理论力学PPT课件第9章分析动力学基础

1、2021年10月21日1第第9 9章章 分析动力学基础分析动力学基础2021年10月21日2动力学普遍方程动力学普遍方程拉格朗日方程拉格朗日方程拉格朗日方程的首次积分拉格朗日方程的首次积分2021年10月21日3运用矢量力学分析非自由质点系，必然会运用矢量力学分析非自由质点系，必然会遇到约束力多，方程数目多，求解烦琐，能否遇到约束力多，方程数目多，求解烦琐，能否建立不含未知约束力的动力学方程？建立不含未知约束力的动力学方程？将达朗贝尔原理与虚位移原理相结合，建将达朗贝尔原理与虚位移原理相结合，建立动力虚功方程，广义坐标化，能量化，化为立动力虚功方程，广义坐标化，能量化，化为第二类拉氏方程，实现

2、用最少数目方程，描述第二类拉氏方程，实现用最少数目方程，描述动力系统动力系统。2021年10月21日4 一一. . 方程的一般形式方程的一般形式iiiir0f f动力学普遍方程或动力学普遍方程或达朗贝尔拉格朗日原理达朗贝尔拉格朗日原理理想约束，不论约束完整，定常与否均适用理想约束，不论约束完整，定常与否均适用9-1 9-1 动力学普遍方程动力学普遍方程2. 2.直角坐标形式：直角坐标形式：1. 1.矢量形式：矢量形式：2021年10月21日5广义坐标形式广义坐标形式设完整约束系统有设完整约束系统有k个自由度，可取个自由度，可取 广义坐标广义坐标. .,.,kqqqq321广义主动力广义主动力广

3、义惯性力广义惯性力1jniqiijfqrf*1jniqiiijfmqr a 包含了惯性力虚功包含了惯性力虚功! !*0jjqqffkj, 2 , 1*1()0jjkqqjjffq2021年10月21日6例例1 1 图示为离心式调速器图示为离心式调速器已知：已知：m1, m2 , l , ,求：求： () 的关系。的关系。baclll 答：答：m1gm2gm1g2021年10月21日7jrpp,21例例2 2 已知已知求求a?答答: :2122122sin22pp ragpp rjg1p2p1pa2021年10月21日82021年10月21日9已知重量已知重量 轮纯滚轮纯滚, ,水平面光滑水平面

4、光滑, ,求三棱柱加速度。求三棱柱加速度。12g ,g ,r,及o2g1gr2021年10月21日10解解: :加惯性力，受力如图。加惯性力，受力如图。选选 广义坐标。广义坐标。x,由由 0 0 0 xfw= , x12211cos0gggaxrxaxggg有有即即 cos2121rgagg(a)又由又由 有有 00 0fw, x,o2g1gr1a x11agg2rgg21agg2212rgg2021年10月21日112222121cossin02gggrrrargrggg 212122sin232sing gaggg式式(a)代入代入(b),可得可得令令 时，牵连惯性力时，牵连惯性力 并不为

5、零；并不为零；0 x 21gag 令令 时，相对惯性力时，相对惯性力 并不为零，并不为零，两者相互独立。两者相互独立。02grg0sincos232122ggaggrgg(b)即即注意注意:2021年10月21日12 均质圆柱均质圆柱1与与薄壁圆筒薄壁圆筒2用绳相连，并多圈缠绕用绳相连，并多圈缠绕圆筒圆筒(绳与滑轮绳与滑轮a的重量不计的重量不计)。已知。已知 试求运动过程中轮心试求运动过程中轮心c与轮心与轮心o的加速度大小。的加速度大小。 12m ,m ,r,图(a)car1o2r1m2m2021年10月21日13图图(b)ca1o2取两轮转角取两轮转角 为为广义坐标，其受力与运广义坐标，其受

6、力与运动分析，如图动分析，如图(b)所示，所示，12, 令令 120,0，由，由2()0fw1212, ccvrrarr(a)有有 22222() 0ccm gm arj(b)10m a1m g1oj2m g2cj2cm a12解解: :自由度自由度k=2=22021年10月21日14将式将式(a)及及22cjm r代入代入(b)式式，得12(2)rg(c)再令120,0由由1()0fw有有 联立联立 (c) )和和(d)式，可得式，可得221011212(23), 32(3)cm gmm garammmm101011221() 0cm a rjm am g r 即即1212223()2m r

