332几何概型PPT教学课件

1、复习回顾v1.古典概型与几何概型的区别.相同：两者基本事件的发生都是等可能的；不同：古典概型要求基本事件有有限个， 几何概型要求基本事件有无限多个. v2.古典、几何概型的概率公式. . .、体体积积) )D D的的测测度度( (长长度度、面面积积、体体积积) )d d的的测测度度( (长长度度、面面积积( (2 2) )P P( (A A) ) v3.古典、几何概型问题的概率的求解方法. 的含义）的含义）、明确明确mn(nm)A(P)1( 第1页/共24页EX1.已知:公共汽车在05分钟内随机地到达车站， 求汽车在13分钟之间到达的概率。分析：将05分钟这段时间看作是一段长度为5个单位长度的

2、线段，则13分钟是这一线段中的2个单位长度。解：设“汽车在13分钟之间到达”为事件A， 则52513)A(P 答：“汽车在13分钟之间到达”的概率为;52第2页/共24页EX2.有一杯1升的水,其中含有1个细菌,用一个小杯从这杯水中取出0.1升,求小杯水中含有这个细菌的概率.解：记“小杯水中含有这个细菌”为事件A，则事件A的概率只与取出的水的体积有关，符合几何概型的条件。由几何概型的概率的公式，得10110.)A(P 答:小杯水中含有这个细菌的概率为0.1;第3页/共24页EX3.一张方桌的图案如图所示将一颗豆子随机地扔到桌面上，假设豆子不落在线上，求下列事件的概率:（1）豆子落在红色区域；（

3、2）豆子落在黄色区域；（3）豆子落在绿色区域；（4）豆子落在红色或绿色区域；（5）豆子落在黄色或绿色区域4913292359第4页/共24页问题1:图中有两个转盘.甲乙两人玩转盘游戏,规定当指针指向B区域时,甲获胜,否则乙获胜.在两种情况下分别求甲获胜的概率是多少?21)A(P 53)A(P 第5页/共24页 事实上事实上, ,甲获胜的概率与黄色所在扇形区域的圆弧甲获胜的概率与黄色所在扇形区域的圆弧的的长度有关长度有关, ,而与黄色所在区域的而与黄色所在区域的位置无关位置无关. .因为转因为转转盘时转盘时, ,指针指向圆弧上哪一点都是等可能的指针指向圆弧上哪一点都是等可能的. .不管不管这些区

4、域是相邻这些区域是相邻, ,还是不相邻还是不相邻, ,甲获胜的概率是不变甲获胜的概率是不变的的. .21121)(P 甲获胜甲获胜若把转盘的圆周的长度设为1，则以转盘（1）为游戏工具时，以转盘（2）为游戏工具时，53153)(P 甲获胜甲获胜分析:上述问题中,基本事件有无限多个,类似于古典概型的“等可能性”还存在, 但不能用古典概型的方法求解.第6页/共24页几何概型的定义几何概型的定义(重申与回顾重申与回顾) 如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度长度( (面积或体积面积或体积) )成比例成比例, ,则称这样的概率模型为则称这样的概率模型为几

5、何概率模型几何概率模型, ,简称为简称为几何几何概型概型. . 几何概型的特点几何概型的特点: :(1)(1)试验中所有可能出现的结果试验中所有可能出现的结果( (基本事件基本事件) )有无限有无限多个多个. .(2)(2)每个基本事件出现的可能性相等每个基本事件出现的可能性相等. .在几何概型中,事件A的概率的计算公式如下:P(A)构成事件A的区域长度（面积或体积）全部结果所构成的区域长度（面积或体积）第7页/共24页A。B (1)如果在转盘上，区域B缩小为一个单点，那么甲获胜的概率是多少？问题2:图中有两个转盘.甲乙两人玩转盘游戏,规定当指针指向B区域时,甲获胜,否则乙获胜.在两种情况下分

6、别求甲获胜的概率是多少? 构成事件“甲获胜”的区域长度是一个单点的长度0，所以P(甲获胜)=0 (2)如果在转盘上，区域B扩大为整个转盘扣除一个单点，那么甲获胜的概率是多少？B。A 构成事件“甲获胜”的区域长度是圆周的长度减去一个单点的长度0，所以P(甲获胜)=1归纳(1)概率为0的事件不一定是不可能事件 (2)概率为1的事件不一定是必然事件第8页/共24页示例1 某人午觉醒来,发现表停了,他打开收音机,想听电台报时,求他等待的时间不多于10分钟的概率.分析：假设他在060分钟之间任何一个时刻打开收音机是等可能的，但060之间有无穷个时刻， 可以通过几何概型的求概率公式得到事件发生的概率。 又

