回归分析概述及一元回归模型参数估计PPT学习教案

1、会计学1回归分析概述及一元回归模型参数估计回归分析概述及一元回归模型参数估计2.1 回归分析概述回归分析概述Introduction to Regression Analysis一、变量间的关系及回归分析的基本概念一、变量间的关系及回归分析的基本概念二、总体回归函数（二、总体回归函数（PRF）三、随机扰动项三、随机扰动项四、样本回归函数（四、样本回归函数（SRF）第1页/共61页一、变量间的关系及回归分析的基本概念一、变量间的关系及回归分析的基本概念 1 1、变量间的关系、变量间的关系 经济变量之间的关系，大体可分为两类：经济变量之间的关系，大体可分为两类：第2页/共61页 正相关 线性相关

2、不相关 相关系数：统计依赖关系 负相关 11XY 有因果关系 回回归归分分析析 正相关 无因果关系 相相关关分分析析 非线性相关 不相关 负相关第3页/共61页注意：注意：第4页/共61页变量被称为变量被称为解释变量解释变量(Explanatory Variable)或或自变量自变量(Independent Variable)。2 2、回归分析的基本概念、回归分析的基本概念第5页/共61页 回归分析构成计量经济学的方法论基础，其主要回归分析构成计量经济学的方法论基础，其主要内容包括：内容包括： （1 1）根据样本观察值对计量经济模型参数进行估计）根据样本观察值对计量经济模型参数进行估计, ,求

3、得求得回归方程回归方程；（2 2）对回归方程、参数估计值进行显著性检验；）对回归方程、参数估计值进行显著性检验；（3 3）利用回归方程进行分析、评价及预测。）利用回归方程进行分析、评价及预测。第6页/共61页 例例2.1：一个假想的社区有：一个假想的社区有100户家庭组成，要户家庭组成，要研究该社区每月研究该社区每月家庭消费支出家庭消费支出Y与每月与每月家庭可支家庭可支配收入配收入X的关系。的关系。 如果知道了家庭的月收入，能否预测该社区如果知道了家庭的月收入，能否预测该社区家庭的平均月消费支出水平。家庭的平均月消费支出水平。 为达到此目的，将该为达到此目的，将该100户家庭划分为组内收户家庭

4、划分为组内收入差不多的入差不多的10组，以分析每一收入组的家庭消费组，以分析每一收入组的家庭消费支出。支出。二、总体回归函数二、总体回归函数第7页/共61页表表 2.1.1 某某社社区区家家庭庭每每月月收收入入与与消消费费支支出出统统计计表表 每月家庭可支配收入X（元） 800 1100 1400 1700 2000 2300 2600 2900 3200 3500 561 638 869 1023 1254 1408 1650 1969 2090 2299 594 748 913 1100 1309 1452 1738 1991 2134 2321 627 814 924 1144 1364

5、 1551 1749 2046 2178 2530 638 847 979 1155 1397 1595 1804 2068 2266 2629 935 1012 1210 1408 1650 1848 2101 2354 2860 968 1045 1243 1474 1672 1881 2189 2486 2871 1078 1254 1496 1683 1925 2233 2552 1122 1298 1496 1716 1969 2244 2585 1155 1331 1562 1749 2013 2299 2640 1188 1364 1573 1771 2035 2310 1210

6、 1408 1606 1804 2101 1430 1650 1870 2112 1485 1716 1947 2200 每 月 家 庭 消 费 支 出 Y （元） 2002 共计 2420 4950 11495 16445 19305 23870 25025 21450 21285 15510 收入水平收入水平800110014001700200023002600290032003500条件概率条件概率 1/4 1/61/111/131/131/141/131/10 1/9 1/6条件均值条件均值60582510451265148517051925214523652585第8页/共61页因此

7、，给定收入因此，给定收入X的值的值Xi，可得消费支出，可得消费支出Y的的条件均条件均值值（conditional mean）或）或条件期望条件期望（conditional expectation）：）： E(Y|X=Xi)该例中：该例中：E(Y | X= 800) = 605分析：分析：第9页/共61页05001000150020002500300035005001000150020002500300035004000每月可支配收入每月可支配收入X（元）（元）每每月月消消费费支支出出Y（元）（元） 第10页/共61页 在给定解释变量在给定解释变量Xi 条件下被解释变量条件下被解释变量Yi 的期

8、望轨的期望轨迹称为迹称为总体回归线总体回归线(population regression line)，或，或更一般地称为更一般地称为总体回归曲线总体回归曲线(population regression curve)。)()|(iiXfXYE 称为称为总体回归函数总体回归函数（population regression function, PRF）。）。 相应的函数：相应的函数：第11页/共61页n含义：含义： 函数形式：函数形式： 可以是线性或非线性的。可以是线性或非线性的。 例例2.1中，将居民消费支出看成是其可支配收中，将居民消费支出看成是其可支配收入的线性函数时入的线性函数时: iiXX

