高等数学教学课件第一章习题课

1、 一、主一、主 要要 内内 容容二、典二、典 型型 例例 题题习习 题题 课课2/22（一）极限的概念（一）极限的概念（二）连续的概念（二）连续的概念一、主要内容一、主要内容3/22左右极限左右极限两个重要两个重要极限极限求极限的常用方法求极限的常用方法无穷小无穷小的性质的性质极限存在的极限存在的充要条件充要条件判定极限判定极限存在的准则存在的准则无穷小的比较无穷小的比较极限的性质极限的性质数列极限数列极限函函 数数 极极 限限axnn limaxfxx )(lim0axfx )(lim等价无穷小等价无穷小及其性质及其性质唯一性唯一性无穷小无穷小0)(lim xf两者的两者的关系关系无穷大无穷

2、大 )(limxf4/22无穷小无穷小:极限为零的变量称为极限为零的变量称为无穷小无穷小.).0)(lim(0)(lim0 xfxfxxx或或记作记作绝对值无限增大的变量称为绝对值无限增大的变量称为无穷大无穷大.无穷大无穷大:).)(lim()(lim0 xfxfxxx或或记作记作在同一过程中在同一过程中, ,无穷大的倒数为无穷小无穷大的倒数为无穷小; ;恒不为恒不为零的无穷小的倒数为无穷大零的无穷小的倒数为无穷大. .无穷小与无穷大的关系无穷小与无穷大的关系2 2、无穷小与无穷大、无穷小与无穷大5/22定理定理1 在同一过程中在同一过程中,有限个无穷小的代数和有限个无穷小的代数和仍是无穷小仍

3、是无穷小.定理定理2 有界函数与无穷小的乘积是无穷小有界函数与无穷小的乘积是无穷小.推论推论1 在同一过程中在同一过程中,有极限的变量与无穷小的有极限的变量与无穷小的乘积是无穷小乘积是无穷小.推论推论2 常数与无穷小的乘积是无穷小常数与无穷小的乘积是无穷小.推论推论3 有限个无穷小的乘积也是无穷小有限个无穷小的乘积也是无穷小.无穷小的运算性质无穷小的运算性质6/22定理定理. 0,)()(lim)3(;)()(lim)2(;)()(lim)1(,)(lim,)(lim bbaxgxfbaxgxfbaxgxfbxgaxf其中其中则则设设推论推论1 1).(lim)(lim,)(limxfcxcf

4、cxf 则则为常数为常数而而存在存在如果如果.)(lim)(lim,)(limnnxfxfnxf 则则是正整数是正整数而而存在存在如果如果推论推论2 23 3、极限的性质、极限的性质7/224 4、求极限的常用方法、求极限的常用方法a.连续函数代入法求极限连续函数代入法求极限;b.消去零因子法求极限消去零因子法求极限;c.无穷小因子分出法求极限无穷小因子分出法求极限;d.利用无穷小运算性质求极限利用无穷小运算性质求极限;e.利用左右极限求分段函数极限利用左右极限求分段函数极限.f.利用无穷小替换求极限；利用无穷小替换求极限；g.利用两个重要极限求极限利用两个重要极限求极限;h.利用夹逼准则求极

5、限利用夹逼准则求极限.8/22左右连续左右连续在区间在区间a,ba,b上连续上连续连续函数连续函数的的 性性 质质初等函数初等函数的连续性的连续性间断点定义间断点定义连连 续续 定定 义义0lim0 yx)()(lim00 xfxfxx 连续的连续的充要条件充要条件连续函数的连续函数的运算性质运算性质非初等函数非初等函数的连续性的连续性 振荡间断点振荡间断点 无穷间断点无穷间断点 跳跃间断点跳跃间断点 可去间断点可去间断点第一类第一类 第二类第二类9/22二、典型例题二、典型例题例例1 1.)16(log2)1(的定义域的定义域求函数求函数xyx 解解, 0162 x, 01 x, 11 x

6、214xxx, 4221 xx及及).4 , 2()2 , 1(即即10/22的定义域为的定义域为则则的定义域为的定义域为若若)(),1,0()(xefxf例例2 2解解 )1,0( fd10 xe)0,( x故故)0,(11/22例例3 3).1()1)(1)(1(lim,1242nxxxxxn 求求时时当当解解将分子、分母同乘以因子将分子、分母同乘以因子(1-x), 则则xxxxxxnn 1)1()1)(1)(1)(1(lim242原式原式xxxxxnn 1)1()1)(1)(1(lim2422xxxnnn 1)1)(1(lim22xxnn 11lim12.11x .)0lim,1(12

7、nxxn时时当当12/22例例4 4.)sin1tan1(lim310 xxxx 求求解解 解法讨论解法讨论则则设设,)(lim, 0)(lim xgxf )()(1limxgxf)().()(1)(1 limxgxfxfxf 存在存在若若,)().(lim(axgxf )().(lim)(1)(1limxgxfxfxf .ae 13/22310)1sin1tan1(1limxxxx 原式原式310sin1sintan1limxxxxx 301sin1sintanlimxxxxx 301cos)sin1()cos1(sinlimxxxxxx xxxxxxxcos)sin1(1cos1sinli

8、m20 21.21e 原式原式31sin1sintansintansin10sin1sintan1limxxxxxxxxxxx ）（14/22例例5 5.)11(lim2nnnn 求求解解 nnnn)11(lim2122lim nnn1lim12222)11(lim nnnnnnnn1e .e nnnn122)11( 15/22例例6 6解解处连续，处连续，在在已知已知0,020)1()(1 xxxaxxfx.的值的值求求a)(lim0 xfx xxax10)1(lim aaxxax 10)1(limae 2)0( f又又由右连续定义知由右连续定义知2 ae.2ln a16/22例例7 7).