7、因为电台每隔1小时报时一次，他在060之间任何一个时刻打开收音机是等可能的，所以他在哪个时间段打开收音机的概率只与该时间段的长度有关，而与该时间段的位置无关，这符合几何概型的条件。第9页/共24页解: 设事件A=等待的时间不多于10分钟.事件A恰好是打开收音机的时刻位于50,60时间段内,因此由几何概型的求概率的公式得答“等待的时间不超过10分钟”的概率为60501( ),606P A示例1 某人午觉醒来,发现表停了,他打开收音机,想听电台报时,求他等待的时间不多于10分钟的概率.16第10页/共24页练习4.取一根长为3米的绳子,拉直后在任意位置剪断,那么剪得两段的长都不少于1米的概率有多大

8、?解：如上图，记“剪得两段绳子长都不小于1m”为事件A，把绳子三等分，于是当剪断位置处在中间一段上时，事件A发生。由于中间一段的长度等于绳子长的三分之一,所以事件A发生的概率P（A）=1/3。3m1m1m第11页/共24页已知:等腰直角三角形ABC中，在斜边AB上任取一点M，求AM小于AC的概率。分析:由点M随机地落在线段AB上，则线段AB为 区域D.当点M位于图中的线段AC上时， 则AMAC，故线段AC即为区域d。解： 在AB上截取AC=AC， 则P（AMAC）=P（AMAC）2 22 2= =A AB BA AC C= =A AB BA AC C = =答：AM小于AC的概率为;22第12

9、页/共24页 示例3(会面问题)已知甲乙二人约定在 12 点到 5 点之间在某地会面，先到者等一个小时后即离去,设二人在这段时间内的各时刻到达是等可能的，且二人互不影响。求二人能会面的概率。解： 设 以 X , Y 分别表示甲、乙二人到达的时 刻，则有. 5Y0, 5X0 即 点 M 应落在图中的阴影部分.所有的点构成一个正方形。.M(X,Y)y543210 1 2 3 4 5 x第13页/共24页二人会面的条件是： , 1|YX25.25.9 925254 42 21 12 22525正方形的面积正方形的面积阴影部分的面积阴影部分的面积P(A)P(A)2 20 1 2 3 4 5yx5432

10、1y=x+1y=x -1记“两人会面”为事件A第14页/共24页思考题 甲乙两人约定在甲乙两人约定在6 6时到时到7 7时之间在某处时之间在某处会面会面, ,并约定先到者应等候另一个人一并约定先到者应等候另一个人一刻钟刻钟, ,到时即可离去到时即可离去, ,求两人能会面的概求两人能会面的概率率. .第15页/共24页【示例2】假设您家订了一份报纸,送报人可能在早上6:307:30之间把报纸送到你家,你父亲离开家去工作的时间在早上7:008:00之间,问你父亲在离开家前能得到报纸(称为事件A)的概率是多少?解以横坐标X表示报纸送到时间,以纵坐标Y表示父亲离家时间建立平面直角坐标系,父亲在离开家前

11、能得到报纸的事件构成区域是：( , )|,6.57.5,78x yyxxy 由于随机试验落在方形区域内任何一点是等可能的,所以符合几何概型的条件.根据题意,只要点落到阴影部分,就表示父亲在离开家前能得到报纸,即事件A发生,所以11117222( )18P A第16页/共24页6.57.5()x 送报人到达的时间()y 父亲离开家的时间870yx答:父亲在离开家前能得到报纸的概率是 。87第17页/共24页练习4：在半径为1的圆上随机地取两点，连成一条线，则其长超过圆内等边三角形的边长的概率是多少？BCDE.0解：记事件A=弦长超过圆内接等边三角形的边长，取圆内接等边三角形BCD的顶点B为弦的一

12、个端点，当另一点在劣弧CD上时，|BE|BC|，而弧CD的长度是圆周长的三分之一，所以可用几何概型求解，有31)( AP答：“弦长超过圆内接等边三角形的边长”的概率为31第18页/共24页 “抛阶砖”是国外游乐场的典型游戏之一.参与者只须将手上的“金币”（设“金币”的半径为r）抛向离身边若干距离的阶砖平面上，抛出的“金币”若恰好落在任何一个阶砖（边长为a的正方形）的范围内（不与阶砖相连的线重叠），便可获奖.百味探究题: 抛阶砖游戏第19页/共24页玩抛阶砖游戏的人，一般需换购代用“金币”来参加游戏. 那么要问：参加者获奖的概率有多大？ 显然,“金币”与阶砖的相对大小将决定成功抛中阶砖的概率.第20页/共24页分析:设阶砖每边长度为a ,“金币”直径为d .a 若“金币”成功地落在阶砖上，其圆心必位于右图的绿色区域A内.问题化为:向平面区域S （面积为a2）随机投点（ “金币” 中心），求该点落在区域A内的概率.aAS第21页/共24页a aA则成功抛中阶砖的概率由此可见，当d接近a, p接近于0; 而当d接近0， p接近于1. 的面积的面积的面积的面积SAp 22a)da( （0da, 你还愿意玩这个游戏吗？第22页/共