现代控制理论基础课件第五章书上第六章课件

1、第六章状态反馈和状态观测器6.1 6.1 引引 言言 对自动控制系统的研究：建立模型、系统分析、综合。 系统的综合也称系统的设计问题，它是在给定系统基本结构、参数的前提下，设计一种控制器，控制器产生的控制作用能使系统达到期望的性能。 前面几章讨论的是线性系统数学模型的建立，以及系统的分析问题。 系统分析是在已知系统的结构、参数情况下，在外界输入或扰动作用下，定量或定性分析系统的性能问题。（系统的响应、稳定性、和能控性、能观性） 系统的控制有两种：开环控制和闭环控制（反馈控制）。反馈控制对于系统抗干扰和抗参数变动等方面均有较好的控制效果，被广泛应用。 反馈有两种形式：状态反馈与输出反馈。 在状态

2、空间描述中 ，系统的状态包含了系统的所有重要信息，如果系统的反馈信号取之于系统状态，无疑将会获得性能更好的控制。这就是状态反馈。 ）（统系DC,B,A, K 控制器xrKxuy图61 线性状态反馈控制律 图61：系统控制作用 是由状态反馈和参考输入组成的状态反馈系统结构方块图。 本章将会证明，如果系统如果系统是能控的，就可以通过是能控的，就可以通过选择适当的选择适当的 来任意配置来任意配置系统的极点系统的极点。Ku 状态反馈 状态观测器 状态反馈可实现的条件是系统的状态 是可量测的，实际系统中有的状态是难以直接量测到的。有的系统状态纯粹是数学量，此时系统的状态是无法用物理仪器量测的。 x状态观

3、测器K 控制器x rxKu)(DC,B,A, 统系y图62 基于观测器的状态反馈系统 为了实现状态反馈，必须用物理方法重构系统的状态 ，从重构的状态 引出反馈 如图62所示。x x xK 用来重构系统状态的线路或装置叫做状态观测器。 状态反馈和状态观测器的理论和方法是现代控制理论基础中系统设计的主要内容。 （4）讨论 综合问题应该考虑到三个方面的问题：1)抗外部干扰问题；2)抗内部结构与参数的摄动问题，即鲁棒性(Robustness)问题；3)控制规律的工程实现问题。一般说来，综合和设计是两个有区别的概念。综合将在考虑工程可实现或可行的前提下，来确定控制规律u ；而对设计，则还必须考虑许多实际

4、问题，如控制器物理实现中线路的选择、元件的选用、参数的确定等。 性能指标的类型综合问题中的性能指标可分为非优化型和优化型性能指标两种类型。两者的差别为：非优化型指标是一类不等式型的指标，即只要性能值达到或好于期望指标就算是实现了综合目标; 而优化型指标则是一类极值型指标，综合目标是使性能指标在所有可能的控制中使其取极小或极大值。（4）讨论-1（4）讨论-2对于非优化型性能指标，可以有多种提法，常用的提法有：1）以渐近稳定作为性能指标，相应的综合问题称为镇定问题镇定问题；2）以一组期望的闭环系统极点作为性能指标，相应的综合问题称为极点配置问题极点配置问题。从线性定常系统的运动分析中可知，如时域中

5、的超调量、过渡过程时间及频域中的增益稳定裕度、相位稳定裕度，都可以被认为等价于系统极点的位置，因此相应的综合问题都可视为极点配置问题；3）使一个多输入多输出(MIMO)系统实现为“一个输入只控制一个输出”作为性能指标，相应的综合问题称为解耦问题解耦问题。在工业过程控制中，解耦控制有着重要的应用；4）使系统的输出 无静差地跟踪一个外部信号 作为性能指标，相应的综合问题称为跟踪问题跟踪问题。)(ty)(0ty（4）讨论-3对于优化型性能指标，则通常取为相对于状态 和控制 的二次型积分性能指标，即xu0)()(dtRuuQxxtuJTT其中加权阵 或 ， 。综合的任务就是确定 ，使相应的性能指标 极

6、小。通常，将这样的控制 称为最优控制，确切地说是线性二次型最优控制问题，即LQLQ调节器问题调节器问题。0TQQ00TRR)(tu)(tuJ)(tu（4）讨论-4综合问题的研究应该包括两个方面的内容综合问题的研究应该包括两个方面的内容1 1）可综合条件）可综合条件 可综合条件也就是控制规律的存在性问题。可综合条件的建立，可避免综合过程的盲目性。2 2）控制规律的算法问题）控制规律的算法问题 这是问题的关键。作为一个算法，评价其优劣的主要标准是数值稳定性，即是否出现截断或舍入误差在计算积累过程中放大的问题。一般地说，如果问题不是病态的，而所采用的算法又是数值稳定的，则所得结果通常是好的。 工程实

7、现中的一些理论问题工程实现中的一些理论问题在综合问题中，不仅要研究可综合条件和算法问题，而且要研究工程实现中提出的一系列理论问题。主要有： 1 1、状态重构问题、状态重构问题 由于许多综合问题都具有状态反馈形式，而状态变量为系统的内部变量，通常并不能完全直接测量。解决这一问题的方法是：利用可测量的输出 和输入 来构造出不能直接测量的状态 ，相应的理论问题称为状态重构问题，即观测器问题和Kalman滤波问题。2 2、鲁棒性、鲁棒性(Robustness)(Robustness)问题问题 3 3、抗外部干扰问题、抗外部干扰问题状态反馈：线性定常系统状态反馈对系统的影响， 状态反 馈可任意配置系统极