9、YE10)|(为一为一线性函数线性函数。其中，。其中， 0 0， 1 1是未知参数，称为是未知参数，称为回归系数回归系数（regression coefficients）。第12页/共61页)|(iiiXYEY 称称 i为观察值为观察值Yi 围绕它的期望值围绕它的期望值E(Y | Xi) 的的离差离差(deviation)，是一个不可观测的随机变量，又称为，是一个不可观测的随机变量，又称为随机干扰项随机干扰项（stochastic disturbance）或）或随机误差随机误差项项（stochastic error）。）。 记记第13页/共61页f(u) X1X2XiX E（Y i丨丨X i）

10、YXn 第14页/共61页 (1)该收入水平下所有家庭的平均消费支出该收入水平下所有家庭的平均消费支出E(Y|Xi)，称，称为为系统性系统性(systematic)或或确定性确定性(deterministic)部分部分。 (2)其他其他随机随机或或非确定性非确定性(nonsystematic)部分部分 i。即，给定收入水平即，给定收入水平Xi ,个别家庭的支出可表示为两部分之和个别家庭的支出可表示为两部分之和:(*) 由于方程中引入了随机项，成为计量经济学模由于方程中引入了随机项，成为计量经济学模型，因此也称为型，因此也称为总体回归模型总体回归模型。第15页/共61页产生并设计随机误差项的主要

11、原因：产生并设计随机误差项的主要原因：1 1）理论的含糊性；）理论的含糊性；2 2）数据的欠缺；）数据的欠缺；3 3）节省原则）节省原则; ;第16页/共61页 问：能否从该样本估计总体回归函数问：能否从该样本估计总体回归函数PRF？ 例例2.2：在例：在例2.1的总体中有如下一个样本，的总体中有如下一个样本，表表2.1.3 家家庭庭消消费费支支出出与与可可支支配配收收入入的的一一个个随随机机样样本本 Y 800 1100 1400 1700 2000 2300 2600 2900 3200 3500 X 594 638 1122 1155 1408 1595 1969 2078 2585 2

12、530 总体的信息往往无法掌握，现实的情况只能是总体的信息往往无法掌握，现实的情况只能是在一次观测中得到总体的一组样本。在一次观测中得到总体的一组样本。第17页/共61页 记样本回归线的函数形式为：记样本回归线的函数形式为：iiiXXfY10)(称为称为样本回归函数样本回归函数(sample regression function，SRF)。 第18页/共61页则则 注意：注意：第19页/共61页 样本回归函数的随机形式样本回归函数的随机形式/样本回归模型：样本回归模型：同样地，样本回归函数也有如下的随机形式：同样地，样本回归函数也有如下的随机形式： iiiiieXYY10 回归分析的主要目的

13、回归分析的主要目的：根据样本回归函数：根据样本回归函数SRF，估计总体回归函数，估计总体回归函数PRF。即，根据即，根据 iiiiieXeYY10估计估计iiiiiXXYEY10)|( 式中，式中，ei 称为（样本）称为（样本）残差残差或或剩余项剩余项（residual），），代表了其他影响代表了其他影响Yi的随机因素的集合，可看成是的随机因素的集合，可看成是i的的估计量估计量 。 由于方程中引入了随机项，成为计量经济模型，由于方程中引入了随机项，成为计量经济模型，因此也称为因此也称为样本回归模型样本回归模型(sample regression model)。i第20页/共61页注意：注意：这

14、里这里PRF可能永远无法知可能永远无法知道。道。第21页/共61页第22页/共61页一、一、 线性回归模型的特征线性回归模型的特征CY 一个例子一个例子凯恩斯绝对收入假设凯恩斯绝对收入假设消费理论：消费消费理论：消费C是由收入是由收入Y唯一决定的，是收入的线性函数：唯一决定的，是收入的线性函数：但实际上上述等式不能准确实现。但实际上上述等式不能准确实现。 原因原因(1)(1)消费除了受收入影响外还受其他因素的影响。消费除了受收入影响外还受其他因素的影响。(2)(2)线性关系是一个近似，收入变量的观察值是近线性关系是一个近似，收入变量的观察值是近似的，数据本身并不绝对准确地反映收入水平。似的，数

