2007-2017昆明数学中考压轴题含答案

1、昆明市2007-2017年中考压轴题1. (2007昆明)如图，在直角坐标系中，点A的坐标为(-2, 0)，连接OA,将线段OA绕原点O顺时针旋转120。，得到线段OB.(1) 求点B的坐标；(2) 求经过A、O、B三点的抛物线的解析式；(3) 在(2)中抛物线的对称轴上是否存在点 存在，请说明理由；如果点P是中的抛物线上的动点， 时P点的坐标及 AFAB的最大面积；6使厶BOC的周长最小？若存在，求出点 C的坐标；若不且在x轴的下方，那么 FAB是否有最大面积？若有， 求出此 若没有，请说明理由.(注意：本题中的结果均保留根号)解：(1)过点B作BD丄x轴于点D,由已知可得：OB=OA=2

2、/ BOD=60在 Rt OBD中，/ ODB=90，/ OBD=30 OD=1 DB=73点B的坐标是(1,. 3 )(2)设所求抛物线的解析式为y=ax2+bx+c，由已知可得:4a2b c 0解得：a= 3 , b=2 , c=033所求抛物线解析式为 y= 3 x2 +乙33(备注：a、b的值各得1分)(3)存在由y= 3 x2+ 2 “ 3 x配方后得:33y=- (x+1) 2- 333抛物线的对称轴为x=-1(也可用顶点坐标公式求出)t点C在对称轴x=-1上， BOC的周长=OB+BC+CO：OB=2要使 BOC的周长最小，必须 BC+CC最小，t点O与点A关于直线x=-1对称，

3、有OC=CA BOC勺周长=OB+BC+CO=OB+BC+CA当AC、B三点共线，即点C为直线AB与抛物线对称轴的交点时,分BC+CA最小，此时 BOC勺周长最小.设直线AB的解析式为y=kx+b，则有:2k b 0解得：k=, b=i33直线AB的解析式为y+2233当 x=-1 时，y= 33所求点的坐标为 (-1_33(4)设 P (x , y) , (-2x0 ,y0),则 y3x2+-3x33)过点P作PQL x轴于点Q,PGLx轴于点G,过点A作AF丄PQ于点F,过点B作BE丄PQ?于点E,_KU PQ=-x, PG=-y,由题意可得:& PAB=S 梯形 AFEB-SaAFP-S

4、a BEP=1(af+be fe-1af fp-1pe- be2 2 22. ( 2008昆明)如图，在直角坐标系中,以点M (3,0)为圆心,以6为半径的圆分别交x轴的正半轴于点A_AA=-(-y+ 一 3 -y ) (1+2) - - (-y ) (x+2) - - (1-x ) ( _3 -y )2223J3-y+x+223将代入，化简得：Sapab =-X2-X+310分2 2.31、2 9、3(x+ ) +2 2 81 二当x=-时， pab的面积有最大值，最大面积为9.311分28此时，y=312.3 z 1.334324点P的坐标为(-1, - 一3 )1224交x轴的负半轴于点

5、 B，交y轴的正半轴于点 C，过点C的直线交x轴的负半轴于点 D( 9,0).(1) 求A, C两点的坐标；(2) 求证：直线CD是e M的切线;(3)若抛物线y x2 bx c经过M , A两点，求此抛物线的解析式;（4）连接AC，若（3）中抛物线的对称轴分别与直线CD交于点E，与AC交于点F，如果点P是抛物线上的动点，是否存在这样的点P，使得Sapam : Smef若不存在，请说明理由.（注意：本题中的结果均保留根号） 解：(1)连接 CM，由题意得：0M=3 , OB=3 , OE=9, MC=6 OA=OM+MA=3+6=9A ( 9, 0) 1分QOC . MC2 OM 2. 62

6、323、3 C (0, 3.3 ) 2分(2)证法一：在 Rt DCO 中，Q DC DO2 CO2.92 (3、3)26 3在厶DCM中，QCM 2 DC2 62 (6 ,3)2 1442,6DM(DO OM )2(9 3)21221442 2 2CM DC DM DCM直角三角形。 MC丄DC,而MC是O M的半径 CD是O M的切线。证法二：在 Rt COM 中,Q sin MCOOMOCMCO 30O在 Rt DOC 中,Q tan DCOIO 393 -DCO 60ODCM MCO DCO 90OMC DC，而MC中的O M半径。 证法三：在厶CMO和厶DMC中DMCMOM 2MCM

