第三章 流体动力学课件

1、第一篇 动量传输第三章 流体动力学流体动力学（包括运动学）是研究流体在外力作用下的运动规律，内容包括流体运动的方式和速度、加速度、位移、转角等随空间与时间的变化，以及研究引起运动的原因和决定作用力、力矩、动量和能量的方法。流体动力学的基础：三个基本的物理定律，不论所考虑的流体性质如何，它们对每一种流体都是适用的。这三个定律所涉及的流体动力学的数学公式如下：（1） 质量守恒定律：其对应的数学表达式为连续性方程；（2） 牛顿第二运动定律：其对应的数学表达式为能量方程（包括纳维尔-斯托克斯方程、欧拉方程）；（3） 热力学第一定律（能量守恒定律）：能量方程（伯努利方程）。对流体动力学的研究方法先从研究

2、理想流体出发，推导其基本方程，然后根据实际流体的条件对基本方程的应用再加以简化或修正。在研究流体运动之前，先熟悉一些基本概念。第一节 流体运动的描述一、流场流场：充满运动流体的空间称为流场。在流场的任意点上，流体的质点以其本身的密度、产生的压力、与其它质点间的粘性力、质点本身流动速度、加速度等物理量表现质点的存在，这些物理量在流场的一切点上都是随时间、空间位置连续分布和连续变化的。二、研究流体运动的方法流体力学中常采用两种方法，拉格朗日（Lagrange）法及欧拉（Euler）法。两种方法的出发点不同。拉格朗日法的出发点是流体质点，即研究流体各个质点的运动参数随时间的变化规律，综合所有流体质点

3、运动参数的变化，便得到了整个流体的运动规律。在研究流体的波动和振荡问题时常采用此法。欧拉法的出发点在于流场中的空间点，即研究流场质点通过空间固定点时的运动参数随时间的变化规律，综合流场中所有点的运动参数变化情况，就得到整个流体的运动规律。由于研究流体运动时，常常希望了解整个流场的速度分布、压力分布及其变化规律，因此使用欧拉法来进行研究。1、速度表示的方法：（1）同一时刻流场内各空间点的流体质点速度是不相同的，速度是空间位置坐标（x，y，z）的函数；（2）同一空间点的不同时刻，流体通过该点的速度也可以是不相同的，速度也是时间t的函数。流体是连续介质，所以某点的速度应是x，y，z及t的连续函数。即

4、 或 通过流场中某点流体质点加速度为速度对时间的导数，可表示为教材所示。式（3-3）中等式右边第一项（如）表示通过空间固定点的流体质点速度随时间的变化率，称当地加速度；等式右边后三项反映了同一瞬间（即t不变）流体质点从一个空间点转移到另一个空间点的速度变化率，称为迁移加速度。质点的总加速度等于当地加速度与迁移加速度之和，即dv/dt称为全加速度。三、稳定流与非稳定流稳定流：流场中任一点处流体的运动参数及相关的物理量不随时间变化的流动。即流场的运动参数仅随位置改变而与时间无关的流动。非稳定流：流场中有一个或几个运动参数或相关的物理量是随时间而变化的流动就是非稳定流。即流场的运动参数不仅随位置改变

5、，而且随时间不同而变化，这种流动称为非稳定流。对于非稳定流，流场中速度和压力分布可表示为和 对于稳定流，流场中速度和压力分布可表示为 和 上述两种流动可用流体流过薄壁容器壁的小孔泄流来说明。如书P18图3-1、图3-2所示。本书主要研究稳定流的基本规律。四、迹线和流线（1）迹线：流场中，一段时间内流体质点的运动轨迹。其特点是：对于每一个质点都有一个运动轨迹，迹线是一族曲线，而且迹线只随质点不同而异，与时间无关。（是一个时间段内流体质点经过的路线。）（2）流线：流线为某一时刻（某一瞬时）流场中由流体质点的速度向量构成的连线，即在这条线的每一点上的切线与该点处流体质点的速度方向重合。（是某个瞬时流

