随机变量及其分布方法总结(经典习题及解答)

1、精品文档概率、统计案例知识方法总结一、离散型随机变量及其分布列1. 离散型随机变量：对于随机变量可能取的值，可以按一定次序一一列出，这样的随机变 量叫做离散型随机变量。常用大写英文字母X、Y等或希腊字母 8 n等表示。2. 分布列：设离散型随机变量 E可能取得值为：xi, X2,，X3,，8取每一个值xi (i=1, 2,)的概率为 P(二xj二口，则称表8X1X2XiPPF2P为随机变量8的分布列+3. 分布列的两个性质：RX), i = 1 , 2,(2)Pi+F2+=1.常用性质来判断所求随机变量的分布列是否正确！二、热点考点题型考点一：离散型随机变量分布列的性质ai1 随机变量8的概率

2、分布规律为 P( 8= n) = n(n + 1)(n = 1, 2, 3, 4)，其中a是常数，则P(25v 8 2)的值为A 2 33 B- 44C 55D 6答案：D考点二:离散型随机变量及其分布列的计算2 有六节电池，其中有 2只没电，4只有电，每次随机抽取一个测试，不放回，直至分清楚有 电没电为止，所要测试的次数为随机变量，求 的分布列。解：由题知上=2, 3, 4, 5=2表示前2只测试均为没电,15-3表示前两次中一好一坏，第三次为坏,P( -3)c；c4a；A151-2 -欢迎下载=4表示前四只均为好，或前三只中一坏二好，第四个为坏,巴 4) A：c2c：a：15 515P(

3、=4)2 CT精品文档=5表示前四只三好一坏，第五只为坏或前四只三好一坏第五只为好815C1C3 A4C1C3A4244244分布列为P( =5)552345P1248151515156 6三、 条件概率、事件的独立性、独立重复试验、二项分布与超几何分布1 条件概率：称 P(B| A)二巳A巳 为在事件A发生的条件下，事件 B发生的概率。P(A)2. 相互独立事件：如果事件A (或B)是否发生对事件 B (或A)发生的概率没有影响，这样的两个事件叫做相互独立事件。 如果事件a、B是相互独立事件，那么， A与B、A与B A与B都是相互独立事件 两个相互独立事件同时发生的概率，等于每个事件发生的概

4、率的积。 我们把两个事件 A、B同时发生记作 AB,则有 P (AB) = P (A) P (B)推广：如果事件 Ai, A ,A相互独立，那么这n个事件同时发生的概率，等于每个事件发生的概率的积。即：P (A A An) = P (Ai) P (A)P(An)3. 独立重复试验：在同样的条件下，重复地、各次之间相互独立地进行的一种试验.在这种试验中，每一次试验只有两种结果，即某事件要么发生，要么不发生，并且任何一次试验中发生的概率都是一样的4. 如果在1次试验中某事件发生的概率是p，那么在n次独立重复试验中这个事件恰好发生k次的概率计算公式：R( k) =cnP k (1 p) n：其中，k

5、=0,1,2，,n.5. 离散型随机变量的二项分布 ：在一次随机试验中，某事件可能发生也可能不发生，在n次独立重复试验中这个事件发生的次数E是一个随机变量如果在一次试验中某事件发生的概率是P,那么在n次独立重复试验中这个事件恰好发生k次的概率是Pn(Uk)“，(k= 0,1,2,，n，q =1 - p ).于是得到随机变量E的概率分布如下：01knP小00 nCn p q小 11n 4CnP qk k n_kCn p qc n n 0Cn p q由于C：pkqn乂恰好是二项展开式-3 -欢迎下载精品文档nOOn 11n1kknknnO(q P)二 CnP q CnPq 一 L Cn p q -

6、 L Cn p q中的各项的值，所以称这样的随机变量E服从二项分布，记作匕B(n, p)，其中n, p为参数，并记 C：pkqnJs = b(k； n,p).6. 两点分布：X 0P 17. 超几何分布： 一般地，在含有1-ppM件次品的N件产品中，任取n件，其中恰有 X件次品，则C k c n -kP(X =k) = M nN 血,k =0,1, m,m =minM ,n,其中,C N称分布列01mC。C n_0 CM CN JMC1 Cn4 CM CN JMCmC nqCMCNCNcNCNXP为超几何分布列，称X服从超几何分布。四、热点考点题型题型1.条件概率例1 一张储蓄卡的密码共有 6

7、位数，每位数字都可从 09中任选，某人在银行自动提 款机上取钱时，忘记了密码的最后一位数字，求：按第一次不对的情况下，第二次按对的概率；任意按最后一位数字，按两次恰好按对的概率；若他记得密码的最后一位是偶数，不超过2次就按对的概率解析：设事件 A(i =1,2)表示第i次按对密码 1 P(A2 A)=：9事件AA表示恰好按两次按对密码，则p(AA2)= p(A1)p(A2|aj 91110 910设事件B表示最后一位按偶数，事件 A=A AA表示不超过2次按对密码，因为事件A与事件A|A2为互斥事件，由概率的加法公式得:1 4汉12P(A B) =P(A B) +P(AA B) = +=_55