7、m rm rm g(d)图图(b)ca1o210m a1m g1oj2m g2cj2cm a122021年10月21日15本题中如何求绳的张力及圆柱纯滚的条件本题中如何求绳的张力及圆柱纯滚的条件?用动力学普遍定理如何求解用动力学普遍定理如何求解?计入滑轮计入滑轮a质量质量,结果有何变化结果有何变化?图(b)ca1o210m a1m g1oj2m g2cj2cm a122021年10月21日16 不便计算，拉格朗日方程利用两个经典不便计算，拉格朗日方程利用两个经典微分关系。将微分关系。将 能量化能量化 从而导出拉氏从而导出拉氏方程。方程。*jqf*jqf9-2 拉格朗日方程拉格朗日方程*0 1,

8、 2,.jjqqffjk对于完整的约束系统，动力学普遍方程的广义坐标形式为对于完整的约束系统，动力学普遍方程的广义坐标形式为1) 1) “同时消点同时消点”2) 2) “交换关系交换关系”（求导）（求导） ijjiqqrrjjtiiddqqrr2021年10月21日17一、拉氏方程的一般形式一、拉氏方程的一般形式第二类拉氏方程，以第二类拉氏方程，以t为自变量，为自变量， 为未知函数的为未知函数的二阶常微分方程组，二阶常微分方程组，2k个积分常量，须个积分常量，须2k个初始条个初始条件件 1,2,.jqjjdttfjkdtqq( )jq t2021年10月21日18oarr例例1 1 均质杆均质

9、杆oa质量为质量为m1、可绕轴、可绕轴o转动转动, ,大齿轮半径为大齿轮半径为r，小齿轮质量为小齿轮质量为m2，半，半径为径为r ，其上作用一常力偶，其上作用一常力偶m，设机构处，设机构处于水平面。于水平面。求：该杆的运动方程。求：该杆的运动方程。答：答：2021年10月21日19例例2 2 已知：已知： m1 , m2 , r, f , f 。 求：求： 板的加速度板的加速度a。cr答：答：oxx2021年10月21日20解解: :本系统为完整约束，主动力非有本系统为完整约束，主动力非有势，采用基本形式的拉氏方程求解。势，采用基本形式的拉氏方程求解。 如图所示，铰盘半径为如图所示，铰盘半径为

10、r，转动惯量为，转动惯量为j，其上作用力偶矩为其上作用力偶矩为m的力偶，重物质量分别为的力偶，重物质量分别为 12,m m不计摩擦与滑轮质量，求铰盘的角加速度不计摩擦与滑轮质量，求铰盘的角加速度 。判断系统的自由度，判断系统的自由度，取广义坐标。取广义坐标。 本题中，本题中， 2k ，取，取 12,q q为广义坐标，为广义坐标，1m2mrm1q2q2021年10月21日21计算系统的计算系统的t与与 jqf1 11221(2), tjm qqqqr222121 1222111()222qqtm qm qjr2212222(2), tjm qqqqr1(1)1fqwfq2222222qmm g

11、qmrm gqr10tq20tq11111qmm g qmrm gqr2(2)2fqwfq则有则有122, rqq12 2rqq122, rqq12 2rqq1m2mrm1q2q2021年10月21日22代入拉氏方程，得系统的运动微分方程。代入拉氏方程，得系统的运动微分方程。代入代入 111ddqttft qq中，得中，得1 11212(2)jmm qqqm grr(a)代入代入 222ddqttft qq中，得中，得22122222(2)jmm qqqm grr(b)解方程，求加速度。解方程，求加速度。21(a)(b)2mm，得，得 122112221122(4)3(4)qqm mmgrm

12、mrj mmr m m1m2mrm1q2q2021年10月21日23二、势力场中的拉氏方程二、势力场中的拉氏方程 若主动力有势若主动力有势 则有则有 引入拉格朗日函数引入拉格朗日函数 注意到注意到jqjvfq jjjdttvdtqqq vtl0jvq0 1,2,.jjdlljkdtqq2021年10月21日24例例图示两均质圆轮沿斜面纯滚，均质杆图示两均质圆轮沿斜面纯滚，均质杆ab与两轮与两轮心铰接。已知心铰接。已知 12312m ,m ,m ,r,r ,k,试求系统微振动微分方程及圆频率试求系统微振动微分方程及圆频率 。 0ka1r1m g3m g2r2m gb2021年10月21日2522