8、点的条件和计算方法 。 （5） 本章主要内容状态观测器：状态观测器能重构状态的条件和设计方法。 用求解西尔维斯特（ ）方程的方法设计 状态反馈和状态观测器 。状态反馈的应用：系统的镇定 、系统解耦Sylvester6.2 6.2 反馈系统的状态空间描述反馈系统的状态空间描述AKByruCxKx图63 状态反馈系统的结构图6.2.1 6.2.1 状态反馈系统的状态空间描述状态反馈系统的状态空间描述状态反馈系统的结构图如图63所示。设原系统的状态空间描述为 DuCxy BuAxx :引入状态反馈 ，闭环系统的控制规律(输入)为 KxKxru式中， 是系统的参考输入， 是 状态反馈阵。rKnp( 6

9、1)( 62)Drx)DKC()Kxr (DCxyBrx)BKA()Kxr (BAxx0D 若 ，则Cxy BrxBKAx :)( f( 64)( 63)闭环系统状态空间描述：将( 62)代入式( 61)得带状态反馈的闭环系统的传递函数阵为BBKAICG1)()(ssf( 65)(sfGpq是 阵。原系统的性能主要由 的特征值（系统的极点）决定，状态反馈系统的极点是 的特征值，有可能通过的选择 来任意配置系统的极点。 KBKAA6.2.2 6.2.2 输出反馈系统的状态空间描述输出反馈系统的状态空间描述图64输出反馈系统的结构图输出反馈系统的控制规律是式中， 是 输出反馈阵。代入式( 61)得

10、 Fqp（66）ABCFFxruyxDrxDFCCyBrxBFCAx)()(（67）Fyru若 ，则有0D Cxy BrxBFCAx :)( cf带输出反馈的闭环系统的传递函数阵为BBFCAICG1)()(sscf 是 阵。)(scfGpqBAICG1)()(ss1)()()(ssscfFGIGG则)()()(1ssscfGFGIG或输出反馈也可以通过 来改变系统的极点，但它不能像状态反馈那样任意配置系统的极点。因为通常方程 的解不存在。 FKFC 原系统的传递函数阵为（68）（69）（610）（611）（612）6.3 6.3 状态反馈系统的能控性和能观性状态反馈系统的能控性和能观性 定理定

11、理6 61 1 状态反馈不改变系统的能控性状态反馈不改变系统的能控性，即即 能控的充分必能控的充分必要条件是：要条件是： 是能控的是能控的。但可能改变系统的能观性但可能改变系统的能观性。f证明：证明： 是能控的，由 判据nsrankB AI Cs(复域) （613）若 是能控的，必须满足fnsrankB BKAI Cs（614）IK0IB AI B BKAI ssnsrankB AI nsrankB BKAI 所以Cs（615） 状态反馈可能改变系统的能观性。因为状态反馈改变了系统的极点，可能出现改变后的极点与原系统的零点对消的情形。 定理的第二个结论由下面的例子得出结论。PHB证毕证毕例例6

12、 61 1 考虑系统x xx21101321yu原系统的传递函数为 522)(2ssssg原系统是既能控又能观的。x xx21100021yr引入状态反馈 x13ru 引入状态反馈后系统变成引入状态反馈后系统的传递函数为) 1(2)(ssssgk 它存在 对消的零、极点，所以系统变成不能观的。说明状态反馈可能改变系统的能观性。 0s其能控性矩阵与能观性矩阵分别是0120fU2122fV2frankU 1frankV 系统是能控，但不能观的。6.4 6.4 状态反馈极点配置状态反馈极点配置 这一节研究的是用状态反馈来配置系统极点的条件和极点配置的计算方法，即状态反馈阵 的计算方法。 K 状态反馈

13、只与状态方程有关，而与系统的输出无关，所以只研究状态方程即可。 6.4.1 6.4.1 状态反馈极点配置定理状态反馈极点配置定理定理定理6 62 2 线性定常系统 能通过状态反馈任意配置全部特征值的充分必要条件是系统完全能控。证明证明 必要性：用反证法。 若 不完全能控，则可通过结构分解得出 )(bA,0BPBB A0AAPAPAccc121对于任一状态反馈 ，可按 和 的维数写成：21KKK P)KBA(P P)KPBA(PKBPPAPBKA11111式中1 KP K121121PKPKKKK或KcAcA（619）（618）（617）可见，状态反馈只能配置系统能控部分 的特征值，而不能改变系

14、统不能控部分 的特征值。证明了要配置系统的所有所有特征值特征值，系统必须是完全能控的。 cAcA充分性：可以从下面的算法中证明。 证毕证毕ccccA0KBAKBAKBA2121则（620） 能控标准型算法 单输入系统 是能控的，必能通过 （ 是 行向量）任意配置全部特征值。共轭特征值必须成对配置。)(bA,kxru kn1设：单输入系统的状态方程为duyucx bAxx :1（621）21nkkk k（622） 的特征多项式是Annnnsssss111)det()(AI（623）式中， (实域)， ，的特征值中如有复根必定是成对的共轭复根 Rini , , 2,16.4.2 6.4.2 单输入

