数列公式汇总

1、人教版数学必修五第二章数列重难点解析第二早课文目录2.1数列的概念与简单表示法2.2等差数列2.3等差数列的前 n项和2.4等比数列2.5等比数列前n项和【重点】1、数列及其有关概念，通项公式及其应用。2、根据数列的递推公式写出数列的前几项。3、等差数列的概念，等差数列的通项公式；等差数列的定义、通项公式、性质的理解与应用。4、等差数列n项和公式的理解、推导及应用，熟练掌握等差数列的求和公式。5、等比数列的定义及通项公式，等比中项的理解与应用。6、 等比数列的前 n项和公式推导，进一步熟练掌握等比数列的通项公式和前n项和公式【难点】1、根据数列的前 n项观察、归纳数列的一个通项公式。2、理解递

2、推公式与通项公式的关系。3、等差数列的性质，灵活应用等差数列的定义及性质解决一些相关问题。4、灵活应用等差数列前 n项公式解决一些简单的有关问题。5、灵活应用求和公式解决问题，灵活应用定义式及通项公式解决相关问题。6、灵活应用等比数列定义、通项公式、性质解决一些相关问题。一、数列的概念与简单表示法1. 数列的定义：按一定次序排列的一列数叫做 数列注意：数列的数是按一定次序排列的，因此，如果组成两个数列的数相同而排列次序不同，那么 它们就是不同的数列；定义中并没有规定数列中的数必须不同，因此，同一个数在数列中可以重复出现2. 数列的项：数列中的每一个数都叫做这个数列的项各项依次叫做这个数列的第

3、1项(或首项)，第 2项，第n项，.3数列的一般形式：印忌忌,an，或简记为其中an是数列的第n项4. 数列的通项公式：如果数列、an 的第n项an与n之间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式 就叫做这个数列的通项公式 注意：并不是所有数列都能写出其通项公式，如上述数列；一个数列的通项公式有时是不唯一的，如数列：1, 0, 1, 0, 1 , 0,它的通项公式可以是1 (T)n 1n 1an，也可以是an =|cos|.2 2数列通项公式的作用：求数列中任意一项；检验某数是否是该数列中的一项叮叮小文库数列的通项公式具有双重身份，它表示了数列的第项，又是这个数列中所有各项的一般表示通项公式反

4、映了一个数列项与项数的函数关系，给了数列的 通项公式，这个数列便确定了，代入项数就可求出数列的每一项.5. 数列与函数的关系：数列可以看成以正整数集N (或它的有限子集1 , 2, 3,，n)为定义域的函数 an = f(n)，当自变量从小到大依次取值时对应的一列函数值。反过来，对于函数y=f(x),如果f(i)(i=1、2、3、4)有意义，那么我们可以得到一个数列f(1)、f、f(3)、f(4)，f(n)，6 数列的分类：1)根据数列项数的多少分：有穷数列：项数有限的数列例如数列1,2, 3,4,5,6。是有穷数列无穷数列：项数无限的数列例如数列1,2, 3,4,5,6 -是无穷数列2 )根

5、据数列项的大小分：递增数列：从第2项起，每一项都不小于它的前一项的数列。递减数列：从第2项起，每一项都不大于它的前一项的数列。常数数列：各项相等的数列。摆动数列：从第 2项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项的数列7 .数列的表示方法(1) 通项公式法如果数列：an 的第n项与序号之间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的 通项公式。如数列的通项公式为的通项公式为的通项公式为(2) 图象法启发学生仿照函数图象的画法画数列的图形.具体方法是以项数16为 横 坐 标， 相 应 的为 纵 坐 标，即为坐标在平面直角坐标系中做出点（以前面提到的数列为例，做出一个数列的图象）

6、，所得的数列的图形是一群孤立的点，因为横坐标为正整数，所以这些点都在轴的右侧，而点的个数取决于数列的项数从图象中可以直观地看到数列的项随项数由小到大变化而变化的 趋势.（3）递推公式法”，如果已知数列 Wn 的第1项（或前几项），且任一项an与它的前一项and （或前n项）间的关系可 以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的递推公式。递推公式也是给出数列的一种方法。如下数字排列的一个数列：3, 5, 8, 13, 21 , 34, 55, 89递推公式为：ai =3,a2 =5,an = an4，an,（3込n8）4、列表法简记为典型例题：例1:根据下面数列的前几项的值，写出数列的一个