13、2212333114422ltvm xm xm xkx1233322lmmmxxlkxx ，代入拉氏方程代入拉氏方程 d0dlltxx中，有中，有 系统自由度为系统自由度为1。取轮心。取轮心b沿斜面位移沿斜面位移x为为广义坐标。平衡位置为零势能位置，则任意广义坐标。平衡位置为零势能位置，则任意x位置时，位置时，系统的拉氏函数系统的拉氏函数: : ka1r1m g3m g2r2m gbx2021年10月21日26与简谐振动微分方程与简谐振动微分方程 200 xx对比可知对比可知振动圆频率振动圆频率 01232332kmmm即即 12320332kxxmmm为所求微分方程。为所求微分方程。 123

14、33022mmmxkx2021年10月21日27 例例 与刚度为与刚度为 k 的弹簧的弹簧相连的滑块相连的滑块a，质量为，质量为m1, ,可在光滑水平面上滑动。可在光滑水平面上滑动。滑块滑块a上又连一单摆，摆上又连一单摆，摆长长l ，摆锤质量为，摆锤质量为m2 ，试，试列出该系统的运动微分方列出该系统的运动微分方程。程。21222()cossin0mmxm lm lkxcos sin0 xlg答：答：2021年10月21日28例例如图所示，物如图所示，物a重为重为，物，物b重为重为，弹簧，弹簧刚度系数为刚度系数为k，其，其o端固定于物端固定于物a上，另一端与物上，另一端与物b相连。相连。系统由

15、静止开始运动，不计摩擦与弹簧质量，系统由静止开始运动，不计摩擦与弹簧质量，且弹簧在初瞬时无变形，试求运动中物且弹簧在初瞬时无变形，试求运动中物a的加速度。的加速度。 kaob1g2g2021年10月21日29122121cosggglxxxgg121()sinlggxkaob1g2g1x22212cosgglxxxgg22lkxx 22212112212121211 (221 2cos )()sin2ggxxxggx xggxkx ltv2x解：系统处于势力场中，自由度为解：系统处于势力场中，自由度为2，取，取a的绝对位的绝对位移移 ，b的相对位移的相对位移 (弹簧的绝对伸长量弹簧的绝对伸长量

16、)为广义坐为广义坐标。标。取系统的初始位置为零势能位置。在任意时刻取系统的初始位置为零势能位置。在任意时刻t, ,2x1x2021年10月21日30将以上各项代入下列拉氏方程将以上各项代入下列拉氏方程1122d0dd0dlltxxlltxx得得1221212cos()sin0gggxxgggg (a)22212cos0ggxxkxgg(b)kaob1g2g1x2x2021年10月21日31由式由式(a)和式和式(b)消去消去 1x ，得，得 2202xxd(c)其中其中2121202221212()() sin cos, (sin)sinkg gggg gdg gggg由式由式(c)解得解得2

17、102020cossindxctct由由 0t 时，时， 220 xx，得，得 1220, 0dcc故故220sin2 (cos1)2gxtk(d) kaob1g2g1x2x2021年10月21日32将式将式(d)代入式代入式(c)，再将式，再将式(c)和和(d)代入式代入式(b)得得2210212sincossincossinag gxgtagg率为率为 。 顺便指出，由式顺便指出，由式(c)和和(d)可知，物可知，物b相对于物相对于物a作在作在常力作用下的简谐振动，其振幅为常力作用下的简谐振动，其振幅为 2sin22g，固有频固有频02021年10月21日33kaob1g2g1x2x思考：

18、思考：本题中，本题中，a)如何求如何求a，b两物块所受光滑面的约束力两物块所受光滑面的约束力? b)若初瞬时弹簧有一初始伸长若初瞬时弹簧有一初始伸长 ,结果有何变化结果有何变化? c)试用质心运动定理和动能定理试用质心运动定理和动能定理求求解本例，并比解本例，并比较各种方法特点。较各种方法特点。2021年10月21日349.3 9.3 拉格朗日方程的初积分拉格朗日方程的初积分对于保守系统，对于保守系统，从而使得保守系统动力从而使得保守系统动力学问题的求解过程进一步简化。学问题的求解过程进一步简化。 循环坐标循环坐标如果拉格朗日函数如果拉格朗日函数l l中不显含某一广义坐标中不显含某一广义坐标