15、系统的极点配置算法单输入系统的极点配置算法 能控，通过等价变换 可以将 变换成能控标准型)(bA,Pxx 11xc bxAx :yu1（624）式中， ， 1c b A 111100100000010nnnn（625）1 PAPAb Pb 引入状态反馈 后的状态方程 kx ru bxbkAx :1rf)(（626）期望的特征多项式为nnnnsssss111)(det()(bkAI（627）对 作等价变换 ，得f1Pxx rrf bx)kbA( PbxP)bkA(Px :11（628）1 kP k式中 也是 行向量kn121nkkk k（629）（630）等价变换不改变特征值 nnnnsssss

16、111)(det()(det(bkAIkbAI1121111000000100000100000010nnnnnkkk kbA（631）所以111121 knnnnnkkk或11ininik对于 ，状态反馈向量 等于1kPkk （632）（633）（634）（635）只要状态反馈向量满足式(634)，便可将极点配置在所要求的数值上。例例 6 62 2 倒摆系统 uxxxxxxxx1010011001000010000104321432143210001xxxxy 系统是能控的，但系统不稳定的，要求将系统极点配置在 , , 和 ，求状态反馈向量 。12j1j1k, 按极点配置要求，可求得期望的特

17、征多项式410105)1)(1)(2)(1()(234ssssjsjssss 4,10,10, 54321 原系统的特征多项式为2411)(sss0, 0,11, 04321 于是52110411223344 k系统能控标准型的等价变换阵为100001001010101001010101P64 .2114 . 0 Pkk所以先按极点配置的要求，计算期望的特征多项式，建立等式nnnnssss111)(det(bkAI（638）比较式(638)等式两边对应项系数，便可求得组成 的 个未知数。kn在上例中432142111100010010kkkkkkkkbkA4101051010)11()()(d

18、et(234122313424sssskskskkskkss bkAI比较上式两边对应项的系数，可得 64 .2114 . 04321kkkk 比较系数法于是，状态反馈系统的状态空间描述：cx bxbkAxyr)( 43214321432143210001101064 .2114 . 0000064 .2114 . 0000001100100001000010 xxxxyuxxxxxxxxxxxx状态反馈向量 64 .2114 . 0 k 单输入系统，期望极点一旦确定，状态反馈向量单输入系统，期望极点一旦确定，状态反馈向量 是唯是唯一的一的。kuy1x1x 2x2x 3x3x 4x 4x14

19、. 061114 .214 .2164 . 01图65其模拟计算机仿真方块图如图65 状态反馈与输出无关，所以上述算法也适用于单输入多输出系统；单输入系统，期望特征值一旦确定，反馈向量 是唯一的。k单输入系统极点配置的算法归纳单输入系统极点配置的算法归纳 单输入系统极点配置是已知能控的 , 和一组期望特征值 ，求 实向量 ，使 的特征值为 。 ）（b A, ),(, 2, 1n n1)(bkA),(, 2, 1n 计算 nnnnsssss111)det()(AI 计算期望的 nnnnnsssssss11121)()()( 计算 111121 knnnnnkkk 求能控标准型等价变换阵 及 Q1

20、 QP 计算 Pk k21nkkkk状态反馈系统的传递函数状态反馈系统的传递函数式（625）能控标准型的传递函数为以（632）为状态反馈阵的状态反馈系统其传递函数为nnnnnnnnsssssssg11112211)(（637）nnnnnnnnsssssssg11112211)(（638） 由以上两式可见，状态反馈可改变系统传递函数的分母多项式（特征多项式），但不能改变分子多项式。换句话说，状态反馈可改变系统的极点，而不改变系统的零点，除非期望极点中出现能与零点抵消的情况。此时，也只减少了零点的数量，但仍不会改变零点的位置。此结论也适用于所有状态反馈算法。 状态反馈向量 的解析表达式k 巴斯格拉

21、（巴斯格拉（ ）公式）公式 GuraBass下面不加证明地介绍两个状态反馈向量 的解析表达式。k设原系统的特征多项式为nnnnssss111)(期望的特征多项式为nnnnssss111)(（639）（640）引入向量21n 21n （641）（642）原系统能控性矩阵1 bA Ab b Un（643）如果原系统能控， 是非奇异的，则计算状态反馈向量的巴斯格拉公式为Uk1)(UQkT（644）式中， 是下三角阵Q101001121211nnnQ（645）而TT1Q Q（646）（证略证略） 阿克曼（阿克曼（ ）公式）公式Ackermann设期望的特征多项式为nnnnssss111)(相应的方阵多

22、项式为IAAAAnnnn111)(（647）则计算状态反馈向量 的阿克曼公式为k)(AqkTn（648）式中1100U qnT（649）即 是 的最后一行， 是原系统的能控性矩阵。 （证略证略）Tnq1UU从状态反馈增益阵的表达式可以看出能控度的含义从状态反馈增益阵的表达式可以看出能控度的含义 用MATLAB计算状态反馈向量用 命令可以计算状态反馈向量 。 placek以倒摆系统为例，输入以下命令 a=0,1,0,0;0,0,-1,0;0,0,0,1;0,0,11,0; b=0;1;0;-1; p=-1,-2,-1+j,-1-j; k=place(a,b,p)可得到结果 k = -0.4000