6、场内各个质点速度向量的连线。）设在某瞬时t1，流场中某点1处流体质点的流速为v1；沿v1矢量方向无穷小距离ds1取点2，点2处流体质点在同一瞬时t1的流速为v2；，沿v2矢量方向无穷小距离ds2取点3，点3处流体质点在同一瞬时t1的流速为v3；依此类推，可以找到点4，点5，。这样，在t1瞬时可以得到一条空间折线1-2，2-3，3-4，当各折线ds趋近零时，该折线的极限为一条光滑的曲线S。曲线S就称为瞬时t1流场中经过点1的流线。流线是流场中某一瞬间的一条空间曲线，在该线上各点的流体质点所具有的速度方向与曲线在该点的切线方向重合。流线有三个特征：1）非稳定流时，由于流场中速度随时间改变，因此，非

7、稳定流时，经过同一点的流线其空间方位和形状是随时间改变的。2）稳定流时，由于流场中各点流速不随时间改变，所以同一点的流线始终保持不变，且流线上质点的迹线与流线重合。而非稳定流时，流线与迹线不重合。3）由于流场中每一点在每一瞬间只能有一个速度，因而流线不能相交，也不能转折，它是一条条光滑的曲线。流线分布的疏密程度可表示流体运动的快慢程度，流线分布密集处流速大，在流线分布稀疏处流速小。五、流管、流束、流量（1）流管：在流场中作一封闭曲线，过该曲线的所有流线所构成的管状表面称为流管。（注意，流管是由封闭曲线内所有流线构成。）非稳定流时，流管形状随时间改变，稳定流时流管形状不随时间变化。由于流线不能相

8、交的性质，流管内外的流线均不能穿越流管表面。（即流体不能穿过流管流进或流出。）（2）流束：流管内部的流体称为流束。与流束中每一根流线都正交的断面叫做有效断面。断面无限小的流束称为微小流束。由于微小流束的断面很小，可以认为微小流束断面上各点的运动参数相同，用积分的方法求出相应总有效断面的运动参数。（3）流量：单位时间内流过流管某一截面的流体体积或质量称为体积流量或质量流量，常用Q表示。体积流量的单位为m3/s或L/min。微小流束的有效断面中流速v相同，所在单位时间内流过此微小流束的流量dQ应等于vdA。一个流管是由许多流束组成，这些流束的流动参数并不一定相同，所以流管的流量为 v有效截面上各点

9、的流体流速； dA有效截面的微元面积。由于流体有粘性，任一有效断面上各点的速度大小不等，总有效断面上速度分布呈曲线，边界处v为零，管轴中心处v最大。平均流速：根据流量相等的原则，单位时间内匀速流过有效断面的流体体积应与按实际流体通过同一断面的流体体积相等，即 或 工程实际中，平均流速才具有应用价值，工程中所指的管道中流体的流速，就是指管道断面的平均流速。第二节 连续性方程连续性方程是质量守恒定律在流体力学中的一种表达形式。流体为连续介质，在研究流体运动时，同样认为流体是连续地充满它所占据的空间。根据质量守恒定律，对于空间固定的封闭曲面，稳定流时流入的流体质量必然等于流出的流体质量；非稳定流时流

10、入与流出的流体质量之差，应等于封闭曲面内流体质量的变化量。连续性方程就是反映这个原理的数学关系。一、直角坐标系的连续性方程在流场中取一平行六面体作为微元空间，其边长为dx，dy，dz，如书P21页图3-6所示。现在来考察该微元体内部流体的质量变化。如果考虑流场中流体密度是逐点随时变化的，即密度=f（x，y，z，t）。六面体点m（x，y，z）上流体质点的速度为vx，vy，vz，根据质量守恒定律有单位时间输入微元体的质量单位时间输出微元体的质量=单位时间微元体内累积的质量 （A）（当然如果累积量为零，则为稳定流动，否则为非稳定流动。）质量的流入、流出情况如图3-6箭头所示，在x轴方向上经x面流入微