7、CCM DMOM MC 又 Q CMO DMCVcmo : Vdmc COM DCM90OMC DC，而MC DC，而MCMC中的O M半径。 中的O M半径。(3)由抛物线ybxC经过点M (3, 0)和点A (9, 0),可得:3b c 0819b c 0解得:12抛物线的解析式为:2712x 27(4)存在。 方法一：设直线CD的解析式为ykixbi,点C(0,3 .3)和点D ( 9, 0)在此直线上，可得:解得：k1bi直线CD的解析式为:设直线AC的解析式为k?xb2，点 A (9,0)和点C(0,3 3)在此直线上，可得:b233解得:9k2 b20k2b233、3直线AC的解析

8、式为: 抛物线的对称轴为x又点E是对称轴和直线2aCD的交点当 x=6 时，y -63点E的坐标为(6, 5-. 3 )双点F是对称轴和直线AC交点当 x=6 时，y 36 3 3、33点F的坐标为（6,、3 ） EF 5.3 x34.3过点C作CG EF于点G,则CG=6Scef -EFgCG 1 4、3 6 12、一 32 2若点P在轴的上方，设点 P坐标为（x, y）SVPAM1AM gy 3yQ SVPAM:ScEF3:33y:12 .3,3:3解得：y=4当y=4时，即x212x274，解得 x 6Pi(6,13,4) , P2(6,13,4)10分P与点M或与点A重合，此时构不成三

9、角形。 若点P在x轴上，则点 若点P在x轴下方，设点P的坐标为（x, y）1SVPAM AM 9（ y）3 y2QSv PAM : SVCEF3:33y:12 ,3.3:3解得：y=4当y= 4时，即x212x27Pa(65, 4) , P4(6 5,4)12分这样的点共有4个,Pi(6 13,4) , P2(6 、i3,4) ,P3(6 、5, 4),卩4(6 、5, 4)方法二：存在设抛物线的对称轴交 x轴于点H在（2 ）中已证:DCO 60O, CDO 30O抛物线的对称轴平行于y轴CEF DCO 60/ 0D=0A=9 CO垂直平分ADCAO CDO 30在 Rt AFH 中， AFH

10、 60xx则四边形CODB是矩形,BD CO 4, OD (CB3 , DA3.在 Rt ABD 中，AB-3425.分当 MN I OC 时，MNI BD ,ANAM AMNADB ,分ABAD/ AN OM t, AM6t, AD3,EFC 60 CEF是等边三角形过点C作CG EF于点G,则CG=6可得：EF 4 .3AA_Scef-EFgDG4.3612.32 23. (2009昆明)如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC是梯形，OA II BC,点A的坐标为(6, 0)，点B的坐标为(4, 3)，点C在y轴的正半轴上.动点 M在OA上运动，从 O点出发到A点；动点N在 AB上运动，

11、从A点出发到B点.两个动点同时出发，速度都是每秒1个单位长度，当其中一个点到达终点时，另一个点也随即停止，设两个点的运动时间为t(秒).(1) 求线段AB的长；当t为何值时，MN I OC ?(2) 设厶CMN的面积为S,求S与t之间的函数解析式，并指出自变量t的取值范围；S是否有最小值？ 若有最小值，最小值是多少？(3) 连接AC,那么是否存在这样的 t，使MN与AC互相垂直？若存在，求出这时的t值；若不存在,请说明理由.解：(1)过点B作BD OA于点D ,1分15(秒).(2)/ NE I BD ,EN AN AEN ADB ,DB AB即EN4tEN4 -t .55Q EFCO4,FN

12、4 4t .5Q SS梯形OABCSa comSa mna:- S1CO(OACB)1-cogM CBN ,Cy_F看OM DE A1AM gEN 1CBgFN2 241114144 (63)4gt(6 t)t-34t .222525即S2t2叫12(0 QRIWN- 2%RA-2M. NQOHINKABC“0 .KooniNn NAOW:ZOOC- w Ii:i QXXDRHK op*站 8Hn ACOOSSSSr- *ws .:!;:J:t.!.x KKDOC.E ；iMeXM2K DOC KA 5QxwaQW 一 ZDOC ZA A8S3 9ol9r8- 44ADMBIF ODU*曲 8

13、1 n AC0os9fti.54)3 - 8* 08|8.002*IUODC 令 tang怡8o2tn紳HBC3SKxMywr:：9 1EB(4 ohc(o 11 亠 tyE+c3B-4*:00*:3SanHwaKm暮_hKa*rM？ 30 3a2s :SE f2)39. (2015昆明)如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2詣x+c (a工0与x轴交于A、B两点(点A在点B的右侧)，与y轴交于点C,点A的坐标为(4, 0),抛物线的对称轴是直线 X.(1) 求抛物线的解析式；(2) M为第一象限内的抛物线上的一个点， 过点M作MG丄x轴于点G,交AC于点H，当线段CM=CH 时，求点M的

