南京工业大学高等数学ch4-2

1、第二节第二节 前页后页返回机动q一、一、第一类换元积分法第一类换元积分法q二、二、第二类换元积分法第二类换元积分法q三、三、内容小结内容小结返回前页后页返回机动4.2 换元积分法换元积分法dxeexxcos 求求 xxede cos xeu 令令c sin cos udu uc sin xe？ 检验：检验：结果正确。结果正确。 cos sin eeexxx引例前页后页返回机动 一、第一类换元积分法 xdxfxdf，有有利利用用微微分分的的形形式式不不变变性性证：证： duufduuf )( dxxxfxdxf # c 得得证证xf dxxxf . c )( , ii , c )( )( i 则

2、则可可导导设设xfduufdxxxfxuufduufxu1 定定理理前页后页返回机动问题：怎样用第一类换元法求不定积分？dxxg )( 欲求欲求 dxxxf xu 令令c )( )( ufdu uf查表可得查表可得 c xf xdxf 凑成微分式凑成微分式前页后页返回机动. 14 1 321 1 dxxdxx，求求例例解：解：)32(32121321xdxdxxcx32) 14(14141141xdxdxx.) 14ln(41cx前页后页返回机动. )(1 ( )(1 2oduufabaxdbaxfadxbaxf）适当选用公式适当选用公式 1o注意：注意： ）（1 c 11 1u du u c

3、 ln u duu1前页后页返回机动.0 1 2 22）（求求例例adxxa. 11 2dxxx如何利用上式结果求如何利用上式结果求想一想：想一想：解：解：dxaxa2111原式原式axdax211cax arcsin前页后页返回机动. 1 3 22dxax求求例例解：解：)(1122axaxax )11(21axaxa dxaxaxa1121原式原式caxaxalnln21caxaxaln21aaxaxaxax21)()( dxaxdxaxa1121前页后页返回机动. 7sin 41 4 3222dxxxdxxx）（，求求例例解：解：xdxxd8)41 (2)41 (4118141222xd

4、xdxxx.41412cx dxxxd233)7()7(7sin1317sin332322xdxdxxx）（）（.)7cot(313cx前页后页返回机动 . d1arcsin , 2ln 11 5 22xxxdxxxdxxex，求求例例解：解：xdedxxexx2cex 2dxxx2ln 11)ln21 (ln21121xdxcx ln21ln21xdxxxxarcsin)(arcsind1arcsin 222cx3)(arcsin31前页后页返回机动:记住几个微分倒推式记住几个微分倒推式 xddxxln1 nnxdndxx11 xddxx21 xddxxarcsin2 11前页后页返回机动.

5、)1 ( 6 3dxxx求求例例解：解：dxxx3)1 (dxxx3)1 (11)1 ()1 (1)1 (132xdxxcxx2)1 (2111前页后页返回机动.2581 7 2dxxx求求例例解：解：dxxx25812dxx9)4(12dxx13413122341341312xdx.34arctan31cx前页后页返回机动.11 8 dxex求求例例解：解：dxex11dxeeexxx11dxeexx11dxeedxxx1)1 (11xxededx.)1ln(cexx前页后页返回机动.12321 9 dxxx求求例例dxxxxxxx123212321232原式原式dxxdxx12413241

6、) 12(1281)32(3281xdxxdx.121213212133cxx解：解：前页后页返回机动.cos11 10 dxx求求例例dxxcos11dxxxxcos1cos1cos1dxxx2cos1cos1dxxx2sincos1)(sinsin1sin122xdxdxx.sin1cotcxx解：解：前页后页返回机动 . sin 11 2dxx求求例例 c 2sin 41 21 cos 2类似可得：类似可得：xxdxx解：解：)2cos1 (21sin 2xxdxxxdx)2cos1 (21sin 2 )2(2cos2121xxddxcxx2sin4121前页后页返回机动 dxx csc

7、 12 求求例例dxxdxx sin 1 csc cscdxx解法解法1 2cos2sin2 xxdx2cos2tan2 2xxdx x dxx dxx2tan2tan1 22tan2sec2cx 2tanln 解法解法2xxxxxxd cot csccot csc cscxxxxcot csccot cscd c cot cscln xxc tan secln sec 类似有：类似有：x xdxx前页后页返回机动.2cos3cos 13 xdxx求求例例),5cos(cos212cos3cos xxxxdxxxxdxx)5cos(cos212cos3cos.5sin101sin21cxx解：

8、解：常常用用三三角角公公式式： cos cos21 sinsin cos cos21 coscos sin sin21 cossin 前页后页返回机动 dxxx cossin 14 52求求例例 sin cossin 42xdxx原式原式 sin sin2sin1sin 422 xdxxx解：解：xdxxsinsin1sin222c sin71sin52sin31 753xxx前页后页返回机动 dxxx cossin 15 42求求例例dxxxx dxxx 22 cos12sin 21 cos cossin 222原式原式x dxxx dxdxxx2cos2sin 2sin81 2cos12s