11、元空间的质量流量vxdydz，通过x+dx面流出微元空间的质量流量应为，则dt时间内沿x向从六面体x处与x+dx处输入与输出的质量差为同理，沿y轴和z轴方向上流入和流出的质量流量差分别为 ； 则dt时间内整个六面体内输入与输出的流体质量差应为：三个方向上质量差之和。 （B）（现在算出了等式（A）的左边部分，再来看等式的右边部分。）设dt时间开始时微元体空间内流体密度为，经过dt时间后该微元空间内流体密度变为，在dt时间内微元空间由于密度变化而引起的总的质量变化（即累积的质量变化）为 （C）当微元空间无源无汇，且流体流动为连续的，则（B）、（C）两式应相等，即即 或 （D）这就是不稳定可压缩流体

12、流动时的流体质量平衡方程，即其连续性方程。其物理意义是：流体在单位时间内流经单位体积空间输出与输入的质量差与其内部质量变化的代数和为零。这个方程是质量守恒定律在流体力学中的具体体现。（可将方程简化写成 或 ）对于可压缩性流体稳定流动，流体密度不随时间变化，即，（但d/dt0）（为什么？因为密度不光是时间的函数，还是x，y，z坐标的函数，），则此时的流体质量平衡方程应为 或 此式为可压缩性流体稳定流动的三维连续性方程，它说明流体在单位时间内流经单位体积空间流出与流入的质量相等，或者说空间体内质量保持不变。对于不可压缩流体，为常数（不光与时间t无关，与位置坐标均无关），则 或 此式为不可压缩流体流

13、动的空间连续性方程，它说明单位时间单位空间内的流体体积保持不变。二、一维总流的连续性方程工程中常见一维流动，如管束中的流动，可视为一维流动，此时，vy=vz=0。1对可压缩流体稳定流动时，假设微小流束两个断面积分别为dA1和dA2，经端面流入和流出该流管的质量流量应相等，其连续性方程为 对此式积分，并取1及2为平均密度1均2均，可得一维总流的方程积分后得 （E）式中 v1、v2断面A1及A2处流体平均速度（m/s）；A1、A2有效断面面积（m2）；1均2均流管两端处的流体密度。（E）式说明可压缩流体稳定流动时，沿流程的质量流量保持不变，为一常数。2对不可压缩流体，1=2=常数，则 （F）（F）

14、为一维总流不可压缩流体稳定流动的连续性方程。说明不可压缩流体稳定流流管的任意有效断面上流体流量都一样，也即流管任意有效断面处流体的流速与有效断面的面积成反比关系。即断面大流速小，断面小流速大。（注意生活中常见的江河，河道窄时流速大，河道宽时流速小。）例1：一化铁炉的送风系统如书P24页图3-7所示。将风量Q=50m3/min的冷空气经风机送入冷风管（0时空气密度为1均=1.293kg/m3），再经密筋炉胆换热器被炉气加热，使空气预热至t=250。然后，经热风管送至风箱中。若冷风管和热风管的内径相等，即d1=d2=300mm。试计算两管实际风速v1及v2。解：冷空气加热后，其密度变小，如不考虑冷

15、热风管中压力的不同，则利用（kg/m3）因此，本题便可成为可压缩流体的稳定流问题，即 现在1、2、A1、A2已知，v1，v2未知，先求v1：v1=Q/A1=50/60/（3.140.30.34）=11.8（m/s）则 v2=1v1/2=1.29311.8/0.674=22.6（m/s）三、圆柱坐标系和球坐标系的连续性方程与前面的推导方式相同，只是换了坐标系而已，自己看书推导一下，看能不能推导出来？例2：已知空气流动速度场为vx=6（x+y2），vy=2y+z3，vz=x+y+4z，试分析这种流动状况是否连续？解：因为，根据书P23页，式（3-19）可以说明空气的流动是不连续的。第三节 流体动量

16、传输方程连续性方程反映的是流体运动的速度场必须满足的条件，这是一个运动学方程。这节讨论流体动量平衡方程（即动量传输方程）。一、动量平衡方程（动量传输方程）由牛顿第二定律可知，一个体系的动量随时间的变化率等于该体系所表现出来的用来平衡外界作用在该体系上总合力F，而且是沿着外力合力的反方向变化的，即 可知 动量=质量速度 动量通量=动量/(面积时间) 动量率=动量通量面积=动量/时间= 质量速度 /时间=质量加速度=力1对正在运动着的稳定流，这一规律也应成立。如在稳定流的流场中观察任一微元体，如该微元体处于稳定状态，即它上面的流体运动物理量都不随时间变化，则输入微元体的动量率输出微元体的动量率作用