7、通项公式: 3, 5, 9, 17, 33,10 0, 1,0, 1,0, 1,2,6, 12, 20, 30,3153563 1, 3, 3, 5, 5, 7, 7, 9, 9,42,99解：(1)an = 2n+1 ；2n1 (T)n ；;将数列变形为n = (2n 1)(2n +1)；办21 + 0, 2 + 1,3 + 0, 4 + 1,5 + 0, 6 + 1,7 + 0, 8 + 1,an =(5)将数列变形为1 X 2, 2X 3, 3 X 4, 4X 5, 5 X 6,a1 =1例2:设数列 首n 满足1).l_an 4解:二、等差数列1 等差数列：一般地，如果一个数列从第二项

8、起，每一项与它前一项的差等于同一个常数，这个数列就 叫做等差数列，这个常数就叫做等差数列的公差（常用字母“d”表示）。.公差d 一定是由后项减前项所得，而不能用前项减后项来求；.对于数列 an,若an an j=d （与n无关的数或字母），n2, n N ，则此数列是等差数列， d为公差。2.等差数列的通项公式：a a1 （ni）d【或an二am，（n-m）d】等差数列定义是由一数列相邻两项之间关系而得，若一等差数列 订的首项是a1，公差是d,则据其定义可得：a2 _ 印=d 即：a2 = % da3a2 二 d 即：玄3二 a2d= a12da4 -a3 = d 即：a4= a3d= ar3

9、d由此归纳等差数列的通项公式可得：an = a1 （ n_ 1）d已知一数列为等差数列，则只要知其首项a1和公差d，便可求得其通项an。由上述关系还可得：a a1 - （m -1）d-(m - 1)d (n -1)d = am即：q = am _(m _1)d 则：an = a1 (n -1)d = am即等差数列的第二通项公式an希(n - m)d.d=m n3 .有几种方法可以计算公差d=比玉 n T在等差数列中，若 d= an an 14 .结论：（性质）4 =冇Fn mm+n=p+q 贝V, aan=ap aq即 m+n=p+q 但通常由am an = ap aq am an ap(m

10、, n, p, q N )aq推不出 m+n=p+q，am 卜 an am4n典型例题：例1:求等差数列8, 5, 2的第20项-401是不是等差数列-5 , -9 , -13的项？如果是，是第几项?解:例3：求等差数列3, 7, 11,的第4项与第10项.例5： 100是不是等差数列 2, 9, 16,的项？如果是，是第几项？如果不是，说明理由1例6: 20是不是等差数列 0, 3丄，一7,的项？如果是，是第几项？如果不是，说明理由2例&在等差数列an中，若a1 +a6 =9, a4=7,求a3 , a9 .三、等差数列的前 n项和1等差数列的前n项和公式1： Sn二喧 啦2证明： Sn 二

11、 a1 a2 a3 亠2 亠 an 二 anSn 二an an a.丄上 *2*1 +：2Sn =(印-an) (a2 and) (a3 an)/ (an an)-a1 an = a2 an d = a3 an _2 = 2Sn=n(aan)由此得：& 二论;)从而我们可以验证高斯十岁时计算上述问题的正确性等差数列的前n项和公式2: Sn = nn(n Td2用上述公式要求 Sn必须具备三个条件：n,ai,an但an二 (n -l)d 代入公式1即得：Sn二nai 垃 型2此公式要求Sn必须已知三个条件：n,a1,d (有时比较有用)对等差数列的前n项和公式2:Sn = na +n(n _1)

12、d可化成式子：2Sn4.(1)当当(2)d 2, d、 tn (a1 )n，当 d0,2 2由Sn的定义可知，当n=1时，即S1(n =1)即 an =.Sn -Sn4(n -2)对等差数列前项和的最值问题有两种方法：利用an:an0, d0,且an 1 0，求得n的值”an0，前n项和有最小值可由an 0，求得n的值. 利用Sn :是一个常数项为零的二次式S1 = a1 ；当 nA 2 时，an = Sn - Sn J ,-J由Sn = n2（ai _ ）n利用二次函数配方法求得最值时n的值2 2典型例题：例2：等差数列一10, 6, - 2, 2,前9项的和多少?解：例3:等差数列前10项

