二重积分的对称性PPT学习教案

1、会计学1二重积分的对称性二重积分的对称性例 设积分区域 D 关于 x 轴对称，D1 是 D 中对应于 y 0 的部分，证明：是偶函数，即是偶函数，即关于关于若被积函数若被积函数 ),( )1(yyxf).,(),(yxfyxf . ),(2 ),( 1 dyxfdyxfDD 则则证（1）积分区域如图： ).()(,:21xyyxybxaD由积分区域 D 关于 x 轴对称性).()(21xyxy oxyab)(1xyy )(2xyy 1D第1页/共13页 )()(21),( ),( xyxybaDdyyxfdxdyxf dxdyyxfbaxyxy )()(22),( 是偶函数是偶函数关于关于 )

2、,( )()(22yfdyyxfxyxy )(02),(2xydyyxf证（1）积分区域如图： ).()(,:21xyyxybxaD由积分区域 D 关于 x 轴对称性).()(21xyxy oxyab)(1xyy )(2xyy 1D第2页/共13页 )()(21),( ),( xyxybaDdyyxfdxdyxf dxdyyxfbaxyxy )()(22),( 是偶函数是偶函数关于关于 ),( )()(22yfdyyxfxyxy )(02),(2xydyyxf于是， dyxfD ),( dxdyyxfbaxyxy )()(22),( dxdyyxfbaxy )(02),( 2 dyxfD ),

3、(2 1 第3页/共13页是奇函数，即是奇函数，即关于关于若被积函数若被积函数 ),( )2(yyxf).,(),(yxfyxf . 0 ),( dyxfD则则证（2）积分区域如图： ).()(,:21xyyxybxaD由积分区域 D 关于 x 轴对称性).()(21xyxy )()(21),( ),( xyxybaDdyyxfdxdyxf oxyab)(1xyy )(2xyy 1D第4页/共13页 dxdyyxfbaxyxy )()(22),( 是奇函数是奇函数关于关于 ),( )()(22yfdyyxfxyxy . 0证（2）积分区域如图： ).()(,:21xyyxybxaD由积分区域

4、D 关于 x 轴对称性).()(21xyxy )()(21),( ),( xyxybaDdyyxfdxdyxf oxyab)(1xyy )(2xyy 1D第5页/共13页 )()(21),( ),( xyxybaDdyyxfdxdyxf dxdyyxfbaxyxy )()(22),( 是奇函数是奇函数关于关于 ),( )()(22yfdyyxfxyxy . 0于是， dyxfD ),( dxdyyxfbaxyxy )()(22),( dxba 0 20. 第6页/共13页积分区域 D 关于 x 轴对称，D1 是 D 中对应于 y 0 的部分，则：是偶函数，即是偶函数，即关于关于若被积函数若被积

5、函数 ),( )1(yyxf).,(),(yxfyxf . ),(2 ),( 1 dyxfdyxfDD 则则是奇函数，即是奇函数，即关于关于若被积函数若被积函数 ),( )2(yyxf).,(),(yxfyxf . 0 ),( dyxfD则则是偶函数是偶函数 y是奇函数是奇函数 y二重积分的轮换对称性：第7页/共13页积分区域 D 关于 y 轴对称，D1 是 D 中对应于 x 0 的部分，则：是偶函数，即是偶函数，即关于关于若被积函数若被积函数 ),( )1(xyxf).,(),(yxfyxf . ),(2 ),( 1 dyxfdyxfDD 则则是奇函数，即是奇函数，即关于关于若被积函数若被积

6、函数 ),( )2(xyxf).,(),(yxfyxf . 0 ),( dyxfD则则是是偶偶函函数数 x是奇函数是奇函数 x第8页/共13页103 页 2（2）. 4 : , )2(222轴围成的右半闭区域轴围成的右半闭区域及及 yyxDdxyD xyo22422 yx1D解D 区域关于 x 轴对称，且.),( 2xyyxf 设设),(),(yxfyxf dxydxyDD 1222而 . 20,40:21yyxD第9页/共13页 dxydxyDD 1222而 . 20,40:21yyxD dxydxyDD 1222因此，.1564 dxxydyy 2402202 2022)4(dyyy第10页/共13页103 页 2（3）. 1 : , )3( yxDdeDyx 解xyo111 1 xy 11 xyxy 11 xy1D deDyx deDyx 12第11页/共13页103 页 2（3）. 1 : , )3( yxDdeDyx 解 deDyx dedeDyxDy