17、在微元体上的外力合力=0 （A）2对非稳定流，流场微元体中的动量总是随时间发生变化的，因此在时间dt的间隔，出现了微元体中蓄积动量的变化，此时有输入微元体的动量率输出微元体的动量率作用在微元体上的外力合力=微元体中动量率的蓄积量（B）微元体中动量率的蓄积量可为正值或负值。（作用于某一流体块或微元体积的力可分为两大类：表面力、质量力或体积力。）（A）（B）两式实际表明的是一种力的平衡，由动量率表现的力实际为对流动量率和粘性动量率，而作用在流体上的外力主要为质量力和表面力。表面力是指作用于流体块外界面的力，可为压力、固体表面施加的切应力、压力等。质量力是指直接作用在流体块中各质点上的非接触力，如重

18、力、惯性力等。质量力与受力流体的质量成正比，也叫体积力。单位质量流体上承受的质量力称单位质量力。二、纳维尔斯托克斯方程（广义的不可压缩粘性流体动量平衡方程）（实际流体动量传输方程）在流场中任取一微元体dxdydz（如教材P28页图3-11所示，微元六面体边长分别为dx；dy；dz）。通过微元体六个面上都有三个坐标轴方向上的流体流动，并在三个方向上都可能出现速度梯度。作用在每个正六面体上的力，除去法向力外，还由于流体的粘性而产生了切向力（剪切力）。三方向流动和速度梯度都会共同影响一个方向上的动量平衡，先分析在x轴方向上的动量平衡，再分析其它方向。1X轴方向上的对流动量传输（对流动量通量：密度为的

19、流体沿x轴方向的运动速度为vx，则在时间t内通过面积A的沿x轴方向的对流动量通量为：(mvx)/(At)= (Vvx)/(At)= vx(x/t)=vxvx）（1）通过左、右dydz面输入和输出的微元体质量流率差值在x轴方向上引起的对流动量率差值应为（对流动量通量：单位时间内通过单位面积所传输的对流动量。）（对流动量率：单位时间内通过某面积传输的对流动量，对流动量率=对流动量通量传输面的面积） 式中 dydz传输面面积；vxvxdydz面x方向上对流动量通量。（2）通过前后dxdz面输入和输出微元体的质量流率差值同样在x轴方向上会引起输入和输出微元体对流动量率的变化，其差值为 式中 dxdz传

20、输面面积； vxvydxdz面x方向上对流动量通量。（3）同理，通过上、下dxdy面输入和输出微元体的对流动量率差值为 式中 dxdy传输面面积； vxvzdxdy面x方向上对流动量通量。2X轴方向上的粘性动量传输（即）（1）在x轴方向上，通过流体流速vx在x轴方向上出现的速度梯度，经左右dydz面输入和输出微元体的粘性动量率差值为 式中 dydz传输面面积； xxdydz面x方向上粘性动量通量。（2）在x轴方向上，通过流体流速vx在y轴方向上出现的速度梯度，经后前dxdz面输入和输出微元体的粘性动量率差值为 式中 dxdz传输面面积；yxdxdz面x方向上粘性动量通量。（3）在x轴方向上，通

21、过流体流速vx在z轴方向上出现的速度梯度，经上下dxdy面输入和输出微元体的粘性动量率差值为 式中 dxdy传输面面积；zxdxdy面x方向上粘性动量通量。3作用力（1）x轴方向上作用在左、右dydz面上的压力差值（2）x轴方向上作用在微元体上由重力引起的质量力4考虑到流场为非稳定流，则x轴方向上蓄积在微元体中的动量率根据牛顿第二定律，为d(mv)/dt，即 将上述四种动量率和力代入动量平衡方程，如下式：输入微元体的动量率输出微元体的动量率作用在微元体上的外力合力=微元体中动量率的蓄积量整理得（除以dxdydz）如考虑流体不可压缩，=常数，根据连续性方程：，对上式进行运算后，得 （C）同理，可

