数的平方和加上这两数积的2倍，即2 2 2 2 2 2(a b) a b 2ab，所以a b (a b) 2ab，由此可求出 .同样，可用 两数和与积表示两数的倒数和.31X1 X2，X1 X22，解: x1 X2 （X1 X2）2 2X1X22X11X2X2X1X1X3212注意：利用两根的和与积可求两根的平方和、倒数和，其关键是把平方和、 倒数和变成两根的和与积，其变形的方法主要运用乘法公

8、式.例10已知方程2x24x m 0的两根平方和是34，求m的值.分析：已知X1X2子中设法用X1 X2和x22，X1 X22X2来表示,2X1X2m便可求出.34，求m就要在上面三个式解：设方程的两根为X1、X2，则x 1 x22, Xi X2x2 x2 (xi X2)2 2XiX22x1x 2(XiX2)2(x2 x2)(2)234=一 30.XiX2m = 一 30.2 2注意：解此题的关键是把式子Xi x2变成含Xi X2、X1X2的式子，从而求得 m的值.例11求一个一元二次方程，使它的两个根是 2、10.2分析：因为任何一元二次方程都可化为(二次项系数为i)x px q 0的形 式

9、.如设其根为Xi、X2，根据根与系数的关系，得Xi x2 P, Xi X2 q.将p、22q的值代入方程x px q 0中，即得所求方程x (xi X2)x Xi X20 .2解：设所求的方程为x px q 0.2 + iO= p， 2 x iO= q， p =一 i2， q = 20.所求的方程为x2 i2x 20 0.注意：以Xi、X2为根的一元二次方程不止一个， 但一般只写出比较简单的一 个.例i2已知两个数的和等于8,积等于9,求这两个数.分析：把这两个数看作某个二次项系数为i的一元二次方程的两个根，则 这个方程的一次项系数就应该是-8，常数项应该是9,有了这个方程，再求出 它的根，即

10、是这两个数.2门解：设这两个数为Xi、X2，以这两个数为根的一元二次方程为X px q 0 ./ Xi X2 8 p, Xi X2 q ,方程为x2 8x 9 0 .解这个方程得xi 47, X2 4 7 ,这两个数为4- 7和47.例i3如图22-2-i，在长为32m，宽为20m的长方形地面上，修筑两条同样2宽而且互相垂直的道路，余下的部分作为绿化用草地，要使草地的面积为540m , 那么道路的宽度应是多少分析：设道路的宽度为x m,则两条道路的面积和为32X 20x x2 . 题中的等量关系为：草地面积+道路面积二长方形面积.解：设道路的宽度为x m,则2540 32x20x x232 20 .x252x1000,(x 2)(x 50)= 0,x 2= 0, x 50 = 0,X!2, X250 . x= 50不合题意，取 x= 2.答：道路的宽度为2m.注意：两条道路重合了一部分，重合的面积为.因此计算两条道路的面积和时应减去重合面积.例14某钢铁厂去年1月份钢的产量为5000吨，3月份上升到7200吨，求 这两个月平均每月增长的百分率是多少分析：设平均每月增长的百分率为x,则增长一次后的产量为5000(1 + x),