9、in81 222xx d dxx2sin2sin21 24 cos1 81 2解：解：xx dx dxdx2sin2sin 4 cos 161 2c 2sin31 4sin41 161 3xx x前页后页返回机动 x dxx45sectan 16 求求例例 x dxx xdxxsecsec1sec sec sectan32234原式原式 sec sec 2sec sec257 xdxxxxdxx xx dxtantan1tantansectan2525原式原式解法解法1cxxx368sec31sec31sec81解法解法2 x dxx tantantan75 #c xx 86tan81tan6

10、1返回前页后页返回机动 c2sin 21 2 coscoscos222）（ttat dta t dtatacaxaxaxacttta）（2221 arcsin2 cossin 2？dxxa 22求求引例引例令令 xa sin tt dtataacos sin 222原式原式解：解：二、第二类换元积分法前页后页返回机动 存存在在原原函函数数。；单单调调、可可导导，且且满满足足下下述述条条件件：若若 )()( ii 0 i tt f(t)(t) x xtdtttfdxxf1则则 )()( )( 的的反反函函数数是是其其中中 )( )( tx x1 第二换元公式第二换元公式证：证：，的原函数的原函数

11、为为设设 )()()(ttft)()( xxf1 令令dxdtdtdxf)( 则则)(1)()(tttf)(tf ).(xf前页后页返回机动 . )( 的定义区间的定义区间的值域恰好对应的值域恰好对应置换置换注意：注意：xftx“置换法”！第二类换元法，又称作cxfdxxf)()(,)(cx 1.)()()()(1即即xtdtttfdxxf 的一个原函数，的一个原函数，是是即即)()( xfxf前页后页返回机动 dxxa 1 22求求例例），（，作置换作置换22 sin tt a xtxa22xa 解：解：tdtadxcostdtatadxxacoscos22tdta22cosctt2sin4

12、121置换三角形caxaaxax2221arcsin211. 三角置换法前页后页返回机动解：解：).0(1 2 22adxax求求例例2,2 tan ttax，作置换作置换tdtadx2sec dxax221tdtata2secsec1 tdtsecctt )tanln(sec.ln22caaxax txa22xa 置换三角形.32 71 dxx求求练练习习：前页后页返回机动 解：解：tdtdxttx2sec7 )2,2( tan7 ，令令dtttdxx3232sec77sec7)7(1cttdtsin71cos71tx727xcxx2771.32 71 dxx求求练练习习：前页后页返回机动)

13、.0(1 3 22adxax求求例例) 2 , 0 ( , sec ttax作作置置换换tdttadxtansecdxax221dttattatantansectdtsecctt)tanln(sec.ln22caaxax解：解：txa22ax置换三角形前页后页返回机动 .2 2 dxxx求求练习：练习：txa22ax 时时，当当 2 x解：解：tdttdxtt x tansec22 0 sec2 ），（，令令tdttttdxxxtansec2sec2tan222tdt2tan2dtt) 1(sec22ctt)(tan2cxx) 2arccos22 (22前页后页返回机动时时，当当 2 xtdt

14、tdxtt x tansec22 0 sec2 ），（，令令dtttttdxxx)tansec2(sec2tan222dtt) 1(sec22ctt)(tan2cxx) 2arccos22 (22cxxdxxx) 2arccos22 (2222一般有：一般有：t-xa22ax 前页后页返回机动三角置换的三角置换的目的目的是去掉根号是去掉根号. .一般规律如下：当被积函数中含有一般规律如下：当被积函数中含有22) 1 (xa ;sin tax 令令22)2(xa ;tan tax 令令22)3(ax .sec tax 令令txa22xa atx22xa txa22ax 前页后页返回机动 . 42

15、2dxxxa求求例例解：解：dttdxtx21 1 作倒置换作倒置换dttttadxxxa242242211dttta 122) 1( 12122222tadtaactaa23222131cxaa23222131)0 (x不妨设不妨设时时，结结果果相相同同）（ 0 x2. 倒置换前页后页返回机动可考虑利用倒数置换。可考虑利用倒数置换。，形如形如一般：一般： 1 1 42222222 dxxxadx ，axx dxxax返回前页后页返回机动五、内容小结五、内容小结返回第第一一类类换换元元积积分分法法. 1凑微分法）凑微分法）( xddxxln1 nnxdndxx11 xddxx21 xddxxarcsin2 11推推式式，如如：记记住住几几个个常常用用的的微微分分倒倒式式，如如：记记住住几几个个常常用用的的三三角角公公等等1cossin22 xx; )2cos1 (sin212xx; )2cos1 (cos212xx前页后页返回机动第第二二类类换换元元积积分分法法 .置换法）置换法）(1)(1)三角置换三角置换: : 当被积函数中含有当被积函数中含有22xa ;sin tax 令令22xa ;tan tax 令令22ax .sec tax 令令txa22xa atx22xa txa22ax (2)(2)倒置换倒置换: :