13、的和为140,其中，项数为奇数的各项的和为125，求其第6项.解例6:已知等差数列an中，S3=21, S6=64,求数列 |a n| 的前n项和Tn.例7： 在等差数列an中，已知a6 + ag+ a2+ a5= 34,求前20项之和.例8已知等差数列an的公差是正数，且 a3，a7= 12, a4+ a6= 4，求它的前20项的和S20 的值.例9：等差数列an、b n的前n项和分别为Sn和Tn,若Sn _ 2nTn = 3 n 1则旦匹等于b1002A. 1B .-3199200C.D.299301分析该题是将色00与红发生联系，可用等差数列的前n项b100 3n +1和公式Sn =询+

14、aj2把前n项和的值与项的值进行联系.例10：解答下列各题:(1) 已知：等差数列an中a?= 3, a6= 17,求ag;(2) 在19与89中间插入几个数，使它们与这两个数组成等差数列，并且此数列各项之和 为1350,求这几个数；(3) 已知：等差数列an中，a4 + a6 + a5+玄仃=50,求S?o；(4) 已知：等差数列an中，an=33 3n,求Sn的最大值.四、等比数列1.等比数列：一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫a做等比数列这个常数叫做等比数列的公比；公比通常用字母q表示(0),即：=q (q工0)an1 “从第二项起”与

15、“前一项”之比为常数(q)an 成等比数列：二an 1=q(n N ,q 丰 0)2隐含：任一项an =0且q = 0an工0”是数列 an成等比数列的必要非充分条件.3 q= 1时，an为常数。2等比数列的通项公式 1： an p qn(a1 q=0)由等比数列的定义，有：a2 - a1q ；a3 = a2q =(a1q)q = a1q ；23a4 pq =(dq )q yq ；an = an 4 a1 qn4(a1 q = 0)，3等比数列的通项公式 2: an二am qm4(a1 q 0)4 既是等差又是等比数列的数列：非零常数列5等比数列与指数函数的关系：等比数列 an的通项公式aa1

16、 qn4(a1 q 0),它的图象是分布在曲线 y =色qx (q0) 上q的一些孤立的点。当a1 0 , q 1时，等比数列 an 是递增数列；当a1 ： 0 , 0 : q ： 1，等比数列 an是递增数列；当a1 0 , 0 q 1时，等比数列 an是递减数列；当a1 ： 0 , q 1时，等比数列 an是递减数列；当q ： 0时，等比数列 an是摆动数列；当q =1时，等比数列 an是常数列。6 .等比中项：如果在a与b中间插入一个数 G,使a,G, b成等比数列，那么称这个数 G为a与b的等比中项即G= . ab (a,b 同号)如果在a与b中间插入一个数 G,使a,G, b成等比数

17、列，则 G = -= G2 = ab= G = _ ab ,a G反之，若G2=ab,则G =b，即a,G,b成等比数列a Ga,G,b成等比数列：=G?=ab (a b0)7 等比数列的性质：若 m+n=p+k，贝V aman 二 apak在等比数列中，m+n=p+q , am,an ,ap,ak有什么关系呢？由定义得：am = a1qmlan = a1qn 1 aa1qpJLaa1 qk J2 m_22 p4k_2am an - aL q, ap ak - aL q则 aman 二 apak8 判断等比数列的方法：定义法，中项法，通项公式法9.等比数列的增减性:当qL, ai 0或0q1,

18、 ai L, ai0，或0q0 时, an是递减数列；当q=L时, an是常数列；当q0,则Iga i,lga 2,lga 3成等差注(i) an成等比-lg an成等差(2) an成等差二aan成等比典型例题:例i：求和:解：叮叮小文库等差数列等比数列疋义一般地,如果一个数列从第 2项起，每 一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列.这个常数叫公 差.一般地，如果一个数列从第 2项起，每一项 与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数 列就叫等比数列.这个常数叫公比.递推 关 系 an 卅 -an =a2- ai( nN ) an卅a* =d( n N ) an卅一务=an an(n 2, nW N*) 务卅a2( nN*)ana1 电1 = q(qO, nN*)an 时-an( n 王