23、 -1.0000 -21.4000 -6.00006.4.3 6.4.3 多输入系统多输入系统 如果系统 是能控的，则通过状态反馈 ， 是 常数阵，可以任意配置 的特征值。共轭特征值必须成对配置。)(BA,KxruKnp)(BKA 多输入系统极点配置问题是：已知能控的 和一组期望特征值 ，求 实矩阵 ，使 的特征值为 。),(, 2, 1n )(BA,np),(, 2, 1n K)(BKA 多输入系统极点配置的算法有标准型法和基于求解西尔维斯特方程的算法。在这一节，标准型法只介绍用龙伯格能控标准型的算法，而着重介绍基于求解西尔维斯特方程的算法。 西尔维斯特方程是具有如下形式的矩阵方程： RTF

24、AT（650）式中， 和 可以不是方阵，此时， 和 就不是方阵。若 和 是 方阵，则 和 也是 方阵。在状态反馈的计算中，就属于后者。AFTRAFnnnn 西尔维斯特方程求解的问题是：已知 和 ，给定 ，求解 。AF 一般形式的西尔维斯特方程求解是比较困难的，但在 和 是 方阵，且 是对角线型时，西尔维斯特方程就便于求解了。 下面介绍一种适合于系统综合的西尔维斯特方程 (650) 的简捷解法。AFnnF 西尔维斯特方程TRRT现令 及 ，并设1nt t t T21nr r r R2n00000021F则式(650)可写成000000121nnr r r t t t t t t A2n21n21

25、(643)niiiii, , , rtAt21iiirtAI)(651)有(644)(646)(AI i1)( AIi说明当 ( 表示 的特征值)时， 是非奇异的， 存在，西尔维斯特方程有唯一解： )(Ai)(AiAiiirAIt1)(nt t t T21(645)若有复极点，例如 ，为避免复数计算，取jii1,00000000j1F对于复极点有 iiiiiiiirt t Atrt t At111写成矩阵形式 11iiiirrttAI I I AI 111iiiirrAI I I AI tt（656）（657）（658）（659）若 ，则西尔维斯特方程可能有解也可能无解，但仍有求解方法。 )(

26、Ai只要选 ， ， 是 对应于 的特征向量时，方程有解。 0r i0tAIii)(itAi为了避免方程无解，在用求解西尔维斯特方程计算状态反馈阵时，总是选取 ，即 和 没有相同的特征值。 AF)(Ai基于求解西尔维斯特方程计算状态反馈阵的方法 设 能控，其中 是 阵， 是 阵，求一个 的 ，使 具有期望的特征值，(其中不包含 的特征值)。）（B A, AnnBpnnpK)(BKAA计算步骤如下： 选择一个对角线型常数阵 ，使其具有期望的特征值 ， 并且不包含有 的特征值，即 。 F)(AiAi 选一个任意 的常数阵 ，使 能观；K）（K F,np 求解西尔维斯特方程 ，定出其唯一解 ；KBTF

27、ATT 若 是非奇异的，转入下一步。若 是奇异的，则重选 或 ，再重复以上步骤；TTKF 计算状态反馈阵 。1TKK算法中需要证明两点： 的特征值等于 的特征值； )(BKAF 为非奇异的必要条件是 能控且 能观。T）（B A, ）（K F,定理定理6 63 3 假设西尔维斯特方程KBTFAT式中， ， ， 都是 常数阵， 是 常数阵，若 是非奇异的，令 ， 是 常数阵。则 的特征值等于 的特征值。AFTnnBpnT1TKKKnp)(BKAF证明证明 若 是非奇异的，则TBKTKBTFATTFTBKA)(1TFTBKA上式说明， 与 是相似的，它们具有相同的特征值。 )(BKAF证毕证毕 （6

28、60） 的特征值可以任意配置，但除了 的特征值外。因为只有当 与 不具有相同的特征值时，方程 存在唯一解 。 )(BKAAFAKBTFATT定理定理6 64 4 若 和 没有相同的特征值，则 存在非奇异解 的必要条件是 能控且 能观。对单变量系统则是充分必要条件。AFKBTFATT）（B A, ）（K F, 证明证明 先考虑多变量系统 的情况。 1p若 的特征多项式为： Annnnssss111)(由凯莱哈密顿定理0IAAAAnnnn111)(考虑IFFFFnnnn111)(设 是 的特征值，因此 也是 的特征值。 iF)(i)(F由于 和 没有相同的特征值，所以 以及 。 AF0)(i0F

29、)(方阵的行列式等于其特征值的乘积，则 0)()(detiiF即 是非奇异的。 )(F利用 及 KBTFATFTFATKABTFKBTFATFTA222)()(可得以下方程：0TIITKBTFATFKBKABTFTA222233FKBFKABKBATFTA322344FKBFKABFKBAKBATFTA12214nnnnnFKBFKABFKBAKBATFTA将第一个方程乘以 ，第二个方程乘以 ，第三个方程乘以 ，倒数第二个方程乘以 ，最后一个方程乘以1，而后将这些方程相加，再经化简和整理可得n1n2n1F22UWV FKFKFKK00III0IIIIII BABAABB FTFTTA11212

30、11)()()(npppppnpppnpnn式中， 是 的能控性矩阵( 矩阵)， 是 的能观性矩阵( 矩阵)， 是 非奇异的方阵。 U）（B A, npnFV）（K F,nnpWnpnp若 或 ，则必有 。因此 为非奇异的必要条件是 能控和 能观。 nrankUnrankFV nrankTT）（K F,）（B A, 然而， 和 ，即 能控和 能观并不一定能导出 为非奇异。nrankUnrankFV）（B A, ）（K F,T对于单变量系统 ， 和 都是 方阵， 和 就必然导出 为非奇异。 1qUFVnnnrankUnrankFVT证毕证毕证明中用到西尔维斯特不等式 min)(QP,PQQPra