9、()21(1 , 0),1()0(,1 , 0)( ffffxf 使使得得证证明明必必有有一一点点且且上上连连续续在在闭闭区区间间设设证明证明),()21()(xfxfxf 令令.21, 0)(上连续上连续在在则则xf),0()21()0(fff ),21()1()21(fff 讨论讨论:, 0)0( f若若, 0 则则);0()210(ff , 0)21( f若若,21 则则);21()2121(ff 17/22则则若若, 0)21(, 0)0( ff )21()0(ff2)0()21(ff . 0 由零点定理知由零点定理知,. 0)(),21, 0( f使使.)()21(成立成立即即 ff

10、 综上综上,1 , 021, 0 必有一点必有一点.)()21(成立成立使使 ff 18/22例例8 8)0, 0, 0.()3(lim10 cbacbaxxxxx求求解解”型”型“ 1xcbacbaxxxxxxxxxxcba33330)331(lim 原式原式 xcbaxxxx33lim0 xcbaxxxx3111lim0 )1lim1lim1lim(31000 xcxbxaxxxxxx )lnln(ln31cba 3ln abc 3lnabce 原式原式3abc 19/22例例9 9.)(sinlimtan2xxx 求求解解”型”型“ 1.)1sin1(lim)1(sintan1sin12

11、 xxxxx）（原式原式 )1(sintanlim2 xxx )1(coscotlim0 ttt)2(sincoslim20tttt 0 0e 原式原式.1 tx 2 令令20/22.,432lim.23的值的值求求若若kxkxxx 分分 析析432lim23 xkxxx)3(32lim)2(lim2323 xxkxxkxxxx004 kkxxx 6 69 9)2(lim23又又0 k6 69 9故故.3 k21/22. .的值的值、求求若若推广：推广：babxaxxx,3lim23 分 析bxaxxx 3lim23)3(3lim)(lim2323 xxaxxaxxxx00 baaxxx 39

12、)(lim23又又039 a故故.6 a3lim23 xaxxbx36lim23 xxxx3)2)(3(lim3 xxxx)2(lim3 xx5 22/22.,011lim.2的值的值、求求若若babaxxxx 分分 析析01)1()()1(lim11lim22 xbxbaxabaxxxxx当且仅当当且仅当,001 baa 11ba23/22.1的值、求若推广：babaxxxx,1lim2分 析bxxaxaaxxxxx 11)1()1(lim11lim22当且仅当当且仅当,101 baa 21ba24/22测测 验验 题题bd25/22bcc26/22ddb27/22二二、求求下下列列函函数数

13、的的定定义义域域：;arctan)12sin(1xxy 、2、12)9lg()(2 xxx dd28/22五五、 求求极极限限： 1 1、22)1(12limnnnn ； 2 2、321lim3 xxx ；3 3、xxx20)1(lim ； 4 4、)1(lim1 xxex ；29/225 5、当当0 x时时，nnxxx2cos.4cos2coslim ；6 6、121sinlim22 xxxx . .六六、 设设有有函函数数 1, 1)1(1,sin)(xxaxaxxf试试确确定定a的的值值使使)(xf在在1 x连连续续 . .七、七、 讨论函数讨论函数xxxxf2sin11arctan)(

14、 的连续性，并判的连续性，并判断其间断点的类型断其间断点的类型 . .30/22八八、 证证明明奇奇次次多多项项式式： 1221120)( nnnaxaxaxp)0(0 a至至少少存存 在在一一个个实实根根 . .31/22一、一、1 1、b b； 2 2、d d； 3 3、b b； 4 4、c c； 5 5、c c； 6 6、d d； 7 7、c c； 8 8、b b； 9 9、d d； 10 10、d d；二、二、1 1、);,( 2 2、4,5.4,5.三、三、352)1(, 0, 1, 22 xxxgcba. .四、四、 1, )1(0, 01, 1)(1xxxxxxf. .五、五、1

15、 1、2 2； 2 2、41； 3 3、2e； 4 4、1 1； 5 5、xxsin； 6 6、22. .测验题答案测验题答案32/22六、六、 ka22 ), 2 , 1 , 0( k七、七、0 x可去间断点可去间断点, , 1 x跳跃间断点跳跃间断点, , ), 2, 1(2 nnx无穷间断点无穷间断点, , x为其它实数时为其它实数时)(xf连续连续. .33/22. .的值的值求求若若例例kxkxxx,432lim.123 分 析432lim23 xkxxx)3(32lim)2(lim2323 xxkxxkxxxx004 kkxxx 6 69 9)2(lim23又又0 k6 69 9故故.3 k34/22. .的值的值、求求若若推广：推广：babxaxxx,3lim23 分 析bxaxxx 3lim23)3(3lim)(lim2323 xxaxxaxxxx00 baaxxx 3 39 9)(lim23又又0 a3 39 9故故.6 a3lim2