2021年新教材高二上学期期中复习数学试卷五（含解析）

1、2021年新教材高二上学期期中复习 数学试卷（本卷满分150分，考试时间120分钟）测试范围：选择性必修第一册 RJ-A（2019）第一章、第二章、第三章一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的.1已知两个非零向量，则这两个向量在一条直线上的充要条件是( )。A、 B、C、 D、存在非零实数，使【答案】D【解析】A选项，表示的单位向量，表示的单位向量，则，但不一定有，错，B选项、C选项不能推出，故选D。2已知焦点在轴上的双曲线的焦距为，焦点到渐近线的距离为，则双曲线的方程为( )。A、 B、 C、 D、【答案】B【解析】，焦点到渐

2、近线的距离为，则，则，双曲线方程为，故选B。3若直线与圆相交，则实数的取值范围为( )。A、 B、 C、 D、【答案】D【解析】圆的标准方程为，圆心，半径。直线与圆相交，解得或，故选D。4点与圆上任一点连线的中点的轨迹方程是( )。A、 B、C、 D、【答案】A【解析】设中点坐标为，那么圆上一点设为，满足，根据条件，代入后得到，化简为：，故选A。5若、分别为直线与上任意一点，则的最小值为( )。A、 B、 C、 D、【答案】B【解析】，两直线平行，将直线化为，由题意可知的最小值为这两条平行直线间的距离，即，的最小值为，故选B。6已知椭圆：()的左焦点，过点作倾斜角为的直线与圆相交的弦长为，则椭

3、圆的离心率为( )。A、 B、 C、 D、【答案】B【解析】过点倾斜角为的直线方程为：，即，则圆心到直线的距离：，由弦长公式可得：，整理可得：，则：，故选B。7已知点是抛物线：的焦点，点为抛物线的对称轴与其准线的交点，过作抛物线的切线，切点为，若点恰好在以、为焦点的双曲线上，则双曲线的离心率为( )。A、 B、 C、 D、【答案】D【解析】由题意，得、，设过的抛物线的切线方程为：，联立得，令，得，即，不妨设，由双曲线的定义得，则该双曲线的离心率为，故选D。8如图所示，是棱长为的正方体，、分别是棱、上的动点，且。当、共面时，平面与平面所成锐二面角的余弦值为( )。A、 B、C、 D、【答案】B【

4、解析】以点为原点如图建系，则、，由题意知：当、时，、共面，设平面的法向量为，则，取，解得，设平面的法向量为，则，取，解得，设平面与平面所成锐二面角为，则，平面与平面所成锐二面角的余弦值为，故选B。二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分.9已知经过点和点的直线与经过点和点的直线互相垂直，则实数( )。A、 B、 C、 D、【答案】BC【解析】的斜率，当时，的斜率，即，解得，当时，、，直线为轴，直线为轴，显然，实数的值为或，故选BC。10已知椭圆：()的左右焦点分别、，过且斜率为的直线交椭圆于

5、、两点，若为直角三角形，则该椭圆的离心率( )。A、 B、 C、 D、【答案】CD【解析】当时，设，则由于，椭圆的离心率为，当时，设，则由于，椭圆的离心率为，故选CD。11下列命题中不正确的是( )。A、若、是空间任意四点，则有B、若，则、的长度相等而方向相同或相反C、是、共线的充分条件D、对空间任意一点与不共线的三点、，若()，则、四点共面【答案】ABD【解析】A选项，而不是，故A错，B选项，仅表示与的模相等，与方向无关，故B错，C选项，即，即，与方向相反，故C对，D选项，空间任意一个向量都可以用不共面的三个向量、表示，、四点不一定共面，故D错，故选ABD。12已知、是双曲线(，)的左、右焦

6、点，过作双曲线一条渐近线的垂线，垂足为点，交另一条渐近线于点，且，则该双曲线的离心率为( )。A、 B、 C、 D、【答案】AC【解析】(1)当时，设，则，设，由题意可知，则，代入得，即，解得，则， (2)当时，设，设，则，由题意可知，则，则，则，代入得，即，解得，则， 故选AC。三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13动点与定点、的连线的斜率之积为，则点的轨迹方程是 。【答案】()【解析】设，则，动点与定点、的连线的斜率之积为，即，且，综上点的轨迹方程是()。14过双曲线的右支上一点，分别向圆：和圆：()作切线，切点分别为、，若的最小值为，则 。【答案】【解析】设、是双曲线的左、

