极限的求法与技巧

1、推荐精选极限的求法与技巧姓名：印溪学号：B09060503函数极限的计算是数学分析的基础，那么如何根据表达式求出极限值呢?对于这一问题只能针对小同体型采取相应的求法。下面概括了常用的若干求极限的方法，更多方法，有赖于人们去总结和发现。1.运用极限的定义例：用极限定义证明:1223lim22xxxx证: 由244122322xxxxxx2222xxx取 则当 时,就有020 x 12232xxx由函数极限定义有: 1223lim22xxxx2.利用等价无穷小替换常用的等价无穷小关系：,arctanarcsin,tan,sin,0 xxxxxxxxx 等价无穷小代换法 设 都是同一极限过程中的无穷

2、小量，且有：, ， 存在，,lim,1xex ,ln1axax ,)1ln(xx ,ln)1(logaxxa ,2111xx ,111xnxn ,1)1(xx 推荐精选则 也存在，且有= limlimlim例:求极限 2220sincos1limxxxx 解: ,sin22xx2)(cos1222xx=2220sincos1limxxxx212)(2222xxx注： 在利用等价无穷小做代换时，一般只在以乘积形式出现时可以互换，若以和、差出现时，不要轻易代换，因为此时经过代换后，往往改变了它的无穷小量之比的“阶数”3利用极限的四则运算法则 极限的四则运算法则叙述如下：若 Axfxx)(lim0B

3、xgxx)(lim0(I) )()(lim0 xgxfxx)(lim0 xfxxBAxgxx)(lim0(II)BAxgxfxgxfxxxxxx)(lim)(lim)()(lim000(III)若 B0 则： BAxgxfxgxfxxxxxx)(lim)(lim)()(lim000（IV） （c 为常数）cAxfcxfcxxxx)(lim)(lim00上述性质对于时也同样成立xxx, 总的说来，就是函数的和、差、积、商的极限等于函数极限的和、差、积、商。例：求 453lim22xxxx解: =453lim22xxxx2542523224、利用两个重要的极限。 1sinlim)(0 xxAxex

4、Bxx)11 (lim)(但我们经常使用的是它们的变形：推荐精选)( ,)(11lim()()0)( , 1)()(sinlim)()(xexBxxxAx例：求下列函数极限 xaxx1lim) 1 (0、bxaxxcoslncoslnlim)2(0、 )1ln(ln1 ln)1ln( ,11 uauxaauxuaxx于是则）令解：（auauuauauxauxuuuuxxln)1ln(lnlim)1ln(lnlim)1ln(lnlim1lim00 10000故有：时，又当)1(cos1ln)1(cos1ln(lim)2(0bxaxx、原式1cos1cos1cos)1(cos1ln1cos)1(c

5、os1ln(lim0axbxbxbxaxaxx1cos1coslim0axbxx222222220220)2()2()2(2sin)2(2sinlim2sin22sin2limabxaxbxbxbxaxaxbxxx5、利用无穷小量与无穷大量的关系。 （I）若： 则 )(limxf0)(1limxf(II) 若: 且 f(x)0 则 0)(limxf)(1limxf例: 求下列极限推荐精选 51limxx11lim1xx解: 由 故 )5(lim xx051limxx由 故 =0) 1(lim1xx11lim1xx6. 变量替换例 求极限 . 分析 当 时,分子、分母都趋于 ,不能直接应用法则,

6、注意到 ,故可作变量替换. 解 原式 = = (令 ,引进新的变量,将原来的关于 的极限转化为 的极限.) = . ( 型,最高次幂在分母上) 7. 分段函数的极限例 设 讨论 在点 处的极限是否存在. 分析 所给函数是分段函数, 是分段点, 要知 是否存在,必须从极限存在的充要条件入手. 解 因为 所以 不存在. 推荐精选注 1 因为 从 的左边趋于 ,则 ,故 . 推荐精选注 2 因为 从 的右边趋于 ,则 ,故 .8、利用函数的连续性（适用于求函数在连续点处的极限） 。)()(lim)(lim)()(lim)()()()(lim)()(000000afxfxfauufaxxfiixfxf

