算法分析与设计-重点知识及试题(1)

1、递归：直接或间接的调用自身算法称为递归算法； 用函数自身给出定义的函数称为递归函数。分治法的设计思想是 ，将一个难以直接解决的大问题， 分割成一些规模较小的相同问题， 以 便各个击破，分而治之。分治法( divide-and-conquer )的基本思想 ： A 分割成 k 个更小规模的子问题。 B 对这 k 个 子问题分别求解。 如果子问题的规模仍然不够小， 则再划分为 k 个子问题， 如此递归的进行 下去，直到问题规模足够小， 很容易求出其解为止。 C 将求出的小规模的问题的解合并为一 个更大规模的问题的解，自底向上逐步求出原来问题的解。设计动态规划算法的步骤 (1) 找出最优解的性质，

2、并刻划其结构特征。 (2) 递归地定义最优值。(3) 以自底向上的方式计算出最优值。 (4)根据计算最优值时得到的信息，构造最优解。 最优子结构性质 ：矩阵连乘计算次序问题的最优解包含着其子问题的最优解。递归算法求解问题时， 每次产生的子问题并不总是新问题， 有些子问题被反复计算多次。 这 种性质称为子问题的重叠性质贪心算法 : 贪心算法总是作出在当前看来最好的选择,它并不从整体最优考虑，它所作出的选择只是在某种意义上的局部最优选择。活动安排问题 就是要在所给的活动集合中选出最大的相容活动子集合， 是可以用贪心算法有 效求解的很好例子。贪心算法 ：贪心算法求解的这类问题一般具有 2 个重要的性

3、质：贪心选择性质和最优子结 构性质。 贪心选择性质是指所求问题的整体最优解可以通过一系列局部最优的选择，即贪 心选择来达到。 当一个问题的最优解包含其子问题的最优解时， 称此问题具有最优子结构性 质贪心算法与动态规划算法的差异 ：贪心算法和动态规划算法都要求问题具有最优子结构性 质，这是 2 类算法的一个共同点。动态规划算法通常以自底向上的方式解各子问题，而贪 心算法则通常以自顶向下的方式进行， 以迭代的方式作出相继的贪心选择， 每作一次贪心选 择就将所求问题简化为规模更小的子问题。0-1背包问题：给定n种物品和一个背包。 物品i的重量是 Wi,其价值为Vi,背包的容量为 C。应如何选择装入背

4、包的物品，使得装入背包中物品的总价值最大？单源最短路径基本思想是 ，设置顶点集合 S 并不断地作贪心选择来扩充这个集合。一个顶 点属于集合 S 当且仅当从源到该顶点的最短路径长度已知。初始时，S 中仅含有源。设 u是G的某一个顶点，把从源到 u且中间只经过S中顶点的路称为从源到 u的特殊路径，并 用数组 dist 记录当前每个顶点所对应的最短特殊路径长度。 Dijkstra 算法每次从 V-S 中取出 具有最短特殊路长度的顶点u，将u添加到S中，同时对数组 dist作必要的修改。一旦 S包含了所有 V 中顶点， dist 就记录了从源到所有其它顶点之间的最短路径长度。回溯法的基本思想： (1)

5、针对所给问题， 定义问题的解空间； (2)确定易于搜索的解空间结构； (3)以深度优先方式搜索解空间，并在搜索过程中用剪枝函数避免无效搜索。常见的两种分支限界法： ( 1 )队列式 (FIFO) 分支限界法。按照队列先进先出(FIFO )原则选取下一个节点为扩展节点。 (2)优先队列式分支限界法。按照优先队列中规定的优先级 选取优先级最高的节点成为当前扩展节点。布线问题算法思想：解此问题的队列式分支限界法从起始位置a 开始将它作为第一个扩展结点。与该扩展结点相邻并且可达的方格成为可行结点被加入到活结点队列中，并且将这些方格标记为1，即从起始方格a到这些方格的距离为 1。接着，算法从活结点队列中