22、得在y和z轴方向上的动量平衡方程： （D） （E）联立的式（C）、（D）、（E）即为直角坐标系中不可压缩牛顿流体的广义动量平衡方程纳维尔-斯托克斯方程（N-S方程）。由上述三式中任一式可见：式之左边括号内的各项和为全加速度，右边第一项为粘性力。故这些式子的物理意义为惯性力（质量乘以加速度）=粘性力+压力+重力三、欧拉方程（理想流体动量传输方程）欧拉方程反映的是理想流体在运动中所受的力和动量与流动参量之间的关系，即理想流体动力学方程。理想流体：无粘性的流体。（由于没有粘性，则可以不考虑由粘性产生的内摩擦力，作用在流体表面上的力只有垂直指向受压面的压力。=0）由于=0，故纳维尔-斯托克斯方程便可直

23、接变成欧拉方程 。（F）上述各式即为理想流体的动量平衡方程（或动量传输方程），它是1755年由欧拉首先提出的。欧拉方程建立了作用在理想流体上的力与流体运动加速度之间的关系，是研究理想流体各种运动规律的基础。它对可压缩或不可压缩理想流体的稳定流或非稳定流都是适用的。在不可压缩流体中密度为常数；在可压缩流体中密度是压力和温度的函数，即=f（p，T）。上式是针对非稳定流欧拉方程，对于稳定流，欧拉方程的形式为 。（G）对欧拉方程，一般情况下，作用在流体上的单位质量力是已知的，对理想不可压缩流体，由于密度为常数，故上述方程中的未知数为三个速度分量vx，vy，vz和压力p，三个方程式再加一个连续性方程，共

24、四个方程，四个未知数，方程组可解。第四节 稳定流的动量方程及其应用工程中常需要了解运动流体与固体边界面上的相互作用力，例如水在弯管中流动时对管壁的冲击等。可以使用动量方程来进行分析计算。一、稳定流动的动量方程由牛顿第二定律：F=ma=mdv/dt=d(mv)/dt，可以看出，质点系动量对时间的全导数，等于作用在该质点系上各外力的合力（F）。换一种说法如下：稳定流的流场中观察任一微元体，如该微元体处于稳定状态，即它上面的流体运动物理量都不随时间变化，则输入微元体的动量率输出微元体的动量率作用在微元体上的外力合力=0将此式改变形式：输入微元体的动量率输出微元体的动量率=作用在微元体上的外力合力这个

25、式子与F=d(mv)/dt是同一个意思，F即为外力合力，d(mv)/dt即为输入输出动量率的差值。如教材P40，图3-18所示：dt时间内， (V：流体体积，v：流体速度) (V=vdtA，流体流量Q=Av)推广到液体总流：由于是稳定流，则 用平均流速来代替断面上不同的速度分布，即将v1，v2看作平均流速，则式中的v1，v2均为两处的平均流速这里由于流动速度取平均流速，出现了动量修正系数，取2=1=1，则改变形式则：外力这就是不可压缩流体稳定流动总流的动量方程，F为作用在流体上的所有外力的合力，这些力包括流体自身重力G，流体两端压力P1A1，P2A2，及其它边界上的外力RW。上式也可写成如教材

26、P41式（3-59）分量形式。二、动量方程的应用1液流对弯管壁的作用力如教材42页图3-19所示。例：如下图（a）所示，水管转弯处用支架固定以抵御管中水流转弯时由于动量率发生变化而产生的力。水管中流量Q=2.5m3/min，水管内径d=100mm，管中水的压力p=105Pa，试求支架的受力。（忽略管壁对水流的粘性阻力）解：按（b）图，管壁对水流段的作用力为F，其与x轴夹角为，则作用在此水流段上的外力在x轴方向上的分力应为x轴方向上输出，输入动量率之差应为Qv1，而v1=4Q/(d2)，所以x轴方向上的动量平衡方程应为 （1）同理：y轴方向上的动量平衡方程应为： （2）由这两式可得 tan=1，