7、xxxfixxxxxxxx处连续，则在且是复合函数，又若处连续，则在若例：求下列函数的极限 （2） )1ln(15coslim) 1 (20 xxxexx、xxx)1ln(lim0 1ln)1 (limln()1ln(lim)1ln(lim)1 ()1ln()1ln()2(6)0()1ln(15coslim)1ln(15cos)(01010011202exxxxxxxxxfxxxexxxexfxxxxxxxxxxx故有：令、由有：故由函数的连续性定义的定义域之内。属于初等函数解：由于9、洛必达法则（适用于未定式极限）定理：若AxgxfxgxfAAxgxfiiixgxuxgfiixgxfixxx

8、xxxxxxx)()(lim)()(lim()()(lim)(0)()()(0)(lim, 0)(lim)(00000000），则或可为实数，也可为内可导，且的某空心邻域在与此定理是对型而言，对于函数极限的其它类型，均有类似的法则。00注：运用洛必达法则求极限应注意以下几点：1、 要注意条件，也就是说，在没有化为时不可求导。,002、 应用洛必达法则，要分别的求分子、分母的导数，而不是求整个分式的导数。3、 要及时化简极限符号后面的分式，在化简以后检查是否仍是未定式，若遇到不是未定式，应立即停止使用洛必达法则，否则会引起错误。推荐精选4、当 不存在时，本法则失效，但并不是说极限不存在，此时求极

9、限须用另外方法。)()(limxgxfax例： 求下列函数的极限 )1ln()21 (lim2210 xxexx)0, 0(lnlimxaxxax解：令 f(x)= , g(x)= l21)21 (xex)1n(2x, 21)21 ()(xexfx212)(xxxg22223)1 ()1 (2)(,)21 ()(xxxgxexfx由于0)0()0(, 0)0()0(ggff但2)0(, 2)0(gf从而运用洛必达法则两次后得到122)1 ()1 (2)21 (lim12)21 (lim)1ln()21 (lim22223022102210 xxxexxxexxexxxxxx 由 故此例属于型，

10、由洛必达法则有：axxxxlim,lnlim)0, 0(01lim1limlnlim1xaaxaxxxxaxaxax= 222220sincossinlimxxxxxx21注:此法采用洛必达法则配合使用两个重要极限法。解法二: =2220sincos1limxxxx21222sinsin122sinlimsin2sin2lim222222022220 xxxxxxxxxxx注：此解法利用“三角和差化积法”配合使用两个重要极限法。推荐精选解法三:21sin42lim4sin2limcos1limsincos1lim22032022202220 xxxxxxxxxxxxxxxxx注:此解法利用了两

11、个重要极限法配合使用无穷小代换法以及洛必达法则解法四:21sin2)(limsincos1limsincos1lim224220224202220 xxxxxxxxxxxxxx注:此解法利用了无穷小代换法配合使用两个重要极限的方法。解法五:2121lim)()2(2limsin2sin2limsincos1lim44022220222202220 xxxxxxxxxxxxxxx注:此解法利用“三角和差化积法”配合使用无穷小代换法。解法六：令2xu 21sincoscoscoslimcossinsinlimsincos1limsincos1lim0002220uuuuuuuuuuuuxxxuuu

12、x注：此解法利用变量代换法配合使用洛必达法则。解法七:2111limsincossinlimsincos1lim220222202220tgxxxxxxxxxxxx注:此解法利用了洛必达法则配合使用两个重要极限。10、 利用函数极限的存在性定理（夹逼准则） 定理定理: 设在的某空心邻域内恒有 g(x)f(x)h(x) 且有:0 x Axhxgxxxx)(lim)(lim00 则极限 存在, 且有)(lim0 xfxx推荐精选 Axfxx)(lim0例: 求 (a1,n0)xnxaxlim解: 当 x1 时,存在唯一的正整数 k,使 k xk+1于是当 n0 时有: knxnakax) 1( 及

