华中农业大学微积分方红第八章第三节

1、第三节第三节 第二类曲线积分第二类曲线积分 一、第二类曲线积分的概念一、第二类曲线积分的概念 1 1、定向曲线、定向曲线(directed curve)(directed curve)及其切向量及其切向量 定向曲线：定向曲线：规定了走向的曲线，记为规定了走向的曲线，记为 ，则则其反方向记为其反方向记为 . ab 表示曲线表示曲线 的起点为的起点为a，终点为终点为b。 其方程通常写作：其方程通常写作： )1( : )()()(:battzztyytxx line integral of vector function 规定：定向光滑曲线上各点处的切向量的方向规定：定向光滑曲线上各点处的切向量的方

2、向 总是与曲线的走向一致。总是与曲线的走向一致。参数方程（参数方程（1 1）所表示的定向曲线上任一点处切向量为：）所表示的定向曲线上任一点处切向量为： ):;:( )(),(),( babatztytx2 2、变力沿曲线作功、变力沿曲线作功 ?),(),(),(所作的功所作的功移动到移动到于质点沿曲线从点于质点沿曲线从点作用作用求变力求变力bajyxqiyxpyxf abxyo常力作功：常力作功： abfw abxyo),(yxf),(yxe ),(yxm n如图，用微元法：如图，用微元法： 则有则有取小弧段取小弧段,dsmn dsyxeyxfdsyxeyxfdw),(),(),(),( ld

3、syxeyxfw),(),( ldsyxqyxpcos),(cos),(其中：其中： )cos,(cos),( yxe3 3、概念、概念 定义：定义： .,),(),(),(),(),( cos),(cos),( ),(),(),(l线积分线积分对坐标的曲对坐标的曲也叫第二类曲线积分或也叫第二类曲线积分或上的积分上的积分曲线曲线在定向在定向为向量值函数为向量值函数称称ljyxqiyxpyxfdyyxqdxyxpdsyxqyxpdsyxeyxfrdyxflll dsyxerd),( dsdxdy 两类曲线积两类曲线积分互化公式分互化公式 ?,上述定义如何上述定义如何轴的直线段时轴的直线段时轴或轴

4、或为垂直于为垂直于当当yxl其中其中 :),()cos,(cos),(dydxdsdsyxerd 定向弧元素；定向弧元素； rddydx:,的坐标或称定向弧的投影元素。的坐标或称定向弧的投影元素。 .),(),(),()1(一定存在一定存在则则若若 lrdyxflcyxf. ,)2( ll积分号常写成积分号常写成为封闭曲线为封闭曲线若若 ll)4()( )3(2121llllll （可加性可加性） 二、第二类曲线积分的计算法二、第二类曲线积分的计算法 dttytytxqtxtytxpdyyxqdxyxpbattyytxxlbal)()(),()()(),( ),(),( ,: )()(:)1(

5、 则则若若dxxyxyxqxyxpdyyxqdxyxpbaxxyylbal)()(,)(,),(),( ,:),(:)2( 则则若若以上定义及结论均可推广到空间以上定义及结论均可推广到空间 例例1 1、 .)1 , 1()1, 1(:,2的一段弧的一段弧到到上从上从求求baxylxydxl 例例2 2、 .)0 ,()0 ,()2(; ,)1(:,2的直线段的直线段轴到点轴到点沿沿从点从点逆时针绕向的上半圆周逆时针绕向的上半圆周圆心为原点圆心为原点半径为半径为求求abxaaaldxyl 例例3 3、 .)1 , 1()0 , 1()0 , 0()3(;)1 , 1()0 , 0()2(;)1

6、, 1()0 , 0()1(:,2222的折线段的折线段的一段弧的一段弧到到上从上从的一段弧的一段弧到到上从上从求求baoboyxboxyldyxxydxl 例例4 4、 .)0 , 0 , 0()1 , 2 , 3(:,3223的直线段的直线段求求baydzxdyzydxxl 例例5 5、 .), 0(1)0 ,(.,),(2222wfbbbyaxaafomffyxm所作的功所作的功时力时力按逆时针方向移动到点按逆时针方向移动到点沿椭圆沿椭圆此质点由点此质点由点指向原点指向原点的方向恒的方向恒的距离成正比的距离成正比到原点到原点大小与大小与的的的作用的作用处受到力处受到力设一个质点在设一个质点在 作业作业习题习题8-38-3：4 4（偶数题）（偶数题） 在方向依纵轴负方向，且大小等于作用点的横坐标在方向依纵轴负方向，且大小等于作用点的横坐标平方的力场