27、即=45。由x轴的动量平衡方程，得支架受力：大小与F相同，方向相反。2射流对固体壁的冲击力液体从管嘴喷出形成射流。液流处在同一大气压强之下，如略去重力的影响，则作用在流体上的力，只有固体壁对射流的阻力，其反作用力则为射流对固体壁的冲击力。如教材42页图3-20所示。例：砂型铸造时常用从高压水枪喷嘴喷出的高压水流柱冲击铸件上的粘砂和芯砂。设已知喷嘴出口处，水的流量Q=0.16m3/min，由此喷出水的流速为v=69.5m/s，求当水流直冲铸件清理砂子时力的大小。解：观察由水枪出口处至带砂铸件处的射流水段，为稳定流。水枪出口处动量率为Qv，速度方向为水平。而在铸件处，水平速度为零，即水平方向输出的

28、动量率为零：根据 m1v1m2v2=F则 F=Qv=10000.1669.5/60=175.6（N） 第五节 理想流体和实际流体的伯努利方程前面讲了流体流动的质量守恒定律的数学表现形式连续性方程；动量守恒定律的数学表现形式动量平衡方程（或动量传输方程）；下面讲解流体流动时遵循的能量守恒定律的数学表现形式伯努利方程。一、理想流体的伯努利方程流体质点在沿流线流动时，具有流线运动方向上的一维流动特征。观察理想、不可压缩流体沿流线的稳定流动：按全微分的定义，流体质点的流动速度的微分应为故 相应地速度分量vx、vy和vz对时间t的导数可写成 又可写为：对理想、不可压缩流体的稳定流动，其欧拉方程为 可写为

29、 如果坐标系统的z轴垂直地面，则gx=gy=0，gz=g，再对上面三式的两端分别乘以dx、dy、dz，则将此三式相加，得： 。（A）流体质点在空间任意方向上的速度与各方向上速度分量的关系为 即 则 。（B）又知压力的全微分 ，故式（B）成为 。（C）此式即为流体质点在微元空间（dx dy dz）内沿任意方向流线运动时的伯努利方程能量平衡关系式。考虑到密度为常数，将此式沿流线进行积分，得 。（D）式中C为常数，这就是理想流体运动微分方程的伯努利积分。是伯努利在1738年提出来的，这种形式的方程也称伯努利方程，它表示同一流线上不同点处的能量和总保持为一个不变的常数，即为能量守恒。将式（D）各项都乘

30、以，则此式成为 。（E）此式中各项的量纲都是（kgm/s2）/m2或Nm/m3，可把式（E）中各项视为能量的表现形式就在于此。式（E）中gz、p和v2/2可相应地视为单位体积流体所具有的位能、压力能和动能。将式（E）各项除以常数值g，则可得伯努利方程的常用形式，考虑到=g，得 。（F）对处在同一流线上的任意两点1和2来说，也可将式（F）改写成 说明在只有重力场作用下、理想的不可压缩流体沿流线的的稳定流动时，任何点的为常量。二、实际流体的伯努利方程理想流体的伯努利方程是由欧拉方程积分而来的；对实际流体，可对纳维尔-斯托克斯方程积分得到伯努利方程。纳维尔-斯托克斯方程： 。（G）如果实际流体为定常

31、流动，流体质点沿流线运动的微元长度dl在各轴上的投影分别是dx、dy、dz，而且dx=vxdt，dy=vydt，dz=vzdt，则可将式（G）中各个方程分别对应地乘以dx、dy、dz，然后相加，得出前面已知： 则上式成为： 。（H）其中、项为单位质量粘性流体所受切向应力在相应轴上的投影。所以式（H）中的第二项即为这些切向应力在流线微元长度dl上所作的功。又因为由于粘性而产生的这些切向应力的合力总是与流体运动方向相反的，故所作的功应为负功。因此 其中 WR阻力功则式（H）成为 将此式沿流线积分，得 。（I）式（I）即为实际流体运动微分方程的伯努利积分。它表明：在质量力存在且有势时，实际流体作定常

