北京邮电大学高等数学第08章-5节三重积分-柱面坐标系

1、18.3.3 柱面坐标系下的三重积分的计算法柱面坐标系下的三重积分的计算法 设设m(x,y, )为空间内一点为空间内一点一、柱面坐标一、柱面坐标 并设点并设点m(x,y, )在在xoy面上的面上的投影投影p的极坐标为的极坐标为( 这样的三个数这样的三个数就叫就叫做点做点m的的。xyzor zxym(x,y,z) ),(zrm ( , ,0)p r 2 xyzor zxym(x,y,z) ),(zrm ( , ,0)p r 三组坐标面分别为三组坐标面分别为r 常数，即以常数，即以z 轴为轴的圆柱面；轴为轴的圆柱面； 常数，即过常数，即过z 轴的半平面；轴的半平面；z常数，即与常数，即与xoy面平

2、行的平面；面平行的平面；规定规定r、 、z的变化范围为：的变化范围为：3 zzryrx sincos点点m的直角坐标与柱面的直角坐标与柱面坐标的关系为：坐标的关系为：xyzor zxym(x,y,z) ),(zrm ( , ,0)p r 柱面坐标系中的体积柱面坐标系中的体积元素元素dzrdrddv drdzxyzod rd r4二、柱面坐标中三重积分的形式二、柱面坐标中三重积分的形式( , , )( cos , sin , )f x y z dvf rrz rdrd dz axxdzyxzdydx022111022)1(。 22210221010)()2(yxxdzyxdydx,1 将将下下列

3、列各各累累次次积积分分化化为为柱柱面面坐坐标标的的累累次次积积分分 并并例例计计算算求求其其值值。5221122010(1)xaxdxdyz xy dz 解解 dvyxz22 azrdzrdrd01022 26a adzdzdxdyyxxy022 xydxyo1yxzo1a6 22210221010)()2(yxxdzyxdydxxydxyo1 dvyx)(22 21021020rdzrrdrd 。15 o1xyz72计计算算下下列列例例三三重重积积分分22222(1),zdvzxyzaxy 计计算算其其中中由由和和所所围围。2222(2)(),42zyx dvyzxx 计计算算其其中中由由和

4、和所所围围。8(1)zdv 解解22222zxyzaxy 由由和和所所围围。2ayxo 202220)2(21adrrard zdv 222020rarazdzrdrd 。48a yzxo2axyd9(1)zdv 解解法法二二44444()()4424444aaaaa 1222022zzaaddazdzdzdzd22222022()aaazz dzzaz dz。48a zyxozdyzxo2a12zdvzdv1 2 10解法三解法三 zdv 202220)2(21ardrrad xyddxdyyxa)22(22221 22222yxayxdzdzdxdyxy。48a xyd2ayxoyzxo2

5、a1122(2)()zyx dv 解解2242yzxx 由由和和所所围围yzdyzd22zyo xxrzry sincosxyz dvxyz)(22 22053)8584(2drrrrr dxxrrdrdr 422220202)( 31282 。3256 yzxo22412为为旋旋转转体体或或的的边边界界面面中中含含圆圆柱柱面面、球球面面、圆圆锥锥面面时时22,()()f xyyfx 投投影影区区域域为为圆圆时时 被被积积函函数数形形如如、等等时时。何时选用柱面坐标计算三重积分？何时选用柱面坐标计算三重积分？133计计算算下下列列例例三三重重积积分分22222(1),:12xy dvxyzz

6、计计算算其其中中，222(2),1,0,2ye dvxyzyy 计计算算其其中中由由所所围围。1422(1)xy dv 解解21:222 zzyx， yxo1 2yzxo4:22 yxdxy1xyd2xyd12xyrddrdz 22120rdzrdrrd 31)2(22132 drrr 。25 211020dzrdrrd 221xyddrdz 212222 dvyxdvyx2 1 1xyd2xyd1521:222 zzyx， ozyzxozdzd222:zyxdz z zrdrrddz02021 dvyx2225 21332dzz 法二 用切片法法二 用切片法解解( (截面法)截面法)zdyxz ),( , 21: zddxdyyxdz2221214432z 16 dvey)2(2221,0,2xyzyy 由由所所围围。1 2 xzyo2xzo155:22 zxdzx2zxd1zxd dvey 1 dvey 2 dvey 201dyedydzx 201020dyerdrdy 。)1(32 e 21222zxyddyedzx 2151202rydyerdrd cossinzrxryy 令令17222