6、取出队 首结点作为下一个扩展结点， 并将与当前扩展结点相邻且未标记过的方格标记为 2，并存入 活结点队列。这个过程一直继续到算法搜索到目标方格b 或活结点队列为空时为止。即加入剪枝的广度优先搜索。随机存储机 RAM 它描述的形式计算机是一台带累加器计算机，他不允许程序修改其自身，RAM 由只读输入带、只写输入带、程序存储部件、内存储器和指令计数器5 个部分组成。P 类和 NP 类语言的定义 P=L|L 是一个能在多项式时间内被一台 DTM 所接受的一眼 NP+L|L 是一个能在多项式时间内被一台 NDTM 所接受的语言 由于一台确定性图灵机可P 属于看作是非确定性图灵机的特例，所以可在多项式时

7、间内被非确定性图灵机接受。故NPP 类问题： 是确定性计算模型下的易解问题类。 NP 类问题： 是非确定性计算模型下的易验 证问题类。 NP 完全类问题： 即多项式复杂度的非确定性问题类；简单的写法是 NP=P ？问 题就在这个问号上，到底是 NP 等于 P ，还是 NP 不等于 P。算法的渐进时间复杂性的含义？答：当问题的规模 n 趋向无穷大时，影响算法效率的重要因素是T(n) 的数量级，而其他因素仅是使时间复杂度相差常数倍，因此可以用T(n)的数量级(阶)评价算法。时间复杂度T(n)的数量级 (阶)称为渐进时间复杂性。最坏情况下的时间复杂性和平均时间复杂性有什么不同？ 答：最坏情况下的时间

8、复杂性和平均时间复杂性考察的是n 固定时，不同输入实例下的算法所耗时间。最坏情况下的时间复杂性取的输入实例中最大的时间复杂度：W(n) = max T(n , I) , I Dn A(n) = XP(I)T(n , I) I 9n 平均时间复杂性 是所有输入实例的处理时间与各自概率的乘积和： 采用回溯法求解的问题，其解如何表示？有什么规定？ 问题的解可以表示为 n元组：(X1,X2,Xn ), XiSi, Si为有穷集合，XiSi, ( X1,X2, Xn )具备完备性，即(X1,X2,Xn)是合理的，则(X1 ,X2 , Xi) (in) 定合理。简述渐进时间复杂性上界的定义。T( n)是某

9、算法的时间复杂性函数，f(n)是一简单函数，存在正整数No和C , nNo，有T(n)f(n)，这种关系记作 T(n)=O(f(n)。快速排序的基本思想是什么。快速排序的基本思想是在待排序的 N 个记录中任意取一个记录， 把该记录放在最终位置后， 数据序列被此记录分成两部分。 所有关键字比该记录关键字小的放在前一部分， 所有比它大 的放置在后一部分， 并把该记录排在这两部分的中间， 这个过程称作一次快速排序。 之后重 复上述过程，直到每一部分内只有一个记录为止。什么是直接递归和间接递归？消除递归一般要用到什么数据结构？在定义一个过程或者函数的时候又出现了调用本过程或者函数的成分， 既调用它自己

10、本身， 这称为直接递归。 如果 过程或者函数 P调用过程或者函数 Q, Q又调用P，这个称为间接递归。消除递归一般要 用到栈这种数据结构。哈夫曼编码 是广泛地用于数据文件压缩的十分有效的编码方法。其压缩率通常在20%90% 之间。哈夫曼编码算法用字符在文件中出现的频率表来建立一个用0， 1 串表示各字符 的最优表示方式。前缀码： 对每一个字符规定一个 0,1 串作为其代码， 并要求任一字符的代码都不是其他字符 代码的前缀。、递归与分治： 二分搜索算法：left = 0;right = n - 1;public static int binarySearch(int a, int X, int

11、n) while (left amiddle) left = middle + 1;else right = middle - 1;return -1;棋盘覆盖public void chessBoard(int tr, int tc, int dr, int dc, int size) if (size = 1) return;int t = tile+,s = size/2;if (dr tr + s & dc tc + s)chessBoard(tr, tc, dr, dc, s);else boardtr + s - 1tc + s - 1 = t;chessBoard(tr, tc,

