(完整版)正弦定理、余弦定理综合训练题含答案

1、正弦定理、余弦定理综合训练题1 2016 全国卷 ABC 的内角 A， B， C 的对边分别为a，b，c.已知 a5， c 2， cos2，则 b ()A 3A. 2B.3C 2D 3解析D由余弦定理得5 b2 42 b 22，解得 b 3 或 b 1(舍去 )，故选 D.3312 2016 全国卷 在 ABC 中， B 4 ， BC 边上的高等于3BC，则 sin A ()3105310A. 10B.10C. 5D.10解析 D作 AD BC 交 BC 于点 D，设 BC 3，则有 AD BD 1， AB2，由余弦定理2得 AC5.由正弦定理得5 33 23 10，解得 sin Asin A

2、510 .sin 432013 课标全国卷新 已知锐角 ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为a，b，c，23cos2A cos 2A 0， a7， c 6，则 b ()A10B 9C8D 51解析D由 23cos 2A cos 2A 0，得 25cos 2A 1.因为ABC 为锐角三角形， 所以 cos A 5.在ABC 中，根据余弦定理，得112b49 b2 36 12b，即 b2554542016 全国卷 ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为a，b，c，若 cos A5，cos C13，a 1，则 b _45312 解析 因为 cos A 5，cos C13，且 A，C 为三角形的

3、内角，所以sin A 5，sin C13，sin63abasin B21B sin(A C) sin Acos C cos Asin C 65.又因为 sin A sin B，所以 b sin A13.1313 0，解得 b 5 或 b 5 (舍去 )5 2015 国卷全 已知 a，b， c 分别是 ABC 内角 A， B， C 的对边， sin2B 2sin Asin C.(1) 若 ab，求 cos B;(2) 若 B 90，且 a 2， 求 ABC 的面积解： (1) 由题设及正弦定理可得b2 2ac.又 a b，所以可得b 2c， a 2c.a2 c2 b21由余弦定理可得cos B2

4、ac4.(2) 由 (1)知 b2 2ac.因为 B 90，所以由勾股定理得a2 c2 b2.故 a2 c2 2ac，得 c a 2，所以ABC 的面积为1.6 2015 国卷全 ABC 中， D 是 BC 上的点， AD 平分 BAC， BD 2DC.sin B(1) 求 sin C；(2) 若 BAC 60，求 B.解： (1) 由正弦定理得ADBDADDC，.sinBsin BADsinCsinCAD因为 AD 平分BAC， BD 2DC，所以sinBDC1 .(2) 因为C 180(BACB)，BAC 60，所以31sinC sin( BACB)2cosB2sinB.3由(1) 知 2

5、sinB sinC，所以 tanB 3 ，即B30.7 2014 课标全国卷新 四边形 ABCD 的内角 A 与 C 互补， AB 1， BC 3，CD DA 2.(1) 求 C和 BD；(2) 求四边形 ABCD 的面积解： (1) 由题设及余弦定理得BD 2 BC2 CD 2 2BC CD cos C 13 12cos C，BD 2 AB2 DA 2 2ABDAcos A 5 4cos C1由得cos C 2，故 C60，BD7.(2) 四边形 ABCD 的面积11S 2ABDA sin A 2BCCDsin C 1 1 21 3 2 sin 602 3.228.2016 东卷山 ABC

6、中，角 A，B，C 的对边分别是a，b，c.已知 bc，a2 2b2(1 sin A)，则A()3A. 4B. 3C. 4D. 6解析Cb c， a2 2b2( 1 sin A)，2b2sin A b2 c2 a2 2bccos A 2b2cos A，tan A1，即 A 4.9.2015 广东卷 设 ABC 的内角 A， B， C 的对边分别为a， b， c.若 a 2， c 2 3， cos A 3且 bc，则 b ()2A 3B2 2C 2D. 3a2 b2 c22bccos A，所以 22b2 (2 3)23解析C由余弦定理得2 b 2 3 2 ，即b2 6b 8 0，解得 b2 或

7、b 4.因为 bc, 所以 b2.10.2016 上海卷 已知 ABC 的三边长分别为3， 5， 7 ，则该三角形的外接圆半径等于_解析 7 所对角的余弦值为32 52 721利用余弦定理可求得最大边2 3 5 2，所以此角的正弦3773值为 2.设三角形外接圆的半径为R，由正弦定理得 2R3，所以R3.22， a3c，则 b _11.2016 北京卷 在 ABC 中， A 3c 解析 由余弦定理2222222b2b2 0，a b c 2bccos A 可得，3cbc 2bccos ，整理得3ccbb解得 c 1 或 c 2(舍去 )12.2016 江卷浙 在 ABC 中，内角 A，B，C 所对的边分别为a，b，c.已知 b c2acos B.(1) 证明： A 2B；2(2) 若 cos B 3，求 cos C 的值解： (1) 证明：由正弦定理得sin B sin C 2sin Acos B，故 2sin Acos B sin B sin(A B) sin B sin Acos B cos Asin B，于是 sin B sin(A B)又 A， B (0，)，故 0 AB，所以 B(A B)或 BA B，因此 A(舍去 )