8、汇45说明：条件概率相当于随机试验及随机试验的样本空间发生了变化，事件-3 -欢迎下载A发生的条件下精品文档事件B发生的概率可以看成在样本空间为事件A中事件B发生的概率，从而得出求条件概率的另一种方法 缩减样本空间法题型2.相互独立事件和独立重复试验例2某公司是否对某一项目投资，由甲、乙、丙三位决策人投票决定他们三人都有同意”中立” 反对”三类票各一张投票时，每人必须且只能投一张票，每人投三类票中的任何一1类票的概率都为 丄，他们的投票相互没有影响规定：若投票结果中至少有两张同意”票，则3决定对该项目投资；否则，放弃对该项目投资.(I )求此公司一致决定对该项目投资的概率；(n)求此公司决定对

9、该项目投资的概率；1 3 1解析：(i)此公司一致决定对该项目投资的概率p=(：)3 =3272 1 2 23 1 37(n )此公司决定对该项目投资的概率为P= C32( 3) 2( 3)+ c3( 3)3= 271答：(I)此公司一致决定对该项目投资的概率为 丄27(n )此公司决定对该项目投资的概率为27.说明：除注意事件的独立性外，还要注意恰有k次发生与指定k次发生的区别，对独立重复试验来说，前者 的概率为C,pk(1 _p)n,后者的概率为pk(1_p)n上题型3:两点分布与超几何分布的应用例3高二(十)班共50名同学，其中35名男生，15名女生，随机从中取出 5名同学参加 学生代表

10、大会，所取出的5名学生代表中，女生人数X的频率分布如何？解析：从50名学生中随机取5人共有C5。种方法，没有女生的取法是 C5C?5 ,恰有1名女生的取法是c；5c35，恰有2名女生的取法是 c15c35，恰有3名女生的取法是 ch：，恰有4名女生的取法是C1；C；5，恰有5名女生的取法是C15C35 ,因此取出的5名学生代表中，女生人数 X的频率分布为:X012345PC 0 C 5C15C35C1 C4C15C35C2C3C15C35C4C1C15C35C 5 c 0C15C35c55oc55oc55oc50c55oc55o题型4:独立重复试验与二项分布的应用例题4:在10件产品中有2件次

11、品，连续抽3次，每次抽1件，求:(1)不放回抽样时，抽到次品数E的分布列；2)放回抽样时，抽到次品数n的分布列.解：(1)不放回抽样时，抽到次品数E服从参数为10,2,3超几何分布:P (审0) =-C3=- , P(E), P(e=2) =_2=_!,c3o 15c3o 15c3o15所以E的分布列为012P715715115(2)放回抽样时，抽到次品数n： B (3,0.2 ):P ( n=k) =C8 0.830.2 k (k=0, 1, 2, 3),所以 n 的分布列为匕0123pC0.838C8O.8 2 0.2c8 0.8 0.22C?0.2 38五、离散型随机变量的期望和方差1

12、数学期望：一般地，若离散型随机变量E的概率分布为EXiX2XnPpiP2pn则称EXiP!X2P2 - XnPn - 为E的数学期望，简称期望.2. 期望的一个性质：E(a匚亠b) = aE ：亠b3. 若 E B (n,p ),则 EE=np .4. 方差：D =(x1-E)2p1 +(x2E)2p2 + + (Xn- E )Pn+ .5. 标准差：.D，叫做随机变量 E的标准差.6. 方差的性质：D(a ： b) =a2D ；7. 若旷 B( n, p)，则 D 二 np(1- p)六、热点考点题型题型一：离散型随机变量的期望与方差例题1 ：为防止风沙危害，某地决定建设防护绿化带，种植杨树

13、、沙柳等植物。某人一次种植了 n株沙柳，各株沙柳成活与否是相互独立的，成活率为p，设为成活沙柳的株数，数学期望E =3，标准差(I)求n,p的值并写出的分布列；(n )若有3株或3株以上的沙柳未成活，则需要补种，求需要补种沙柳的概率3ii解析： 由 E = np = 3,(；)2 二 np(1 -p) ,得 1 - p ,从而 n = 6, p =222的分布列为P(A)二1 6 15 206421 或32P(A)=1_P( 3)=1_15 6 1642132例题2: 一厂家向用户提供的一箱产品共10件，其中有2件次品，用户先对产品进行抽检01234561615201561P646464646

14、46464记”需要补种沙柳”为事件A, 则P(A) = P(上3),得以决定是否接收抽检规则是这样的：一次取一件产品检查(取出的产品不放回箱子)，若前三次没有抽查到次品，则用户接收这箱产品；若前三次中一抽查到次品就立即停止抽检，并且用户拒绝接收这箱产品(1)求这箱产品被用户接收的概率;(2)记抽检的产品件数为，求的分布列和数学期望.8=0时，表明两个变量正相关；当 r0时，表明两个变量负相关； 当|r| 605时有95%的把握说两个变量间具有线性相关关系，当| r戶605时二者无相关关系。十、热点考点题型1.独立性检验为了判断高中三年级学生是否选修文科与性别的关系，现随机抽取50名学生，得到如下 2 X2