19、q qr r , , 则该坐标称为系统的循环坐标。则该坐标称为系统的循环坐标。 一、广义动量积分一、广义动量积分 保守系统拉格朗日方程的初积分包括：广义动量积分、保守系统拉格朗日方程的初积分包括：广义动量积分、广义能量积分。广义能量积分。2021年10月21日350rql于是拉氏方程成为于是拉氏方程成为0)( rrqlqldtd rrlcq （常数）称为循环积分称为循环积分()() rrrrlttvcqqq常 数称为广义动量，因此循环积分也可称为系统的广义动量积分。称为广义动量，因此循环积分也可称为系统的广义动量积分。保守系统对应于循环坐标的广义动量守恒。保守系统对应于循环坐标的广义动量守恒。

20、 2021年10月21日36二二. . 广义能量积分广义能量积分1()0kjjjdlqldtq1 ()kjjjlqlcq常数广义能量积分广义能量积分 保守系统的拉格朗日函数不显含时间保守系统的拉格朗日函数不显含时间t t 时，保守系统时，保守系统的广义能量守恒。的广义能量守恒。 当系统约束为定常时，系统的广义能量积分式就是当系统约束为定常时，系统的广义能量积分式就是系统的机械能守恒。系统的机械能守恒。2021年10月21日37 一个系统循环积分可能不止一个，有几个循环坐标，便一个系统循环积分可能不止一个，有几个循环坐标，便有几个相应的循环积分；但能量积分只可能有一个。有几个相应的循环积分；但能

21、量积分只可能有一个。 循环积分和能量积分都是由保守系统拉格朗日方程积分循环积分和能量积分都是由保守系统拉格朗日方程积分一次得到的，它们都是比拉格朗日方程低一阶的微分方程。一次得到的，它们都是比拉格朗日方程低一阶的微分方程。2021年10月21日38例例 质量为质量为m半径为半径为r的圆环在圆心的圆环在圆心a上铰接一长度为上铰接一长度为l 质量质量亦为亦为m的单摆的单摆b如图示。试就以下两种情况讨论其拉格朗日如图示。试就以下两种情况讨论其拉格朗日方程的初积分：（方程的初积分：（1 1）圆环作纯滑动；（）圆环作纯滑动；（2 2）圆环作纯滚动。）圆环作纯滚动。 答：答：(1) (1) 圆环作纯滑动圆

22、环作纯滑动 axo12coslmxlcx222222coscos2mtvxllxmglc(2) (2) 圆环作纯滚动圆环作纯滚动 33cos lmxlcx222432coscos2mtvxllxmglc2021年10月21日39lt vl例例 均质轮与均质杆质量均为均质轮与均质杆质量均为m，轮半径为，轮半径为r，杆长杆长 l。若杆由水平静止释放，轮纯滚。若杆由水平静止释放，轮纯滚。求求 时时 及及 。30av22222312sin422211sin2 122llmxm x()xmlmgl2, k 选选x和和为广义坐标。为广义坐标。avarclmmx2021年10月21日40故有循环积分，故有循

23、环积分， 常数常数(初始为初始为0)lx0 xl又又约束定常、完整、理想、且系统保守。约束定常、完整、理想、且系统保守。225111sinsin04622mxmlml xmgl即(a)siniixm vmxmxml即即 (b) 3sin022lmxmxmx方向广义动量守恒，并非系统方向广义动量守恒，并非系统x方向动量方向动量守恒守恒。tv故故常数常数avarclmmx2021年10月21日41222152330 xllxgl100 xl30时时，(a)，(b)两式为两式为315 218537glgxl解之得解之得 若接触平面光滑若接触平面光滑(f=0)，结果如何，结果如何? 若左边连接一水平弹簧若左边连接一水平弹簧(k)，结果又如何，结果又如何?能否用动力学普遍定理求解能否用动力学普遍定理求解?avarclmmx2021年10月21日42例