路灯更换策略模型

1、“大班上课、小班讨论”论文报告2014-2015 第二学期数学建模2016年4月9日一4月12日题目路灯更换策略模型专业信算信算信算信算班级14信算114信算114信算114信算1姓名芦新宇岳昊垲常巨野王嘉琦学号02051723成绩路灯更换策略一、问题的提出某路政部门负责城市某条道路的路灯维护。更换路灯时，需要专用云梯车进 行线路检测和更换灯泡，向相应的管理部门提出电力使用和道路管制申请， 还要 向雇用的各类人员支付报酬等，这些工作需要的费用往往比灯泡本身的费用更 高，灯泡坏1个换1个的办法是不可取的。上级管理部门通过监察灯泡是否正常 工作对路政部门进行管理，一旦出现1个灯泡不亮，管理部门就会

2、按照折合计时 对他们进行罚款。根据多年的经验，他们采取整批更换的策略，即到一定的时间， 所有灯泡无论好与坏全部更换。如何确定整批更换的时间周期，要考虑每个灯泡的更换价格 （包括灯泡的成本和安装时分摊到每个灯泡的费用）以及管理部门对每个不亮的灯泡制定的惩罚费用，使得单位时间内的费用最少， 此时所对应的周期即为整批更换的最佳周期二、问题的分析其中总费用分为两部分 :每个灯泡的更换价格 （包括灯泡的成本和安装时分摊 到每个灯泡的费用 ）以及管理部门对每个不亮的灯泡制定的惩罚费用。根据常识 , 灯泡的寿命是随机的 ,在平均值附近有较大的波动 ,需要通过分析确定灯泡寿命的 分布规律。针对问题一，将总的灯

3、泡成本和更换安装所需要的费用作为总的安装费用， 再根据灯泡寿命的分布规律，列出需要承担的惩罚费用与整批更换周期的关系， 从而得出总费用与整批更换周期的关系式，解出更换周期的表达式。针对问题二，根据抽查的 200 个灯泡寿命， 统计分析出灯泡寿命大概的分布 规律，将题中所给数据：每个灯泡的更换价格 （包括灯泡的成本和安装时分摊到 每个灯泡的费用 ）为 80 元，管理部门对每个不亮的灯泡制定的惩罚费用为元 / 小 时，代入更换周期表达式， 通过求导计算出日均总费用最小时， 对应的整批更换 周期。针对问题三，在未坏灯泡可以回收的条件下， 总费用应为： 总的安装费用（总 的灯泡成本 +更换安装所需要的

4、费用） +总的惩罚费用 -未坏灯泡回收收益；再次 列出总费用与整批更换周期的关系式， 解出更换周期的表达式， 通过求导计算出 日均总费用最小时，对应的整批更换周期。三、模型的假设1、假定没有人为的破坏灯泡的行为且灯泡均为合格的产品；2、假设惩罚费用从灯泡坏的那一刻开始计算；3、假设该品牌灯泡的寿命满足随机正态分布;4、假设已坏的灯泡无任何回收价值；5、假设外界环境因素不会改变灯泡寿命；6假设所给200组数据是有代表性的，可以体现一般的规律;四、符号说明b整体更换灯泡时单位时间每个灯泡所承受的罚款费用B整体更换灯泡时所承受的罚款总费用A整体更换灯泡时灯泡的总更换费用通过随机抽取的测试获得灯泡的期

5、望寿命通过随机抽取的测试获得灯泡寿命的标准差T整批更换的周期W一个周期内的总费用w平均每天的总费用s 灯泡的寿命a每个未坏灯泡的回收价格P(t)寿命t的概率密度函数即:p(t)1 1 2exp(t22N灯泡的个数f(t)寿命为t的灯泡在一个周期内的总罚款函数(1)g(t)灯泡在一个周期后的售出价格函数五、模型的建立问题一:200查阅资料可知，灯泡寿命的分布为正态分布。由此，我们先对题目所给的 个数据利用SPSS进行正态性检验。先做出灯泡寿命的频率直方图与拟合的正态分布曲线: = 02.67根据图像可以大致看出，灯泡的寿命是正态分布的，于是有寿命t的概率密度函数为对于灯泡的惩罚费用有1 1p(t

