996-逆矩阵与二元一次方程组

1、 在解析几何中在解析几何中,二元一次方程二元一次方程组的解的意义是什么组的解的意义是什么?直角坐标系直角坐标系x o y内相应的两条直内相应的两条直线交点的坐标线交点的坐标. 线性变换的表达式形式与二元线性变换的表达式形式与二元一次方程组有很多相似的地方一次方程组有很多相似的地方,能否能否从线性变换的角度来解释二元一次从线性变换的角度来解释二元一次方程组的解的意义呢方程组的解的意义呢?二元一次方程组的矩阵形式二元一次方程组的矩阵形式逆矩阵与二元一次方程组逆矩阵与二元一次方程组学习重难点学习重难点 用变换的观点认识解用变换的观点认识解二元一次方程组的意义二元一次方程组的意义,会会用系数矩阵的逆矩

2、阵解系用系数矩阵的逆矩阵解系数矩阵可逆的二元一次方数矩阵可逆的二元一次方程组程组.向量形式向量形式:13yxyx23+212123=二元一次方程组二元一次方程组:.yx,yx1=23+213=2123由矩阵与向量乘法的定义得由矩阵与向量乘法的定义得:23212123yxyx23+212123yx=1323212123yx=原方程组原方程组变成变成:关于变量关于变量x,y的二元一次方程组为的二元一次方程组为:则它可以写成矩阵的形式则它可以写成矩阵的形式:dcba矩阵矩阵a= 称为二元一次方程组称为二元一次方程组的的系数矩阵系数矩阵. 式称为二元一次方程组式称为二元一次方程组的的矩阵形式矩阵形式.

3、fdycx,ebyax=+=+dcbafeyx=探究探究1 1 二元一次方程组的系数二元一次方程组的系数矩阵对应着一个线性变换矩阵对应着一个线性变换,试试从线性变换的角度揭示解二从线性变换的角度揭示解二元一次方程组的意义元一次方程组的意义.23212123二元一次方程组二元一次方程组的系数矩阵的系数矩阵对应的线性变换为旋转变换对应的线性变换为旋转变换:yxyx23212123：r30=解二元一次方程组解二元一次方程组就是找到向量就是找到向量yx13使得它在该旋转变换下变为向量使得它在该旋转变换下变为向量举一反三举一反三对于一般的二元一次方程组对于一般的二元一次方程组.fdycx,ebyax=+

4、=+以线性变换的角度看以线性变换的角度看,可表述为可表述为:：yxyxdcba=线性变换线性变换fe平面上一个确定的向量平面上一个确定的向量已知已知:yx要找到一个向量要找到一个向量使得它在使得它在的作用下变为已知向量的作用下变为已知向量fe 在实际操作中在实际操作中,若线性变换若线性变换的意的意义不明显或不为我们所知义不明显或不为我们所知,那么就很难那么就很难找到向量找到向量 , 使得使得=feyxyx引入定义引入定义 二元一次方程组二元一次方程组的解写成向量的解写成向量 的形式的形式,称这种形式的解为二元一次方程称这种形式的解为二元一次方程组组的的解向量解向量.yx探究探究2 2 如果二元

5、一次方程组的系数矩阵如果二元一次方程组的系数矩阵可逆可逆,能用逆矩阵来解方程组么能用逆矩阵来解方程组么?23212123二元一次方程组二元一次方程组的系数矩阵的系数矩阵可逆可逆从线性变换的角度从线性变换的角度, 解方程组解方程组就是找出向量就是找出向量yxyxyx23212123：r30=使得它在旋转变换使得它在旋转变换作用下的结果为给定的向量作用下的结果为给定的向量13即即: 向量向量 按逆时针绕原点旋转按逆时针绕原点旋转30 后得到向量后得到向量 ;yx13向量向量 可以看成把向量可以看成把向量 按按顺时针绕原点旋转顺时针绕原点旋转30后得到后得到. yx13即即:r30130ryx13=

6、13二元一次方程组二元一次方程组一定有解一定有解,且解为且解为:r30130ryx13=1313=2321212321321+33=二元一次方程组二元一次方程组的任意一个解向的任意一个解向量都满足量都满足:yx2321212313=由几何上易看出由几何上易看出:二元一次方程组二元一次方程组的解是唯一的的解是唯一的. 若关于变量若关于变量x,y的二元一次方程组（线性的二元一次方程组（线性方程组）方程组）: 的系数矩阵的系数矩阵a=可逆，则方程组有唯一解可逆，则方程组有唯一解.fdycx,ebyax=+=+dcbayxfedcba1=证明：证明：当当a= 可逆可逆,由二元一次方由二元一次方程组程组

7、 的矩阵形式的矩阵形式:a = 得：得：dcbayxfe.fdycx,ebyax=+=+fea1yxa=a1e2 = yxa1fe原方程组有解：原方程组有解：feyxdcba1=下证唯一性：下证唯一性：设设 , 是原方程组的任意两个解是原方程组的任意两个解,由由上面的证明过程可得上面的证明过程可得:yx11yx22a1feyx11=fea1=yx22yx22yx11 = ,即二元一次方程组的即二元一次方程组的解是唯一的解是唯一的.关于变量关于变量x,y的二元一次方程组的二元一次方程组.dycx,byax0=+0=+其中其中a,b,c,d是不全为零的常数是不全为零的常数,有非零解的有非零解的充要

8、条件是系数矩阵的行列式充要条件是系数矩阵的行列式 =0.dcba注意：注意： 常数项都为零的线性方程组为齐次线常数项都为零的线性方程组为齐次线性方程组性方程组, 是其中一个解是其中一个解,称为称为零解零解.若向量若向量 （ , 不全为零不全为零 ）是该方程）是该方程组的解向量组的解向量,则称之为一个则称之为一个非零解非零解.00yx00 x0y0课堂练习课堂练习1.关于变量关于变量x,y的二元一次方程组的二元一次方程组.yx,yx0=+0=+2其中其中,为常数为常数,求当求当和和满足什么条件满足什么条件时时,原方程组有非零解原方程组有非零解?解：由推论可得解：由推论可得: 当系数行列式当系数行

9、列式 =0时时,原方程原方程 组由非零解组由非零解. 12即即: 当当2=0时时,方程组有非零解方程组有非零解.=2.2.用逆矩阵解二元一次方程组用逆矩阵解二元一次方程组.yxyx2=1=+2，解：二元一次方程组的系数矩阵解：二元一次方程组的系数矩阵a=1112则该方程组的矩阵形式：则该方程组的矩阵形式：1112yx21=(). 03=1112=1112系数矩阵系数矩阵a= 可逆可逆1112yx21方程组有唯一解方程组有唯一解11123231313132313131yx1121=原方程组的解是原方程组的解是.y,x1=1=教材习题答案教材习题答案1.（1） （2） .y,x1=1=.y,x2=0=2.（1）.