14、坐标；(3) 在(2)的条件下，将线段 MG绕点G顺时针旋转一个角 a ( 0 v av90 ),在旋转过程中，设 线段MG与抛物线交于点N，在线段GA上是否存在点P,使得以P、N、G为顶点的三角形与 ABC 相似？如果存在，请求出点 P的坐标；如果不存在，请说明理由.Jf解：(1)x= 一，1-,把 A (4, 0),可得X42+_ m+c=0 ,2解得c=2, 则抛物线解析式为y= -7?x2+?x+2 .(2)如图1,连接CM，过C点作CE丄MH于点E, y=二x2+上x+2 ,2 %二当 x=0 时，y=2,二C点的坐标是（0, 2）,设直线AC解析式为y=kx+b （ k工），把 A

15、 （4, 0）、C （0, 2）代入 y=kx+b ,可得4k+b=0b=2fk-1解得：2,g直线AC解析式为y=-丄x+2 ,T点M在抛物线上，点H在AC上，MG丄x轴，设点M的坐标为（m,-占m2弋m+2）, H （m,-寻m+2）, MH= - m2m+2 （ 土m+2） =m2+2m,g 222v CM=CH , 0C=GE=2 , MH=2EH=2 2 -（-丄m+2） =m ,又 v MH= - *m2+2m , - -m2+2m=m ,即 m （m - 2） =0 , 解得m=2或m=0 （不符合题意,舍去）则N点坐标为（n,-壬n2+三n+2）,当/ m=2,当m=2时，y=

16、-丄 X22+工 X2+2=3,2 2点M的坐标为（2, 3）.（3）存在点P,使以P, N , G为顶点的三角形与 ABC相似，理由为：抛物线与x轴交于A、B两点，A（ 4，0），A、B两点关于直线x=Z成轴对称,2二 B （- 1, 0）,t AC=Q 十 2 2=2， BC= ? + 2 ?=J， AB=5 , AC2+BC2=（砸）乐、2=25, AB2=52=25, AC2+BC2=AB 2=25, ABC为直角三角形,/Z ACB=90 ,线段MG绕G点旋转过程中，与抛物线交于点N，当NP丄x轴时，Z NPG=90 设P点坐标为（n, 0）,N鬥P*ACCB时,vZ NPG= Z

17、ACB=90 , N1P1Gs ACB ,2V5 伍解得：ni=3, n2= - 4 （不符合题意，舍去），当n 1=3时，y=-丄 X32+三 X3+2=2,2 2 P的坐标为（3, 2）._ t N n P ? P ,当 = 时，BC CAvZ N2P2G= Z BCA=90 , N2P2Gbca ,2 2 3二?5 2品解得：ni=1 r： f, n2=1 -（不符合题意，舍去）,当 ni=1=0 1 时，y=-丄x（ 1+ ）2+二x（ 1 - ,-）+2=,., p的坐标为（1 &，辽二!）.2又v点P在线段GA 上,点P的纵坐标是0,不存在点P,使得以P、N、G为顶点的三角形与AB

18、C相似.10. （2016昆明中考）如图1，对称轴为直线乂=丄的抛物线经过 B （2, 0）、C （0, 4）两点，抛物线与 x轴的另一交点为（1）求抛物线的解析式；（2） 若点P为第一象限内抛物线上的一点，设四边形COBP的面积为S,求S的最大值； MQB（3） 如图2,若M是线段BC上一动点，在x轴是否存在这样的点 0,使厶MQC为等腰三角形且为直角三角形？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由./1 /a! oBx0bJ卽I【考点】二次函数综合题.【分析】(1)由对称轴的对称性得出点 A的坐标，由待定系数法求出抛物线的解析式；(2) 作辅助线把四边形 COBP分成梯形和直角三角形，表示出面积S,化简后是一个关于 S的二次函数， 求最值即可；(3) 画出符合条件的 Q点，只有一种，利用平行相似得对应高的比和对应边的比相等列比例式；在 直角 OCQ和直角 CQM利用勾股定理列方程；两方程式组成方程组求解并取舍.11. ( 2017昆明中考)已知二次函数y2x2 bx c图像的顶点坐标为 (3, 8),该二次函数图像的不等式b 2c 80是否成立？请说明理由；设S是厶AMO勺面积，求