大学高等数学ppt课件第七章2线性方程组的求解

1、线性方程组的一般形式线性方程组的一般形式 111212122212nnmmmnaaaaaaaaaa12nxxxx12mbbbb11 11221121 1222221 122nnnnmmmnnma xa xa xba xa xa xba xaxaxb（1） 记记 则有则有矩阵形式矩阵形式 axb11 112 21121 122 2221 12 2n nn nmmmn nma xa xa xba xa xa xba xa xa xb（1） 12 (1,2, )jjjmjaajna1122nnxxxb则方程组有则方程组有向量形式向量形式 线性方程组的向量形式线性方程组的向量形式 记记 线性方程组的一

2、般形式线性方程组的一般形式 11 11221121 1222221 122nnnnmmmnnma xa xa xba xa xa xba xa xa xb（1） 当当 时，称方程组（时，称方程组（1）为）为齐次线性方程组齐次线性方程组；当当 ，称方程组（，称方程组（1）为）为非齐次线性方程组非齐次线性方程组。0b 0b 齐次线性方程组的解的性质齐次线性方程组的解的性质 解向量解向量：方程组的解构成向量：方程组的解构成向量 称为称为解向量解向量。 12,tnxx xx结论：齐次线性方程组的解的任意线性组合还是该方程组的解。结论：齐次线性方程组的解的任意线性组合还是该方程组的解。 1、如果、如果

3、是齐次线性方程组的解，则是齐次线性方程组的解，则 也是也是 方程组的解。方程组的解。 12, 122、如果、如果 是齐次线性方程组的解，则是齐次线性方程组的解，则 也是方程组的解。也是方程组的解。 k基础解系的概念基础解系的概念 如果齐次线性方程组如果齐次线性方程组 的解向量组的解向量组 线性无关线性无关，方程组的，方程组的任意解可由该向量组线性表示任意解可由该向量组线性表示，则该组解向，则该组解向量称为方程组的一个量称为方程组的一个基础解系基础解系。0ax 12,n r 注：基础解系是不惟一的。注：基础解系是不惟一的。 齐次线性方程组的解的结构齐次线性方程组的解的结构 定理定理 如果齐次线性

4、方程组的系数矩阵的秩如果齐次线性方程组的系数矩阵的秩 ，则齐次线性方程组有基础解系，基础解系中含有则齐次线性方程组有基础解系，基础解系中含有 个解向量。个解向量。( )r arnnr证明证明：见书：见书 p267 定理定理 如果齐次线性方程组的基础解系为如果齐次线性方程组的基础解系为 ，则方程组的通解为则方程组的通解为12,n r 1 122n rn rxkkk12n rk kk, ,其中其中 为任意常数。为任意常数。 例例 求解齐次线性方程组，用基础解系表示通解。求解齐次线性方程组，用基础解系表示通解。 12341232341234032023054320 xxxxxxxxxxxxxx解解

5、将系数矩阵将系数矩阵a作作行初等变换行初等变换 1111321001235432a10120123000000001111012301230123方程组的一般解为方程组的一般解为 134234223xxxxxx ()2r a 所以所以 12324221rrrrrrr 214135rrrr（其中（其中 为自由未知量）为自由未知量） 34,x x11221212314221223231001xkkxkkkkxkxk改写为向量形式，得改写为向量形式，得 121223,1001其中其中 即为基础解系即为基础解系 134234223xxxxxx 方程组的一般解为方程组的一般解为 非齐次线性方程组的解的性

6、质非齐次线性方程组的解的性质 非齐次线性方程组非齐次线性方程组 (1)axb对应的齐次线性方程组对应的齐次线性方程组 0 (2)ax 如果如果 是（是（1）的解，则）的解，则 是（是（2）的解。）的解。 12, 12如果如果 是（是（1）的解，）的解， 是（是（2）的解，则）的解，则 是（是（1）的解。）的解。证明证明 1ab2ab120aabab0a证明证明 非齐次线性方程组的解的结构定理非齐次线性方程组的解的结构定理 如果如果 是非齐次线性方程组的特解，是非齐次线性方程组的特解， 是对应的是对应的齐次线性方程组的一个基础解系，则非齐次线性方程组的通解可齐次线性方程组的一个基础解系，则非齐次

7、线性方程组的通解可表示为表示为 。12,n r 1 122n rn rxkkk例例 设三元非齐次线性方程组设三元非齐次线性方程组ax=b的系数矩阵的系数矩阵a的秩为的秩为 2，且它，且它的三个解向量的三个解向量 满足满足 ，求，求ax=b的通解。的通解。123, 12133,1, 1,2,0, 2tt解解 由题设知：方程组由题设知：方程组ax=0的基础解系中只含有一个解向量的基础解系中只含有一个解向量 121323()() )1,1,1t即为一基础解系即为一基础解系 131,0, 12t即为一特解即为一特解 1,0, 11,1,1ttxk所以原方程组的通解为所以原方程组的通解为 非齐次线性方程

8、组有解的充要条件非齐次线性方程组有解的充要条件 非齐次线性方程组非齐次线性方程组ax=b有解有解 向量向量b可由矩阵可由矩阵a的列向量组的列向量组 线性表示线性表示 12,n 向量组向量组 与向量组与向量组 等价等价 12,n 12,nb 1212,nnrrb ( )( )r ar aaab其中其中 ，称为增广矩阵，称为增广矩阵 定理定理 线性方程组线性方程组ax=b有解的充分必要条件是：有解的充分必要条件是：系数矩阵系数矩阵的秩等于增广矩阵的秩的秩等于增广矩阵的秩，即，即 。 当当 时，方程组有时，方程组有惟一解惟一解； 当当 时，方程组时，方程组有无穷多解有无穷多解； 当当 时，时，方程组

9、无解方程组无解。( )( )r ar arn( )( )r ar arn( )( )r ar a( )( )r ar a例例 求解线性方程组求解线性方程组 23424538213496xyzxyzxyzxyz 解解 将增广矩阵作将增广矩阵作行初等变换行初等变换 23141245382134196a12324212234rrrrrrrr12450771401414280771432422122172rrrrrrr1021011200000000所以所以 ( )( )23r ar a方程组有无穷多解方程组有无穷多解 一般解为一般解为 1 22xzyz （其中（其中z为自由未知量）为自由未知量） 令

10、令z=k，将一般解改写为向量形式，得，将一般解改写为向量形式，得 122101xykz 其中其中 为基础解系为基础解系 211例例 求解线性方程组，当求解线性方程组，当 k 为何值时，方程组有（为何值时，方程组有（1）唯一解？）唯一解？（2）无解？（）无解？（3）无穷多解？并用基础解系表示通解。）无穷多解？并用基础解系表示通解。21kxyzxkyzkxykzk解解 方程组的系数行列式为方程组的系数行列式为 21111(2)(1)11kkkkk（1）当）当 且且 时，时，方程组有唯一解。方程组有唯一解。2k 1k （2）当）当 时，增广矩阵为时，增广矩阵为2k 211112121124a033903361124000303361124( )3( )2r ar a此时，方程组无解。此时，方程组无解。 13232rrrr12rr（3）当）当 时，增