31、nkrankrankrrankrank式中，若 是 阵， 是 阵。PrlQkr对于 ， ， ， ， 。 W Unprnpknl,nrankUnprankW nrank)(W U而对于 ， ， ， ， 介于 和 之间，就不一定等于 。FVUW）（ranknprnknl,nrank)(W UnrankFVFVW U）（n)2(npnn 关于关于 和和 的选择的选择FK基于西尔维斯特方程计算状态反馈的算法正确地选择 和 是重要的。 FK若期望特征值是两两互异的(通常期望特征值不选重根)，总是将 选为对角线型；如有复极点，则选式(656)的对角方块形式。F）（K F,K同时选择满足 能观的 。当选取

32、为对角线型时上述条件的 是容易选择的。FK的选择的选择的选择的选择FK例例 6 63 3 例62的倒摆系统，期望的特征值为： ， ， 。 12j1选取 01111100110000200001k F输入以下命令a=0,1,0,0;0,0,-1,0;0,0,0,1;0,0,11,0;b=0;1;0;-1;f=-1,0,0,0;0,-2,0,0;0,0,-1,1;0,0,-1,-1;kb=1,1,1,0;t=lyap(a,-f,-b*kb);k=kb*inv(t)得以下结果k = -0.4000 -1.0000 -21.4000 -6.0000例例 6 64 4 如下系统 用MATLAB求状态反馈

33、阵 ，期望极点为：K输入以下命令a=1,2,-1；0,1,0；1,0,3；b=1,0；0,1；0,0；f=-1,1,0；1,-1,0；0,0,-5；kb=1,0,0；0,0,1;t=lyap(a,-f,-b*kb)；k=kb*inv(t)得结果 k = 6.0000 1.3061 16.0000 0 6.0000 05,1,1321jj100001301010121B A取100001110110005K F基于西尔维斯特方程优点：计算方便，避开了等价变换的繁琐计算。比较方便地解决了多输入系统的极点配置问题。只要按期望特征值将 选为对角线型，并选择满足 能观的 ，总能求得方程的非奇异解 ，从而

34、求得状态反馈阵 。 F),(KFTKK求解西尔维斯特方程可以应用MATLAB中的 命令。lyap 能控标准型算法 多输入系统极点配置问题是：已知能控 的 和一组期望特征值 ，求 维实矩阵 ，使 的特征值为 。 ),(BA),(21n npK)(BKA),(21n 不失一般性，假设 。3, 6pn 如果系统 是能控的，则存在非奇异阵 , 以及等价变换 ，将系统变换成龙伯格能控标准型 。(假设它的能控性指数为 )：)(BA,1, 2, 3321PPxx )(B,A3135343332312621222322211615141112131010000000100000010AQQA100100001

35、0000002112111BQB将 个期望特征值按 分成3组，复极点必须成对分配在同一组内，假设它们是 , , 。然后计算原系统期望的特征多项式n321,),(131211),(2221)(31() 取状态反馈阵 为K33323123222111111212131211211110010113GKGK313135342621212222161514（661）式中000101211211G取 ，其目的是使 ，或GKGK1GBBG10001000000100000010010000100000012112111GGBBG)()(GGKBAKBA于是，按式(661)设计 ，可得到如下形式的 ：GK)

36、(KBA 312122111213000000000010000000000100000010KBA（662）这种形式的 ，其子系统具有解耦的形式，系统的特征值则由对角线上矩阵块的特征值组成，便于按照期望特征值的要求来配置。)(KBA 也可以设计成上三角阵或下三角阵，只要具有与式(662)相同的对角线矩阵块，它们也具有与式(662)相同的特征值。且期望特征值可配置在不同的块内，但所得到的 是不同的。 )(KBA 所以多输入系统状态反馈阵的选择不是唯一的。多输入系统状态反馈阵的选择不是唯一的。 K 求能控标准型等价变换阵 及 ；1QQ 计算状态反馈阵 。 1QKK例例 6 65 5 求如下系统的

37、状态反馈阵 ，期望极点是： ， 。Kj 1153001001301010121B A010100011010101001211P b Ab b0011000130103011001S Sj 1,2 10010010024401011BQB AQQA0, 0, 2, 1, 442221211112 13，600262212122211311111212K500022010600262000100244010KBA06016260103011006002621QKK5)(22)(221sssss 522211112 系统加入状态反馈后的模拟仿真方块图如图66所示。1x2x3x1x 2x 3x 1y

38、2y166161u2u3图66 状态反馈设计方案的选择能控标准型中 的对角线上各个分块有以下形式 10000010mmiAA不失一般性，假定 是 方阵，其特征值 是两两各异的。从以下三个指标进行比较：iAmmi 同一个系统，满足同样的极点配置要求，多输入系统多输入系统的状态反馈阵的状态反馈阵 不是唯一的不是唯一的。其中有优劣之分，所以要选择适当的设计方案，使系统获得较好的性能。下面介绍一种比较指标，以及响应的研究结论，供设计使参考。 K 比较指标（663）a、响应幅值maxx 基于仿真结果归纳，有 ，通常 ，所以 越小， 也越小。1maxmax)(mix1maxmaxxmb、反馈增益幅值 反馈