7、右焦点，也是题中圆的圆心，显然其最小值为，。15如图所示，是正四棱锥，是正方体，其中，则点到平面的距离为 。【答案】【解析】方法一：利用等体积法求点到平面距离：， 又， ，即，解得；方法二：利用建系求点到平面距离：以为原点，、为、轴建系，则，设平面的法向量为，则，即，设，解得，则，又点到平面的距离。16如图所示，已知抛物线的焦点为，直线过点且依次交抛物线及圆于、四点，则的最小值为 。【答案】【解析】，焦点，准线：，由圆：，圆心，半径为，由抛物线的定义得：，又，同理：，当轴时，则，当的斜率存在且不为时，设：，代入抛物线方程，得：，当且仅当，即，时取等号，综上所述的最小值为。四、解答题：本题共6小

8、题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17（本小题满分10分）已知两圆：和：。(1)求证：圆和圆相交；(2)求圆和圆的公共弦所在直线的方程和公共弦长。【解析】(1)证明：圆的圆心，半径，圆的圆心，半径， 2分两圆圆心距，圆和相交； 4分(2)圆和圆的方程左、右分别相减，得， 6分两圆的公共弦所在直线的方程为， 7分圆心到直线的距离， 9分故公共弦长为。 10分18（本小题满分12分）如图，已知的边所在直线的方程为，满足，点在边所在直线上且满足。(1)求边所在直线的方程；(2)求外接圆的方程；(3)若动圆过点，且与的外接圆外切，求动圆的圆心的轨迹方程。【解析】(1)，又在上，为，

9、 1分又边所在直线的方程为，直线的斜率为， 2分又点在直线上，边所在直线的方程为，即； 4分(2)与的交点为，由解得点的坐标为， 5分，为斜边上的中点，即为外接圆的圆心， 6分又，从而外接圆的方程为；7分(3)动圆过点，是该圆的半径，又动圆与圆外切，即， 9分故点的轨迹是以、为焦点，实轴长为的双曲线的左支， 10分实半轴长，半焦距，虚半轴长， 11分从而动圆的圆心的轨迹方程为()。 12分19（本小题满分12分）如图所示，在三棱柱中，底面为正三角形，在底面上的射影是棱的中点，于点。(1)证明：平面；(2)若，求与平面所成角的正弦值。【解析】(1)证明：连接，为正三角形，为中点，平面， 2分又，

10、又，平面， 4分(2)解：由(1)可知，故分别以、为坐标轴建立如图所示的空间直角坐标系， 6分设，则，则， 8分设平面的法向量为，则即，设，则、，则， 10分设与平面所成角为，则，与平面所成角的正弦值为。 12分20（本小题满分12分）椭圆：()的长轴长等于圆：的直径，且的离心率等于。直线和是过点且互相垂直的两条直线，交于、两点，交于、两点。(1)求的标准方程；(2)当四边形的面积为时，求直线的斜率()。【解析】(1)由题意得， ， 2分椭圆的标准方程为； 3分(2)直线：，则直线：，由， 5分得，恒成立， 6分设、，则， 7分， 8分圆心到直线：的距离， 9分又， 10分， 11分由，解得或

11、，由，得。 12分21（本小题满分12分）如图所示，在三棱柱中，四边形为菱形， 平面平面，为的中点。(1)求证：平面；(2)求平面与平面所成角的大小。【解析】(1)四边形为菱形， 1分， 2分又平面平面，平面平面，平面，3分又，平面； 4分 (2)取的中点，的中点，连接、，平面，平面，、，又四边形是菱形，是的中点，故、两两互相垂直， 6分以为坐标原点，、所在直线分别为轴、轴、轴，建立如图所示的空间直角坐标系，、， 7分由图可知，平面的一个法向量为， 8分设平面的法向量为，则，即，取，得平面的一个法向量为， 10分设平面与平面所成角的平面角为，则， 11分又，平面与平画所成角为。 12分22（本小题满分12分）已知椭圆，抛物线的焦点均在轴上，的中心和的顶点均为原点，从、上分别取两个点，将其坐标记录于下表中：(1)求、的标准方程；(2)若直线：()与椭圆交于不同的两点、，且线段的垂直平分线过定点，求实数的取值范围。【解析】(1)