12、 tr+s-1, tc+s-1, s);if (dr = tc + s)chessBoard(tr, tc+s, dr, dc, s);else boardtr + s - 1tc + s = t;chessBoard(tr, tc+s, tr+s-1, tc+s, s);if (dr = tr + s & dc = tr + s & dc = tc + s)chessBoard(tr+s, tc+s, dr, dc, s);else boardtr + stc + s = t;chessBoard(tr+s, tc+s, tr+s, tc+s, s); 三、动态规划最长公共子序列void L

13、CSLength(int m ，int n ， char x ，char y ， intc ，int b) int i ， j;for (i = 1; i = m; i+) ci0 = 0;for (i = 1; i = n; i+) c0i = 0;for (i = 1; i = m; i+)for (j = 1; j =cij-1) cij=ci-1j; bij=2;else cij=cij-1; bij=3; 构造最长公共子序列void LCS(int i ，int j ，char *x ，int *b) if (i =0 | j=0) return;if (bij= 1) LCS(i-

14、1 ，j-1，x，b); coutxi; else if (bij= 2) LCS(i-1 ，j，x， b);else LCS(i ，j-1 ，x，b); 最优装载void Loading(int x,Type w, Type c, int n)int *t = new int n+1;Sort(w, t, n);for (int i = 1; i = n; i+) xi = 0;for (int i = 1; i = n & wti n) r -= wi; if (cw + wi bestw) xi = 0; backtrack(i + 1);r += wi; 批处理问题：void Flow

15、shop:Backtrack(int i)if (i n) for (int j = 1; j = n; j+)bestxj = xj; bestf = f;else for (int j = i; j f1)?f2i-1:f1)+Mxj2;f+=f2i; if (f bestf) Swap(xi, xj); Backtrack(i+1);Swap(xi, xj);f1- =Mxj1; f- =f2i;六、分支限界法单源最短路径问题while (true) for (int j = 1; j = n; j+)if (cE.ijinf)&(E.length+cE.ijdistj) / 顶点 i

16、到顶点 j 可达，且满足控制约束distj=E.length+cE.ij;prevj=E.i;MinHeapNode N;N.i=j;N.length=distj;H.Insert(N);try H.DeleteMin(E);catch (OutOfBounds) break; 一。选择题1、二分搜索算法是利用（A）实现的算法。A、分治策略B、动态规划法C、贪心法D、回溯法2、下列不是动态规划算法基本步骤的是（A、找出最优解的性质3、最大效益优先是（A、分支界限法B 、构造最优解AB 、动态规划法4、在下列算法中有时找不到问题解的是（A、蒙特卡罗算法B 、拉斯维加斯算法A）。C、算出最优解）的

17、一搜索方式。C、贪心法B）。C 、舍伍德算法5. 回溯法解旅行售货员问题时的解空间树是（ A）。A、子集树B、排列树C、深度优先生成树6下列算法中通常以自底向上的方式求解最优解的是（BA、备忘录法B、动态规划法C、贪心法7、衡量一个算法好坏的标准是（ C ）。A 运行速度快 B 占用空间少 C 时间复杂度低 D 代码短D 、定义最优解D、回溯法D、数值概率算法D 、广度优先生成树）。D、回溯法8、以下不可以使用分治法求解的是（ D ）。A 棋盘覆盖问题 B 选择问题 C 归并排序 D 0/1 背包问题9. 实现循环赛日程表利用的算法是（）。A、分治策略B、动态规划法C、贪心法D、回溯法10、列