39、增益幅值 ，因为反馈增益幅值与 的特征多项式的系数有关 miA)()()()()(21232211111imiimiiiimimiimimiisssss （664）所以， 越大，特征多项式的系数值也越大，反馈增益也越大。mc、系统的鲁棒性 反馈系统的鲁棒性与 的 范数 有关 越小，反馈系统的鲁棒性越好。因此 越小，特征多项式的系数越小， 也越小，系统的鲁棒性就越好。 BKAFrobeniusFBKAFBKAFBKAm结论结论: 由式（664）看出，配置极点时应尽量减小各分 块的维数，或增加分块数；期望特征值的数值也尽量选 得小些。具体的说：a、分块配置极点比整块配置极点好，子系统完全解耦（将状

40、态矩阵配置成对角阵）更好。b、 的对角分块的大小尽量均匀些。如 则各个分块的维数 尽量接近些。另外， 中各列 都能用上比较好，这样可以将反馈作用分散，以减小反馈增益的幅值。Amn21iBibc、特征值分配原则特征值分配到各个分块（分组）时，尽量满足 1max1max1max)( ,)( ,)(21miiiMaxMin（665）因为 ，所以应尽量使各分块中最大的 最小化。1maxmax)(iiix1maxmax)(iiix当 时，将绝对值大的特征值配置在维数小的分块内，绝对值小的特征值配置在维数大的分块内，以使各分块的特征多项式的系数不致过大。1i当 时，将绝对值小的特征值配置在维数小的分块内，

41、绝对值大的特征值配置在维数大的分块内，以使各分块的特征多项式的系数小一些。1i6.4.4 6.4.4 系统的镇定系统的镇定 系统的镇定问题是一个非渐稳定的系统，通过状态反馈使系统的特征值均具有负实部，实现渐近稳定，称系统实现了状态反馈镇定状态反馈镇定。 镇定是系统用状态反馈综合的一类情况，它只要求将极点配置到左半 平面，而不要求配置到特定的位置上。 从下面定理可知：用状态反馈实现镇定，使系统实现渐近稳定的条件放宽了，这也说明了讨论镇定问题的意义。s证明证明：系统 是不能控的，必可对系统进行能控性结构分解，设等价变换阵为 ，则 )(BA,Pc12cA0AAPAPA10BPBBc能控部分为 ，不能

42、控部分为 。 )(ccB,A)(0 ,Ac定理定理6 65 5 线性定常系统BuAxx由状态反馈可镇定的充分必要条件是：系统的不能控子系统系统的不能控子系统是渐近稳定的是渐近稳定的。 （666） 由式（667）可见，状态反馈能改变系统能控部分的极点，而不能影响系统不能控子系统的极点。 所以为使系统的所有极点都具有负实部，或由状态反馈状态反馈可镇定的充分必要条件使系统不能控子系统是渐近稳定的可镇定的充分必要条件使系统不能控子系统是渐近稳定的。 证毕证毕 引入状态反馈阵 ，必存在 ，则闭环系统的特征多项式K21KKKPK1)det()det()()(det)det()(detc1ccc2c121c

43、cAIKBAI AI0KBAKBAI KBAIBKAI ssssss（667）用状态反馈配置镇定系统的算法用状态反馈配置镇定系统的算法 判定镇定性：若系统不完全能控，进行能控性结构分解，判不能控子系统稳定性，若不能控特征值不稳定，则系统不能镇定；若不能控特征值稳定，则系统能镇定。从系统能控性分解中，找出 ，并求出等价变换阵 。)(ccB,A1P 求能控子系统 的能控标准型，以及等价变换阵 (如果不用能控标准型计算，就不必求 )；c2P)(ccB,Ac2P 用前面介绍的方法计算能控部分的 状态反馈阵 ( 是 的维数)，使能控部分的特征值均具有负实部；pnccncA1K若系统 是不能控的，用状态反

44、馈镇定系统的计算步骤：)(BA, 系统的状态反馈阵121PP 0 K K 将 的维数扩展为与系统矩阵 具有相同维数的 ，即c2P2PAI00PP2c2 是 非奇异阵； 2Pnn例例 6 66 6 设不能控不稳定系统 B A010010110010111用状态反馈镇定系统。 解：解：( 1)验算：系统的特征方程： ) 1() 1(110010111det)det(2ssssssAI用状态反馈镇定系统：例如将系统的特征值配置到 。 122、 系统能控性矩阵20101010000001011102U BAABBUrank系统不完全能控。(2)(2)判系统能镇定性。判系统能镇定性。0100011000

45、0110001011QP Q0010011001111011111BPB APPA能控子系统10011101ccB A用求解西尔维斯特方程的方法求 的状态反馈阵 。取 )(ccB,A1K2002F10011K对系统作能控性分解：取等价变换阵能控子系统的极点为: ,不能控子系统的极点为 ，所以系统是可镇定的。 (3) 计算状态反馈阵1, 11 是非奇异的。T00130001000110001000311P 0 K K验证：210010112001300010010110010111BKA) 1)(2)(2()det(ssssBKAI可解得 131031T于是1103111TKK6.5.1 6.5