15、据本身并不绝对准确地反映收入水平。第23页/共61页因此，一个更符合实际的数学描述是：因此，一个更符合实际的数学描述是：线性回归模型的特征线性回归模型的特征： 是通过引入随机误差项将变量之间的关系用线是通过引入随机误差项将变量之间的关系用线性随机方程来描述，并用随机数学的方法来估计性随机方程来描述，并用随机数学的方法来估计方程中的参数。方程中的参数。 在线性回归模型中，在线性回归模型中，被解释变量的特征由解释被解释变量的特征由解释变量和随机误差项共同决定。变量和随机误差项共同决定。CY第24页/共61页计量经济学中计量经济学中“线性线性”回归模型的含义回归模型的含义对参数为线性、对变量非线性的

16、函数：对参数为线性、对变量非线性的函数：对参数非线性对参数非线性、对变量线性的函数、对变量线性的函数：对参数非线性对参数非线性、对变量非线性的函数、对变量非线性的函数：对参数不可化为线性的函数对参数不可化为线性的函数对参数可化为线性的函数对参数可化为线性的函数12211YXX(1)121321lnYXX(2)312132YXX(3)QAK L(4)YX(5)第25页/共61页 对可化为线性的非线性模型的处理方法对可化为线性的非线性模型的处理方法(1)(1)变量置换变量置换例如，描述税收与税率之间关系的例如，描述税收与税率之间关系的拉弗曲线拉弗曲线： s = a+br+cr2 (c 0) s：税

17、收，：税收，r：税率：税率设，设，X1= r, X2= r2，则原方程变为，则原方程变为s = a+bX1+cX2 (2)(2)对数变换对数变换 例如，例如，Cobb-Dauglas生产函数：幂函数生产函数：幂函数QAK L Q:产出量，产出量，K：投入的资本，：投入的资本，L：投入的劳动投入的劳动方程两边取对数：方程两边取对数：lnlnlnlnQAKL第26页/共61页QAK LeQAK LQAK L注意模型线性化后注意模型线性化后 的前提假设的前提假设第27页/共61页121ln()iiiiYXY12eiiXiY(1)1211eiiiXY(2)121ln+()iiiYX(3)12lnln+

18、lniiiYX(4)312+iiiYX(5)1(1)iiiYAKL(7)21iXiiYe(6)第28页/共61页结论结论：l实际经济活动中的许多问题，变量之间的非线性关系都可以最终化为线性关系。线性回归模型具有普遍意义。实际经济活动中的许多问题，变量之间的非线性关系都可以最终化为线性关系。线性回归模型具有普遍意义。l即使对于无法采取任何变换方法使之变成线性的非线性模型，目前适用较多的参数估计方法非线性最小二乘法，其原理是以线性估计方法为基础。即使对于无法采取任何变换方法使之变成线性的非线性模型，目前适用较多的参数估计方法非线性最小二乘法，其原理是以线性估计方法为基础。l线性模型理论方法在计量经

19、济学理论方法中占据重要地位。线性模型理论方法在计量经济学理论方法中占据重要地位。第29页/共61页第30页/共61页0101 |iiiiiiiiiiYYXeYE Y XX计估估l采用最小二乘或最大似然方法。采用最小二乘或最大似然方法。第31页/共61页 一元线性回归模型一元线性回归模型：只有一个解释变量：只有一个解释变量 iiiXY10i=1,2,nY 为被解释变量，为被解释变量，X为为 解释变量，解释变量， 0 与与 1为为待估参数待估参数， 为为随机干扰项。随机干扰项。 估计方法估计方法有多种，其中最广泛使用的是有多种，其中最广泛使用的是普通普通最小二乘法最小二乘法（ordinary le

20、ast squares, OLS）。）。 为保证参数估计量具有良好的性质，通常为保证参数估计量具有良好的性质，通常对模型提出若干基本假设。对模型提出若干基本假设。 注：注：这些假设与所采用的估计方法紧密相这些假设与所采用的估计方法紧密相关。关。 第32页/共61页一元线性回归模型的基本假设一元线性回归模型的基本假设 假设假设1：解释变量：解释变量X是确定性变量，不是随机变量；是确定性变量，不是随机变量； 假设假设2：随机误差项：随机误差项 具有零均值、同方差和不序列相关性：具有零均值、同方差和不序列相关性： E( i| Xi)= E( i) = 0 i=1,2, ,n Var ( i | Xi

21、) = 2 i=1,2, ,n Cov( i, j)=0 ij i, j= 1,2, ,n 假设假设3：随机误差项：随机误差项 与解释变量与解释变量X之间不相关：之间不相关： Cov(Xi, i)=0 i=1,2, ,n 假设假设4： 服从零均值、同方差、零协方差的正态分布服从零均值、同方差、零协方差的正态分布 i N(0, 2 ) i=1,2, ,n110niin第33页/共61页如果假设如果假设1和和2满足，则假设满足，则假设3也满足；也满足；如果假设如果假设4 满足，则假设满足，则假设2 也满足。也满足。注意：注意： 假设假设1-4假设也称为线性回归模型的假设也称为线性回归模型的经典经典