18、随机算法中运行时有时候成功有时候失败的是（A 数值概率算法 B 舍伍德算法 C 拉斯维加斯算法 D蒙特卡罗算法11下面不是分支界限法搜索方式的是（）。A、广度优先B、最小耗费优先 C、最大效益优先D、深度优先12下列算法中通常以深度优先方式系统搜索问题解的是（A、备忘录法B、动态规划法C、贪心法13.备忘录方法是那种算法的变形。A、分治法B、动态规划法C、贪心法14哈弗曼编码的贪心算法所需的计算时间为（）。A、 O（n2 n）B、 O（ nlogn ）C 、 O （ 2n ）15分支限界法解最大团问题时，活结点表的组织形式是（A、最小堆B、最大堆C、栈16最长公共子序列算法利用的算法是（）。A

19、、分支界限法B 、动态规划法C、贪心法17实现棋盘覆盖算法利用的算法是（）。A、分治法B 、动态规划法C、贪心法D ）。D、回溯法D、回溯法D、 O（n）。D、数组D、回溯法D、回溯法18. 下面是贪心算法的基本要素的是（）。19.回溯法的效率不依赖于下列哪些因素（A、重叠子问题B 、构造最优解C、贪心选择性质D、定义最优解A.满足显约束的值的个数B. 计算约束函数的时间C. 计算限界函数的时间D. 确定解空间的时间20. 下面哪种函数是回溯法中为避免无效搜索采取的策略（B）A 递归函数B.剪枝函数C。随机数函数D.搜索函数21 、下面关于 NP 问题说法正确的是（ B ）A NP 问题都是不

20、可能解决的问题B P类问题包含在NP类问题中C NP 完全问题是 P 类问题的子集D NP 类问题包含在 P 类问题中22 、蒙特卡罗算法是（B）的一种。A、分支界限算法B、概率算法C、贪心算法D、回溯算法23. 下列哪一种算法不是随机化算法（C）A. 蒙特卡罗算法 B. 拉斯维加斯算法 C. 动态规划算法 D. 舍伍德算法24. （ D）是贪心算法与动态规划算法的共同点。A、重叠子问题B、构造最优解C、贪心选择性质D、最优子结构性质25. 矩阵连乘问题的算法可由（B ）设计实现。A、分支界限算法B、动态规划算法C、贪心算法D、回溯算法26. 分支限界法解旅行售货员问题时，活结点表的组织形式是

21、（A）。A、最小堆B、最大堆C、栈D、数组27. Strassen 矩阵乘法是利用（A）实现的算法。29、使用分治法求解不需要满足的条件是（ A ）。A、分治策略B、动态规划法C、贪心法D、回溯法A 子问题必须是一样的B 子问题不能够重复C 子问题的解可以合并D 原问题和子问题使用相同的方法解30 、下面问题（ B ）不能使用贪心法解决。B N 皇后问题D 背包问题0/1 背包问题的是（ A ）A 单源最短路径问题C 最小花费生成树问题31 、下列算法中不能解决A 贪心法 B 动态规划 C 回溯法 D 分支限界法32 、回溯法搜索状态空间树是按照（ C ）的顺序。D 层次优先遍历C ）D 蒙特

22、卡罗算法）。A 中序遍历 B 广度优先遍历 C 深度优先遍历33、下列随机算法中运行时有时候成功有时候失败的是（A 数值概率算法 B 舍伍德算法 C 拉斯维加斯算法34 实现合并排序利用的算法是（AC、贪心法D、回溯法）。C、算出最优解D 、子问题重(B）。C、贪心法D、回溯法A）。A、分治策略B、动态规划法35 下列是动态规划算法基本要素的是（DA、定义最优解B、构造最优解叠性质36 下列算法中通常以自底向下的方式求解最优解的是（A、分治法B、动态规划法37采用广度优先策略搜索的算法是（A、分支界限法B、动态规划法C、贪心法D 、回溯法38 、合并排序算法是利用（）实现的算法。A、分治策略B