46、.1 系统解耦问题系统解耦问题 解耦问题是多输入多输出系统综合中的一类问题。其目的是寻找一个适当控制，使系统实现一个输出只受一个输入控制，一个输入也只控制一个输出，如图67所示。 )(11sG)(22sG)(sppG1u2upu1y2ypy 系统的解耦方法有两种：前馈补偿器解耦和状态反馈解耦。本节只讨论状态反馈解耦。 6.5 6.5 状态反馈在系统综合中的其他应用状态反馈在系统综合中的其他应用图67考虑能控的多输入多输出的线性定常系统CxyBuAxx（668）式中， 是 阵， 是 阵， 是 阵。系统能解耦的前提条件是： ABCnnpnnqqp （669）即输入与输出的个数相同。系统的传递函数阵

47、 是 方阵，且是严格正则有理函数阵。)(sGpp 采用状态反馈和输入变换结合的控制规律，即取 LvKxu式中， 是 反馈增益阵， 是 非奇异输入变换阵， 是 参考输入。（670）KnpLppv1p状态反馈解耦系统的方块图如图68所示。 LKABCKxvyxu图68其状态空间描述为 CxyBLvxBKAx)(671) 传递函数阵为 BLBKAICGKL1)()(ss(672) 是 严格正则有理函数阵。 )(sKLGpp 解耦问题就是对式(668)的系统，寻找一个输入变换和状态反馈的矩阵对 ，使状态反馈解耦系统的传递函数阵 是非奇异对角线有理函数阵。即 )(KL,)(sKLG GGGGKLKL2K

48、L1KL)()()()()()()(2211sgsgsgssssppp (673)式中 pisvsysgiiiiii , , , 210)()()( (674) 解耦须研究两个问题：一是系统能够解耦的条件。二是给出系统解耦的算法，确定所要求的矩阵对 。 )(KL,6.7 6.7 状态观测器状态观测器6.7.16.7.1 状态重构状态重构( (估计估计) )要实现状态反馈，必须能直接测量状态变量。 实际系统中状态变量并不一定都是能测量 有的虽然可以测量，但传感器价格昂贵有的信号微弱，测量时容易混入噪声有些状态变量不是物理量，根本就无法测量 存在的问题：重构系统的状态。用运算放大器或计算机实现系统

49、状态的重构，重构的状态易于测量与应用。解决问题的办法：这就是状态观测器状态观测器。开环状态观测器开环状态观测器系统状态重构最简单的办法是用运算放大器直接构建一个系统，它与原系统具有相同的状态空间描述。 CxyBuAxx设原系统 利用原系统的输入 ，按式(6170)系统的参数 ，重构一个系统，其状态空间描述为（6170）CB,A,uxCyBuxAx（6171）式中， 是重构的状态， 是输出。x y 式(6171)称为系统的开环状态观测器开环状态观测器，图618是其方块图。 ABuCxxABuCx 原系统yy 开环状态观测器图618 状态观测器开环状态观测器虽然结构简单，从理论上讲 。在实践中很难

50、做到使两个系统的初始状态完全相等，即很难做到 ，从而使 。尤其当系统具有正实部的特征值时，二者的误差将是发散。xx )0()0( xx)()( ttxx由式(6170)与(6171)有 ) () (xxCy-yxxAxx（6172）可见，如果 的特征值具有正(或零)实部， 将是发散的。而且由于两者参数很难完全相同，因此开环状态观测器是没有实用价值的。Axx解决问题的办法：利用 和 的误差信号对状态观测器进行校正，使满足y0 xx) (limt（6173）达到 与 渐近相等，或渐近估计。这就是渐近状态观测器渐近状态观测器，简称状态观测器状态观测器。 x xy 图619是渐近状态观测器的方块图状态

51、观测器状态观测器 有全维状态观测器和降维状态观测器两种有全维状态观测器和降维状态观测器两种6.7.2 6.7.2 全维状态观测器全维状态观测器ABuCxABuCx 原系统yy 状态观测器L1y-y图616 渐近状态观测器的方块图状态观测器的状态方程为： xCyLBuxAx) (LyBuxLCAx)(（6175）（6174） 是 常数阵。 定义状态观测误差：Lqn)( )()(tttxxe（6177）（6176）两边求导 xxLCA LCxBuxLCABuAx xxe) )()()( )()(ttteLCAe)()(t状态观测误差 的行为完全由矩阵 决定，如果 的特征值都具有负实部， 就是渐近稳

52、定的。 e)(LCA)(LCAe0 xxe)( )(lim)(limttttt（6178）称 是 的渐近估计， 与 有相同的维数。式（6175）所示的状态观测器是全维状态观测器全维状态观测器。x x状态观测误差 趋向零的速率决定于 特征值的负实部。如果 的特征值都具有小于 的负实部，可以断言 的所有分量将比 快的速度衰减至零。)(te)(LCAx x)(LCA)(tete假如 的特征值可以任意配置，就可以控制状态观测误差 的行为或 趋向于零的速率。即使 与 之间存在较大的误差，也有办法使状态观测器的状态 很快地趋于系统的状态 。)(te)(te)(LCAx xx x6.7.3 6.7.3 状态