6、) 7T-exp(b(T t)f(t) 0(t T)(t T)(2)于是，得出在周期为T的情况下，所要承受的罚款为(3)TB Nb o(T t)p(t)dt则需要的总费用为TW A B A Nbo (T t)p(t)dt(4)为寻求最佳的更换周期，我们将单位时间内支出的费用最小作为评价的标准，即:单位时间内的费用越小该整体更换周期越优，单位时间内支出的费用可表示为(5)当w最小时，有dwdT(6)化简后可得T0 tp(t)dtANb(7)2其中 p(t) -j=-ex3( (t2 2)模型分析：有积分的性质可以知道积分表示的是图形的面积，而且被积函数是大于零的,T为积分上限,所以T越大，积分值

7、越高，即:T与总更换费用和总惩罚费用的比值 成正比关系，当更换的费用越少，惩罚的费用越高时，更换的周期应该是越小的，这 与实际情况是完全吻合的。六、模型的求解问题二: 根据问题二所给的条件，每个灯泡的更换价格 （包括灯泡的成本和安装时分摊到 每个灯泡的费用）为80元，管理部门对每个不亮的灯泡制定的惩罚费用为元 /小 时可知A 200 8016000N200； b 0.02则有A16000Nb 200 0.02代入（7）式则有Ttp(t)dt 40004000(8)(10)编写MATLAB代码，并求解可得近似解为 T=4314（h）结论：整体更换周期为4314小时，即每过4314小时进行一次灯泡

8、的全部 更换的条件下，路政部门平均每天所花的费用最少。问题三： 根据题意可在问题二的模型基础上再考虑未坏灯泡的回收 灯泡的回收价格函数为g(t)(t T)(9)(t T)则考虑未坏灯泡的回收，需要总费用变为TW A B A Nb (T t)p(t)dt Na 丁 P(t)dt为寻求最佳的更换周期，我们同样将单位时间内支出的费用最小作为评价的标准 将（10）式代入（5）（ 6）两式后可得ATTN btp(t)dt ap(t)dt aTp 仃)(11)同样根据问题三所给的条件,该品牌每个未坏灯泡的回收价格为 5元，并结合问题二已知条件，有A 200 80 16000N 200； b 0.02； a

9、 5代入（11）式，并编写代码，用 MATLAB近似求解得T=3932 （ h）结论：在未坏灯泡可以回收的情况下，整体更换周期为3932小时，即每过3932小时进行一次灯泡的全部更换的条件下，路政部门平均每天所花的费用最少。七、模型的检验根据所求得的更换周期的表达式，T与总更换费用和总惩罚费用的比值成正 比关系，当更换的费用越少，惩罚的费用越高时，更换的周期应该是越小的，这与实 际情况是完全吻合的。另外，当未坏的灯泡可以回收时，所对应的最佳整体更换周期缩短， 这与实 际情况也是非常吻合的。八、模型的评价优点：1、模型层层深入，不断实际化，具体化，与生活中实际情况较为接近，具 有很好的实用价值；

10、2、模型利用MATLAB求解，减少了很大的计算量和出错的可能。缺点：1、模型中将灯泡的寿命看做正态分布，具有一定的误差，对结果周期的大 小有一定的影响；2、模型没有将人为因素和意外情况考虑在内，在特殊情况发生时，模型就 不在适用了。九、模型的推广其最该模型适用的对象与我们的生活密切相关，除了灯泡的更换之外，比如学 校机房的电脑更换， 餐厅桌椅的更换等等都能用此模型来研究更换的周期， 佳整体更换周期对学校、餐厅等具有重要意义。十、参考文献1 茆诗松，概率论与数理统计教程第二版，高等教育出版社， 20112 姜启源，数学建模，高等教育出版社， 20033 华东师范大学数学系，数学分析（下） ，高等教育出版社， 2010附录第二问MATLAB代码syms xT=3700;while(1)f=normpdf(x,*x; %在 t 出返回正态分布函数值V =in t(f,x,O,T);%在 0,t 作积分if (double(V)=4000)break;endT=T+1;End第三问