32、流动的情况下函数值（Wp/v2/2WR）是沿流线不变的。对处在同一流线上的任意两点1和2来说，则可列出下列方程当质量力只有重力时，则W1=z1g；W2=z2g，代入上式得 。（J）式中（WR2WR1）表示单位质量粘性流体自点1运动到点2的过程中内摩擦力所作功的增量，其值总是随着流动路程的增加而增加的。令表示单位质量的粘性流体沿流线从点1到点2的路程上所接受的摩擦阻力功（或摩擦阻力损失），则式（J）可写成 或 这就是粘性流体运动的伯努利方程。三、伯努利方程的几何意义和物理意义1几何意义对伯努利方程的常用形式：，此式左端各项的量纲为m，z是指流体质点流经给定点时所具有的位置高度，称为位置水头，简称

33、位头；z的量纲是长度的量纲。p/是指流体质点在给定点的压力高度（受到压力p能上升的高度），称为压力水头，简称压头；p/的量纲也是长度的量纲。v2/2g它表示流体质点流经给定点时，以速度v向上喷射所能达到的高度，称为速度水头，其量纲为，也是长度的量纲。伯努利方程中位置水头、压力水头、速度水头三者之间和称为总水头，用H表示，则由于伯努利方程中每一项都代表一个高度，所以就可以用几何图形来表示各物理量之间的关系了。如教材P34图3-12所示，连接p/各顶点而成的线叫做静水头线，它是一条随过水断面改变而起伏的曲线；连接v2/2g各顶点而成的线叫做总水头线。从图3-12看出，理想流体运动中，因为不形成能量

34、损失（水头损失），故有H1=H2=H=常数，即流线上各点的总水头是相等的，其总水头顶点的连线是一条水平线。也就是说，虽然速度水头v2/2g是随过水断面的改变而变化的，但包括位置水头（连接各点z而成的）在内的三个水头可以相互转化，而总水头却仍不变。从图3-13可看出实际流体总流的几何图形，在粘性流体运动中，因为形成水头损失，故H1H2H，即沿着流向总水头必然是降低的，所以其总水头线是一条沿流向向下倾斜的曲线。与理想流体运动的情形一样，此时其静水头线还是一条随着过水断面改变而起伏的曲线。2物理意义对式 （此式针对实际流体。）zg可看成是单位质量流体流经该点时所具有的位置势能，称比位能；p/可看成是

35、单位质量流体流经该点时所具有的压力能，称比压能；v2/2是单位质量流体流经给定点时的动能，称比动能；WR是单位质量流体在流动过程中所损耗的机械能，称能量损失。对于理想流体，表明单位质量无粘性流体沿流线自位置1流到位置2时，其各项能量可以相互转化，但它们的总和却是不变的。对于实际流体，表明单位质量粘性流体沿流线自位置1流到位置2时，不但各项能量可以相互转化，而且它的总机械能也是有损失的。如流动在同一水平面内进行，或z值的变化与其它水头值的变化可以忽略不计，则可得式 ，此式说明，沿流线如压力变得越来越小，则速度变得越来越大，降低压力可提高流速，或相反。由于流体速度的提高，可使流体的压力降至周围环境

36、压力以下，造成流体抽吸现象。如压缩空气喷雾器的工作原理就是因为喷嘴处射出的气流速度增大，造成负压，把罐中的液体抽吸上来，实现喷雾的目的。四、实际流体总流的伯努利方程（前面所讲的实际流体的伯努利方程只是针对某一流束而言，下面要将其推广到通过一个流管的流体总流。）通过一个流管的流体的总流量是由许多流束组成的，每个流束的流动参量都有差异。而对于总流，希望用平均参量来描述其流动特性。由实际流束的伯努利方程，可在流管的缓变流区写出整个流管的伯努利方程（如教材35页图3-14所示）。所谓缓变流区，是指流管中流线之间的夹角很小，且流线趋于平等并近似于直线。流管的伯努利方程如下： 。（3-49）式中 v1dA1、v2dA2经过通流截面A1和A2上任一流束的流体质量； dQ流束中流过流体的体积。根据连续性方程：v1dA1=v2dA2=dQ，且在缓变流情况下，在截面1上，z1g+p1/=常数，故式（3-49）等号左边 取动