高中数学论文：双曲线焦半径应用举例

1、双曲线焦半径应用举例双曲线上任意一点到其焦点的距离称为该点的焦半径。已知点P(x，y)在双曲线= 1 (a0，b0)上，F， F分别为双曲线的左、右焦点。若点P在右半支上，则| PF| =x+ a ，| PF| =xa；若点P在左半支上，则| PF| =(x+ a) ，| PF| =(xa)利用焦半径公式解题，可使解题过程简单明了，下面列举几例，供参考。一、求双曲线的标准方程例1、 设F、F是双曲线= 1 (a0，b0)的左、右两个焦点，l为左准线，离心率e=，P(,m)是左支上一点，P到l的距离为d，且d，| PF|，| PF|成等差数列，求此双曲线方程。分析；利用焦半径，结合双曲线的第二定

2、义列出等式，求出待定系数.解：由双曲线的第二定义知：d =| PF|，又| PF| =(x+ a) = 14a, | PF| =(xa) = 14a,由已知得：d| PF| = 2| PF|，即(14a)(14a)=282a 得：a = 2， c =3， b =，故双曲线的方程为=1。评注：利用焦半径公式，可使运算过程简便易行。二、求值例2 双曲线=1的两个焦点为F、F，点P在双曲线上，若P FP F，则点P到x轴的距离为_.分析；利用焦半径及勾股定理，列出等式，求出P点纵坐标即可。解：不妨设P在双曲线上右支上，设P(x，y)，则| PF| =x+ a = 3x，| PF| =xa =x3，则

3、| PF| PF|= |FF|，即：(3x)(x3) =100，所以=，又=1，所以=，所以点P到x轴的距离为。评注：利用双曲线的定义和焦半径公式，简单明了。三、求范围例3 如图，已知梯形ABCD中，|AB| = 2|CD|，点E分有向线段所成的比为，双曲线过C、D、E三点，且以A、B为焦点，当时，求双曲线离心率的取值范围解：以直线AB为x轴，线段AB的垂直平分线为y轴，建立直角坐标系，则CDy轴，因为双曲线经过点C、D，且以A、B为焦点，由双曲线的对称性可知，C、D关于y轴对称设双曲线的焦距为2c，则A、B、C三点的横坐标分别为c、c、，则点E的横坐标为x=xyABODCE根据双曲线焦半径公

4、式，有：|AE| =(xa ) =a，|BC| =xa =a，而AC与AE同号，从而=|AC| =|AE| =a =a，由双曲线的定义有|AC|BC| = 2a，即(a)(a) = 2a，两边同除以a，并化简整理，得(1) = 2，=2由，得34，解得710，故所求双曲线离心率的取值范围是，评注：凡是遇到双曲线上的点到双曲线焦点距离的问题，均可考虑使用焦半径公式四、其他问题例4 在双曲线=1的上支上有三点A(x，y),B(,6),C(x,y)与F(0，5)的距离成等差数列。求证：AC的垂直平分线经过某一定点。分析；利用焦半径及等差数列概念，列出等式，可解此题。证明：|AF| =eya，|BF|

5、=6ea，|CF|= eya，由已知得：2|BF|=|AF|CF|，得：y y=26 = 12。设AC的中点M(x，6)，其中x=，又A，C在双曲线上，于是，两式相减得：13(yy)(yy)12(xx)(xx)= 0，得：13(yy)12（xx）=0，得：=，所以AC的垂直平分线方程为：y6=(xx)，即13xx(2y25)=0，故经过定点(0，)。评注：点差法是求解双曲线问题的一种常用方法。例5 已知双曲线= 1的左、右焦点分别为F、F，左准线为能否在双曲线的左支上找到一点P，使| PF|是P到的距离与| PF|的等比中项？若能，试求出P点坐标；若不能，请说明理由分析；此题为探索题目，一般可设存在点P，再利用焦半径及等比数列概念列等式可求解。解：由a = 5，c =13，知 =，=设P(x，y)，P到的距离为d，则| PF| =ax=5x，| PF|= ax= 5x，d =x=x 令| PF|= d| PF|，即(5x)= (x)(5x)，解得：x=或x=另一方面，因为P在左支上，所以x5 与矛盾故符合条件的P点不存在评注： 一般的，是双曲线= 1左支上存在P点，使| PF|= d| PF|成立的充要条件。本题中双曲线离心率=，故符合条件的P点不存在 例如双曲线= 1的离心率，则这样的P点一定存在。类似的可得：是