53、观测器状态观测器 的特征值可以任意配置的条件的特征值可以任意配置的条件()ALC定理定理6 612 12 对于系统CxyBuAxx（6179） 的特征值可以任意配置的充分必要条件是 能观。)(CA,()ALC证明证明：根据对偶原理 能观 能控。 )(TTC,A)(KCATT)(CKAT)(CA,()ALC的特征值可以任意配置K：状态反馈阵的特征值可以任意配置（只要取 ）的特征值可以任意配置TKL 证毕证毕6.7.4 6.7.4 基于求解西尔维斯特方程的算法基于求解西尔维斯特方程的算法设 维常数阵 ， 为 常数阵。配置 特征值可通过求解西尔维斯特方程 )(LCAGCFTTA（6180） 状态观测

54、器设计的西尔维斯特方程qnTLG Tnn若方程存在唯一非奇异解 ， 的特征值等于 的特征值， 。)(LCATF由定理612 ， 的极点配置问题，可转换为 的极点配置问题 ， 。 )(LCA)(KCATTTKL 基于求解西尔维斯特方程的极点配置算法，需求解方程： KCTFTATT（6181）式中， 。KTK GTKL1T将上式转置CKTFTATTTTT由于 是方程要求取的解，以 来替代并无大碍，再以 代入，便得式（6180）的西尔维斯特方程 。 TTTTTKTLG 若方程存在唯一非奇异解 ，则 的特征值等于 的特征值， TGTKL FTTLCA TLCGCFTTA11T（6182）)(LCAGT

55、L1FGCFTTA定理定理6 613 13 设 和 没有相同的极点，并且 具有期望的特征值，则方程 有非奇异解 的必要条件是 能观， 能控。 FFAGCFTTAT)(CA,)(GF,定理的证明与定理64相似，此略。 能观系统Cxyxx BuAxx0)0(（6185）（6184）（6183）其状态观测器为 LyBuxLCAx)(令 ，则状态观测器方程可改写为zTx1zTxTLyTBuzTLCATz)(11 状态观测器状态方程的等价形式（6186）再令 ， ， ，则状态观测器方程为1)(TLCATFTBH TLG zTxzz Gy HuzFz)0( 10式中， ， 和 分别为 ， 和 实常数阵。F

56、HGnnpnqn 式（6184）和（6186）都是式（6183）所示系统的状态观测器方程，它们式等价的。定理定理6 61414 对任意的 、 和 ，使式（6186）成为式（6183）系统的状态观测器的充分必要条件是： 且 为非奇异； ； 的所有特征值都具有负实部。 0 x0zuGCFTTATTBH F证明证明：充分性令 ，则由式(6183)和(6186)可导出 zTxeuHTBxGCFTTAFe GyHuzFTBuTAxzxTe)()()(（6187）若条件和成立，则 ，对于任意的 和 ， 由条件Fee 0 x0 z)()(00zTxeFtet0zTxeF)(lim)(lim00tttet这表

57、明：当 ， ， (或 )是 的渐近估计，即 是 的渐近估计。 t)( tz)(tTx)( tz)( txT)(tTx)( tx)(tx 必要性：如果式（6186）是式（6183）系统的状态观测器，而条件和不成立，即 及 ，那么，即使条件满足， 也不会等于零，除非 ， 。条件则是保证收敛的必要条件。 证毕证毕GCFTTATBH )(limtte0 x)(t0u)(t 基于求解赛尔维斯特方程的算法的计算步骤基于求解赛尔维斯特方程的算法的计算步骤取 矩阵 ，使其全部特征值都具有负实部，且与 没有相同特征值。通常取为具有期望特征值的对角线型或约当型； 选取 矩阵 ，使 能控； 求解方程 ，求得其唯一解

58、 ； 若 是非奇异的，计算 或 。若 是奇异的，则重选 或 ，重复的步骤。nnFAqnG)(GF,GCFTTATTBH GTL1TTGF例例 6 61010 用求解西尔维斯特方程算法计算下列系统的状态观测器uxx101101301010121xy010001状态观测器的期望特征值是： 。211, , jjGCFTTA用MATLAB求解西尔维斯特方程lyap将方程改写为 命令要求的形式GCTAFT 是能观的，取 为)(CA,F200011011F100001G再按照 能控的要求，取 为输入以下命令并执行： a=1,2,-1; 0,1,0; 1,0,3;f=-1,-1,0; 1,-1,0; 0,0

59、,-2;c=1,0,0; 0,1,0;g=1,0; 0,0; 0,1;h=-g*c; t=lyap(f,-a,-h);tn=inv(t);l=tn*g求得：G)(GF,l = 6.0000 -2.4000 0 3.0000 -16.0000 20.40006.7.5 6.7.5 基于能观标准型的算法基于能观标准型的算法 用对偶原理计算只要对能控的系统 ，计算满足极点配置要求的状态反馈阵 ，然后取 )(TTC,AKTKL 对式（6183）系统，设 能观，给定一组期望的极点 ，求状态观测器的反馈增益阵 。（6188）)(CA,)(21n , , , L 基于能观标准型的设计方法基于能观标准型的设计

60、方法与用能控标准型配置极点的算法式类似的。不失一般性，假设 ，计算步骤如下：36qn , 假设 是能观的，其能观性指数为 ，则存在非奇异阵 及等价变换 ，将系统变换成龙伯格能观标准型。123321 , , )(C, APPxx 3126163522153421143313113212123111131000100000010001000PAPA100001000000100CPC2112111将 个期望特征值按 分成 3 组，复极点必须成对配置在同一组内。假定它们是 、 、 ，并计算系统的期望特征多项式123321 , , n),(131211),(2221)(3131312222121312