22、假设假设或或高斯高斯(Gauss)假设假设，满足该假设的线性，满足该假设的线性回归模型称为回归模型称为经典线性回归模型经典线性回归模型(Classical Linear Regression Model, CLRM) 。 假设假设5：随着样本容量的无限增加，解释变量：随着样本容量的无限增加，解释变量X的样本方差趋于一个有限常数，即：的样本方差趋于一个有限常数，即： 假设假设6：回归模型是正确设定的。：回归模型是正确设定的。2(), iXXQnn 第34页/共61页假设假设4： i N(0, 2 ) i =1,2, ,n例：测度教育的回报问题例：测度教育的回报问题问题提出：如果从总体中选择一个人

23、，并让他或她多受一年教育，那么，他或她的工资会提高多少？问题提出：如果从总体中选择一个人，并让他或她多受一年教育，那么，他或她的工资会提高多少？ 工资水平与可测教育水平及其他非观测因素的关系：工资水平与可测教育水平及其他非观测因素的关系： 工资：小时工资工资：小时工资(元元)，教育：受教育的年数。，教育：受教育的年数。其他非观测因素：工作经验、天生素质、职业道德等。其他非观测因素：工作经验、天生素质、职业道德等。 E(i|Xi) = 0假设假设是天生能力，这个假定就是要求，不论受教育的年数是多少，平均能力水平都一样。例如，是天生能力，这个假定就是要求，不论受教育的年数是多少，平均能力水平都一样

24、。例如，E(abil|8) = E(abil|6)； 2011(,)YNX01wageeducu第35页/共61页 Var(i |Xi ) = 2，Var(Yi | Xi ) = 2Var(wage|educ)=2，虽然平均工资，虽然平均工资E(wage|educ)可随着教育水平的提高而增长，但工资相对于它的均值的可随着教育水平的提高而增长，但工资相对于它的均值的变异变异却被假定为对所有的教育水平都不变。却被假定为对所有的教育水平都不变。 i N(0, 2) 的理由：由于的理由：由于是影响是影响wage而又观测不到的许多因素之和，所以我们可以借助中心极限定理来断定而又观测不到的许多因素之和，所

25、以我们可以借助中心极限定理来断定具有具有近似正态分布近似正态分布。 01wageeducu第36页/共61页niiiniXYYYQ121021)()(第37页/共61页方程组（方程组（*）称为）称为正规方程组正规方程组（normal equations）。）。 由于参数的估计结果是通过最小二乘法得到的，由于参数的估计结果是通过最小二乘法得到的，故称为故称为普通最小二乘估计量普通最小二乘估计量（ordinary least squares estimators）。）。 01计组求求极极值值，可可以以推推得得用用于于估估和和 的的下下列列方方程程：01010 (*)0iiiiiXYXYX20221

26、22 iiiiiiiiiiiiiXYXYXnXXnYXYXnXX 解解得得：第38页/共61页最合理的参数估计量应该使得最合理的参数估计量应该使得从模型中抽取该从模型中抽取该n 组样本观测值组样本观测值的联合概率最大。的联合概率最大。第39页/共61页在满足基本假设条件下，对一元线性回归模型：在满足基本假设条件下，对一元线性回归模型： iiiXY10 随机抽取随机抽取n组样本观测值（组样本观测值（Xi, Yi）（）（i =1,2,n）。）。 那么那么Yi 服从如下的正态分布：服从如下的正态分布：),(210iiXNY于是，于是，Y 的概率密度函数为的概率密度函数为:2102)(2121)(ii

27、XYieYP（i=1,2,n） 假如模型的参数估计量已经求得，假如模型的参数估计量已经求得，为为01, 第40页/共61页因为因为Yi 是相互独立的，所以的所有样本观测值的是相互独立的，所以的所有样本观测值的联合概率，也即似然函数联合概率，也即似然函数(likelihood function)为：为： 将该似然函数极大化，即可求得到模型参将该似然函数极大化，即可求得到模型参数的极大似然估计量。数的极大似然估计量。20121()21( )2iiYiXeP Y20112(,)( ,.,)nLP Y YY 20121()221(2 )iiYXnne第41页/共61页 由于似然函数的极大化与似然函数的