23、、动态规划法C、贪心法D、回溯法39 、在下列算法中得到的解未必正确的是（A、蒙特卡罗算法B、拉斯维加斯算法40 、背包问题的贪心算法所需的计算时间为（A、 O（n2n）B、 O（nlogn ）41实现大整数的乘法是利用的算法（A、贪心法B、动态规划法420-1 背包问题的回溯算法所需的计算时间为 A、 O（n2n）B、 O （ nlogn ）43采用最大效益优先搜索方式的算法是（A、分支界限法B、动态规划法44贪心算法与动态规划算法的主要区别是（A、最优子结构B、贪心选择性质45. 实现最大子段和利用的算法是（A、分治策略B、动态规划法46. 优先队列式分支限界法选取扩展结点的原则是A、先进

24、先出B、后进先出47. 背包问题的贪心算法所需的计算时间为（B）。C、舍伍德算法D、数值概率算法B）C、 O（2n）D、 O（n）C）。C、分治策略D、回溯法A）C、O（2n）D、 O（n）A）。C、贪心法D、回溯法B）。C、构造最优解D 、定义最优解A、 O（n2 n）B 、 O （nlogn ）48 、广度优先是（A）A、分支界限法B 、动态规划法B）。C、贪心法D、回溯法C）。C、结点的优先级 D、随机B）。C、 O（2n）D、 O（n）的一搜索方式。C、贪心法D、回溯法49、舍伍德算法是(B)的一种。A、分支界限算法B、概率算法C、贪心算法D、回溯算法50、在下列算法中有时找不到问题解

25、的是(B)。A、蒙特卡罗算法B、拉斯维加斯算法C、舍伍德算法D、数值概率算法51下列哪一种算法是随机化算法(D)A.贪心算法B.回溯法C.动态规划算法D.舍伍德算法52. 一个问题可用动态规划算法或贪心算法求解的关键特征是问题的( B)。A、重叠子问题B、最优子结构性质C、贪心选择性质 D、定义最优解53 采用贪心算法的最优装载问题的主要计算量在于将集装箱依其重量从小到大排序，故算法的时间复杂度为( BA、O ( n2 n)B、O (nlogn )54. 以深度优先方式系统搜索问题解的算法称为A、分支界限算法B、概率算法55. 实现最长公共子序列利用的算法是(A、分治策略B、动态规划法二、填空

26、题1. 算法的复杂性有 时间)。C、O (2n)D、O ( n)(D )。C、贪心算法D、回溯算法B)。C、贪心法D、回溯法复杂性和空间复杂性之分。2、 程序是 算法用某种程序设计语言的具体实现。3、 算法的“确定性”指的是组成算法的每条指令 是清晰的，无歧义的。4.矩阵连乘问题的算法可由动态规划设计实现。正确解。5、拉斯维加斯算法找到的解- -定是6、 算法是指解决问题的一种方法 或一个过程 。7、 从分治法的一般设计模式可以看出，用它设计出的程序一般是递归算法。&问题的最优子结构性质是该问题可用动态规划算法或贪心算法求解的关键特征。9、 以深度优先方式系统搜索问题解的算法称为回溯法 。10

27、、 数值概率算法常用于数值问题的求解。11、 计算一个算法时间复杂度通常可以计算循环次数、基本操作的频率或计算步。12、 利用概率的性质计算近似值的随机算法是数值概率算法，运行时以一定的概率得到正确解的随机算法是蒙特卡罗算法_ 。14、 解决0/1背包问题可以使用动态规划、回溯法和分支限界法，其中不需要排序的是 _动态规划，需要排序的是回溯法 ,分支限界法 。15、 使用回溯法进行状态空间树裁剪分支时一般有两个标准：约束条件和目标函数的界，N皇后问题和0/1背包问题正好是两种不同的类型，其中同时使用约束条件和目标函数的界进行裁剪的是0/1背包问题，只使用约束条件进行裁剪的是N皇后问题。16、贪

