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文档简介

1、ACDB45456730 x2021-10-211第1页/共27页某城市的电视发射塔建在市郊的一座小山上.如图所示,小山高BC约为30米,在地平面上有一点A,测得A、C两点间距离约为67米,从A观测电视发射塔的视角(CAD)约为45.求这座电视发射塔的高度.ABCD306745章头图给出的问题2021-10-212第2页/共27页30sin,67设电视发射塔高x米, CAB则在直角三角形ABD中,tan3030)45tan(x得于是, 解方程30tan)45tan(30 xABCD306745x因此,求发射塔的高度只需求的值。)45tan( tan3030tan ABAB即即2021-10-2

2、13第3页/共27页3.1.1 3.1.1 两角差的余弦公式两角差的余弦公式 如何用任意角如何用任意角,的正弦、余弦值的正弦、余弦值 来表示来表示cos(-)cos(-)呢?呢?探探究究问题问题1: 1: 你认为你认为cos(cos(-)=cos)=cos-coscos成立吗成立吗? ?第一步:探求表示结果第一步:探求表示结果探究探究过程过程第二步:对结果的正确性加以证明第二步:对结果的正确性加以证明 .23216cos3coscoscos236cos)63cos(cos63 而而,则,则、设设cos(cos()究竟可究竟可以表示成什么样子?以表示成什么样子?猜想:猜想:? ?= =) )-

3、-c co os s( (问题问题2:2:你认为你认为cos(cos(-)=cos)=coscos+sincos+sinsinsin成立吗成立吗? ?2021-10-214第4页/共27页在第一章三角函数的学习当中我们知道,在设角在第一章三角函数的学习当中我们知道,在设角 的终边与单的终边与单位圆的交点为位圆的交点为 , 等于角等于角 与单位圆交点的横坐与单位圆交点的横坐标,也可以用角标,也可以用角 的余弦线来表示的余弦线来表示大家思考:怎样构造角大家思考:怎样构造角 和和 角?(注意:要与角?(注意:要与它们的正弦线、余弦线联系起来它们的正弦线、余弦线联系起来. .)探究过程:探究过程:1P

4、cos yOxP P1 1M2021-10-215第5页/共27页尝试探索:尝试探索:Oxy作角作角P1 PP1 1O Ox x= =,PPOPPOP1 1= =,则则POPOx x = =-2021-10-216第6页/共27页Oxy作角作角PPOPPOP1 1= =,则则POPOx x = =-找线找线P1PP1 1O Ox x= =,尝试探索:尝试探索:cos(cos(-)C Cososcos sincos sinsinsinAPAOPPAOP1 1BABxABx轴轴PAB=PPAB=P1 1O Ox x= =PCABPCABC C PCPCOBOB C CososOA sinOA si

5、nAPAPBMBMOB+BMMOMOMPMOXPMOX+ + + += =2021-10-217第7页/共27页OxyP1PM MAB BC C即即: :以上结果为以上结果为、-均为均为锐角,且锐角,且的情况下得到的,的情况下得到的,此式是否对任意角都成立呢?此式是否对任意角都成立呢?cos(cos(-)=cos)=coscos+sincos+sinsinsin 思考?思考?2021-10-218第8页/共27页探究探究2 2对任意对任意,,如何证明它的正确性?,如何证明它的正确性?cos(-)=coscos+sinsincos(-)=coscos+sinsin于是于是OA=(cos,sin)

6、,OA=(cos,sin),怎样用向量数量积的运算怎样用向量数量积的运算和定义得到结果?和定义得到结果?OB=(cos,sin)OB=(cos,sin)结合图形,思考应选用哪几个向量?结合图形,思考应选用哪几个向量?yOxA AB B看能否用向量的知识进行证明?看能否用向量的知识进行证明?结合向量的数量积的定义和向量的工具性,结合向量的数量积的定义和向量的工具性,以上推导是否有不严谨之处?以上推导是否有不严谨之处?若有,请作出补充。若有,请作出补充。2021-10-219第9页/共27页称为差角的余弦公式。称为差角的余弦公式。于是,对于任意角于是,对于任意角,都有都有cos(-)=coscos