28、对数的极大化是等价的，所以，取对数似然函数如下：由于似然函数的极大化与似然函数的对数的极大化是等价的，所以，取对数似然函数如下：*ln( )LL20121ln( 2)()2iinYX *201()iiLYX对对:求求极极大大值值,等,等价价于于求求极极小小值值20102011()0()0iiiiYXYX第42页/共61页解得模型的参数估计量为：解得模型的参数估计量为： 在满足一系列基本假设的情况下，模型在满足一系列基本假设的情况下，模型结构参数结构参数的的最大似然估计量最大似然估计量与与普通最小二乘普通最小二乘估计量估计量是相同的。是相同的。2022122iiiiiiiiiiiiiXYXY X

29、nXXnY XYXnXX 第43页/共61页解似然方程：解似然方程：*2012221()022iinLYX 2222011()iiieYXnn第44页/共61页记记11, , iiiiiiXXYYnnxXXyYY上述参数估计量可以写成：上述参数估计量可以写成： XYxyxiii1021称为称为OLS估计量的估计量的离差形式离差形式（deviation form）。）。 关于参数估计量的离差形式关于参数估计量的离差形式(deviation form)： 第45页/共61页记记YYyii则有则有 iniiieXXeXXy111010)()()(可得可得 iixy1（*）式也称为）式也称为样本回归函

30、数的样本回归函数的离差形式离差形式。（*）注意：注意： 在计量经济学中，往往以小写字母表示对均在计量经济学中，往往以小写字母表示对均值的离差。值的离差。 第46页/共61页10niie0101011()0()01()0iiiniiiE uE YXYXYXn第47页/共61页 （1）线性性线性性(linear)，即它是否是另一随机变，即它是否是另一随机变量的线性函数；量的线性函数； （2）无偏性无偏性(unbiased)，即它的均值或期望值，即它的均值或期望值是否等于总体的真实值；是否等于总体的真实值； （3）有效性有效性，即它是否在所有线性无偏估计，即它是否在所有线性无偏估计量中具有最小方差。

31、量中具有最小方差。第48页/共61页高斯高斯马尔可夫定理马尔可夫定理(Gauss-Markov theorem) 在给定经典线性回归的假定下，最小二乘估计在给定经典线性回归的假定下，最小二乘估计量是具有最小方差的线性无偏估计量。量是具有最小方差的线性无偏估计量。第49页/共61页2 2、无无偏偏性性，即估计量0、1的均值（期望）等于总体回归参数真值0与1 证：iiiiiiiiiikXkkXkYk10101)(易知02iiixxk1iiXk故iik111111)()()(iiiiEkkEE同样地，容易得出 0000)()()()(iiiiEwEwEE第50页/共61页3 3、有有效效性性（最最小

32、小方方差差性性） ，即在所有线性无偏估计量中，最小二乘估计量0、1具有最小方差。 (1)先求0与1的方差 )var()var()var()var(21021iiiiiiikXkYk22222iiixxx221020)/1 ()var()var()var(iiiiiikXnXwYw2222222221121iiiiixxXkXnnkXkXnn22222222221iiiiixnXxnXnxxXn第51页/共61页（2）证明最小方差性）证明最小方差性假设*1是其他估计方法得到的关于1的线性无偏估计量： iiYc*1其中，其中，ci=ki+di，di为不全为零的常数为不全为零的常数则容易证明则容易证

33、明)var()var(1*1同理，可证明0的最小二乘估计量0具有最的小方差 第52页/共61页结论：结论： 普通最小二乘估计量普通最小二乘估计量（ordinary least Squares Estimators）具有具有线性、无偏性、最小方差性线性、无偏性、最小方差性等优等优良性质。良性质。 具有这些优良性质的估计量又称为具有这些优良性质的估计量又称为最佳线性无最佳线性无偏估计量偏估计量（best linear unbiased estimator, BLUE） 全部估计量全部估计量线性无偏估计量线性无偏估计量最小方差估计量最小方差估计量第53页/共61页六、参数估计量的概率分布及随机干扰六、参数估计量的概率分布及随机干扰项方差的估计项方差的估计 1、参数估计量、参数估计量0和和1的概率分布的概率分布 ),(2211ixN),(22200iixnXN第54页/共61页22/1ix2220iixnX 第55页/共61页2、随机误差项、随机误差项 的方差的方差 2的估计的估计 由于随机项由于随机项 i 不可观测，只能从不可观测，只能从 i的估计的估计残差残差ei出发，对总体方差进行估计。出发，对总体方差进行估计。 2又称为又称为总体方差总体方差。 可以证明可以证明，2 的无偏估计量无偏估计量为222nei它是关于它是关于 2的无偏估计量。的无偏估计量。 第56页/