13、 aakakaxknknxn11又 当 x时,k 有 knkak) 1(lim00) 1(lim1aaakknk及 1limknkak0101limaaakknk=0 xnxaxlim11、用左右极限与极限关系(适用于分段函数求分段点处的极限，以及用定义求极限等情形)。定理：函数极限存在且等于 A 的充分必要条件是左极限及右极限)(lim0 xfxx)(lim0 xfxx都存在且都等于 A。即有：)(lim0 xfxx=AAxfxx)(lim0)(lim0 xfxx)(lim0 xfxx例：设= 求及)(xf1,10 ,0,212xxxxxxxex)(lim0 xfx)(lim1xfx1) 1

14、(lim)(lim)(lim1)21 (lim)(lim00000 xxxxxfexfxxxxxx解：由1)(lim)(lim00 xfxfxx1)(lim0 xfx推荐精选不存在由（又)(lim)01 ()01 (1lim)(lim0) 1limlim)(lim1211111xfffxxfxxxxxfxxxxxx12、约去零因式（此法适用于）型时00,0 xx 例: 求121672016lim23232xxxxxxx解:原式=)12102(65)2062(103lim2232232xxxxxxxxxxx = )65)(2()103)(2(lim222xxxxxxx=)65()103(lim2

15、22xxxxx)3)(2()2)(5(lim2xxxxx=2limx735xx13、通分法（适用于型）例: 求 )2144(lim22xxx 解: 原式=)2()2()2(4lim2xxxx=)2)(2()2(lim2xxxx= 4121lim2xx14、利用泰勒公式对于求某些不定式的极限来说，应用泰勒公式比使用洛必达法则更为方便，下列为常用的展开式：1、)(! 212nnxxonxxxe2、)()!12() 1(! 5! 3sin212153nnnxonxxxxx推荐精选3、)()!2() 1(! 4! 21cos12242nnnxonxxxx4、)() 1(2)1ln(12nnnxonxx

16、xx5、)(!) 1() 1(! 2) 1(1)1 (2nnxoxnnxxx6、)(xx1 112nnxoxx上述展开式中的符号都有:)(nxo0)(lim0nnxxxo例:求)0(2lim0axxaxax解:利用泰勒公式，当 有0 x)(211xoxx于是 xxaxax2lim0=xaxaxax)121(lim0=xxoaxxoaxax)(211)()2(211lim0=axxoxaxxoaxaxx21)(21lim)(2lim0015、利用拉格朗日中值定理定理:若函数 f 满足如下条件： (I) f 在闭区间上连续 (II)f 在(a ,b)内可导则在(a ,b)内至少存在一点,使得推荐精

17、选abafbff)()()(此式变形可为: ) 10( )()()(abafabafbf例: 求 xxeexxxsinlimsin0解:令 对它应用中值定理得xexf)(即: ) 1(0 )sin(sin)sin()(sin)(sinxxxfxxxfxfeexx1)(0 )sin(sinsinsinxxxfxxeexx连续xexf)(1)0()sin(sinlim0fxxxfx从而有: 1sinlimsin0 xxeexxx16、求代数函数的极限方法(1)有理式的情况，即若:)0, 0(a )()()(00110110bbxbxbaxaxaxQxPxRnnnmmm(I)当时，有 x nm nm

18、 0 lim)()(lim00110110nmbabxbxbaxaxaxQxPnnnmmmxx(II)当 时有:0 x若 则 0)(0 xQ)()()()(lim000 xQxPxQxPx若 而 则0)(0 xQ0)(0 xP)()(lim0 xQxPx若,则分别考虑若为的 s 重根,即:0)(0 xQ0)(0 xP0 x0)(xP 也为的 r 重根,即:)()()(10 xPxxxPs0)(xQ推荐精选 可得结论如下：)()()(10 xQxxxQrrs , rs , )()(Prs , 0)()()(lim)()(lim010111000 xQxxQxPxxxQxPrsxxxx例：求下列函数的极限 503020) 12()23()32(limxxxx3423lim431xxxxx 解: 分子，分母的最高次方相同，故 = 503020) 12()23()3