28、心选择性质是贪心算法可行的第一个基本要素，也是贪心算法与动态规划算法的主要区别。17、 矩阵连乘问题的算法可由动态规划设计实现。18、 拉斯维加斯算法找到的解一定是正确解。19、贪心算法的基本要素是贪心选择质和最优子结构性质。21. 动态规划算法的基本思想是将待求解问题分解成若干子问题，先求解 A问题，然后从这些子问题 的解得到原问题的解。22.算法是由若干条指令组成的有穷序列，且要满足输入、输出、确定性和有限性四条性质。23、 大整数乘积算法是用分治法来设计的。24、 以广度优先或以最小耗费方式搜索问题解的算法称为分支限界法。25、 舍伍德算法总能求得问题的一个解 。26、贪心选择性质是贪心

29、算法可行的第一个基本要素，也是贪心算法与动态规划算法的主要区别。27、快速排序算法是基于分治策略的一种排序算法。28、动态规划算法的两个基本要素是最优子结构 性质和重叠子问题 性质。30. 回溯法是一种既带有系统性 又带有跳跃性 的搜索算法。31. 分支限界法主要有队列式(FIFO ) 分支限界法和优先队列式分支限界法。32 分支限界法是一种既带有系统性又带有跳跃性的搜索算法。33 回溯法搜索解空间树时，常用的两种剪枝函数为约束函数和 限界函数。34. 任何可用计算机求解的问题所需的时间都与其规模 有关。35. 快速排序算法的性能取决于划分的对称性。三、算法填空1. 背包问题的贪心算法void

30、 Knapsack(int n,float M,float v,float w,float x)Sort( n,v,w);int i;for (i=1;i=n ;i+) xi=0;float c=M;for (i=1;ic) break;xi=1;c - =wi;if (i=n) xi=c/wi;2. 最大子段和：动态规划算法int MaxSum(int n, int a)int sum=0, b=0 ; /sum 存储当前最大的bj, b 存储 bjfor(int j=1 ;j0)b+= aj;else b=ai;一旦某个区段和为负，则从下一个位置累和if(bsum) sum=b;retur

31、n sum ；3. 贪心算法求装载问题templateclass Typevoid Loadi ng(i nt x.Type w. Type c, int n)int *t = new int n+1;for (int i = 1; i = n; i+) xi = 0;for (int i = 1; i = n & wti = c; i+)xti = 1;4. 贪心算法求活动安排问题templatevoid GreedySelector(i nt n, Type s, Type f, bool A) A1=true;int j=1;for (in t i=2;i=fj) Ai=true;j=i

32、；else Ai=false;5. 快速排序templateclass Typevoid Quicksort (Type a, int p, int r)if (pr) int q=Partiti on( a,p,r);Quicksort (a,p,q-1); / 对左半段排序Quicksort (a,q+1,r); / 对右半段排序 6. 排列问题Template void perm(Type list, int k, int m ) /产生listk:m的所有排列if(k=m)只剩下一个元素for (int i=0;i=m;i+) coutlisti;coute ndl;else /还有多

33、个元素待排列，递归产生排列for (in t i=k; in) output(x);elsefor (int i=0;i=1;i+) xt=i;if (constraint(t)&bound(t) backtrack(t+1);6. 分治法所能解决的问题一般具有的几个特征是：(1)该问题的规模缩小到一定的程度就可以容易地解决；3)利用该问题分解出的子问题的解可以合并为该问题的解；(2 )该问题可以分解为若干个规模较小的相同问题，即该问题具有最优子结构性质;4）原问题所分解出的各个子问题是相互独立的，即子问题之间不包含公共的子问题。7. 用分支限界法设计算法的步骤是：（1） 针对所给问题，定义问题的解空间（对解进行编码） ；分（2） 确定易于搜索的解空间结构（按树或图组织解） ；（3）以广度优先或以最小耗费（最大收益）优先的方式搜索解空间，并在搜索过程中用剪枝 函数避免无效搜索。8. 常见的两种分支限界法的算法框架（1 ）队列式 （FIFO） 分支限界法：按照队列先进先出（ FIFO ）原则选取下一个节点为扩展节 点。 （ 2）优先队列式分支限界法：按照优先队列中规定的优先级选取优先级最高的节点 成为当前扩展节点。9. 回溯法中常见的两类典型的解空间树是子集树和排列树。当所给的问题是从 n 个元