线性代数课件线性方程组的解法

1、第二节 线性方程组的解法 .01narxannm 矩矩阵阵的的秩秩的的充充分分必必要要条条件件是是系系数数有有非非零零解解元元齐齐次次线线性性方方程程组组定定理理一、线性方程组有解的判定条件的解的解讨论线性方程组讨论线性方程组的秩，的秩，和增广矩阵和增广矩阵如何利用系数矩阵如何利用系数矩阵baxba 问题：问题：证证必要性必要性. . ,ndnanar阶非零子式阶非零子式中应有一个中应有一个则在则在设设 ,根据克拉默定理根据克拉默定理个方程只有零解个方程只有零解所对应的所对应的 ndn从而从而有非零解，有非零解，设方程组设方程组0 ax这与原方程组有非零解相矛盾，这与原方程组有非零解相矛盾，

2、.nar 即即不能成立不能成立nar )(充分性充分性. . ,nrar 设设.个自由未知量个自由未知量从而知其有从而知其有rn- -任取一个自由未知量为，其余自由未知量为，任取一个自由未知量为，其余自由未知量为，即可得方程组的一个非零解即可得方程组的一个非零解 .个非零行，个非零行，的行阶梯形矩阵只含的行阶梯形矩阵只含则则ra证证必要性必要性,有解有解设方程组设方程组bax ,brar 设设则则b b的行阶梯形矩阵中最后一个非零行对应矛盾的行阶梯形矩阵中最后一个非零行对应矛盾方程，方程， .,2的秩的秩阵阵的秩等于增广矩的秩等于增广矩矩阵矩阵的充分必要条件是系数的充分必要条件是系数有解有解元

3、非齐次线性方程组元非齐次线性方程组定理定理bababxannm 这与方程组有解相矛盾这与方程组有解相矛盾. .brar 因此因此并令并令 个自由未知量全取个自由未知量全取0 0，rn- -即可得方程组的一个解即可得方程组的一个解充分性充分性. . ,brar 设设 ,nrrbrar 设设证毕证毕个非零行，个非零行，的行阶梯形矩阵中含的行阶梯形矩阵中含则则rb其余其余 个作为自由未知量个作为自由未知量, ,rn- - 把这把这 行的第一个非零元所对应的未知量作为行的第一个非零元所对应的未知量作为非自由未知量非自由未知量, ,r小结小结有唯一解有唯一解bax nbrar nbrar 有无穷多解有无

4、穷多解. .bax 方程组的通解方程组的通解性性程组的任一解，称为线程组的任一解，称为线定义：含有个参数的方定义：含有个参数的方齐次线性方程组齐次线性方程组：系数矩阵化成行最简形矩阵，：系数矩阵化成行最简形矩阵，便可写出其通解；便可写出其通解；非齐次线性方程组：非齐次线性方程组：增广矩阵化成行阶梯形矩增广矩阵化成行阶梯形矩阵，便可判断其是否有解若有解，化成行最阵，便可判断其是否有解若有解，化成行最简形矩阵，便可写出其通解；简形矩阵，便可写出其通解；例例1 1 求解齐次线性方程组求解齐次线性方程组.034022202432143214321 - - - - - - - xxxxxxxxxxxx解

5、解 - - - - - - 341122121221a - - - - - - -463046301221二、线性方程组的解法施行初等行变换：施行初等行变换：对系数矩阵对系数矩阵 a13122rrrr- - - 0000342101221)3(223- - - -rrr212rr - - - - -00003421035201即得与原方程组同解的方程组即得与原方程组同解的方程组 - - -, 0342, 0352432431xxxxxx - - - ,342,3522413222221cxcxccxccx).,(43可可任任意意取取值值xx由此即得由此即得 - - - ,342,3524324

6、31xxxxxx形式形式，把它写成通常的参数，把它写成通常的参数令令2413,cxcx .1034350122214321 - - - - ccxxxx例例 求解非齐次线性方程组求解非齐次线性方程组 - - - - - - - - - -. 3222, 2353, 132432143214321xxxxxxxxxxxx解解对增广矩阵对增广矩阵b进行初等变换，进行初等变换， - - - - - - 322122351311321b13122rrrr- - - - - - - - -10450104501132123rr - - - - - - -200001045011321, 3)(, 2)(

7、 brar显然，显然，故方程组无解故方程组无解例例 求解非齐次方程组的通解求解非齐次方程组的通解.2132130432143214321 - - - - - - - - - - - -xxxxxxxxxxxx解解 对增广矩阵对增广矩阵b进行初等变换进行初等变换 - - - - - - - - 2132111311101111b - - - - - -2121001420001111.00000212100211011 - - - - , 2 brar由于由于故方程组有解，且有故方程组有解，且有 2122143421xxxxx 42442342242102120021xxxxxxxxxxxx.0

8、2102112000011424321 xxxxxx.,42任意任意其中其中xx所以方程组的通解为所以方程组的通解为例例 设有线性方程组设有线性方程组 23213213211 xxxxxxxxx?,有无穷多个解有无穷多个解有解有解取何值时取何值时问问 解解 21111111 b 11111112 作初等行变换，作初等行变换，对增广矩阵对增广矩阵),(bab - - - - - - -2222111011011 - - - - - - - - -32222120011011 - - - - - - - 22112100111011 ,11时时当当 000000001111b ., 3 方方程程组组有有无无穷穷多多解解 brar其通解为其通解为 - - - 33223211xxxxxxx .,32为为任任意意实实数数xx ,12时时当当 - - -2212001