7、+sinsin 当当-为任意角时,由诱导公式,总可以找为任意角时,由诱导公式,总可以找到一个角到一个角 0,20,2 ),),使使coscos = =cos(cos(-)简记为简记为C C( (-)则则OAOAOBOB= =cos(2cos(2 - - ) )=cos =cos(-)yyOxA AB B若若 0,0, , 则则OAOAOB=cosOB=cos = =cos(cos(-)2 2 - - 则则2 2 - - (0,(0, ) 若若 ( ( ,2,2 ), ,OxB BA2021-10-2110第10页/共27页cos(-)=coscos+sinsin观察:公式有何特征?如何记忆?观

8、察:公式有何特征?如何记忆? .公式的结构特征公式的结构特征: : 左边是差角 的余弦,右边单角、的余弦积与正弦积的和,即同名三角函数积的和. 2. 差角差角余弦:余弦:符号不同积同名符号不同积同名cos(-)=coscos+sinsin 谐音记忆为谐音记忆为: : 烤烤晒晒符号反烤烤晒晒符号反 2021-10-2111第11页/共27页应用分析:怎样把分析:怎样把1515表示成两个特殊角的差?表示成两个特殊角的差?30sin45sin30cos45cos42621222322)3045cos(15cos解法1:例例1.利用差角余弦公式求利用差角余弦公式求cos15的值的值.2021-10-2

9、112题型一、给角求值第12页/共27页coscoscoscos45sin60 sin451232222262.4 (2 2)1515(60 -4560 -45 )=60=60解法22021-10-2113第13页/共27页应用公式的逆用公式的逆用coscoscoscos+ +sinsinsin=cos(sin=cos(- -)2021-10-2114(1).求求求求cos27 cos12 +sin27 sin12 的值的值.(4).求求cosxcos(x+15 ) +sinx sin(x+15 )的值的值. (3).求求 的值的值. 15sin2315cos21cos80 cos35cos1

10、0 cos55 .(2)第14页/共27页应用解:由sin , ( ,),得542 分析分析: :由由C C-和本题的条件,要计算和本题的条件,要计算cos(-), cos(-), 还应求什么?还应求什么?53541sin1cos22又由cos= ,是第三象限的角,得135-13121351cos1sin22所以cos(-) coscos+sinsin653313125413553 已知已知sin ,( , ),cos= - , 是是第三象限角,求第三象限角,求cos(-)的值。的值。542 135例例2.2021-10-2115题型二、给值求值第15页/共27页 已知已知sin ,( , )

11、,cos= - , 是是第三象限角,求第三象限角,求cos(-)的值。的值。542 135例例2.变式1:如果去掉条件 ,对结果和求 解过程会有什么影响?),2(要求正确使用要求正确使用分类讨论的思想方法分类讨论的思想方法,在表述上也有了更高的要求在表述上也有了更高的要求2021-10-2116第16页/共27页3).233 32 2、已已知知cos =cos =,2 2,求求cos(cos(5 5解:223cos2sin1cos1cos()coscossinsin333132234 3.10 3 3= = ,2 25 53434555534345555巩固练习巩固练习: :2021-10-2

12、117第17页/共27页先求两角的正、余弦值,再代入差角余弦公式求值. .提升总结34coscossinsin.5,5 ,求cos-的值练习:第18页/共27页13coscos()0,252cos . 例4 已知=,=- ,, 求coscos ().拆角思想提::示13cos0,sin,222解: 由=,得3cos()0,545.由=-,得sin(+)= 第19页/共27页coscos ()cos()cossin()sin314334 3.525210 利用差角公式求值时,常常进行角的分拆与组合. .即公式的变用. .第20页/共27页5(,).2336125cos()sin().313313解:(0, ),12.cos(),cos.3133 已知为锐角,求coscos()33cos() cossin()sin3333121531253.13213226第21页/共27页题型三.给值求角应用第22页/共27页第23页/共27页小结cos(-)=coscos+sinsin差角的余弦公式差角的余弦公式, ,简记为简记为C(-)a.这节课我学到了什么知识?这节课我学到了什么知识?b b. .在公式应用过程中应该注意什么问题?在公式应用过程中应该注意什么问题?c.这节课我学到了哪些数学思想方法?这节课我学到了哪些数学思

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